循环小数
循环小数
混循环小数？ 判断： 无限小数比有限小数大。
0.54848与0.54848…有什么区别？
（
）
帮循环小数、有限小数、无限小数找到家。
小
无 限 小 数
数
有 限 小 数
循环小数
属于无限小数
2.循环小数的表示方法。
写循环小数的时候，为了简便，小数的循
环部分只写出第一个循环节，并在这个循 环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。
一个循环小数的小数部分，依次重复出 现的数字，叫做循环小数的循环节。 依次不断重复出现的数字是？
3.4666 …… （
6
）
0.24382438 …… （ 2438 ） 8.4747 …… 0.44222 …… （ 47 （ ） ）
2
判断下列各数，哪些是循环小数？并说明理由。 0.125 0.471471… 7.333… 23.232323
4.890 7.275
..
5 7
4.9 7.3
4.89 7.28
4.891 7.275
. .
0.00707…
0.101101…
把上面的循环小数用简便方法表示： 7.333… 1 0.101101… =0.101
2.比一比：
0.33 ＜ 0.3
.
..
4.3535„＝ 4.35 1.45 ＞ 1.45
6.9797 „ ＞ 6.979
.
..
3.选一选
（1）循环小数（ A ）无限小数，无限 小数（ C ）循环小数。 A、是 B、不是 C、不一定是 （2）3.223223 … 的循环节是（ B ）。 A、233 B、223 C、322
… 64.2454545 7.87 0.666 …
循环小数的分类
循环小数的分类
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几
个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，
得到无限小数。
从小数点后某一位已经开始依次不断地重复发生前一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数，如 2....*（搭循环小数），35....（循环小数），20.…（循环小数）等，其中依次循环不断重复发生的数字叫做循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两
位上方各添一个小点。
循环小数可以利用等比数列议和公式的方法化成分数，所以循环小数均属有理数。
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
将搭循环小数重写成分数，分子就是不循环部分与第一个循环节连成的数字共同组成
的数，乘以不循环部分数字共同组成的.数之差；分母的头几位数字就是9，末几位数字就是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不能循环部分的数位相同。
什么叫循环小数
什么叫循环小数什么叫循环小数\r\r在数学中，循环小数是一种有限小数或无限小数中的一种特殊形式。
循环小数可以被表示为一个整数部分和一个叫做循环节的无限重复的数字串。
循环小数常常和无理数联系在一起，它们的无限数字序列不具有循环结构。
循环小数可以通过将一个分数用十进制形式表示来得到。
分数是一个有理数，可以表示为两个整数之间的比值。
例如，1/3 =0.3333333333...，0表示整数部分，33表示循环节的数字序列。
为了更好地理解循环小数，我们可以通过一些例子来进行说明。
考虑一个分数4/7。
我们可以使用长除法来将这个分数转化为十进制的循环小数。
我们将4除以7，得到的商是0，余数是4。
将余数乘以10，再除以7，得到的商是5，余数是5。
再将余数乘以10，再除以7，得到的商是7，余数是1。
以此类推，可以得到一个无限的数字序列：0.57142857142857...。
在这个例子中，循环节是142857，这个数字序列无限重复。
在数学中，循环小数可以用括号来表示循环节。
对于上述例子，我们可以用括号来表示循环节：0.571(428571)。
可以通过将循环小数转化为分数来得到原始有理数。
以前面的例子为例，我们可以将0.57142857142857...转化为分数。
假设这个循环小数为x，我们可以得到以下方程：7x = 5.7142857142857...接下来，我们通过变换来消除循环节。
我们将10倍的循环小数减去原始的循环小数：10x - x = 5.7142857142857... - 0.57142857142857...得到9x = 5.142857142857...然后，我们可以将9x除以9，得到：x = 5.142857142857... / 9通过计算，我们可以得到结果：x = 4/7可以看出，得到的结果与原始的分数4/7相同。
这表明，循环小数可以表示有理数，并且有理数可以转化为一个有限或无限的循环小数。
循环小数的计算
循环小数的计算循环小数是一类特殊的无理数，它们的小数部分会循环地重复出现。
在计算循环小数时，我们需要关注到循环节的长度和开始位置。
下面将具体讨论循环小数的计算方法。
一个循环小数可以用有限个正整数表示，其中有限个正整数称为不循环部分，整个循环节称为循环部分。
我们以一个例子来说明循环小数的计算方法。
假设我们要计算 1/3 的循环小数表示。
首先，我们可以将 1/3转化为十进制小数：1 ÷ 3 = 0.3333...。
我们发现小数部分 0.3333... 是一个无限循环的小数，循环节是3。
循环节的长度是 1，即只有一个数字在重复。
开始位置是第一位小数。
下面我们将具体介绍循环小数的计算方法。
1. 设定除法初始状态：将被除数放在除号的上方，除数放在除号的下方。
2. 开始计算商的整数部分：用被除数的整数部分除以除数，并将商的整数部分写在商的下方。
3. 计算商的小数部分：将被除数的小数部分（若有）乘以10，并将结果放在除法算式的右边。
将结果的整数部分作为商的下一位小数，并将结果的小数部分再次乘以10。
4. 检查是否出现循环节：如果商的小数部分与之前的某一次计算的结果相同，则说明出现了循环节，此时计算可以终止。
循环节的长度即为计算过程中出现重复的次数。
5. 循环节开始位置的确定：在商的小数部分中，从循环节的第一个数字开始，直到循环节重复出现前的最后一个数字，称为不循环部分。
循环节的剩余部分即为循环部分。
通过上述计算方法，我们可以得到循环小数的表示。
对于循环小数的计算，可以利用手算、计算器或者编程语言进行处理。
在实际应用中，循环小数的计算对于无理数近似值的表示以及数学问题的解决都有重要的意义。
循环小数的性质也是数论中的热门研究方向之一。
总之，循环小数的计算方法主要包括将除法转化为十进制小数、计算商的整数部分和小数部分、检查是否出现循环节以及确定循环节的开始位置。
对于循环小数的计算，我们可以运用手算、计算器或编程语言等方法来求解。
循环小数的计算范文
循环小数的计算范文循环小数的计算是数学中的一个重要概念，它是指除法计算中出现的一种特殊情况。
循环小数的特点是小数部分中存在一段重复的数字，这个数字序列会一直循环下去。
在本文中，我们将介绍循环小数的计算方法以及相应的例题。
一、循环小数的定义循环小数是指一个无限不循环小数的一种特殊情况，其小数部分中存在一段重复的数字序列。
它可以用有限小数和循环节表示，循环节是重复出现的数字序列。
二、循环小数的计算方法1.除数与被除数的形式：循环小数的计算是通过除法来完成的。
我们先写出除数和被除数的形式。
例如，要计算4除以3的循环小数，我们可以写成4÷32.商与余数的计算：开始计算时，我们先将除数除以被除数，得到一个商和一个余数。
商是整数部分，余数是小数部分的最高位数。
例如，4除以3等于1余1，所以商为1，余数为13.余数的进位：我们将余数乘以10，并再次除以被除数，得到新的商和余数。
这个过程可以一直执行下去，直到遇到循环节为止。
例如，余数1乘以10再除以3等于3余1，商为3，余数为14.循环节的确定：在得到新的商和余数后，我们将新的余数与之前的余数进行比较。
如果两个余数相等，说明出现了循环节，我们就可以确定出循环小数的循环节。
例如，在上一步的计算中，新的余数与之前的余数相等，说明循环小数的循环节为15.循环小数的表示：最后，我们把商和循环节放在一起，就可以表示循环小数。
例如，4除以3的循环小数表示为1.1三、循环小数的例题1.计算0.15的循环小数。
解析：我们可以将0.15写成15÷100，然后开始除法计算。
15除以100等于0.15，所以0.15是个有限小数，没有循环节。
2.计算1除以7的循环小数。
解析：我们可以将1写成1÷7，然后开始除法计算。
1除以7等于0余1，所以商为0，余数为1接下来，我们将余数1乘以10再除以7，得到新的商和余数。
10除以7等于1余3，所以新的商为1，新的余数为3四、总结循环小数的计算是通过除法来完成的，我们可以将除数与被除数写成分数的形式，并使用商和余数的计算方法得出循环小数。
循环小数表示方法
循环小数表示方法
循环小数，顾名思义就是一种无限循环的小数。
它的表示方法有多种，我们可
以通过不同的方式来将循环小数表示出来。
接下来，我们将介绍几种常见的表示方法。
首先，我们可以使用带括号的表示方法来表示循环小数。
比如，当我们遇到
0.3333...这样的循环小数时，可以用0.(3)来表示。
这种表示方法简洁明了，一目了然，非常容易理解。
其次，我们还可以使用带横线的表示方法来表示循环小数。
当我们遇到
0.1666...这样的循环小数时，可以用0.16-来表示。
这种表示方法在一些场合下也很
实用，尤其是在纸质文档中，带横线的表示方法更加清晰美观。
除了以上两种表示方法，我们还可以使用分数来表示循环小数。
这种表示方法
可以将循环小数转化为分数形式，更加直观清晰。
比如，0.4545...可以表示为
45/99。
这种表示方法在数学运算中也很方便，可以直接进行分数运算，避免了循
环小数带来的繁琐计算。
另外，我们还可以使用无限不循环小数的表示方法来表示循环小数。
当我们遇
到0.121212...这样的循环小数时，可以用0.12(无限)来表示。
这种表示方法将循环
部分和非循环部分分开，更加清晰明了。
总的来说，循环小数有多种表示方法，每种方法都有其独特的优势和适用场合。
我们可以根据实际情况选择合适的表示方法来表示循环小数，使其更加直观清晰。
希望本文介绍的表示方法能够帮助大家更好地理解和运用循环小数。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数分类
循环小数分类
循环小数如何分类？
答：循环小数分类如下：
循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
1、纯循环小数
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999
2、混循环小数
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。
循环小数点
循环小数点
摘要：
一、循环小数的概念与特点
二、循环小数的分类
三、循环小数在数学中的应用
四、循环小数的计算与处理方法
五、循环小数在实际生活中的应用
六、如何判断一个数是否为循环小数
七、总结
正文：
循环小数是数学中一种特殊的小数，它具有以下特点：小数部分有一段数字不断重复出现。
例如，1/3=0.33333...，其中3不断重复。
循环小数可分为两类：纯循环小数和混循环小数。
纯循环小数是指小数部分仅包含一个数字或几个数字的不断重复，如0.33333...。
而混循环小数是指小数部分既有数字的重复，又有其他数字的介入，如0.123123123...。
在数学中，循环小数有着广泛的应用。
例如，在分数的计算中，通过将分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以将分数化为有限小数或循环小数。
此外，循环小数还出现在三角函数、指数函数、对数函数等数学运算中。
要计算和处理循环小数，我们可以采用以下方法：
1.利用长除法将循环小数转化为分数。
2.对循环小数进行四则运算时，需注意循环节的处理。
3.使用循环小数的近似值进行计算，如莱布尼兹级数、自然对数等。
循环小数不仅在数学领域具有重要作用，还在实际生活中绽放光彩。
例如，在金融、物理、工程等领域，循环小数可以帮助我们更精确地表示和计算某些物理量。
如何判断一个数是否为循环小数呢？我们可以通过以下方法：
1.观察小数部分是否存在数字的重复。
2.利用循环小数的定义，判断小数部分是否为有限小数或无限循环小数。
总之，循环小数作为一种特殊的小数，既有理论价值，又有实际应用。
循环小数的简单表示方法
循环小数的简单表示方法循环小数的简单表示方法一、简介循环小数是一种不定小数，也称作无限循环小数，它是一种复杂的数学概念，它在数学实践中，一般用简记方式来表示。
二、简记法简记法是用一个符号来代表复杂的数字，帮助人们快速记忆。
简记法常用来表示循环小数，它由三部分组成：比特率，循环节以及权数。
1.比特率：比特率是指循环小数的位数，它的取值范围一般为2到16。
2.循环节：循环节是指位数形成的圈，表征循环小数的最小单位。
其中从右边开始的第一个不同的数字为该循环节的第一位，第二个不同的数字为第二位，以此类推。
3.权数：权数即对应其小数部分权值，由2位16进制数字表示，其范围为00-FF。
简记法中的三部分组成，比特率、循环节以及权数都可以根据实际情况自行确定，但循环节和权数要搭配使用，所确定的比特率不能超过循环节，权数不能大于比特率。
三、示例考虑一个循环小数，它的比特率为3，循环节为其小数部分的第一位即多少位数以及最后一位的十六进制标识，权数为第一位和最后一位之间数字的十六进制标识，即可表示为：3-n-m。
四、表示法如果以循环小数的格式进行表示，则可以用一个词语表示，表示法由比特率、小数部分和权数组成，其形式为：m比特率置n，权m，如3比特率置3，权6，表示小数0.123456循环。
五、转换法例如，一个循环小数a=0.125，比特率=4，可以先转换成十进制，即a=0.125=1/8=0.0001，然后按照四比特率进行编码，即 0000 1000 0000 0000，将其转换成二进制约分，可以转换成 0000 1000 0000 0000=0.1000=8/16，即a=0.125=8/16，再把8换算成十六进制表示，可以得出，a=4-8-8，表示4比特率置8，权8表示循环小数0.125。
六、结论循环小数是一种常见的不定小数，简记法、表示法以及转换法都能够帮助人们快速记忆循环小数，并能够根据实际需要调整比特率以及权数，以此来更有效的表示循环小数。
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循环小数（一）一、教学内容：人教版五年级数学上册《循环小数》二、教学目标:1、知识与技能：使学生理解循环小数、有限小数、无限小数的意义.掌握循环小数的两种表示方法.2、过程与方法：经历循环小数的认识过程,体验探究发现的学习3、情感态度与价值观：让学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，初步渗透集合思想。
教学重点：理解循环小数的意义。
教学难点：循环小数的表示方法。
三、学情分析：五年级的学生思维活跃，上课时能够专心听讲，能够主动的发言，善于提问。
学生在生活中已感受过循环、重复的现象经历过将事物进行分类、整理的活动，具备了初步的比较、分类、归纳、概括等能力，为今天的学习打下了良好的基础。
教学流程：一、活动引入,体验”循环”1、学生列队踏步，踏步口令有什么特点？（板书：121121… 无限有限）２.找规律，猜图形。
（板书：依次不断的重复出现）3、师：依次不断的重复出现，用一个词来说明？也就是“循环”出现。
你在生活中遇到过这种循环现象了吗？（举例说说）二、新知探究不断重复的现象生活中还有很多,在计算中我们也会遇到初步认识循环小数课件出示例题:王鹏赛跑图男生400米谁跑得最快？成绩如何？王鹏平均每秒跑了多少米？（1）学生描述场景信息，根据信息，你能列出什么算式呢？400÷75（2）学生独立计算，指名板演。
引导学生思考并回答：让学生通过实际计算，发现这道题无论除到小数点后面多少位，都除不尽。
通过竖式计算，你发现了什么问题？（除不尽）②这道题商的小数部分和余数有什么规律和特点?（商的小数部分不断的重复出现3，而余数重复不断的出现25）③如果我们不断地除下去，它的商是多少？比如第5位是多少？第20位商是多少？第100位商是多少？（不管是哪一位，只要余数重复出现25，商就会重复出现3。
）这样的除法算出的商应该表示为：400÷75＝5.333……问题：省略号表示什么？让学生说出“…”表示的含义。
不写行吗？2、出示例9：先计算，再说一说这些商的特点。
28÷18＝78.6÷11＝(1)先让学生独立列竖式计算。
①(2)观察这道题，有什么相同点?(这两题的相同点是总也除不尽。
)这两道题的不同点是什么?(前一道题商中是一个数字“5”不断重复出现，而后一道题，商中二个数字”6 3”在依次不断重复出现。
)3、教学循环小数的意义。
(1)谁能用自己的话说一说什么叫“循环小数”？(2)请大家写出几个循环小数。
(3)根据循环小数意义判断下面的数哪些是循环小数。
1.5222…… 0.19292925.314123……8.41616……讨论；为什么0.1929292和5.3141523……不是循环小数？你认为判断一个数是不是循环小数要注意那些问题？4、自主学习，学会记法。
师：循环小数除了这种一般记法之外，还有一种简便记法。
下面请同学们自学书中28页下面的《你知道吗》。
把你认为有关的重要内容圈画出来，时间3分钟。
(1)什么是循环小数？你觉得重点词语有哪些？(2)什么是循环节？(3)怎样简便写出循环小数？(4)怎样读循环小数？学生反馈交流，根据学生回答，教师划出重点词并板书简写。
5教学有限小数和无限小数。
(1)计算下面两题：15÷16 1.5÷7(2)讨论：这两题的商小数部分的位数有什么不同?(15÷16能除尽，商的小数部分的位数是有限的。
1.5÷7除不尽，商的小数部分的位数是无限的。
)想一想：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况?(3)教师：两个数相除，如果不能得到整数商，会有两种情况。
一种情况：除到小数部分的某一位时，不再有余数，商里小数部分的位数是有限，也就是被除数能够被除数除尽。
另一种情况：除到小数部分后，余数不断地重复出现，商也不断地重复出现，商里小数部分的位数是无限出现的。
小数部分的位数是有限的小数，叫有限小数，教师举15÷16=小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
教师举1．5÷7 =循环小数是无限小数，学生举例，强调无限小数不一定都是循环小数。
(4) 练习：计算下面各题，说一说哪些题的商是有限小数，哪些题的商是无限小数。
10÷9 1.332÷74 23÷3.3三、巩固练习1、下列说法对吗?（1）一个数中有一个数字或几个数字重复出现，这样的数叫循环小数。
（）（2）8.3232是循环小数。
（）（3）循环小数是无限小数，无限小数也是循环小数。
（）（4）0.54848……保留两位小数是0.54。
（）2、下面的循环小数，请用简便记法写出来。
3.28585…… () 0.02929…… ()13.06969…… () 23.2323…… ()3、练习书法,小明把“我们在阳光学校健康成长”这句话依次反复写,第100个字应写什么字?四、从质疑问难中，畅谈收获通过这节课的学习，你有什么收获？或什么疑问？循环小数有趣又奇妙,更多奥秘等着我们去探索去发现.4、效果检测学生在学习掌握循环小数的概念之后，能独立判断出循环小数，也能弄清有限小数和无限小数的区别。
但对循环小数的两种表示方法还有些模糊。
板书设计：循环小数有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
依次不断重复出现的数字叫做循环节。
写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末尾上面各记一个小圆点。
循环小数（二）人教版数学五年级上册《循环小数》教学设计大师网，全免费！点击进入备课中心，备课学习更方便！循环小数教学内容：教材第27～28页，练习五第1～5题。
教学目标：1．使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用简便记法表示循环小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。
2．让学生经历猜想、验证的探究过程，培养学生的探究精神和意识。
3．学生能在学习过程中获得成功体验，培养学生积极的数学情感。
教学准备：多媒体课件，视频展示台。
教学过程：一、创设情景，引入课题师：我们这节课来探索一些有趣的规律。
先听老师讲一个故事，看你能从这个故事中发现什么规律？（教师讲故事：从前有座山，山上有个洞，洞里住着老猴子和小猴子。
一天，老猴子对小猴子说：从前有座山，山上有个洞，洞里住着老猴子和小猴子。
一天，老猴子对小猴子说：从前有座山，山上有个洞，洞里住着老猴子和小猴子。
一天，老猴子对小猴子说：从前有座山，……）生：这个故事总是在重复同一个内容。
师：不错！大家已经发现这个故事的一个特点了。
板书：不断重复师：谁能根据这个特点接着老师的故事继续往下讲？让几个学生继续讲这个重复的故事。
师：照这样讲下去，你发现这个故事还有一个什么特点？引导学生讨论后回答：像这样重复下去，这个故事永远也讲不完。
随学生的回答板书：讲不完。
师：这种不断重复的现象不但故事中有，在有的计算中我们也会遇到。
我们来看这样一个问题。
多媒体课件出示第27页王鹏赛跑的情景图。
引导学生观察图意后，列出算式400÷75。
师：请同学们用竖式计算这个算式，看计算过程中你能发现什么？学生计算，在计算过程中引导学生发现400÷75这个算式的两个特点：①余数重复出现“25”；②商的小数部分连续地重复出现“3”。
师：像这样继续除下去。
能除完吗？生：可能永远也除不完。
师：怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点，就是这节课我们要研究的问题，也是我们要认识的新朋友——循环小数。
板书课题：循环小数二、认识循环小数1.初步认识循环小数。
请一位学生把400÷75的竖式计算放到视频展示台上。
师：刚才我们发现了这个算式的三个特点，下面我们探讨一个问题，为什么商的小数部分总是重复出现“3”，它和每次出现的余数有什么关系？引导学生发现：当余数重复出现时，商就要重复出现；商是随余数重复出现才重复出现的。
师：猜想一下，如果继续除下去，商会是多少？它的第4位商是多少？第5位呢？学生思考后回答：如果继续除下去，无论是哪一位，只要余数重复出现25，它的商也就重复出现3。
师：是这样的吗？我们可以接着往下除来看看。
学生验证略。
师：那么我们怎样表示400÷75的商呢？引导学生说出：可以用省略号来表示永远除不尽的商。
教师随学生的回答板书：400÷75＝5.333…师：我们所说的重复也叫做循环，像5.333…这样小数部分有一个数字依次不断地重复出现的小数，就是循环小数。
2.进一步认识循环小数。
师：下面我们来继续研究循环小数，请同学们用竖式计算78 6÷11。
学生先独立计算，然后在小组内讨论，教师在视频展示台上出示写有讨论问题的卡片，如：①这个算式能不能除尽？②它的商会不会循环？③如果循环它是怎样循环的？（学生计算、讨论、交流，大约控制在4分钟，然后组织全班汇报，学生的意见可能出现以下两种）生1：我们小组认为这个算式不能除尽，但它的商不会循环。
师：为什么？生1：因为它不像例1那样连续出现数字“3”。
生2：我们小组认为这里的商不能除尽，而且会循环。
师：说说你们这样猜测的原因？生2：因为我发现有数字“4”和“5”的重复。
师：大家觉得他们的猜测正确吗？请你们（指生1）这组的同学继续除下去，看商的小数部分会不会重复出现4、5。
学生计算后证实会重复出现4、5。
师：比较5.333…和7.14545…，你觉得这两个循环小数有什么不同？生：前一个循环小数是一个数字循环，后一个循环小数是两个数字循环。
师：请同学们用循环小数的方式标出这个算式的商。
指导学生写出78.6÷11=7.14545…师：你觉得这样的算式除到哪一位就可以不除了呢？指导学生说出，只要余数重复了，就可以不除了。
师：为什么？引导学生说出：因为像这样的算式余数循环，商也会跟着循环。
师（指着5.333…，7.14545…）：对了！像5.333…，7.14545…这样的小数都是循环小数。
你能像这样写出几个循环小数吗？学生写后，组织全班交流。
教师：观察这些循环小数，说说它们有什么共同之处？引导学生观察、讨论后，指导学生说出：都是从小数部分的某一位起，都有一个数字或几个数字依次不断地重复出现。
三、学习用简便记法表示循环小数，认识有限小数和无限小数师：能把这些循环小数中循环的数字用你喜欢的方式标出来吗？学生自主活动，并让几名学生在黑板上的循环小数上进行标示。
如：5.3333…7.14545…教师边指边介绍：这些在小数部分依次不断地重复的一个或几个数字，可以用这样的方式把它写出来。
如 5.3333…可以写作，7.14545…可以写作。
这就是用循环节表示循环小数，如果同学们对循环节有兴趣，可以看一看教材第28页的阅读材料。