薄板的屈曲

115第六章 薄板的屈曲钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。

因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。

板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。

设板的最小宽度为b ，厚度为t 。

当t /b >1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。

当1/80~1/100<t /b <1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。

当板极薄，t /b <1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。

平分板的厚度且与板的两个面平行的平面称为中面。

本章只介绍等厚度薄板中面内受力的板的弹性失稳。

与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点： ⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩x M 、y M 和扭矩xy M 以及板的挠度w 都与此点的坐标（x ，y ）有关。

⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。

可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。

⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。

对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。

如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。

⑷按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。

6.1 小挠度理论板的弹性曲面微分方程等厚度薄板的坐标系如图6.1(a)所示，板厚1／2平面，即xy 平面为板的中面。

从板中任取一微元体dxdydz ，在每一个面上作用的正应力和剪应力见图6.1（b ）。

图6.1 薄板的坐标系及微元体上的应力1166.1.1 采用小挠度理论的三个假定（1）垂直于中面方向的正应变z ε极微小，可以忽略。

取0=z ε，由0=∂∂=zz ωε得 ()y x ,ωω=上式说明板的任何一点的挠度ω只与坐标x 和y 有关，即在中面的任何一根法线上，薄板全厚度内的所有各点具有相同的挠度。

（2）应力分量z σ、zx τ和zy τ远小于x σ、y σ和xy τ，因此可以忽略不计它们产生的正应变z ε、剪应变zx γ和zy γ。

因为不计zx τ、zy τ引起的剪应变，则0=∂∂+∂∂=z ux zx ωγ 0=∂∂+∂∂=zv y zyωγ 从而得xz u ∂∂-=∂∂ω，y z v ∂∂-=∂∂ω 因为不计z σ引起的正应变，则由物理方程有()y x x E μσσε-=1()x y y Eμσσε-=1()xy xy Eτμγ+=12 由上式可见，薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同，即薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应力问题。

（3）薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变，即00=∂∂==xuz xε，00=∂∂==yvz y ε，00=∂∂+∂∂==yu x v z xy γ 说明中面的任意一部分虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy 平面上的投影形状保持不变。

6.1.2 弹性曲面微分方程薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，薄板的挠度ω为基本未知函数，根据几何方程，物理方程和力的平衡关系，将其它物理量都用ω表示，就可以建立小挠度理论板的弹性曲面微分方程[22]。

就图6.2所示微面元dxdy ，可以得到22222442244422y N y x N x N y y x x D y xy x ∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂ωωωωωω （6.1） 式中()23112μ-=Et D ——板的抗弯刚度；117图6.2 微面元的中面力分布x N 、y N ——板中面沿x 、y 轴方向单位长度上的应力； xy N ——板中面单位长度上的剪力。

板在各种中面力（x N 、y N 和xy N ）作用下，其失稳为分岔失稳。

板的弹性曲面微分方程属二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想的矩形板可以直接求出其分岔失稳荷载外，对其他受力条件和边界条件的板用平衡法很难直接求解，经常采用能量法或数值法求解。

6.1.3 单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载图6.3所示单向（x 向）均匀受压四边简支板，0==xy y N N ，式（6.1）变为022********=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂x N y y x x D x ωωωω 边界条件当0=x 、a x =时，0=ω，022=∂∂x ω当0=y 、b y =时，0=ω，022=∂∂yω符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示∑∑∞=∞==11sin sinm n mn byn a x m A ππω （6.2）118图6.3 均匀受压简支板式中m 、n 分别为板失稳时在x 和y 方向的半波数，N m ∈，N n ∈，而mn A 为待定常数。

将式（6.2）代入式（6.1）得到∑∑∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++11222444224224440sin sin 2m n x mn b y n a x m a m D N b n b a n m am A ππππππ （6.3） 满足式（6.3）无穷项之和恒为零的唯一条件是每一项系数中括弧内的式子为零，即板的失稳条件为0222244422422444=⨯-++am D N b n b a n m a m x ππππ （6.4） 或22222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=b n a m m D a N x π （6.5） 由于临界荷载应是板保持微弯状态的最小荷载，因而取1=n ，则2222222,1⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=b a m m D a N cr x π 22bDkπ= （6.6）式中k 为屈曲系数，且2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m m k ββ （6.7）其中b a =β由0=dm dk ，即0122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+m m m ββββ解出β=m ，代入式（6.7）得4min =k ，k 与β之间关系见图6.4，由式（6.6）可得最小临界荷载22,4min bDN cr x π= （6.8）当b a m =是整数，代入式（6.6）才可得到式（6.8）；如果b a 不是整数，则计算屈曲荷载的m 应取与比值b a 接近且使cr x N ,较小的整数。

根据式（6.6）可求板的屈曲应力119()()222,,112t b Ek tN cr x cr x πμσ-==（6.9） 图6.4 板件屈曲系数（四边简支板）由式（6.9）可知，均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比()t b 的平方成反比，而与板的长度无关。

这与轴心受压构件的屈曲应力是不同的，它与构件长细比λ的平方成反比，当构件截面尺寸一定时，它与构件长度的平方成反比。

6.2 能量法计算板的弹性失稳荷载板在微弯状态时的总势能Π是板的应变能U 和外力势能V 之和，即Π = U + V式中()⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⨯∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=a b y x y x y x y x D U 0022222222222d d 122ωωωμωω （6.10） ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⨯∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=a b xy y x y x y x N y N x N V 002d d 221ωωωω （6.11）6.2.1 瑞利—里兹法瑞利—里兹法求解板的失稳荷载时要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。

假定挠曲面函数为()∑∑∞=∞==11,m n mn y x A ϕω （6.12）将式（6.12）代入板总势能Π的计算公式，积分后利用势能驻值原理，建立线性代数方程组120⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∏∂=∂∏∂=∂∏∂0001211mnA A A （6.13） 方程组（6.13）有非零解的条件是系数行列式为零，则得到板的屈曲方程，可求出板的屈曲荷载。

【例题6.1】 用瑞利—里兹法求解图6.5所示单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。

板的两个加 载边和一个非加载边简支，另一非加载边自由。

[解]：图6.5 均匀受压三边简支一边自由板因为0==xyy p p ，则由式（6.10）、式（6.11）可得板的总势能表达式()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂⨯∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∏a b x a b y x x p y x y x y x y x D 0020022222222222d d 21d d 122ωωωωμωω ⑴假定板的挠曲面函数axm Ay πωsin= ⑵ 可验证符合几何边界条件：当0=x 、a 时，0=ω当0=y 时，0=ω ⑶当b y =时，0≠ω将式（2）代入式（1），积分后得()322222222222212162ab a m A p ab a b m a m A D x ⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∏πμππ ⑷ 由势能驻值原理0d d =∏A，得121()01322222222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a b m p a b m a b Dm A x πμππ ⑸ 因为0≠A ，所以()2232216b Da b m p x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=μπ ⑹ 令1=m ,可得x p 的最小值22,bDkp cr x π= ⑺式中屈曲系数()222216πμπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=a b k ，若3.0=μ代入，则22425.0a b k += ⑻当b a >>时425.0=k通过计算可知，在x 和y 方向该板都是以一个半波发生凸曲。

6.2.2 迦辽金法已知板的平衡偏微分方程为()0=ωL (6.14)若符合板的几何和自然边界条件的挠曲面函数为()∑==ni ii y x A 1,ϕω (6.15)则可建立迦辽金方程组()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰0d d ,0d d ,0d d ,00002001a b n a b a b y x y x L y x y x L y x y x L ϕωϕωϕω (6.16)方程组（6.16）积分后，可以得到对1A ,2A ……n A 的线性方程组，为保证i A 有非零解，系数行列式必为零，则得到板的屈曲方程，由此解出屈曲荷载。