河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测文科数学试题(扫描版)
2017年河南省高考数学诊断试卷(文科)(b卷) 含解析
2017年河南省高考数学诊断试卷（文科)（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A={x|x∈N|2≤x≤5｝,B=｛x|y=}，则A∩B=( ）A．{2} B．｛2，3｝C．{2,3，4｝D．｛4，5｝2．=（)A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i3．已知各项均不相等的等比数列｛a n}中，a2=1，且a1，a3,a5成等差数列,则a4等于（）A．B．49 C． D．74．已知定义在R上的奇函数f(x）满足当x≥0时，f（x）=1og2(x+2）+x+b，则|f（x)｜＞3的解集为( ）A．(﹣∞，﹣2）∪(2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞) C．(﹣2,2）D．（﹣4，4）5．数学名著《算学启蒙》中有如下问题:“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b的值分别为16,4，则输出的n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．下图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ）A．12+πB．12+81πC．24+πD．24+81π7．如图所示,已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切,则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为( ）A．B． C． D．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,点P满足|PF1｜﹣｜PF2|=2a，若+=，且M(0，b），则双曲线C的渐近线方程为( )A．y=±2x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x9．已知函数f（x)=sinωx﹣cosωx(ω＞0），将函数y=|f(x）|的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则当ω取最小值时，g（x）=cos（ωx+）的单调递减区间为( ）A．［﹣+，+]（k∈Z）B．［﹣+，+］（k∈Z）C．［﹣+，+]（k∈Z）D．[﹣+，+］（k∈Z）10．三棱锥D﹣ABC中，AB=CD=,其余四条棱长均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（）A．14πB．7πC．21πD．28π11．已知抛物线C：y2=2px(p＞0）的交点为F,准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，若MR⊥l，垂足为R，且∠NRM=∠NMR,则直线MN的斜率为（）A．±8 B．±4 C．±2D．±212．已知实数a,b，c满足a2+b=lna，则(a﹣c）2+（b+c﹣2）2的最小值为（）A．2B．8 C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（2,3）,=(m，﹣6），若⊥,则｜2+｜= ．14．已知在一次全国数学竞赛中,某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．则在本次数学竞赛中，成绩在［80，90）内的学生人数为．15．已知实数x，y满足，则的取值范围为．16．已知数列{}的前n项和为S n,若S n+=4，则数列{a n}的前n 项和T n= ．三、解答题（本大题共12分）17．已知△ABC中A,B，C所对的边分别为a，b，c,（1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+=π．（Ⅰ）求cosB的值;（Ⅱ）若点D在线段BC上,且BD=6，c=5，求△ADC的面积．18．已知菱形ABCD如图(1)所示,其中∠ACD=60°,AB=2，AC与BD相交于点O，现沿AC进行翻折,使得平面ACD⊥平面ABC，取点E，连接AE，BE，CE，DE，使得线段BE再平面ABC内的投影落在线段OB上，得到的图形如图(2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．（Ⅰ）证明:DE⊥AC；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．19．在一次期末模拟测试中,某市教研室在甲、乙两地各抽取了10名学生的数学成绩，得到茎叶图如图所示．（Ⅰ)分别计算甲、乙两地这10名学生的平均成绩；（Ⅱ）以样本估计总体，不通过计算,指出甲、乙两地哪个地方学生成绩较好;（Ⅲ）在甲地被抽取的10名学生中,从成绩在120分以上的8名学生中随机抽取2人，求恰有1名学生成绩在140分以上的概率．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB｜=．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）过点(1,0）的直线l交椭圆C于E,F两点，若存在点G（﹣1，y0）使△EFG为等边三角形,求直线l的方程．21．已知函数f(x)=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f(x）在点(1,f（1））处的切线方程;（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤λ（x2﹣1)对任意x∈［1,+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．四、选修4-4:坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．(Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1，C2交于O，A两点,过O点且垂直于OA的直线与曲线C1，C2交于M,N两点，求｜MN|的值．五、选修4—5:不等式选讲23．已知不等式＞x的解集为（﹣∞，m）．（Ⅰ）求实数m的值；(Ⅱ）若关于x的方程|x﹣n｜+｜x+｜=m(n＞0）有解，求实数n 的值．2017年河南省高考数学诊断试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A=｛x|x∈N|2≤x≤5｝，B={x|y=｝,则A∩B=( ）A．{2｝B．{2，3｝C．{2,3,4} D．｛4，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A和B,由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解:集合A=｛x｜x∈N|2≤x≤5｝={2,3，4，5},B={x|y=｝=（﹣∞，3]，则A∩B=｛2，3}，故选：B．2．=（)A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：A．3．已知各项均不相等的等比数列{a n}中,a2=1,且a1，a3，a5成等差数列，则a4等于( ）A．B．49 C． D．7【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得q≠±1，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q2，再由a4=a2q2，计算即可得到所求值．【解答】解：设各项均不相等的等比数列｛a n}的公比为q（q≠±1），a2=1，可得a1q=1，①a1,a3，a5成等差数列，可得2a3=a1+a5，即为2a1q2=a1+a1q4,②由①②解得q2=（1舍去)，则a4=a2q2=．故选：C．4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=1og2（x+2)+x+b，则|f（x)|＞3的解集为（）A．(﹣∞,﹣2）∪（2，+∞) B．（﹣∞,﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2,2）D．(﹣4，4）【考点】R5:绝对值不等式的解法．【分析】利用f(0）=0，求出b，确定f（2）=3，函数在R上单调递增，利用函数的单调性，即可求出|f（x）|＞3的解集．【解答】解:由题意,f(0)=1+b=0，∴b=﹣1，∴f(x)=1og2(x+2）+x﹣1，∴f（2）=3,函数在R上单调递增，∵|f(x)|＞3，∴｜f(x）|＞f(2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．5．数学名著《算学启蒙》中有如下问题：“松长五尺,竹长两尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等．”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b的值分别为16，4，则输出的n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16,b=4,n=1，a=24，b=8，不满足循环的条件a≤b,执行循环体，n=2，a=36,b=16不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=3,a=54，b=32不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=4，a=81，b=64不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=5，a=，b=128满足循环的条件a≤b，退出循环,输出n的值为5．故选：B．6．下图网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（）A．12+πB．12+81πC．24+πD．24+81π【考点】L！:由三视图求面积、体积．【分析】首先由网格三视图还原几何体为组合体,画出示意图,利用网格数据计算体积．【解答】解：几何体如图：由网格数据得到几何体的体积为：=24；故选C7．如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成,两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（)A．B． C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为a,求出相应的面积，以面积为测度可得结论．【解答】解：设等边三角形的边长为a,则内切圆的半径为a，∴往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为=，故选:D．8．已知双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P满足|PF1｜﹣｜PF2｜=2a，若+=,且M(0，b）,则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程得到a，b 的关系式,然后求解渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1(a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2,点P满足|PF1|﹣｜PF2｜=2a，若+=，且M（0，b)，可得P(c，2b），则:，解得c2=5a2,可得b2=4a2，即b=2a，双曲线C的渐近线方程为：y=±2x．故选：A．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），将函数y=|f（x）｜的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则当ω取最小值时,g （x）=cos（ωx+）的单调递减区间为（)A．[﹣+,+](k∈Z）B．［﹣+，+]（k∈Z) C．[﹣+，+］（k∈Z）D．[﹣+,+］（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简三角函数式,然后根据平移以及对称得到ω最小值，然后由题意求单调区间．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx)，(ω＞0），将函数y=｜f(x）｜的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为｜sin［ω(x）]，又图象关于y轴对称，所以，k∈Z，则当ω取最小值时为,所以g（x）=cos（x+）的单调递减区间由2kπ≤x≤2kπ+π，解得，k∈Z；所以当ω取最小值时，g(x）=cos（ωx+）的单调递减区间为［]；故选D．10．三棱锥D﹣ABC中,AB=CD=,其余四条棱长均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（）A．14πB．7πC．21πD．28π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，再求球的表面积．【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F,连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=，BC=AC=AD=BD=2，可知△ABC与△ADB都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF,同理CD⊥EF,∴EF是AB与CD的公垂线,球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD），，DF=，EF=，半径，∴外接球的表面积为4π×DG2=7π．故选：B．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0)的交点为F,准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N两点,若MR⊥l,垂足为R,且∠NRM=∠NMR，则直线MN的斜率为( ）A．±8 B．±4 C．±2D．±2【考点】K8:抛物线的简单性质．【分析】过N作NQ⊥l,交l于Q,NH⊥MR,交MR于H,利用抛物线的定义及等腰三角形的性质，根据勾股定理即可求得线MN的斜率．【解答】解：过N作NQ⊥l，交l于Q,NH⊥MR,交MR于H，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MR丨，丨NF丨=丨MQ丨，由∠NRM=∠NMR，则△MNR为等腰三角形，∴丨MQ丨=丨RH丨=丨MH丨=丨MR丨，则丨MN丨=丨MF丨+丨NF丨，∴丨MN丨=3丨NQ丨,即丨MN丨=3丨MH丨，则丨NH丨==2丨MH丨则tan∠NMR==2，则直线的倾斜角α=∠NMR，则直线MN的斜率k=±tanα=2，故选C．12．已知实数a，b，c满足a2+b=lna，则(a﹣c）2+（b+c﹣2)2的最小值为( )A．2B．8 C．D．2【考点】3H:函数的最值及其几何意义．【分析】根据距离公式可知（a﹣c）2+（b+c﹣2)2表示（a，b）到（c，﹣c+2）的距离的平方，而（a，b）在曲线y=lnx﹣x2上，（c，﹣c+2）在直线y=﹣x+2上,将问题转为求y=lnx﹣x2的切线与y=﹣x+2的距离平方．【解答】解：∵a2+b=lna，∴b=lna﹣a2，又（c,﹣c+2)在直线y=﹣x+2上,∴（a﹣c）2+（b+c﹣2)2的最小值为曲线y=lnx﹣x2上的点到直线y=﹣x+2的最小距离的平方．设直线y=﹣x+m与曲线y=lnx﹣x2相切,切点为（x0，y0），则，解得x0=1，y0=﹣1，m=0，∴直线y=﹣x与直线y=﹣x+2的距离为=，∴（a﹣c）2+（b+c﹣2)2的最小值为2．故选D．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知向量=（2，3），=(m，﹣6），若⊥，则｜2+｜= 13 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的垂直与向量数量积的关系可得若⊥,则有•=2m﹣18=0,解可得m的值，即可得的坐标，从而可得向量2+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（m，﹣6)，若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m=9，则=(9，﹣6)，故2+=（13，0)；故｜2+｜=13；故答案为：13．14．已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．则在本次数学竞赛中，成绩在［80，90)内的学生人数为900 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的性质，得a=0。
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣24．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．20476．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．1697．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．89．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．111．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i=﹣i•（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．则|z|==．故选：D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求函数定义域求出集合A，解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）．【解答】解：集合A={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，B={x|＞1}={x|﹣1＞0}={x|0＜x＜1}，∴∁R B={x|x≤0或x≥1}，∴A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}=[1，2]．故选：C．3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2=（4，m﹣4），又由∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，=（2，m），=（1，﹣2），则+2=（4，m﹣4），若∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），即m﹣4=2m，解可得m=﹣4；故选：A．4．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，∵直线y=k（x+1）过定点D（﹣1，0），∴由图象可知要使直线y=k（x+1）与区域Ω有公共点，则直线的斜率k≤k BD，由，得B（1，3），此时k BD=，故0＜k，故选：C．5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．2047【考点】程序框图．【分析】执行循环体，依此类推，当n=11，不满足条件此时s=2047，退出循环体，从而输出此时的s即可．【解答】第一次循环，x=3，i=2＜10，第二次循环，x=7，i=3＜10，第三次循环，x=15，i=4＜10，第四次循环，x=31，i=5＜10，第五次循环，x=63，i=6＜10，第六次循环，x=127，i=7＜10，第七次循环，x=255，i=8＜10，第八次循环，x=511，i=9＜10，第九次循环，x=1023，i=10≤10，第十次循环，x=2047，i=11＞10，输出x=2047，故选：D．6．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．169【考点】归纳推理．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得．【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11==65条对角线．故选B．7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S=S正方形ABCD+S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD=12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B．8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．8【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由已知中f（x）=asinx+b+4，可得：f（x）+f（﹣x）=8，结合lg=﹣lg3可得答案．【解答】解：∵f（x）=asinx+b+4，∴f（x）+f（﹣x）=8，∵lg=﹣lg3，f（lg3）=3，∴f（lg3）+f（lg）=8，∴f（lg）=5，故选：C9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D．【解答】解：由图象得，A=1，T==1，则T=2，由得，ω=π，则A正确；因为过点（，0），所以sin（π+φ）=0，则π+φ=kπ（k∈Z），φ=+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ=或，所以f（x）=sin（πx）或f（x）=sin（πx+），则B错误；当f（x）=sin（πx+）时，由得，，所以函数的递增区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；当f（x）=sin（πx）时，由πx=kπ（k∈Z）得，x=k+（k∈Z），所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；故选B．10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．1【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，则f（1）=cos15°=cos=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，故选：A．11．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）=πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π=∴圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，求出|PA||PB|，即可得出结论．【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=±2x，则|PA||PB|==，∴△PAB的面积为•=．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r2=5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，∴，解得a1+9d=a10=4，S n为数列{a n}的前n项和，则S19=（a1+a19）=19a10=76．故答案为：76．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，则，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，△ABC的面积S===，当a=5时，△ABC的面积S===．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ． 连接BD ，交MC 于O ，连接OP ，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD ， ∵PB=2PA ， ∴OP ∥AD ，∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；（Ⅱ）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ，∴P 到平面MBC 的距离为，△MBC 中，MC=BC=，MB=2，∴MC ⊥BC ，∴S △MBC ==1，△MPC 中，MP==CP ，MC=，∴S △MPC ==．设点B 到平面MPC 的距离为h ，则由等体积可得，∴h=．20．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点P （0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A 、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M 的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M 的轨迹方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （﹣x 2，y 2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC 的方程为：y ﹣y 2=﹣（x +x 2），把根与系数的关系代入可得4y=（x 2﹣x 1）x +8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，令H（x1）=﹣x12++2lnx1，则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t﹣8=0，即有t1t2=﹣，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．2017年4月5日。
河南省郑州市高三4月模拟调研数学(文)试题 Word版含答案
河南省郑州市第一中学2017届高三4月模拟调研数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的元素个数为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
2.已知错误！未找到引用源。
为虚数单位，且复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
为实数，则实数错误！未找到引用源。
的值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
3.已知函数错误！未找到引用源。
为定义在错误！未找到引用源。
上的偶函数，且在错误！未找到引用源。
上单调递增，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
4.把函数错误！未找到引用源。
图象上所有点的横坐标扩大到原来的错误！未找到引用源。
倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移错误！未找到引用源。
个单位，得到函数错误！未找到引用源。
的图象，则函数错误！未找到引用源。
的图象的一个对称轴方程为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
5.已知焦点在错误！未找到引用源。
轴上，渐近线方程为错误！未找到引用源。
的双曲线和曲线错误！未找到引用源。
的离心率之积为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
6.执行如图所示的程序框图，输出的错误！未找到引用源。
的值为（）A．错误！未找到引用源。
【河南省】2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷-答案
河南省2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷答 案1-5．CDCAD6-10．ABBAA11~12．B13．ππ3sin()36x -14 15．2222(2)98(2)73x y x y +-=-+-=或（）16．92ln 2(1,)10+ 17．解：（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理可知：22222||||||3||71cos 2||||23||2AC CD AD CD C AC CD CD +-+-===⨯⨯g ， 整理得：2||3||20CD CD -+=，解得：||1||2CD CD ==或，当||1CD =时，ACD △的面积11||||3122S AC CD =⨯⨯=⨯⨯=，当||2CD =时，ACD △的面积11||||3222S AC CD =⨯⨯=⨯⨯=∴ACD △；（Ⅱ）由π3C =，则1sin 2C C ==，1cos 4B B =由正弦定理可知：||||sin sin AC AB B C=，则||sin ||sin AC CAB B==111sin sin()sin cos cos sin 42428BAC B C B C B C ∠=+=+=⨯+⨯=，BAC ∠．18．证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD 是由直角SAB △和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中°90SAB SDC ∠=∠=，二面角S AB C --的大小为90︒， ∴SA AD ⊥，又,SA AB AB AD A ⊥=I ，∴SA ABCD ⊥平面， 又BD ABCD ⊂平面，∴SA BD ⊥，在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21,2AD CD AB ===，∴1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=， 又90DAC BAC ∠+∠=︒，∴90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥， 又AC SA A =I ，∴BD SAC ⊥平面， ∵AF SAC ⊂平面，∴BD AF ⊥．解：（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ， ∵B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，∴112123215513212ABC E ABCS ABCD ABCDS h hV V SSA --⨯⨯⨯===⨯⨯V g g 梯形，解得12h =， ∴点E 到平面ABCD 的距离为12． 19．解：（Ⅰ）若从这7天随机抽取两天，有2721C =种情况，两天人数均少于10，有3种情况，所以至少有1天参加抽奖人数超过10的概率为361217-=； （Ⅱ）1122213647411ˆˆ4,11,2,1142314074ni ii n i i x ynx yx y bay bx x nx==--⨯⨯======-=-⨯=-⨯-∑∑ ∴ˆ23yx =+， ∴估计若该活动持续10天，共有77192123140+++=名顾客参加抽奖． 20.解：（Ⅰ）由题意可知：离心率2e ,2c a c a ===， 2222b a c c =-=，将2(1,)-代入椭圆方程：222212x y c c +=，解得：1c =，则2,1a b ==，∴椭圆的标准方程：2212x y +=；（Ⅱ）椭圆的右焦点(1,0)F ，设直线AM 的方程是1x my =+，与2212xy +=联立，可得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y M x y ，则11221,1x my x my =+=+，于是12|||AM y y =-=，点(0,0)O 到直线MN的距离d ． 于是AMN △的面积2||OAMS S MN d ==== ∵221121m m +++≥，∴AMN △的面积2S =≤0m =． 21．（Ⅰ）解：()ln 1e x f x x '=+-，(1)1e,(1)1e f f '=-=-，故切线方程是：1e (1e)(1)y x -+=--， 即1(1e)0x y --=；（Ⅱ）证明：要证()sin f x x ＜在(0,)+∞上恒成立，即ln e 1sin 0x x x x -+-＜在(0,)+∞恒成立，也就是证ln e sin 1x x x x +-＜在(0,)+∞上恒成立， 当01x ＜≤时，e sin 10,ln 0x x x x +-＞≤， 故ln e sin 1x x x x +-＜，也就是()sin f x x ＜；当1x ＞时，令()e sin 1ln x g x x x x =+--， ()e cos ln 1x g x x x '=+--，令()()e cos ln 1xh x g x x x '==+--，1()e sin 0x h x x x'=--＞，故()h x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)e cos110h x h =+-＞＞，即()0g x '＞，则()(1)e sin110g x g =+-＞＞， 即ln e sin 1x x x x +-＜，即()sin f x x ＜， 综上所述，()sin f x x ＜在(0,)+∞上恒成立．22．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为12()x tt y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，普通方程为390x --=，极坐标方程为3cos sin 90ρθθ--=，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0ρθθ-=，即2sin 3cos ρθθ=，曲线C 的直角坐标方程为23y x =；（Ⅱ）两极坐标方程联立，可得22sin sin 90ρθθ--=，∴sin ρθ=即y =-∴91x =或，∴交点坐标为(2,或∴直线l 与曲线C 交点的极坐标为π5π)(2,)63或．23．（Ⅰ）解：因为|3||1|(3)(1)4x x x x ++-+--=≥ 当且仅当31x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于4，即4m =，()f a m =，则实数a 的取值集合为{|31}a a -≤≤；（Ⅱ）证明：2222422p q r pq qr ++=+≥，∴2pq qr +≤，即()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时取等号．河南省2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷解析1．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为A∩B，然后根据集合的运算即可．【解答】解：由Venn图可得阴影部分对应的集合为A∩B，A={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，则A∩B={2，3，4}，则对应集合元素个数为3，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设复数z=a+bi，a，b∈R，根据题意求出a，b的值，即可得到z的坐标，问题得以解决【解答】解：设复数z=a+bi，a，b∈R，i为虚数单位，则z的共轭复数为=a﹣bi；∴（z+2）（1﹣2i）=（3a﹣bi）（1﹣2i）=3a﹣2b﹣（6a+b）i=3﹣4i，∴，解得a=，b=﹣，∴复数z所对应的点的坐标为（，﹣），∴在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，故选：D【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．3．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题的否定是：￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．4．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，可得a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16，=16，可得a4a10.即可得出公比q．【解答】解：∵等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，∴a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16，=16，∴a4a10=4．则数列{a n}的公比==2．故选：A．【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据⊥得•=0，解得λ的值，再求+2与的夹角余弦值，从而求出夹角大小．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（1，λ），若⊥，则•=﹣1×1+2λ=0，解得λ=；∴+2=（1，3），∴（+2）•=1×（﹣1）+3×2=5，|+2|==，||==；∴cosθ===，∴+2与的夹角为．故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的计算问题，是基础题．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用同角的三角函数关系式，求得M的坐标，再由直线的斜率公式，化简可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，由|OM|=a，即有M（﹣acos∠MOF，asin∠MOF），即为tan∠MOF=，sin2∠MOF+cos2∠MOF=1，解得cos∠MOF==，sin∠MOF=，可得M（﹣，），设F（﹣c，0），由直线MF的斜率为，可得=，化简可得c2=2a2，b2=c2﹣a2=a2，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】构造思想，利用诱导公式化简即可得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，可得，cos（﹣α）=，即sin（﹣α）=﹣，那么sin（α﹣）=．cos（﹣2α）=cos2（）=cos2（）=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×=﹣．∴sin（α﹣）cos（﹣2α）=．故选：B【点评】本题主要考查了构造思想，诱导公式的灵活运用能力．属于基础题．8．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，正四棱柱的底面边长为2，高为4，利用体积公式计算即可．【解答】解：该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，故其体积为正四棱柱的底面边长为2，高为4，其体积为2××4=32；∴该几何体的体积为32+，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图，属于中档题．9．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．10.【考点】7C：简单线性规划．【分析】列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，再利用利润z=300x+200y的几何意义求最值即可．【解答】解：设生产甲x吨，乙y吨，则（x，y∈N）利润z=300x+200y，可行域如图所示，由，可得x=40，y=10，结合图形可得x=40，y=10时，z max=14000.故选：A．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．11．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则函数y=丨f（x）丨单调递增，当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，解得：x=ln，由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，综上可知：a的取值范围为[﹣，]，故选B．【点评】本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．12．【考点】8E：数列的求和．【分析】=，a1=m，可得（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），可得a2=5．n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，a n+1﹣a n﹣1=6．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可判断出②③的正误．【解答】解：=，a1=m，∴（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），①n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a2=5．②n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），∴（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1=6．∴当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{a2k﹣1}为等差数列，∴a n=a2k﹣1=m+（k﹣1）×6=3n+m﹣3．③当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{a2k}为等差数列，∴a n=a2k=5+（k﹣1）×6=3n﹣1．∴a2+a4+…+a2n=6×（1+2+…+n）﹣n=﹣n=3n2+2n．因此①②③都正确．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先通过A为最高点得到M，然后根据A，B的水平距离求得周期，通过图象经过的点求φ【解答】解：由已知图象得到M=3，，所以T=6=，所以ω=，又图象经过B（﹣，0），所以sin（﹣+φ）=0，|φ|＜），所以φ=﹣，所以f（x）=3sin（x﹣）．故答案为：3sin（x﹣）．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式部分；注意最高点、最低点、零点等关键点．14．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，分别求面积，即可得出结论．【解答】解：设正方形的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为4+4+=10，阴影部分的面积为2×=2，∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为=，故答案为．【点评】本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键．15．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由题意，设圆心为（a，2）则=2，求出a，可得圆心与半径，即可得出圆C的标准方程．【解答】解：由题意，设圆心为（a，2）则=2，∴a=0或8，∴r=3或=，∴圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73，故答案为：x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．16．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】化简方程得x2﹣xlnx+2=k（x+2），判断左侧函数的单调性，作出函数图象，根据图象交点个数判断k的范围．【解答】解：由得x2﹣xlnx+2=k（x+2），令f（x）=x2﹣xlnx+2（x），则f′（x）=2x﹣lnx﹣1，f″（x）=2﹣，∵x，∴f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）=﹣ln＞0，∴f（x）在[，+∞）上是增函数，作出f（x）在[，+∞）上的函数图象如图所示：当直线y=k（x+2）经过点（，）时，k=，当直线y=k（x+2）与y=f（x）相切时，设切点为（x0，y0），则，解得x0=1，y0=3，k=1．∵方程=1在x∈[，+∞）上有两个不相等的实数根，∴直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象有两个交点，∴1＜k≤．故答案为（1，]．【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．三、解答题17．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面积；（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由V B﹣AEC=V E﹣ABC，且=，能求出点E到平面ABCD的距离．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查等体积法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）若从这7天随机抽取两天，利用对立事件，求至少有1天参加抽奖人数超过10的概率；（Ⅱ）求出回归系数，即可得出结论．【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．20.【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）离心率e==，则a=c，又b2=a2﹣c2=c2，将（1，﹣）代入椭圆方程：，解得c=1，即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AM的方程是x=my+1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AM|，求出点O（0，0）到直线AM的距离，可得△OAM的面积，利用基本不等式，即可求△OAM的面积的最大值．△AMN面积的最大值是△OAM的面积的最大值的2倍．【点评】代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系，直线与圆锥曲线位置关系问题常常需要联立方程组，利用韦达定理．属于中档题．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f（1）与f′（1）的值，代入直线方程的点斜式可得切线方程；（Ⅱ）要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx﹣e x+1﹣sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜e x+sinx﹣1在（0，+∞）上恒成立，然后分0＜x≤1与x＞1证明，当0＜x≤1时成立，当x＞1时，令g（x）=e x+sinx﹣1﹣xlnx，然后两次求导即可证明f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．【点评】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，利用两次求导判断函数的单调性是解答该题的关键，是压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（Ⅱ）两极坐标方程联立，求出交点直角坐标，即可求直线l与曲线C交点的极坐标．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4，即可求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）知p2+2q2+r2=4，再由基本不等式即可得证．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
【全国校级联考word】河南省普通高中2017届高三4月教学质量监测理数试题 (1)
B． 4
C. 5
D． 6
11.如图，小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． 8 3
B． 16
C. 16 3
D．32
12.已知 ABC 的外接圆的半径为 R ，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ，若 a sin B cosC 3 c sin C 2 ，则 ABC
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
2.已知复
z
的共轭复数为
z ，Biblioteka 3zz
1
2
2i
（ i 为虚数单位），则在复平面内，复数 z 所对应的点位于
2 2
（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知命题 p : x 1, ， x2 16 8x 则命题 p 的否定为（ ）
河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测 理科数学试题
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x | 2x2 7x 3 0 ， B x Z | lg x 1 ，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）
A． p : x 1, ， x2 16 8x
B． p : x 1, ， x2 16 8x
C． p : x0 1, ， x02 16 8x0
D． p : x0 1, ， x02 16 8x0
2
R
2
面积的最大值为（ ）
A． 2 5
河南省普通高中高三4月教学质量监测理数试题 Word版含答案
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2730A x x x =-+<，{}|lg 1B x Z x =∈<，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复z 的共轭复数为z ，若()3122z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知命题():1,p x ∀∈+∞，2168x x +>则命题p 的否定为（ ）A ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤B ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +<C ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +< 4. ()()623221x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．600 B ．360 C. 600- D ．360-5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =± C. 3y x =± D ．4y x =±6.已知边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ∠=，若()01AP AC λλ=<<，则BP PD ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]2,3 C. (]0,3 D ．(]2,37.已知11sin cos ϕϕ+=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2tan 21x x dx ϕ--⎰=（ ） A ．13 B ．13- C. 23 D ．23-8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5 C.7 D ．119.某颜料公司生产,A B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ） A ．14000元 B ．16000元 C.16000元 D.20000元10.已知函数()()22,201,02x x x f x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则方程()51x f x -=⎡⎤⎣⎦在[]2,2-上的根的个数为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．611.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．．16 C. ．3212.已知ABC ∆的外接圆的半径为R ，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．25 B ．45 C. D ．125第Ⅱ卷（共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知函数()()sin 0,0,||2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中()2,3A （点A 为图像的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．14折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接,EB CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ．15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 与抛物线C的交点为,P Q 延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若22PF QF AFBF+=，则直线l 的方程为 ． 16.若[)1,x ∈+∞时，关于x 的不等式()ln 11x xx x λ≤-+恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，112n n a S n -=--. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系.（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为17，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为27，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为47，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？ 参考公式：1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx---=-∑∑，ˆˆay bx =- 19. 如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD 为正方形，AF AB ⊥，//AF BE ，平面ABEF ⊥平面ABCD，DF =CE =，2BC =.（1）求二面角F DE C --的大小；（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F，点1,⎛ ⎝⎭是椭圆C 上的点，离心率为e . （1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求△AMN 面积的最大值. 21. 已知函数()F x 与()ln f x x =的图象关于直线y x =对称.（1）不等式()1xf x ax ≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值；（2）设()()1f x F x =在()1,+∞内的实根为0x ，()()()00,1,xf x x x m x xx x F x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若在区间()1,+∞上存在()()()1212m x m x x x =<，证明：1202x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22.选修4-4：参数方程与极坐标系已知直线l的参数方程为12tx y +⎧⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02p θπ≥≤<. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m =. （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数,,p q r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤.试卷答案一、选择题1.B 【解析】依题意，{}()(){}21|2730|2130|32A x x x x x x x x ⎧⎫=-+<=--<=<<⎨⎬⎩⎭，{}|lg 1B x Z x =∈<{}{}|0101,2,3,4,5,6,7,8,9x Z x =∈<<=，阴影部分表示集合A B ，故{}1,2AB =.2.A 【解析】依题意，设(),z a bi a b R =+∈，则3222z z a bi +=+，故21a bi +==+，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点为12⎛ ⎝，位于第一象限.3.C 【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为()0:1,p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤. 4.C 【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为()()34332266321221600C C ⨯--⨯-=-.5.A 【解析】设(),0F c -，依题意，联立,,a b y x a ==-⎪⎩解得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±.6.D 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故()B，)D ，()()0,11P m m -<<，故()3,m BP =，()3,m PD =-，故23BP PD m ∙=-，故(]2,3BP PD ∙∈.7.D【解析】依题意，11sin cos cos 2sin cos 4πϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫+=⇒+=⇒+= ⎪⎝⎭，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4πϕ=，故()()322211tan 12221133x x x dx x x dx x ϕ-⎛⎫-=-=-=⎪--⎝⎭⎰⎰. 8.A 【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()223349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.9.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品y 吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩欲求目标函数()30020010032z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点()40,0A ，()40,10B ，50100,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,40D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点()40,10B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故max 300402001014000z =⨯+⨯=.所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.10.D 【解析】因为()51x f x -=⎡⎤⎣⎦，故()15f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图象如图所示，观察可知，两个函数的图象在[]2,2-上有6个交点，故方程()51x f x -=⎡⎤⎣⎦在[]2,2-上有6个根.11.B 【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD -，作出该几何体的直观图如图所示，取AC 的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面ACD ，故三棱锥A BCD -的体积(2111633ACDV BE S=∙∙=⨯=.12.C 【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c ab c ab +-∙+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C-=①；记△ABC 的面积为S ，则42sin S ab C =②，将①②平方相加可得()()()22222222228316482c S a b a b c ++=≤+=-，故()222264161655S c c ≤-≤，即245S ≤，S 285c =时等号成立. 二、填空题13. 3sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故23T ππω==，将点()2,3A 代入可得()2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故()26k k Z πϕπ=-+∈，故()3sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14.13【解析】设2AB =，则1BG =，AG =AEFGHID 的面积1222122S +⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∙∙∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∙∙∠=⨯=，故所求概率13P =.15. )2y x =+【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，26464m ∆=-0>，21m >，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，PF QF AFBF+212214222y y m y y =+=-=，解得26m =，故m =l '的方程为)2y x =+. 16. 1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】()()2ln 1ln 101x x x x x x x λλ≤-⇒--≤+；设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，从而对任意[)1,x ∈+∞，不等式()()01H x H ≤=恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x x x λ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设()ln 1x r x x+=，则()2ln 0x r x x -'=≤，所以()()max11r x r ==，即1122λλ≤⇒≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()10H x H ≥=对任意[)1,x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ<<时，设()()q x H x '== ln 12x x λ+-，则()112012q x x x λλ'=-=⇒=>，当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120q x x λ'=->，此时()()q x H x '==ln 12x x λ+-单调递增，所以()()ln 121120H x x x H λλ''=+->=->，故当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，()12212n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故()()1131n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =- .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()()11123231131313131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------. 18.【解析】（Ⅰ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii i i x yx ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+. （Ⅱ）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）. 由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人. 44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8800元奖品.19.【解析】（Ⅰ）因为AF AB ⊥,平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）.由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()0,2,2E ，()0,0,1F ，所以()2,2,0AC =，()0,2,0CD =-，()2,0,2CE =-.设平面CDE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由0,0,n CD n CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得()1,0,1n =；同理可得平面DEF 的一个法向量()1,1,2m =-，故cos ,m n m n m n ∙==，因为二面角F DE C --为钝角， 故二面角F DE C --的大小为56x .（Ⅱ）设DP DE DF λμ=+，因为()2,2,2DE =-，()2,0,1DF =-，又()2,2,0,BD =-，()()()2,2,22,0,22,2,2DP DE DF λμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+， 所以()222,22,2BP BD DP λμλλμ=+=---+，∵0,0,BP DF BP DE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩∴()()()()222220,2222222220,λμλμλμλλμ⎧---++=⎪⎨---+-++=⎪⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =.所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点. 20.【解析】（Ⅰ）依题意，221112a b+=，c a =222a b c =+，解得a 1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（Ⅱ）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A ⎛ ⎝⎭，1,M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛- ⎝⎭，故122AMNS=⨯= ②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y k x =-，0k ≠， 联立方程()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2222214220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,M x y ,则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -∙=+，AM =， 点O 到直线AM的距离d ==因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =2211122221AMNk SAM d k ⎛⎫+∴=∙=∙= ⎪+⎝⎭，综上，AMN ∆21.【解析】（Ⅰ）由()1xf x ax ≥-，所以1ln a x x≤+， 设()1ln g x x x =+，∴()22111x g x x x x-'=-=. 由()0g x '>，∴1x >，()g x 在()1,+∞上单调递增；()0g x '<，∴01x <<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()min 11g x g ==，则1a ≤， 所以实数a 的最大值为1.（Ⅱ）设(),y x 为函数()F x 图象上任意一点，则点(),y x 为函数()f x 图象上的点，所以()x F x e =，所以001ln x x e =， 当01x x <<时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+>，因而()m x 在()01,x 上单调递增； 当0x x >时，()x x m x e =，()10xxm x e-'=<，因而()m x 在()0,x +∞上单调递减； 又()()12m x m x =，12x x <，则()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +>. 要证：1202x x x +>，即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-， 即01011122ln x x x x x x e --<， 记()0022ln x xx xh x x x e --=-，01x x <<，其中()00h x =. ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e---+--'=++=++-. 记()tt t e ϕ=，()1t t t e ϕ-'=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'>；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'<， 故()max 1t eϕ=，而()0t ϕ>，故()10t e ϕ<≤，而020x x ->，从而002210x x x x e e ---≤-<，因此当()00000222122111ln 1ln 10x x x x x xx x x x h x x x e e e e ---+--'=++=++->->，即()h x 单调递增.从而当01x x <<时，()()00h x h x <=即0101122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>得证.22.【解析】（Ⅰ）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --，cos 2sin 0p θθ--=.（Ⅱ）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos330sin sin θθθθ⎛⎫⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎭，则c o s s i n θθ或cos sin θθ=，即ta n θ=或tan θ=，又因为0p ≥，02θπ≤<则6πθ=或53θπ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.【解析】（Ⅰ）依题意，()31314f x x x x x =++-≥+-+=，故m 的值为4； 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立； 因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故()()2222422p q q r pq qr +++=≥+，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）.。
河南省普通高中2017届高三4月教学质量监测文数试题Word版含答案
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20A x x =≤，{}1,2,3,4,5B =，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数z 的共轭复数为z ，若()()21234z z i i +-=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知命题():1,p x ∀∈+∞，2168x x +>则命题p 的否定为（ ）A ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤B ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +<C ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +<4.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且368916a a a a =，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．4 C. 2± D ．4±5.已知向量()1,2m =-，()1,n λ=若m n ⊥，则2m n ⊥与m 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C. 3π D ．4π6.已知双曲线()2222:11,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =± C. 3y x =± D ．4y x =±7.已知23cos 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos 263a a ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=（ ）A ．332 B ．332- C. 316 D ．316-8.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．328π+B ．8323π+C. 8163π+ D ．168π+ 9.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5 C. 7 D ．1110.某颜料公司生产,A B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（ ） A ．14000元 B ．16000元 元 D ．20000元11.已知函数()2x x e af x e=-，或对任意的1x ，[]21,2x ∈且12x x ≠时，()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦则实数a 的取值范围是（ ）A．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．22,e e ⎡⎤-⎣⎦ 12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1161n n n n a S nS S +++=-+，1a m =， 现有下列说法：①25a =；②当n 为奇数时，33n a n m =+-； ③224232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+.则上述说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()sin 0,02f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中()2,3A （点A 为图象的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x =___________.14.折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB ,CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ．15.若圆C 过点()0,1，()0,5且圆心到直线20x y --=的距离为22C 的标准方程为 ．16.已知关于x 的方程()221ln 2x x x k k +=++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相符的实数根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.）17. 在ABC ∆中，()01BD mBC m =<<，3AC =，7AD =，3C π=.（1）求ABC ∆的面积； （2）若15cos 4B =，求AB 的长度以及BAC ∠的正弦值. 18. 如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角△SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中SAB SDC ∠=∠90=.且点A 为线段SD 的中点，21AD DC ==，AB SD =现将△SAB 沿AB 进行翻折，使得二面角S AB --C 的大小为90，得到图形如图（2）所示，连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离. 19.国内，某知名连接店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系.（1）如从这7天中随便机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过10天的概率； （2）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计若该活动持续10天，共有多少名顾客参加抽奖.参考公式：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，721140i i x ==∑，71364i ii x y ==∑. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点21,⎛ ⎝⎭是椭圆C 上的点，离心率为2e . （1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点的对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln 1x f x x x e =-+，（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）证明：()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题记分.作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22. 已知直线l 的参数方程为1233x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02p θπ≥≤<. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m = （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数,,p q r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤.试卷答案一、选择题1.C 【解析】依题意，{}{}2|680|24A x x x x x =-+≤=≤≤，阴影部分表示集合AB ，故{}2,3,4AB =.2.D 【解析】依题意，()()()()34121122121255i i z z i i i -++==+-+，设(),z a bi a b R =+∈，故112355a bi i -=+，故115a =，25b =-故在复平面内，复数z 所对应的点为112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.3.C 【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()0:1,p x ⌝∃∈+∞，20168x x +≤. 4.A 【解析】依题意，23210log log 1a a +=故()2310log 1a a =，故3102a a =，故()2231016a a q =，解得24q =，注意到该数列中3a 、10a 均为正数，故2q =. 5.D 【解析】依题意，0m n •=，即120λ-+=解得12λ=，故()()()21,22,11,3m n +=-+=，则2m n +与m 的夹角的余弦值2cos 105θ=•，故4πθ=. 6.A 【解析】设(),0F c -，依题意，联立22,,x y a b y x a +==-⎪⎩解得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±.7.B 【解析】2333cos sin sin sin 3646464a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⇒-=-⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故cos 213a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22sin 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭18-，故313sin cos 2634832a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.B 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个圆锥和一个长方体构成的组合体，故其体积1884423233V ππ=⨯+⨯⨯=+.9.A 【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()23349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.10.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，所获利润为z 元.依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,x 0,y 0,x y x x y +≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩欲求目标函数()30020010032z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点()40,0A ，()40,10B ，50100,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,40D ， 作直线320x y +=，当移动该直线过点()40,10B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故max 300402001014000z =⨯+⨯=，所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.11.B 【解析】因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，故函数()y f x =在[]1,2上单调递增；易知，当0a ≥时，()f x 在[]1,2上是增函数，()0f x ≥，解得202e a ≤≤；当0a <时，()()f x f x =，令2x x e ae=-，解得2x a =-()f x 的单调递增区间为2,a ⎡⎤-+∞⎣⎦，故21a -，得202e a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 12.D 【解析】因为1161n n n n a S n S S +++=-+，故1161n n n a S na +++=+，即()()()1116n n n a a S n +++=+；当1a =时，()()()1161n n n a a S ++=+，故5n a =；当2n ≥时，()()()111161n n n a a S n --++=+-，所以()()111n n a a +++()()()()1111661n n n n a a S n S n ---++=+-+-，即()()()11161n n n n a a a a +-+-=+，又0n a >，所以116n n a a +--=，所以()16166n a m k k m -=+-=+-，所以当m 为奇数时，33n a n m =+-；()256161n a n n =+-=-，m N •∈所以223232n a a a n n ++⋅⋅⋅+=+；综上所述，①②③都正确.二、填空题13. 3sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】依题意，35932422M T ==+=，故6T =，故23T ππω==，将点()2,3A 代入可得()2232kx k Z ππϕ⨯+=+∈，故()26kx k Z πϕ=-+∈，因为2πϕ<，故()3sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14.13【解析】设2AB =，则1BG =，5AG =AEFGHID 的面积155222122S +⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积111252sin 2cos 2254222S AE AB EAB AE AB GAB =⨯••∠=⨯••∠=⨯⨯=，故所求概率13P =.15. ()2229x y +-=或()()228273x y -++=【解析】依题意，设圆C 的方程为()()()22220x a y r r -+-=>，则229,42,2a r a ⎧+=-=，解得0a =，3r =或8a =，73r圆C 的方程为()2229x y +-=或()()2282x y -+- 73=.16. 9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】因为()221ln 2x x x k k +=++，分离参数可得2ln 22x x x k x -+=+，故问题转化为关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根；令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+；令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()()212x x p x x -+'=在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥，故()p x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0p x <，即()0h x '<，∴()h x 单调递减：当[)1,x ∈+∞时，有()0p x >，即()0h x '>，∴()h x 单调递增；∴12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭9ln 2105+，()11h =，注意到()6624ln 2810h +=，()15726ln 257268021010h h +-⎛⎫-=>> ⎪⎝⎭，故实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）在ADC ∆中，由余弦定理，得22222371cos 2232AC CD AD CD C AC CD CD +-+-===•⨯•，解得1CD =或2； 故ADC ∆的面积133sin 2S AC CD C =••33. （Ⅱ）因为3C π=，所以3sin C =，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sinCAC ABB =. 即63AB =()11153351sin sin 42BAC B C +∠=+=⨯=18.【解析】（Ⅰ）证明：因为二面角S AB C --的大小为90，则SA AD ⊥， 又SA AB ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥； 在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=,又90DAC BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥；又AC SA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，故511215321122132ABCD S ABCD E ABCABCD s SA V V s h h --⨯•⨯===•⨯⨯⨯，故12h =，做点E 到平面ABCD 的距离为12. 19.【解析】（Ⅰ）这7天中参加抽奖的人数没有超过10的为第1，2，3，4天，超过10的为第5，6，7天，从这7天中任取两天的情况有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()4,5，()4,6，()4,7，()5,6，()5,7，()6,7，共21种，其中至少有1天参加抽奖人数超过10的有15种，所以57p =. （Ⅱ）依题意：()1123456747x =++++++=. ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y =+=∑，71722173647411ˆ21407167i ii i i x yx ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+， 预测8x =时ˆ19y=，9x =时，ˆ21y =，10x =时ˆ23y =， 则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人. 20.【解析】（Ⅰ）依题意，221112a b+=，2c a =222a b c =+，解得2a 1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）①当直线AM 的斜率不存在时，不妨取2A ⎛ ⎝⎭，21,M ⎛ ⎝⎭，21,N ⎛- ⎝⎭， 故12222AMNS=⨯ ②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1x k x --，0k ≠，联立方程()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2222214220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -•=+， ()()()222222212122224221141422212121k k k AM k x x x x k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎡⎤⎢⎥=+•+-•+•-• ⎪⎣⎦+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦点O 到直线AM 的距离2211kk d k k -==++因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2221k d k =+ ∴()()()2222222212111112222222222214211421AMN k k k k S AM d k k k k +⎛⎫+=•=•=- ⎪+++⎝⎭+，综上，△AMN 221.【解析】（Ⅰ）依题意，()11x f x nx e '=+=，又()11f e =-，()11f e '=-， 故所求切线方程为()()111y e e x -+=--，即()1y e x =-，（Ⅱ）依题意，要证：()sin f x x <，即证ln 1sin x x x e x -+<，即证：ln sin 1x x x e x <+-；当01x <≤时，sin 10x e x +->，ln 0x x ≤，故ln sin 1x x x e x ≤+-，即()sin f x x <；当1x >时，令()sin 1ln x g x e x x x =+--，故()cos ln 1x g x e x x '=+--， 令()()cos ln 1x h x g x e x x '==+--，()1sin x h x e x x =+-， 当1x >时，111x e e x ->->，所以()1sin 0x h x e x x'=-->，故()h x 在()1,+∞上单调递增， 故()()1cos110h x h e >-+->，即()0g x '>，所以()()sin110g x g x e >=+->， 即ln sin 1x x x e x <+-，即()sin f x x <；综上所述，()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.22.【解析】（Ⅰ）依题意，22sin 3cos p p θθ-，故23y x =； 因为1233x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩32330x y --=， 3cos 2sin 330p θθ--=. （Ⅱ）联立2sin 3cos 03cos 2sin 330p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 32330sin sin θθθθ⎛⎫⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎭，则cos 3sin θθ=或cos 3sin θθ=，即3tan θ=，或tan 3θ=， 又因为0p ≥，02x θ≤<，则6πθ=或53θπ=， 则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为63,6π⎛ ⎝和52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.【解析】（Ⅰ）依题意，()31314f x x x x x =++-≥+-+=，故m 的值为4； 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=；因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立；因为222q r pr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故()()2222422p q q r pq qr +++=≥+，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）.。
【河南省】2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷-答案
河南省2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷答 案1-5．CDCAD6-10．ABBAA11~12．B13．ππ3sin()36x -14 15．2222(2)98(2)73x y x y +-=-+-=或（）16．92ln 2(1,)10+ 17．解：（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理可知：22222||||||3||71cos 2||||23||2AC CD AD CD C AC CD CD +-+-===⨯⨯， 整理得：2||3||20CD CD -+=，解得：||1||2CD CD ==或，当||1CD =时，ACD △的面积11||||3122S AC CD =⨯⨯=⨯⨯=，当||2CD =时，ACD △的面积11||||3222S AC CD =⨯⨯=⨯⨯=∴ACD △；（Ⅱ）由π3C =，则1sin 2C C ==，1cos 4B B =由正弦定理可知：||||sin sin AC AB B C=，则||sin ||sin AC CAB B==111sin sin()sin cos cos sin 42428BAC B C B C B C ∠=+=+=⨯+⨯=，BAC ∠．18．证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD 是由直角SAB △和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中°90SAB SDC ∠=∠=，二面角S AB C --的大小为90︒， ∴SA AD ⊥， 又,SA AB ABAD A ⊥=，∴SA ABCD ⊥平面，又BD ABCD ⊂平面，∴SA BD ⊥，在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=︒，21,2AD CD AB ===，∴1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=， 又90DAC BAC ∠+∠=︒，∴90ABD BAC ∠+∠=︒，即AC BD ⊥， 又ACSA A =，∴BD SAC ⊥平面，∵AF SAC ⊂平面，∴BD AF ⊥．解：（Ⅱ）设点E 到平面ABCD 的距离为h ， ∵B AEC E ABC V V --=，且25E ABC S ABCD V V --=，∴112123215513212ABC E ABCS ABCD ABCDS hhV V SSA --⨯⨯⨯===⨯⨯梯形，解得12h =， ∴点E 到平面ABCD 的距离为12． 19．解：（Ⅰ）若从这7天随机抽取两天，有2721C =种情况，两天人数均少于10，有3种情况，所以至少有1天参加抽奖人数超过10的概率为361217-=； （Ⅱ）1122213647411ˆˆ4,11,2,1142314074ni ii n i i x ynx yx y bay bx x nx==--⨯⨯======-=-⨯=-⨯-∑∑∴ˆ23yx =+， ∴估计若该活动持续10天，共有77192123140+++=名顾客参加抽奖． 20.解：（Ⅰ）由题意可知：离心率e c a a ===， 2222b a c c =-=，将(1,代入椭圆方程：222212x yc c +=，解得：1c =，则1a b ==，∴椭圆的标准方程：2212x y +=；（Ⅱ）椭圆的右焦点(1,0)F ，设直线AM 的方程是1x my =+，与2212xy +=联立，可得22(2)210m y my ++-=，设1122(,),(,)A x y M x y ，则11221,1x my x my =+=+，于是12|||AM y y =-=，点(0,0)O 到直线MN的距离d ． 于是AMN △的面积2||OAMS S MN d ==== ∵221121m m +++≥，∴AMN △的面积2S =≤0m =． 21．（Ⅰ）解：()ln 1e x f x x '=+-，(1)1e,(1)1e f f '=-=-，故切线方程是：1e (1e)(1)y x -+=--， 即1(1e)0x y --=；（Ⅱ）证明：要证()sin f x x ＜在(0,)+∞上恒成立，即ln e 1sin 0x x x x -+-＜在(0,)+∞恒成立，也就是证ln e sin 1x x x x +-＜在(0,)+∞上恒成立， 当01x ＜≤时，e sin 10,ln 0x x x x +-＞≤， 故ln e sin 1x x x x +-＜，也就是()sin f x x ＜；当1x ＞时，令()e sin 1ln x g x x x x =+--， ()e cos ln 1x g x x x '=+--，令()()e cos ln 1xh x g x x x '==+--，1()e sin 0x h x x x'=--＞，故()h x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)e cos110h x h =+-＞＞，即()0g x '＞，则()(1)e sin110g x g =+-＞＞， 即ln e sin 1x x x x +-＜，即()sin f x x ＜， 综上所述，()sin f x x ＜在(0,)+∞上恒成立．22．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为12()x tt y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，普通方程为390x --=，极坐标方程为3cos sin 90ρθθ--=，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0ρθθ-=，即2sin 3cos ρθθ=，曲线C 的直角坐标方程为23y x =；（Ⅱ）两极坐标方程联立，可得22sin sin 90ρθθ--=，∴sin ρθ=即y =-∴91x =或，∴交点坐标为(2,或∴直线l 与曲线C 交点的极坐标为π5π)(2,)63或．23．（Ⅰ）解：因为|3||1|(3)(1)4x x x x ++-+--=≥ 当且仅当31x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于4，即4m =，()f a m =，则实数a 的取值集合为{|31}a a -≤≤；（Ⅱ）证明：2222422p q r pq qr ++=+≥，∴2pq qr +≤，即()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时取等号．河南省2017年4月百校联盟高考模拟文科数学试卷解析1．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为A∩B，然后根据集合的运算即可．【解答】解：由Venn图可得阴影部分对应的集合为A∩B，A={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，则A∩B={2，3，4}，则对应集合元素个数为3，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设复数z=a+bi，a，b∈R，根据题意求出a，b的值，即可得到z的坐标，问题得以解决【解答】解：设复数z=a+bi，a，b∈R，i为虚数单位，则z的共轭复数为=a﹣bi；∴（z+2）（1﹣2i）=（3a﹣bi）（1﹣2i）=3a﹣2b﹣（6a+b）i=3﹣4i，∴，解得a=，b=﹣，∴复数z所对应的点的坐标为（，﹣），∴在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，故选：D【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．3．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题的否定是：￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．4．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，可得a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16，=16，可得a4a10.即可得出公比q．【解答】解：∵等比数列{a n}满足log2a3+log2a10=1，∴a n＞0，a3a10=2．又a5a6a8a9=16，=16，∴a4a10=4．则数列{a n}的公比==2．故选：A．【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据⊥得•=0，解得λ的值，再求+2与的夹角余弦值，从而求出夹角大小．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（1，λ），若⊥，则•=﹣1×1+2λ=0，解得λ=；∴+2=（1，3），∴（+2）•=1×（﹣1）+3×2=5，|+2|==，||==；∴cosθ===，∴+2与的夹角为．故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的计算问题，是基础题．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用同角的三角函数关系式，求得M的坐标，再由直线的斜率公式，化简可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，由|OM|=a，即有M（﹣acos∠MOF，asin∠MOF），即为tan∠MOF=，sin2∠MOF+cos2∠MOF=1，解得cos∠MOF==，sin∠MOF=，可得M（﹣，），设F（﹣c，0），由直线MF的斜率为，可得=，化简可得c2=2a2，b2=c2﹣a2=a2，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】构造思想，利用诱导公式化简即可得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，可得，cos（﹣α）=，即sin（﹣α）=﹣，那么sin（α﹣）=．cos（﹣2α）=cos2（）=cos2（）=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×=﹣．∴sin（α﹣）cos（﹣2α）=．故选：B【点评】本题主要考查了构造思想，诱导公式的灵活运用能力．属于基础题．8．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，正四棱柱的底面边长为2，高为4，利用体积公式计算即可．【解答】解：该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，故其体积为正四棱柱的底面边长为2，高为4，其体积为2××4=32；∴该几何体的体积为32+，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图，属于中档题．9．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．10.【考点】7C：简单线性规划．【分析】列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，再利用利润z=300x+200y的几何意义求最值即可．【解答】解：设生产甲x吨，乙y吨，则（x，y∈N）利润z=300x+200y，可行域如图所示，由，可得x=40，y=10，结合图形可得x=40，y=10时，z max=14000.故选：A．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．11．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则函数y=丨f（x）丨单调递增，当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，解得：x=ln，由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，综上可知：a的取值范围为[﹣，]，故选B．【点评】本题考查函数的综合应用，考查对数函数的运算，对勾函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．12．【考点】8E：数列的求和．【分析】=，a1=m，可得（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），可得a2=5．n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），可得（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，a n+1﹣a n﹣1=6．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可判断出②③的正误．【解答】解：=，a1=m，∴（a n+1+1）（a n+1）=6（S n+n），①n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a2=5．②n≥2时，（a n+1）（a n﹣1+1）=6（S n﹣1+n﹣1），∴（a n+1）（a n+1﹣a n﹣1）=6a n+6，a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣1=6．∴当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{a2k﹣1}为等差数列，∴a n=a2k﹣1=m+（k﹣1）×6=3n+m﹣3．③当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{a2k}为等差数列，∴a n=a2k=5+（k﹣1）×6=3n﹣1．∴a2+a4+…+a2n=6×（1+2+…+n）﹣n=﹣n=3n2+2n．因此①②③都正确．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先通过A为最高点得到M，然后根据A，B的水平距离求得周期，通过图象经过的点求φ【解答】解：由已知图象得到M=3，，所以T=6=，所以ω=，又图象经过B（﹣，0），所以sin（﹣+φ）=0，|φ|＜），所以φ=﹣，所以f（x）=3sin（x﹣）．故答案为：3sin（x﹣）．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式部分；注意最高点、最低点、零点等关键点．14．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，分别求面积，即可得出结论．【解答】解：设正方形的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为4+4+=10，阴影部分的面积为2×=2，∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为=，故答案为．【点评】本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键．15．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由题意，设圆心为（a，2）则=2，求出a，可得圆心与半径，即可得出圆C的标准方程．【解答】解：由题意，设圆心为（a，2）则=2，∴a=0或8，∴r=3或=，∴圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73，故答案为：x2+（y﹣2）2=9或（x﹣8）2+（y﹣2）2=73．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．16．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】化简方程得x2﹣xlnx+2=k（x+2），判断左侧函数的单调性，作出函数图象，根据图象交点个数判断k的范围．【解答】解：由得x2﹣xlnx+2=k（x+2），令f（x）=x2﹣xlnx+2（x），则f′（x）=2x﹣lnx﹣1，f″（x）=2﹣，∵x，∴f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）=﹣ln＞0，∴f（x）在[，+∞）上是增函数，作出f（x）在[，+∞）上的函数图象如图所示：当直线y=k（x+2）经过点（，）时，k=，当直线y=k（x+2）与y=f（x）相切时，设切点为（x0，y0），则，解得x0=1，y0=3，k=1．∵方程=1在x∈[，+∞）上有两个不相等的实数根，∴直线y=k（x+2）与y=f（x）的图象有两个交点，∴1＜k≤．故答案为（1，]．【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．三、解答题17．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△ADC中，利用余弦定理即可求得丨CD丨，则S=×丨AC丨×丨CD丨，即可求得△ACD的面积；（Ⅱ）由正弦定理即可求得丨AB丨，sin∠BAC=sin（B+C）利用两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系即可求得sin∠BAC．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由V B﹣AEC=V E﹣ABC，且=，能求出点E到平面ABCD的距离．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查等体积法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．19．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）若从这7天随机抽取两天，利用对立事件，求至少有1天参加抽奖人数超过10的概率；（Ⅱ）求出回归系数，即可得出结论．【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．20.【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）离心率e==，则a=c，又b2=a2﹣c2=c2，将（1，﹣）代入椭圆方程：，解得c=1，即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AM的方程是x=my+1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AM|，求出点O（0，0）到直线AM的距离，可得△OAM的面积，利用基本不等式，即可求△OAM的面积的最大值．△AMN面积的最大值是△OAM的面积的最大值的2倍．【点评】代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系，直线与圆锥曲线位置关系问题常常需要联立方程组，利用韦达定理．属于中档题．21．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f（1）与f′（1）的值，代入直线方程的点斜式可得切线方程；（Ⅱ）要证f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx﹣e x+1﹣sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是证xlnx＜e x+sinx﹣1在（0，+∞）上恒成立，然后分0＜x≤1与x＞1证明，当0＜x≤1时成立，当x＞1时，令g（x）=e x+sinx﹣1﹣xlnx，然后两次求导即可证明f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．【点评】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，利用两次求导判断函数的单调性是解答该题的关键，是压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（Ⅱ）两极坐标方程联立，求出交点直角坐标，即可求直线l与曲线C交点的极坐标．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4，即可求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）知p2+2q2+r2=4，再由基本不等式即可得证．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
河南省2017届高三质量检测文科数学试题含答案
河南省高三质量检测考试数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(4)0},{|}A x Z x x B x x a =∈+-<=≤，若A B B = ，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数3(2)(2)z i a i =++在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知向量(,2),(2,1)a m b ==-，且a b ⊥ ，则2()a b a a b -⋅+等于（ ）A ．53-B ．1C ．2D ．545. 4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13C ．23D ．23- 6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．97. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．8. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．14310. 函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-，则θ等于（ ）A ．6π B ．4π C ．23π D ．712π11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25 C 12. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,AC DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为 ．14. 已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．15在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=，则222sin sin sin A BC+= ． 16.若函数()2(1)()xf x x ax a e a N =-++∈在区间(1,3)只有1个极值点，则曲线()f x 在点(0,(0))f 处切线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某校100名学生其中考试语文成绩的频率分布直方图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90.100.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥=，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （2）若PBC ∆的面积是梯形ABCD 面积为43，求点到平面PBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点. （1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a a R =-∈与函数2()F x x x=+有公切线. （1）求a 的取值范围；（2）若不等式()2xf x e a +>-对于0x >的一切恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBC 6-10: BAABD 11、C 12：C二、填空题13.71014. 5 15. 2 16. 6y x =+ 三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==， 所以134,16b b ==，则12n n b +=. （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+， 所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++ 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意得2100.01100.03100.02101a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.005a =，（2）由0.05550.4650.3750.2850.059573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由频率分布表可知：数学成绩在[)50,90的人数为：145(0.050.40.30.2)10090234+⨯+⨯+⨯⨯=， 于是，数学成绩在[)50,90之外的人数为：1009010-=. 19. 证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A = ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC . （2）因为PA ⊥底面ABCD ，且AB AC =，所以PB PC =， 取BC 的中点为G ，连接AG ，则,1AG BC AG CD ⊥==，设PA x =，连接PG ，则PG =因为侧面PBC 的面积是底ABCD 面的13倍，所以1412(12)232PG ⨯⋅=⨯⨯+，即2PG =，求得x = 因为//AD BC ，所以E 到平面PBC 的距离即是A 到平面PBC 的距离， 因为,2A PBC P APC ABC APC V V S S --∆∆==，所以E 到平面PBC 的距离为12PA =.20. 解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以20,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=. 12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=- ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =，当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =. 21.解：（1）()()212,1f x F x x x''==-，因为函数()f x 与()F x 有公共切线，所以函数()f x 与()F x 的图象相切或无交点， 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为00(0)x x >，则0020012()()1f x F x x x ''===-， 解得02x =或01x =-（舍去）， 则()()22f F =，得ln 23a =-，数形结合，得ln 23a ≥-，即a 的取值范围为[ln 23,)-+∞. （2）等价于ln 20x x a e ax ++--≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 令()ln 2g x x x a e ax =++--，因为()ln 1g x x a '=+-，令()0g x '=，得ae x e=，所以()g x 的最小值为()(1)22a a a ae e e e g a a e a a e e e e e =-++--=+--， 令()2x e t x x e e =+--，因为()1xe t x e'=-，令()0t x '=，得1x =，且所以当(0,1)a ∈时，()g x 的最小值()()1(2)1020e e t a t e e e-->=--=>， 当[1,)a ∈+∞时，()g x 的最小值为()()202ae t a ae t e=--≥=， 所以[]1,2a ∈，综上得a 的取值范围是(0,2].22.（1）由cos()4πρθ+=-(cos sin )2ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4，因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷(含答案)
a2 2
1 1 2；
当 n≥2 时， 2 Sn a n 1 2 n 2 ， 2 Sn 1 an 2( n 1) 2 两式对减可得 an 1 3a n 2 ；
经检验，当 n 1时也满足 an 1 3a n 2 ；
故 (an 1 1) 3( an 1) ，故数列 { an 1} 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，故 a n 1 3 n ，
AF2 ，并延长与椭圆 C 的另一
（ 2 ） 设 f ( x) F ( x) 1在 (1, ) 内 的 实 根 为 x0 ， m( x)
xf ( x),1＜x≤ x0
x , x＞ x0
F ( x)
， 若 在 区 间 (1,
) 上存在
m( x1 ) m( x2 ) ( x1＜ x2 ) ，证明： x1 x2 ＞ x0 ． 2
440
140
8 800 （元）
7
所以估计该分店为此次抽奖活动应准备
8 800 元奖品．
19．（1）因为 AF AB，平面 ABCD 平面 ABEF，所以 AF 平面 ABCD ，所以 AF AD．因为四边
形 ABCD 为正方形， 所以 AB AD，所以 AD 、 AB 、 AF 两两垂直，以 A 为原点， AD 、 AB 、 AF 分
河南省 2017 届普通高中高三 4 月教学质量监测理科数学试卷
答案
一、选择题
1~5． BACCA
6~10 ． DDAAD
11~12． BC
二、填空题
13． 3sin( πx π) 36
1 14．
3
15． y
6 ( x 2) 6
1 16． [ , ]
2
三、解答题
17．（ 1）因为 Sn