8-1简谐运动1
大学物理简谐运动
t
t2
t1
x
A
a
b
Ab
A2
t
x
o
A
v
π
A
t π 3 T 1 T
0
A 2
Aa
A
3
2π 6
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调 上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
物理学教程 （第二版）
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
图
x A
x x Acos(t ) π
A
4
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二 旋5 转– 1矢简谐量运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
x t 用旋转矢量图画简谐运动的
3 简5谐– 运1 简动谐的运动能简量谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 （第二版）
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅 1.0102 m 作简谐运
动，其最大加速度为 4.0m s2，求：
（1）振动的周期；
解:
amax A 2
amax 20s1
A
T 2π 0.314s
（2）通过平衡位置的动能；
Ep 1.0103J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
2.振动和波考试重点和习题答案
第八章 振动和波下面重点要考试内容：1.掌握简谐振动的基本概念、简谐振动的余弦表达式2.掌握旋转矢量表示法、振幅、相位概念、掌握振动能量的公式3.掌握同方向同频率谐振动的合成4.掌握平面简谐波的表达式及其意义、掌握波的能流密度和波的干涉5.理解机械波的产生和传播、惠更斯原理、波的衰减;；理解拍、相互垂直谐振动的合成8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波阵面、波的强度。
答: ①简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。
②振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
③频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。
④基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。
⑤频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱线，这种图称为频谱图。
⑥波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。
其中简谐振动在介质中传播所形成的波叫简谐波。
⑦横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫做横波。
⑧纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。
⑨波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。
⑩波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。
8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:①平衡位置，向正方向运动;②平衡位置，向负方向运动;③正方向的端点;④负方向的端点。
解: 设该质点的振动方程为:)cos(ϕω+=t A x将它对时间t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度v 和加速度a 的表达式:)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-==t A t A dt dx v)cos()cos(2222πϕωωϕωω++=+-==t A t A dtxd a 由此可以看出，速度的相位超前位移2π，加速度与位移的相位相反。
物理学第3版习题解答_第8章光的波动性
. B
解： （1） 以 A 为原点
x1
B
. A
x
A
图 8-35 习题 8-5 用图
-1
本题需补充一平面简谐波以速度 u = 20 m ⋅ s 沿直线传播
t x y = A cos[ 2 π( − ) + ϕ ] λ = uT = 10 m ，根据 T λ ， 有
y = A cos[2π(
t x π − )− ] 0.5 10 2
x1 = 0.04 cos(2t + π 6) x 2 = 0.03 cos(2t − π 6)
试写出合振动的表达式。
解 合振动的振幅为
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
⎛ π π⎞ = 0.04 2 + 0.03 2 + 2 × 0.03 × 0.04 × cos⎜ − − ⎟ ⎝ 6 6⎠ = 0.06m
第八章习题解答
8-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t = 0 时，位移为 0.06m，且 向 x 轴正方向运动。求：(1)初相；(2) t = 0.5s 时，物体的位置；(3)在 x = -0.06m 处， 且向 x 轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。 解：
−1
8-8 波长为 589.3nm 的钠光照在一双缝上，在距双缝 200cm 的观察屏幕上测量 10 个条纹的 宽度为 2.2cm，试计算双缝之间的距离。
解：根据 ∆x =
D λ 有 d = 0.536 mm d
8-9 在杨氏干涉实验中，若双缝间距为 0.40mm，在距双缝 100cm 的光屏上出现干涉条纹。 现测得相邻两条明纹中心的间距为 1.5mm，求入射光的波长。
8-5简谐运动的合成
(1)相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
(2)相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第八章 机械振5 动
8-5 简谐运动的合成
思考
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
arctan11rad
第八章 机械振8 动
O A1
O
A2
A
T t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
第八章 机械振3 动
8-5 简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
第八章 机械振2 动
8-5 简谐运动的合成
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) (1)相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
8-5 简谐运动的合成
两个同方向同频率简 当 t 0时
谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
2 1
O x20
A1
x10
A x Acos(t )
两个同方向、同频率 简谐运动的合振动仍是简 谐运动，其频率与分振动
（A）3π / 2
第一章 第1节 简谐运动
AC 无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是(
)
A.振幅不变
B.振幅减小
C.最大动能不变
D.最大动能减小
考点：简谐运动的能量的理解
例4 (多选)如图所示，弹簧振子在C、B间做简谐运动，
O点为其平衡位置，则( CD)
A.振子在由C点运动到O点的过程中，回复力逐渐增大 B.振子在由O点运动到B点的过程中，速度不断增加 C.振子在O点加速度最小，在B点加速度最大 D.振子通过平衡位置O点时，动能最大，势能最小
物理意义：描述振动快慢的物理量
决定因素：周期由系统自身决定与其它因素无关
3、频率（f）：单位时间内完成全振动的次数。
五、简谐运动的能量 A OA
1、简谐运动的能量是指：振动系统的总’机械能， 振动的过程就是动能和势能相互转化的过程，在 简谐运动中，振动系统的总机械能守恒.
2、简谐运动的机械能由振幅决定。
本节知识点小结
例1 (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B
之间做往复运动，下列说法正确的是(AD)
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复 力的作用 C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
二、弹簧振子模型
定义：小球和弹簧所组 成的系统称作弹簧振子， 其中小球称做振子。
A’ O A
理想化的物理模型，它忽略：阻力、弹簧的质量。
思考：弹簧振子的回复力与位移的关系？
两者的方向关系？ 两者的大小关系？
三、简谐运动
1、定义:物体所受的力（回复力）与它偏离平衡位 置的位移大小成正比的振动，叫做简谐运动。
机械振动与噪声学部分答案
《机械振动噪声学》习题集1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。
(a) 振动；(b) 周期振动和周期；(c) 简谐振动。
振幅、频率和相位角。
1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，周期为0.15 s，求最大的速度和加速度。
1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。
1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。
即：A cos ωn t +B cos (ωn t + φ) =C cos (ωn t + φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特例。
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。
其中ε << ω。
如发生拍的现象，求其振幅和拍频。
1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式：(a) 1 + i3(b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2(f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ]2－1 钢结构桌子的周期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。
已知周期的变化∆τ＝0.1 s。
求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。
2－2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。
2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
简谐运动的描述
简谐运动的描述一、简谐运动的概念和特征简谐运动是一种重要的周期性运动，它可以在自然界和人-made系统中观察到。
简谐运动的特征包括：1.周期性：简谐运动是一个重复的过程，物体会在规律的时间间隔内重复相同的运动。
2.能量守恒：简谐运动中物体的总能量保持不变，由动能和势能相互转化，但总能量始终保持恒定。
3.线性回复：简谐运动中，物体的回复力与它的偏离程度成正比，且方向相反，符合胡克定律。
4.最大回复力和最大速度的时刻不一致：简谐运动中，最大回复力与最大速度不会同时发生，它们的时刻相差1/4个周期。
二、简谐运动的数学描述简谐运动可以使用如下的数学描述：一维简谐运动的位移-时间关系：x=Acos(ωt+ϕ)其中， - A为振幅，表示物体偏离平衡位置的最大距离。
- ω为角频率，表示单位时间内的相位变化量。
- t为时间。
- φ为初相位，表示在t=0时刻的位相。
一维简谐运动的速度-时间关系：v=−ωAsin(ωt+ϕ)一维简谐运动的加速度-时间关系：a=−ω2Acos(ωt+ϕ)三、简谐运动的力学模型简谐运动可以通过一维弹簧振子来进行力学建模。
弹簧振子由一个弹簧和一个质量块组成。
当质量块受到外力扰动后，它会围绕平衡位置做简谐振动。
1.弹簧的自由长度为L，当质量块偏离平衡位置时，弹簧受到回复力，使得质量块回到平衡位置。
2.弹簧回复力与质量块的偏离程度成正比，符合胡克定律：F=−kx其中， - F为回复力的大小。
- k为弹簧的劲度系数，描述了弹簧的刚度和回复力的大小。
- x为质量块偏离平衡位置的距离。
四、简谐运动的频率和周期简谐运动的频率和周期和与力学模型中的角频率相关。
频率：简谐运动的频率表示单位时间内完成一个完整周期的次数，用hertz（Hz）作为单位，频率等于角频率除以2π。
周期：简谐运动的周期表示完成一个完整周期所需要的时间，用秒（s）作为单位，周期等于角频率的倒数。
五、简谐运动的实际应用简谐运动是自然界和人-made系统中普遍存在的一种运动形式，其应用十分广泛。
高中物理复习：简谐运动规律
做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。
1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。
2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。
由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。
对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。
8-2简谐运动中的振幅 周期 频率和相位1
T=
2π
注意
弹簧振子周期
m T = 2π k
周期和频率仅与振动系 本身的物理性质有关 统本身的物理性质有关
8 – 2
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第8章 机械振动 章
简谐运动中， 简谐运动中， x和 v 间不存在一一对应的关系. 间不存在一一对应的关系.
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
− v0 tan ϕ = ω x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定. 振幅和初相由初始条件决定
8 – 2
简谐运讨论
已知 t
= 0, x = 0, v < 0 求 ϕ
0 = A cos ϕ
8 – 2
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第8章 机械振动 章
一 二
振幅
A = xmax
周期、 周期、频率
A
x x−t 图
T
o
−A
t
x = A cos(ωt + ϕ ) = A cos[ω (t + T ) + ϕ ] = A cos[ωt + ϕ + 2π ]
周期
T 2
ω 1 ω 频率 ν = = T 2π 2π 圆频率 ω = 2π ν = T
8 – 2
简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第8章 机械振动 章
四
常数 A和
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
ϕ 的确定
初始条件
t = 0 x = x0 v = v0
2.2简谐运动的描述课件-高二上学期物理人教版选择性(1)
一次全振动路程为振幅的
4
倍,即
4A
。
不管以哪里作为开始研究的起点，物体完成一次全振动的时间总
是 相同的
。
新课教学
二、周期和频率
1.周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。用T 表示。
2.频率： 单位时间内完成全振动的次数。用f表示频率。 3.单位： 周期: s 频率：Hz
4.关系：
5.物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周 期越小，频率越大，表示振动越快。
新课教学
新课教学
探究小球振动的周期与振幅的关系
如图是竖直悬挂的弹簧振子，向下拉开一段距离A 使其做简谐运动，给你一个秒表，应该如何测量周 期T，验证你的想法？
新课教学
讨论设计实验方案： 选择哪个位置作为计时起点？ 测量一次全振动的时间作为振动的周期，误差大吗？ 如何减小误差？
实验结论：弹簧振子的振动周期与其振幅无关。
4.标量 5.振幅与位移的区别：
①振幅是标量，位移是矢量 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是 不变的。
新课教学
怎样的一个过程算完成了一次 周期性的运动？
M’ P O
M
新课教学
全振动：振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态 （即位移和速度都与初态完全相同）所经历的过程。
【思考】
新课教学
振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
典例精析
小结
振幅（A）
简 谐
描述简谐运动 的物理量
运
周期（T） 频率（f）
动 的
相位、相位差
描
述
简谐运动的表达式 x Asint
新课教学
三、相位
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单位： 单位： (m s kg)
国际单位制 d x 2 a = 2 = − A ω cos( ω t + ϕ ) dt
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
x = A cos(ωt + ϕ )
T= 2π
A −A
Aω
x
x −t图
T
ω
取
ϕ =0
otΒιβλιοθήκη tv = − A ω sin( ω t + ϕ )
v
2
代入. 代入
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
谐振子的运动方程. 微分方程的特解 — 谐振子的运动方程
x = A cos( ω t + ϕ )
积分常数， 积分常数，根据初始条件确定 谐谐振子的速度，加速度方程： 谐谐振子的速度，加速度方程：
dx v= = − A ω sin( ω t + ϕ ) dt
令
x
x
k a=− x m
d x 2 = −ω x 2 dt
2
k ω = m
2
微分方程： 微分方程：
d2x +ω 2x = 0 dt 2
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
d2 x +ω 2x = 0 dt 2
利用积分法求运动方程； 利用积分法求运动方程；
初始条件） 设；当 t = 0 时，x = A, v = 0 . （初始条件） dx d x d2 x dx 2 2 用； 同乘上式两端有 2 ⋅ = −ω 0 x ⋅ 2 2 dt dt dt dt
v−t 图
T
π = Aω cos(ωt + ϕ + ) 2 a = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
2
o
− Aω
Aω 2
a
a − t图
T
= Aω cos(ωt + ϕ + π ) − Aω 2
o
t
代入
简谐运动
dx 2 2 2 2 ∴( ) = ω0 ( A − x ) dt
第8章 机械振动 章
∫
1 dx 2 2 2 ∴( ) = [ω 0 ( A − x )] 2 dt dx = ∫ ω0 d t + φ A2 − x2
x sin ( ) =ω 0t + φ A
−1
x = A sin(ω 0t + φ ) π +ϕ 若用余弦函数表述，令 φ = 若用余弦函数表述， ∴ ∴ x = A cos( ω 0 t + ϕ )
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
弹簧振子的振动: 质点 弹簧无质量，无摩擦） 质点， 弹簧振子的振动:(m质点，弹簧无质量，无摩擦）
l0
k
x=0 F =0
m
−A
o
x
A
受力分析 求出： 求出：振子 运动方程? 运动方程 即：x = x ( t )
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
F
m
o
F = − kx = ma
8 – 1
简谐运动
第8章 机械振动 章
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 振动 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 物体围绕一固定位置往复运动.
其运动形式有直线、平面和空间振动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如:一切发声体、心脏、海浪起伏、 例如:一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶 体中原子的振动等. 体中原子的振动等. 周期和非周期振动 简谐运动 最简单、最基本的振动. 最简单、最基本的振动. 合成 简谐运动 复杂振动 分解 理想模型) 谐振子:作简谐运动的物体系统. (理想模型 谐振子:作简谐运动的物体系统. 理想模型
d dx 2 2 d x ∴ ( ) = −ω 0 dt dt dt
2
dx 2 dx 2 2 2 2 2 ∴ ∫ d( ) = −ω 0 ∫ d x + c ∴ ( ) = −ω 0 x + c dt dt
初始条件） 当 t = 0 时，x = A. （初始条件）
ω 02 A 2 = c
8 – 1