2020年上海市中考数学模拟试卷(含答案)
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市中考数学一模试卷附答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020年上海市中考数学模拟试题(含答案)
如20年上海市中考数学模拟试题.选择题（满分24分，每小题4分）1.分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A .两个直角三角形B.有一个角为110。
的两个等腰三角形C.有一个角为55。
的两个等腰三角形D.两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形2.已知Rt^ABC中，/ C = 90° , AC = 4, BC=6,那么下列各式中，正确的是（）2 2 2 2A - sinA=-rB - cosAf C. tanA=T； D. tanB = *r-o o G 33.已知点A (1,m),B (2, m - n) (n>0)在同一个函数的图象上，则这个函数可能是 ()A.y=xB.y=——C.y=x2D. y = - x24.如图，已知在？ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列向量计算结果等于蓝的是（）4_______________ D+AC B- AE- AC C. AC +DC D- BC - CC A」.AE5.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边高的交点D.三边垂直平分线的交点6. △ ABC中，以AB边上的高为直径作一个圆，则与这个圆相切的直线是（）A. ABB. ACC. BCD.不确定.填空题（满分48分，每小题4分）12 .抛物线y=2 （x-3）」（x- 1）的顶点坐标是13 .在直角坐标平面中，将抛物线y=2 （x+1） 2先向上平移1个单位，再向右平移 位，那么平移后的抛物线表达式是 不等号连接）于x 的函数解析式为线上的点E 处，那么tan/BAE =7.如果= ™,那么二的值等于 x-y 2 y8. 如果两个相似三角形的对应边的比是 4： 5,那么这两个三角形的面积比是9. 小明在同一时刻测量位于同一地点的旗杆和建筑物在太阳光下的影长，测得旗杆的影长 为3m,建筑物的影长为 30m,已知旗杆的高为 4m,则这个建筑物高为10. 如图，在^ ABC 中，点 D 、E 分别在△ ABC 的两边 AB 、AC 上，且 DE // BC,如果AE=5, EC = 3, DE = 4,那么线段 BC 的长是 1个单14.若点A （ - 2, a ）、B （费，b ）均在二次函数 y= - J+2x+m 的图象上，那么ab.（用15.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面 AB 的坡度为 301*16.已知一个正多边形的中心角为30度, 边长为x 厘米（x>0）,周长为y 厘米，那么y 关17 .已知等腰4 ABC 内接于半径为 5cm 的」。
上海市2020年中考数学模拟试卷(含答案解析)
2020年上海市中考数学模拟试卷含答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1.下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA 【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3. 如图，在△ABC中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED∥BC； B. 当时，能判断ED∥BC； C. 当时，不能判断ED∥BC； D. 当时，能判断ED∥BC；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6 厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD 就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB==．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
2020年最新上海市中考数学模拟试题(含答案)
2020年最新上海市中考数学模拟试题含答案（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1． 本试卷含三个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．5的相反数是（▲） (A) 2；(B)﹣5； (C)5； (D)51． 2．方程01232=+-x x 实数根的个数是（▲）(A)0； (B)1； (C)2； (D)3．3．下列函数中，满足y 的值随x 的值增大而增大的是（▲） (A)x y 2-=； (B)3-=x y ； (C)xy 1=； (D)2x y =． 4．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中,考121分的人数最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得116分。
这说明本次考试分数的中位数是（▲） (A)21； (B)103； (C)116； (D)121． 5．下列命题为真命题的是（▲）(A)有两边及一角对应相等的两三角形全等；(B) 两个相似三角形的面积比等于其相似比； (C) 同旁内角相等； (D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．6．如图1，△ABC 中，点D 、F 在边AB 上，点E 在边AC 上， 如果DE ∥BC ，EF ∥CD ，那么一定有（▲）(A) AE AD DE ⋅=2； (B)AB AF AD ⋅=2； (C)AD AF AE ⋅=2； (D)AC AE AD ⋅=2．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算：=÷-3165 ▲ ． 8．计算：2)2(b a -= ▲ ． 9．计算：321x x ⋅= ▲ ． 10．方程0=+x x 的解是 ▲ ．11．如果正比例函数x k y )1(-=的图像经过原点和第一、第三象限，那么k ▲ ． 12．二次函数x x y 22-=图像的对称轴是直线 ▲ ．13． 一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式3-x 中的字母x ，使该二次根式有意义的概率是 ▲ .14．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有___▲ 名学生“骑共享单车上学”．15．已知在△ABC 中，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，如果a AB =，b AC =，那么向量MN = ▲ （结果用a 、b 表示）．16．如图2，在□ABCD 中，,5,3==BC AB 以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BC BA 、于 点Q P 、，再分别以Q P 、为圆心，以大于PQ 21ABCDE F 图1图2的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，则DE 的长为_________.17．已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为 ▲ （备用数据：tan31cot590.6,sin37cos530.6︒=︒≈︒=︒≈）． 18．如图3，E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且 AE=AF ，联接EF ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转45°，使E 落在E 1，F 落在F 1，联接BE 1并延长交DF 1于点G ，如果 AB=22，AE=1，则DG= ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简，再求值：22482++-x x ，其中5=x ．20．（本题满分10分）解方程组：21．(本题满分10分)如图4，在△ABC 中，∠B ＝45°，点D 为△ABC 的边AC 上一点，且AD ：CD=1:2．过D作DE ⊥AB 于E ，C 作CF ⊥AB 于F ，联接BD ，如果AB =7，BC=24、求线段CF 和BE 的长度．F BCADE图3CA BFDE22．(本题满分10分，每小题满分各5分)如图5，由正比例函数x y -=沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数b x y +-= 的图像与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图像交于A （1，n ）和B 两点． （1）求一次函数b x y +-=和反比例函数的解析式；（2）求△AB O 的面积．23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图6，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ， （1）求证：CF ＝2AF ； （2）求tan ∠CFD 的值．24. （本题满分12分，每小题满分各4分) 如图7，已知直线221-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△AB M 和△ABC 相似，求点M 的坐标；F DACEB图4图6图5（3）连接AC ，求顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上的矩形DEFC 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．25. （本题满分14分，每小题满分分别为5分、5分、4分)如图8，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB=10，30=∠A °，半径为1的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5）以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 与AB 、BC 的另一个交点分别为E 、D ，连结ED 、EQ ． （1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值； （2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x ，⊙P 被AC 截得的弦长为y ，求y 关于x 的函数； 并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长； （3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图8图7ED B CAQ P答 案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、B ； 2、A ； 3、B ； 4、C ； 5、D ； 6、B ； 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、25-； 8、2244b ab a +-； 9、2x ； 10、0=x ； 11、1>k ； 12、1=x ； 13、32； 14、25； 15、a b 2121-； 16、2； 17、37； 18、554.三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解： 原式=4)2(24822--+-x x x …………………………3分 =4422-+x x ……………………………………………3分 =22-x……………………………………………2分 当5=x 时，原式=452252+=-…………2分说明：分式的通分、加法、约分、二次根式分母有理化等每一步各2---3分，代入（或约分或分母有利化方法不限）得出答案可以分别为1分． 20．解：0)4)(4(16222=--+-=-+-y x y x y xy x)3)(3(922y x y x y x -+=-=0， ………………………2分则原方程可化为：……………………4分解这些方程组得：……………………4分说明：知道通过因式分解降次2-分，上下两两组合和解得答案各4-分，每一个答案可以分别为1分． 21.解：∵CF ⊥AB ，∠B ＝45°，BC= 24，∴在RT △BCF 中 ，CF=42224sin =⋅=⋅B BC ，……………2分∴ BF=BC B cos ⋅=42224=⋅………………………2分 ∵AB=7，∴AF = AB 3=-BF ………………………1分 ∵DE ⊥ AB ，∴DE ∥CF ， ………………………1分 ∴AE ：EF=AD ：CD=1：2， ………………………2分 ∴EF=2， ∴BE=6 ………………………2分22.解：（1）题意易得一次函数b x y +-=的解析式为：4+-=x y ，………1分∵点),1(n A 在直线4+-=x y 上，∴3=n ，∴点)3,1(A …………1分将)3,1(A 代入反比例函数xky =， ……………………1分 得3=k ，反比例函数的解析式为：xy 3=. ………………………2分(2) 由题意易得方程组解得： )3,1(A 、)1,3(B ……………………2分∴设一次函数4+-=x y 和y 轴的交点为N ，与x 轴交于点M ，. 易知：M （4,0），点N （0，4）， NA ：AB ：BM=1：2：1 ……………2分 ∴S 4442142=⋅⋅⋅==∆∆NOM ABO S …………………………1分 23.解：(1) ∵ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，AD =BC ， ∠D=90°, ………………2分 ∴△AEF ∽△CBF ， ……………………………1分∵E 是AD 边的中点， ∴AF ：CF=AE ：BC=1：2……………………………2分 ∴CF ＝2AF ； ……………………………1分 (2) 过D 作DH ⊥AC 于H ，∵BE ⊥A C ，∴DH ∥BE ……………………………2分 ∴AF ：FH=AE ：ED=1：1 ∴AF=FH=HC设AF=a ，则AH=2a CH=a …………………………………1分 ∵∠DAH=∠CDH=90°-∠ADH易知：Rt △ADH ∽Rt △DCH ，∴ BF=a 2 ……………………………2分 ∴tan ∠CFD=t 2 …………………………………1分 24.解：(1) 由题意：直线221-=x y 与x 轴交于点B （4,0），……………………1分 与y 轴交于点C 点C （0，-2）， …………………………1分将点B （4,0）代入抛物线2212-+=bx x y 易得23-=b ……………………1分∴所求抛物线解析式为：223212--=x x y …………………………1分(2) ∵222AB BC AC =+, ∴△ABC 为直角三角形，∠BCA=90°…………1分∵点M 是上述抛物线上一点∴不可能有MB 与AB 或者MA 与AB 垂直…1分 当△ABM 和△ABC 相似时，一定有∠AMB=90° △BAM ≌△ABC ……1分 此时点M 的坐标为：M （3，-2） (3)∵△ABC 为直角三角形， ∠BCA=90°当矩形DEFG 只有顶点D 在AB 上时，显然点F 与点 C 重合时面积最大，如图1， 设CG ＝x ，∵DG ∥BC ，∴△AGD ∽△ACB. ∴AG ：AC ＝DG ∶BC ，即5255DG x =-∴DG ＝2(5－x)∴S 矩形DEFG ＝－2(x －52)2＋52 即x ＝25时矩形DEFG 的面积有最大值25， 当矩形DEFG 有两个顶点D 、E 在AB 上时，如图2，CO 交GF 于点H ，设DG ＝x ，则OH ＝x ，CH ＝2－x ，∵GF ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ， ∴GF ∶AB ＝CH ∶CO ，即GF ∶5＝(2－x)∶2，解得GF ＝52(2－x)．∴S 矩形DEFG ＝x·52(2－x)＝－52(x －1)2＋52，即当x ＝1时矩形DEFG 的面积同样有最大值25，综上所述，无论矩形DEFG 有两个顶点或只有一个顶点在AB 上，其最大面积相同…2分 当矩形一个顶点在AB 上时， GD ＝2(5－x)＝5，AG ＝52， ∴AD ＝52， OD ＝AD －OA ＝32， ∴D(32，0)． ………………………1分当矩形DEFG 有两个顶点D 、E 在AB 上时，∵DG ＝1， ∴DE ＝25， ∵DG ∥OC ，∴△ADG ∽△AOC ，∴AD ∶AO ＝DG ∶OC ，解得AD ＝12，∴OD ＝12， OE ＝52－12＝2， ∴D(－12，0)，E(2，0)．………………………1分综上所述，满足题意的矩形在AB 边上的顶点的坐标为D(32，0)或D(－12，0)、E(2，0) ．25. 解：（1）连接PD ，∵B 、E 、D 都在⊙P 上∴PB=PD ，∠PBD=∠PDB ， PD=PE ，∠PDE=∠PED …………………1分 ∵△BDE 的内角和为180° ∴∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°， ∴即：DE ⊥BC …………1分 ∵∠BCA=90°，30=∠A °∴DE ∥CA ，∴△BDE ∽△BCA ， …………1分∴21==BA BC BE BD 设CQ=CD=t ，BD=5-t ，BE=2t …………1分代入有2125=-t t 解得：25=t …………1分∴当25=t 时Q 与D 重合，（2）设⊙P 和AC 相交于 M 、N ，BP=CQ=x ，AP=AB-BP=10-x 过点P 作PH ⊥AC 于点 H …1分在Rt △APH 中，易知：AP PH 21=PH=)10(21x - …………1分在Rt △PHN 中，易知：HN=22PH PN -=100203212-+x x …………1分 10020322-+==x x MH MN …………1分MH NB C APQED B CAQ PEBCAPQ当⊙Q 经过B 点时，（如图） CQ=CB ﹣QB=4， 将414==t 代入得：72=MN …………1分 （3）当Q ⊙P 与⊙Q 外切时，如图，易知此时∠QBP=60°，BQ=5-t ，PQ=t+1，BP=t49717-=t ， …………2分∵从此时起直至停止运动，⊙P 与⊙Q 都处于相交位置∴⊙P 与⊙Q 相交时t 的取值范围为： 549717≤-t …………2分。
【2020年】上海市中考数学模拟试题(含答案)
2020年上海市中考数学模拟试题含答案（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1． 212-等于（A ）2； （B ）2-； （C ）22； （D ）22-. 2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（A ）22y x ； （B ）22y x +； （C ）2)(y x +； （D ）2xy ． 3．关于x 的一元二次方程012=--mx x 的根的情况是（A ）有两个不相等的实数根； （B ）有两个相等的实数根； （C ）没有实数根； （D ）不能确定．4．一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下表：那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是（A ）9和8； （B ）9和8.5 ； （C ）3和2； （D ）3和1． 5．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（A ）正五边形； （B ）正六边形； （C ）等腰梯形； （D ）平行四边形．做对题目数 6 7 8 9 10 人数112316．已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD //BC ，下列判断中错误．．的是 （A ）如果AB =CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形； （B ）如果AB //CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形； （C ）如果AD =BC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形； （D ）如果OA =OC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．计算：=--0122 ▲ ．8．在实数范围内分解因式：=-622x ▲ ．9．不等式组⎩⎨⎧->->-5,032x x 的解集是 ▲ ．10．函数32--=x x y 的定义域是 ▲ ． 11．如果函数xm y 13-=的图像在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大，那么m 的取值范围是 ▲ ． 12．如果实数x 满足02)1()1(2=-+-+x x x x ，那么xx 1+的值是 ▲ ． 13．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽 测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小 组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克 的学生人数约为 ▲ 人．14．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同， 从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是 ▲ ． 15．如图，在△ABC 中，点D 是边AC 的中点，如果b BC a AB ==,， 那么= ▲ （用向量表示）． 16．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上， △AEF 是等边三角形，如果AB =1，那么CE 的长是 ▲ ． ABCD F（第16题图）（第15题图）AD（第13题图）组距频率 体重（千克）40 45 50 55 60 65 7017. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B =70°，点D 在边AB 上， △ABC 绕点D 旋转后点B 与点C 重合，点C 落在点C ’， 那么∠ACC ’的度数是 ▲ ．18．如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线 AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（本题满分10分） 化简：（632-++x x x －42-x x ）21+÷x ，并求321-=x 时的值． 20．（本题满分10分）解方程：.1521=-++x x 21．（本题满分10分，每小题满分5分）已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，∠ABC =∠BCD =90°，BD 与AC 相交于点E ，AB =9，53cos =∠BAC ，125tan =∠DBC .求：（1）边CD 的长； （2）△BCE 的面积．22．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒．（1）问小盒每个可装这一物品多少克？（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n 个，所有盒子所装物品的总量为w 克．①求w 关于n 的函数解析式，并写出定义域；②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量．23.（本题满分12分，第小题满分6分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BA 的延长线上，BE =AF ，C F //AE ，EC（第21题图）CF 与边AD 相交于点G ．求证：（1）FD =CG ； （2）FC FG CG ⋅=2.24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知二次函数c bx x y ++-=221的图像与x 轴的正半轴相交于点A （2，0）和点B 、 与y 轴相交于点C ，它的顶点为M 、对称轴与x 轴相交于点N ． （1） 用b 的代数式表示顶点M 的坐标； （2） 当tan∠MAN =2时，求此二次函数的解析式 及∠ACB 的正切值．25．（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）如图，已知⊙O 的半径OA 的长为2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C ，AC 的延长线与⊙O 相交于点D ．设线段AB 的长为x , 线段OC 的长为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．（第25题图）ABDOC（第24题图）AOx2y2数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．A ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．21-； 8．)3)(3(2+-x x ； 9．523<<x ；10．3≠x ； 11．31<m ； 12．2；13．1500； 14．103； 15．a b 2121-；16．13-； 17．50°； 18．23或29．三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分） 19．解：原式=21])2)(2()2)(3(3[+÷-+--++x x x x x x x ……………………………………（3分） =)2(])2)(2()2)(2(2[+⋅-+--++x x x xx x x ……………………………………（2分） =22-x ．…………………………………………………………………………（2分） 当32321+=-=x 时，…………………………………………………………（1分） 原式=32=332．……………………………………………………………………（2分）20．解：1152+-=-x x ，………………………………………………………………（1分）112152+++-=-x x x ，…………………………………………………………（2分）x x -=+712．………………………………………………………………………（1分）2144944x x x +-=+，………………………………………………………………（2分）045182=+-x x ，……………………………………………………………………（1分）15,321==x x ，………………………………………………………………………（1分）经检验：15,321==x x 都是增根，………（1分）所以原方程无解．…………（1分）21．解：（1）在Rt △ABC 中，53cos ==∠AC AB BAC ．………………………………………（1分）∴1535==AB AC ，………………………………………………………………（1分）∴BC =129152222=-=-AB AC ．…………………………………………（1分）在Rt △BCD 中，125tan ==∠BC CD DBC ，………………………………………（1分）∴CD =5．…………………………………………………………………………（1分）（2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，…………………………………………………（1分）∵∠ABC =∠BCD =90°，∴∠ABC +∠BCD =180°，∴CD //AB ． ∴95==AB DC AE CE ．………………………………………………………………（1分）∵∠EHC =∠ABC =90°，∴EH//AB ，∴145==CA CE AB EH ．…………………（1分） ∴14459145145=⨯==AB EH ．…………………………………………………（1分）∴71351445122121=⨯⨯=⋅=∆EH BC S EBC ．……………………………………（1分）22．解：（1）设小盒每个可装这一物品x 克，…………………………………………………（1分）∴120120120=+-x x ，…………………………………………………………………（2分）02400202=-+x x ，……………………………………………………………（1分）60,4021-==x x ，………………………………………………………………（1分）它们都是原方程的解，但60-=x 不合题意．∴小盒每个可装这一物品40克．（1分）（2）①n n n w 203000)50(6040-=-+=，（n n ,500<<为整数）…………（2分）②)50(6040n n -=，30=n ，2400=w .…………………………………（2分）∴所有盒子所装物品的总量为2400克．23．证明：（1）∵在菱形ABCD 中，AD //BC ，∴∠FAD =∠B ，……………………………（1分）又∵AF=BE ，AD =BA ，∴△ADF ≌△BAE ．……………………………………（2分）∴FD ＝EA ，…………………………………………………………………………（1分）∵CF //AE ，AG //CE ,∴EA =CG ．…………………………………………………（1分） ∴FD=CG ．…………………………………………………………………………（1分）（2）∵在菱形ABCD 中，CD //AB ，∴∠DCF =∠BFC ．……………………………（1分） ∵CF //AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ．……………………………（1分）∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE ＝∠FDA ，∴∠DCF ＝∠FDA ．…………………（1分） 又∵∠DFG ＝∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ．……………………………………（1分） ∴FDFGFC FD =，FC FG FD ⋅=2．…………………………………………………（1分）∵FD=CG ，FC FG CG ⋅=2．……………………………………………………（1分）24．解：（1）∵二次函数c bx x y ++-=221的图像经过点A （2，0），∴c b ++⨯-=24210，………………………………………………………………（1分）∴b c 22-=，…………………………………………………………………………（1分）∴244)(212221212222+-+--=-++-=++-=b b b x b bx x c bx x y ，………（2分）∴顶点M 的坐标为（b ，2442+-b b ）．……………………………………………（1分）（2）∵tan∠MAN ==ANMN2，∴MN =2AN ．………………………………………………（1分）∵M （b ，2442+-b b ），∴ N （b ，0），22)2(21244-=+-=b b b MN ．……（1分）①当点B 在点N 左侧时， AN =b -2，∴)2(2)2(212b b -=-，2-=b ．不符合题意．…………………………………………………………………………（1分）②当点B 在点N 右侧时， AN =2-b ， ∴)2(2)2(212-=-b b ，6=b ．…………（1分）∴二次函数的解析式为106212-+-=x x y ．………………………………………（1分）∴点C （0，–10），∵点A 、B 关于直线MN 对称，∴点B （10，0）．∵OB =OC =10，∴BC =102，∠OBC ＝45°．………………………………………（1分）过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H ，∵AB ＝8，∴AH =BH =42，∴CH ＝62．∴322624tan ===∠CH AH ACB ．……………………………………………………（1分）25．解：（1）在⊙O 与⊙A 中，∵OA=OB ，AB=AC ，∴∠ACB ＝∠ABC =∠OAB ．……（2分）∴△ABC ∽△OAB ．…………………………………………………………………（1分）∴OAABAB BC =，∴2x x BC =，………………………………………………………（1分）∴221x BC =，∵OC=OB –BC ，∴y 关于x 的函数解析式2212x y -=，……（1分）定义域为20<<x ．………………………………………………………………（1分）（2）①当OD //A B 时，∴OD AB CO BC =，∴22122122x x x=-，……………………………（1分）∴2212x x -=，∴0422=-+x x ，……………………………………………（1分）∴51±-=x （负值舍去）．……………………………………………………（1分）∴AB =15-，这时AB ≠OD ，符合题意. ∴OC =15)15(21221222-=--=-x ．………………………………………（1分）②当BD //OA 时，设∠ODA =α，∵BD //OA ，OA =OD ，∴∠BDA =∠OAD =∠ODA =α， 又∵OB =OD ，∴∠BOA ＝∠OBD =∠ODB ＝α2.…………………………………（1分） ∵AB =AC ，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠ABC =∠ACB =∠COA +∠CAO ＝α3．………（1分） ∵∠AOB +∠OAB ＋∠OBA =180°，∴︒=++180332ααα，∴︒=5.22α，∠BOA ＝45°．………………………………………………………（1分）∴∠ODB =∠OBD =45°，∠BOD =90°，∴BD =22. ∵BD //OA ，∴OABDCO BC =． ∴2222=-y y ，∴222-=y ．222-=OC ．………………………………（1分）由于BD ≠OA ，222-=OC 符合题意.∴当四边形ABDO 是梯形时，线段OC 的长为15-或222-．或：过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ， BH =OH =2，AH =2–2， ∴248)2()22(22222-=+-=+=BH AH AB . ∴222)224(221221222-=--=-=-=AB x OC .…………………………（1分）。
2020年上海市中考数学全真模拟试卷解析版
2020年上海市中考数学全真模拟试卷考试时间：100分钟满分：150分班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（）A．4B．16C．±4D．±162．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，那么sin B的值是（）A．B．C．D．3．（3分）已知非零向量、，且有＝﹣2，下列说法中，不正确的是（）A．||＝2||B．∥C．与方向相反D．+2＝04．（3分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5 5．（3分）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝．11．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）．12．（4分）如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为．13．（4分）等腰三角形的两边是4和6，则底角的正弦值为．14．（4分）如图，正方形ABCD的对角线BD所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F＝45°，ED＝2，设BD＝x，BF＝y，则y关于x的函数关系式是．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16．（4分）如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．18．（4分）已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为．三．解答题（共7小题，共78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．如图，▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点F是CD的中点，BF和AC相交于点E．（1）求的值；（2）如果，，请用、表示AE．21．如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为a，其中tan a＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．（1）求点H到桥左端点P的距离；（2）若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是边BC的延长线上一点，且OE＝OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：．24．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a＝，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．25．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO＝10S△AMN时，求S的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（）A．4B．16C．±4D．±16【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝2×8＝16，b＝4（负数舍去）．故选：A．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，那么sin B的值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝3．sin B＝＝，故选：A．3．（3分）已知非零向量、，且有＝﹣2，下列说法中，不正确的是（）A．||＝2||B．∥C．与方向相反D．+2＝0【分析】根据非零向量、，有＝﹣2，即可推出||＝2||，∥，与方向相反，+2＝，由此即可判断．【解答】解：∵非零向量、，且有＝﹣2，∴||＝2||，∥，与方向相反，+2＝，故A，B，C正确，D错误，故选：D．4．（3分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故选：A．5．（3分）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．6．（3分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案为﹣3+4．8．（4分）在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为．【分析】首先证明DE∥BC，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图，∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，∴＝＝2，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故答案为．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是6．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵DF＝15，∴，解得：DE＝6，故答案为：610．（4分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝3﹣3．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．【解答】解：由于C为线段AB＝6的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝a＝＝3﹣3．故答案为：3﹣3．11．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是y＝2x2（答案不唯一）（只需写一个）．【分析】抛物线的顶点在y轴上，可得出b＝0，从而得出抛物线的解析式（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，∴b＝0，∴抛物线的解析式为y＝2x2，故答案为y＝2x2（答案不唯一）．12．（4分）如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为2．【分析】连接BC，构造直角三角形，利用网格和勾股定理求出AB、BC，利用正切的意义求出tan∠BAC的值即可．【解答】解：连接BC，则AB⊥BC，在Rt△ABC中，AB＝＝，BC＝＝2，∴tan∠BAC＝＝＝2，故答案为：2．13．（4分）等腰三角形的两边是4和6，则底角的正弦值为或．【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，然后分别从若AB＝AC＝4，BC＝6，与若AB ＝AC＝6，BC＝4，去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，①若AB＝AC＝4，BC＝6，则BD＝BC＝3，∴AD＝＝，∴sin∠B＝；②若AB＝AC＝6，BC＝4，则BD＝BC＝2，∴AD＝＝4，∴sin∠B＝＝．∴底角的正弦值为：或．故答案为：或．14．（4分）如图，正方形ABCD的对角线BD所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F＝45°，ED＝2，设BD＝x，BF＝y，则y关于x的函数关系式是．．【分析】易得用x表示的BC与CD，进而证明△BCF∽△DEC，利用对应边成比例可得y与x之间的关系式．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∴CD＝BD×sin45°＝x，∠FBC＝∠EDC＝135°，∴BC＝CD＝x，∵∠E+∠F＝45°，∠F+∠BCF＝45°，∴∠E＝∠BCF，∴△BCF∽△DEC，∴＝，＝，∴y＝x2；故答案为y＝x2．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是9.6厘米．【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴＝，∴＝，解得：BE＝9.6．故答案为：9.6．16．（4分）如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：BC＝BC：DC；最后由等腰三角形的性质BC＝CD＝DA，求出即可．【解答】解：假设AB＝AC＝1．则在△ACB和△BCD中，∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC＝BC：DC；而BC＝BD＝DA（等腰三角形的性质），∴设AD＝x（x＞0）．则CD＝1﹣x．1：x＝x：（1﹣x），解得，x＝．故答案是：．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，∵AG＝5，BF＝6，∴GK＝，BG＝4，∵CE⊥BF，∴∠BGC＝90°，∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，∴EG＝CG＝，∴EC＝3+＝．故答案为．18．（4分）已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为4．【分析】已知两个相似三角形的面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出AB、A′B′的比例关系，AB的长已知，由此得解．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：4，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝2，∴A′B′＝4．故答案为4．三．解答题（共7小题）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．如图，▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点F是CD的中点，BF和AC相交于点E．（1）求的值；（2）如果，，请用、表示AE．【分析】（1）根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例得出，继而根据题意求解即可；（2）根据平面向量的概念及其运算法则求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD…（1分）∵点F是CD的中点，∴…（1分）∵CD∥AB，∴．…（3分）（2）∵，∴，…（1分）∵+＝，∵＝﹣＝﹣，∴＝＝﹣．（2分）21．如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为a，其中tan a＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．（1）求点H到桥左端点P的距离；（2）若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH＝tanα＝，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ＝＝1500米，由PQ＝1255米，可得CP＝245米，再根据AB＝HC＝PH﹣PC计算即可；【解答】解：①在Rt△AHP中，∵AH＝500，由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500，∠BQC＝30°，∴CQ＝＝1500米，∵PQ＝1255米，∴CP＝245米，∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250﹣245＝5米．答：这架无人机的长度AB为5米．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．【分析】（1）由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入，得．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是边BC的延长线上一点，且OE＝OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：．【分析】（1）证明OE＝OB＝OD可得结论．（2）证明∠OBE＝∠EDC，推出sin∠EDC＝sin∠DBE，可得＝即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OB＝OD，∴∠DEB＝90°，∴DE⊥BE．（2）证明：∵CD⊥OE，DE⊥BE，∴∠BEO+∠DEO＝90°，∠DEO+∠EDC＝90°，∴∠OEB＝∠EDC，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠EDC，∴sin∠EDC＝sin∠DBE，∴＝，∴BD＝2OE，∴＝．24．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a＝，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法可求解析式；（2）如图1，过点B作BN⊥CD于N，通过证明△BND∽△CED，可得，由平行线分线段成比例可求＝，可得CE＝2BE，CD＝2DB，设BE＝x，BD＝y，则CE＝2x，CD＝2y，由勾股定理可求y＝x，可求点C，点D坐标，代入解析式可求x的值，即可求抛物线W的解析式；（3）先求出点C1的坐标（2﹣t，2﹣2t），如图2，过点C1作C1H⊥x轴，过点C作CG ⊥x轴，可证C1D1∥CD，可得∠D1C1B＝∠DCB，如图3，过点B作BF⊥CD于点F，由勾股定理和直角三角形的性质可求BF，DF，CF的长，即可求tan∠D1C1B＝tan∠DCB ＝＝．【解答】解：（1）∵抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，∴点A（0，﹣2）设直线AB解析式为y＝kx+b，∴解得∴抛物线解析式为：y＝2x﹣2；（2）如图1，过点B作BN⊥CD于N，∵AC平分∠DCE，BN⊥CD，BE⊥CE，∴BN＝BE，∵∠BND＝∠CED＝90°，∠BDN＝∠CDE，∴△BND∽△CED，∴，∴，∵AO∥CE，∴＝∴CE＝2BE，CD＝2DB，设BE＝x，BD＝y，则CE＝2x，CD＝2y，∵CD2＝DE2+CE2，∴4y2＝（x+y）2+4x2，∴（x+y）（5x﹣3y）＝0，∴y＝x，∴点C（x+1，2x），点D（1﹣x，0）∵点C，点D是抛物线W：y＝ax2﹣2上的点，∴∴x+1＝（1﹣x）2，∴x1＝0（舍去），x2＝，∴0＝a（1﹣）2﹣2，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2；（3）tan∠D1C1B恒为定值，理由如下：由题意可得抛物线W1的解析式为：y＝x2﹣2﹣m，设点D1的坐标为（t，0）（t＜0），∴0＝t2﹣2﹣m，∴2+m＝t2，∴抛物线W1的解析式为：y＝x2﹣t2，∵抛物线W1与射线BC的交点为C1，∴解得：，（不合题意舍去），∴点C1的坐标（2﹣t，2﹣2t），如图2，过点C1作C1H⊥x轴，过点C作CG⊥x轴，∴C1H＝2﹣2t，OH＝2﹣t，∴D1H＝D1O+OH＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，∴C1H＝D1H，且C1H⊥x轴，∴∠C1D1H＝45°，∵y＝x2﹣2与x轴交于点D，∴点D（﹣2，0）∵y＝2x﹣2与y＝x2﹣2交于点C，点A ∴点C（4，6）∴GC＝6，DG＝OD+OG＝2+4＝6，∴DG＝CG，且CG⊥x轴，∴∠GDC＝45°＝∠C1D1H，∴C1D1∥CD，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，如图3，过点B作BF⊥CD于点F，∵∠CDB＝45°，BF⊥CD，BD＝OD+OB＝2+1＝3，∴∠FDB＝∠FBD＝45°，∴DF＝BF，DB＝DF＝3，∴DF＝BF＝∵点D（﹣2，0），点C（4，6），∴CD＝＝6，∴CF＝CD﹣DF＝，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB＝＝，∴tan∠D1C1B恒为定值．25．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO＝10S△AMN时，求S的值．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．理由等腰直角三角形的性质求出OB即可．（2）根据点D的坐标，分两种情形求解．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD．证明△HCE≌△DCF（SAS），推出HE ＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，证明△DMF≌AMN（ASA），推出AN＝FD＝6﹣t，由DM＝AM，推出S△DMF＝S△AMF由△DMF≌△AMN，推出S△DMF＝S△AMN，S△NF A＝2SS△NFO＝10S△AMN推出S△NFO＝5S△NF A，推出5AN＝ON，由OA＝6，推出AN＝1，△AMN由方程解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM＝AM，∴S△DMF＝S△AMF∵△DMF≌△AMN，∴S△DMF＝S△AMN，∴S△NF A＝2S△AMN∵S△NFO＝10S△AMN∴S△NFO＝5S△NF A，∴5AN＝ON，∵OA＝6，∴AN＝1，∴AN＝6﹣t＝1，∴t＝5，∴S＝t﹣2＝5﹣2＝3．。
上海市2020年中考数学模拟试题(四)及答案解析
绝密★启用前2020年上海市中考数学模拟试题（四)学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。
下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．12．如图，在Rt ABC V 中，90︒∠=C ，4CD =，3AD =，CD AB ⊥于D ，设ACD α∠=，则cos α的值为（ ）A ．45B ．34C ．43D ．353．已知抛物线y ＝（x ﹣2）2上任意两点A （x 1，y 1）与B （x 2，y 2），若x 2＞x 1＞2，则y 1和y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 24．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx +b 2﹣4ac 与反比例函数y ＝()()a b c a b c x++-+在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若AB ＝3，菱形ABCD 的面积是（ ）A B ． C D 6．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（ ）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算8sin30︒-2tan 60︒的值是_____．8．如图，已知李明的身高为1.8m ，他在路灯下的影长为2m ，李明距路灯杆底部为3m ，则路灯灯泡距地面的高度为____m ；9．已知△ABC~△DEF ， BC 边上的高与EF 边上的高之比为2：3，则△ABC 与△DEF 的面积的比为_________________.10．已知47x y=，则x yy-＝___________.11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的E处，那么AE为_____．12．如图所示，已知点G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是．13．如图，起重机臂AC长60m，露在水面上的钢缆BC长，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC逆时针转动15︒到'AC的位置，此时露在水面上的钢缆''B C的长度是___________.14．已知，△ABC中，AB＝5，BC＝4，S△ABC＝8，则tanC＝______.15．计算：312()342a b b-+r rr=．16．将抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线241y x x =+-，则a b c ++=_________.17．二次函数y =−x 2+bx +c 的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b 0，c 0．（填不等号）18．判断下列线段是否成比例，若是，请写出比例式． (1)a ＝3 m ，b ＝5 m ，c ＝4.5 cm ，d ＝7.5 cm ； ____________________(2)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝ cm ； ____________________(3)a ＝1.1 cm ，b ＝2.2 cm ，c ＝3.3 cm ，d ＝5.5 cm . ____________________三、解答题（共6小题，满分42分，每题7分）19．如图，公路AB 为东西走向，在点A 北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M ；在点A 北偏东53.5°方向上，距离10百米处是村庄N （参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75，sin23.6°=0.4，cos66.4°=0.4，tan21.8°=0.4）． （1）求M ，N 两村之间的距离；（2）试问村庄N 在村庄M 的什么方向上？（精确到0.1度）20．如图，已知AC 、AD 是O e 的两条割线，AC 与O e 交于B C 、两点，AD 过圆心O 且与O e 交于E D 、两点，OB 平分AOC ∠． （1）求证：ACD ABO ∆∆∽；（2）过点E 的切线交AC 于F ，若,3EF OC OC =∕∕，求EF 的值．[提示：1)1=]21．已知二次函数的图象过（0，-6）、（1，0）和（-2，-6）三点．（1）求二次函数解析式；（2）求二次函数图象的顶点坐标；（3）若点A （m-2n ，-8mn-10）在此二次函数图象上，求m 、n 的值． 22．计算：(12)−2+(π−3.14)0−|√3−2|−2cos30∘．23．如图所示，线段5AB =，4=AD ，90A ∠=︒，DP AB P ，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A ，D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； （2）当ABE ∆与BCE ∆相似时，求线段CD 的长；（3）设CD x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.24．如图1，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a≠0）与x 轴交于另一点A （3，0），在第一象限内与直线y ＝x 交于点B （4，t ）． （1）求这条抛物线的表达式；（2）在直线OB 下方的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积最大，求点C 的坐标；（3）如图2，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，4AC BC cm ==，点D 为AC 边上一点，且AD=3cm ，动点E 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动．作45DEF ∠=o ，与边BC 相交于点F ．()1找出图中的一对相似三角形，并说明理由； ()2当BEF V 为等腰三角形时，求AE 的长；()3求动点E 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动的过程中点F 的运动路线长．绝密★启用前2020年上海市中考数学模拟试题（四)学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。
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2020年上海市中考数学模拟试卷含答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A． = B． = C． = D． =4．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（）A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜105．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果||=||，那么=B．如果||=|﹣|，那么∥C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||6．已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果3x=4y，那么= ．8．已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是．9．已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c= ．10．已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m= ．11．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．12．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是．13．已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是．14．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE= ．15．如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为米．16．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= ．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．20．如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=， =，请用向量、表示和（直接写出结果）21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半径；（2）CE的长．22．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．（1）求背水坡AD的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．23．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．（1）求证：GF=BF．（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心， OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．25．已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB 边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），故选B．2．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴sinA==，故选D．3．如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A． = B． = C． = D． =【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：∵=，∴BC∥ED；故选C．4．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是（）A．2＜O1O2＜4 B．2＜O1O2＜6 C．4＜O1O2＜8 D．4＜O1O2＜10【考点】圆与圆的位置关系．【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R﹣r＜P＜R+r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【解答】解：两圆半径差为4，半径和为8，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，4＜O1O2＜8．故选C．5．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果||=||，那么=B．如果||=|﹣|，那么∥C．如果∥，那么||=|| D．如果=﹣，那么||=||【考点】*平面向量．【分析】根据向量的定义，可得答案．【解答】解：A、如果||=||，与的大小相等，与的方向不一向相同，故A错误；B、如果||=||，与的大小相等，与不一定平行，故B错误；C、如果∥，与的大小不应定相等，故C错误；D、如果=﹣，那么||=||，故D正确；故选：D．6．已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质．【分析】作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD=BC=2，由勾股定理求出AD=4＞5，即d＞r，即可得出结论．【解答】解：如图所示：在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD=CD=BC=2，∴AD===4＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离；故选：A．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果3x=4y，那么= ．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得x：y=4：3，故答案为：．8．已知二次函数y=x2﹣2x+1，那么该二次函数的图象的对称轴是x=1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴是：x=1．故本题答案为：x=1．9．已知抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），那么c= ﹣3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x=0代入即可求得交点坐标为（0，c），再根据已知条件得出c的值．【解答】解：当x=0时，y=c，∵抛物线y=3x2+x+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3），∴c=﹣3，故答案为﹣3．10．已知抛物线y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），那么m= 4 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣2，m）代入抛物线y=﹣x2﹣3x中，列出m的一元一次方程即可．【解答】解：∵y=﹣x2﹣3x经过点（﹣2，m），∴m=﹣×22﹣3×（﹣2）=4，故答案为4．11．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，故答案为：．12．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是y=2（x﹣1）2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律写出（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移1个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，1），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1．故答案为y=2（x﹣1）2+1．13．已知⊙A的半径是2，如果B是⊙A外一点，那么线段AB长度的取值范围是AB＞2 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P在圆外⇔d＞r，可得线段AB长度的取值范围是AB＞2．【解答】解：∵⊙A的半径是2，B是⊙A外一点，∴线段AB长度的取值范围是AB＞2．故答案为：AB＞2．14．如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，GE∥AB交BC与E，若AB=6，那么GE= 2 ．【考点】三角形的重心；平行线分线段成比例．【分析】先根据点G是△ABC的重心，得出DG：DA=1：3，再根据平行线分线段成比例定理，得出=，即=，进而得出GE的长．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴DG：AG=1：2，∴DG：DA=1：3，∵GE∥AB，∴=，即=，∴EG=2，故答案为：2．15．如图，在地面上离旗杆BC底部18米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为30°，已知测角仪AD的高度为1.5米，那么旗杆BC的高度为6+1.5 米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据正切的定义求出CE，计算即可．【解答】解：在Rt△CDE中，tan∠CDE=，∴CE=DE•tan∠CDE=6，∴BC=CE+BE=6+1.5（米），故答案为：6+1.5．16．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别是1和，O1O2=2，那么两圆公共弦AB的长为．【考点】相交两圆的性质．【分析】首先连接O1A，O2A，设AC=x，O1C=y，由勾股定理可得方程组，解方程组即可求得x 与y的值，继而求得答案．【解答】解：连接O1A，O2A，如图所示设AC=x，O1C=y，则AB=2AC=2x，∵O1O2=2，∴O2C=2﹣y，∵AB⊥O1O2，∴AC2+O1C2=O1A2，O2C2+AC2=O2A2，∴，解得：，∴AC=，∴AB=2AC=；故答案为：．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= 2：1 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】由平行线证出△AOD∽△COB，得出S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，由S△AOD：S=1：3，得出S△ABC：S△ABE=2：1，即可得出答案．△ABE【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵DO：BO=1：2，∴S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，∵S△AOD：S△ABE=1：3，∴S△ABC：S△ABE=6：3=2：1，∴BC：BE=2：1．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE 沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B= 或7．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】分两种情况：①如图1，作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10，由中点的定义求出AD和BD 的长，证明四边形HFGB是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长，并由翻折的性质得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性质和勾股定理可以得出结论：A′B=；②如图2，作辅助线，构建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，过D作DG⊥BC与G，交A′E与F，过B作BH⊥A′E与H，∵D为AB的中点，∴BD=AB=AD，∵∠C=90，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BD=AD=5，sin∠ABC=，∴，∴DG=4，由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=A D=5，∴sin∠DA′E=sin∠A=，∴，∴DF=3，∴FG=4﹣3=1，∵A′E⊥AC，BC⊥AC，∴A′E∥BC，∴∠HFG+∠DGB=180°，∵∠DGB=90°，∴∠HFG=90°，∵∠EHB=90°，∴四边形HFGB是矩形，∴BH=FG=1，同理得：A′E=AE=8﹣1=7，∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B==；②如图2，过D作MN∥AC，交BC与于N，过A′作A′F∥AC，交BC的延长线于F，延长A′E 交直线DN于M，∵A′E⊥AC，∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，∴∠M=∠MA′F=90°，∵∠ACB=90°，∴∠F=∠ACB=90°，∴四边形MA′FN是矩形，∴MN=A′F，FN=A′M，由翻折得：A′D=AD=5，Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，∴FN=A′M=4，Rt△BDN中，∵BD=5，∴DN=4，BN=3，∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，BF=BN+FN=3+4=7，Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B==7；综上所述，A′B的长为或7．故答案为：或7．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin30°•tan30°﹣cos60°•cot30°+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=×﹣××+=﹣+2=+2．20．如图，在△ABC中，D是AB中点，联结CD．（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的长．（2）过D点作BC的平行线交AC于点E，设=， =，请用向量、表示和（直接写出结果）【考点】相似三角形的判定与性质；*平面向量．【分析】（1）求出AD=AB=5，证明△ACD∽△ABC，得出，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出AE=EC，由向量的定义容易得出结果．【解答】解：（1）∵D是AB中点，∴AD=AB=5，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=10×5=50，∴AC==5；（2）如图所示：∵DE∥BC，D是AB的中点，∴AD=DB，AE=EC，∵=， =，∴==，∴，∵==，∴．21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半径；（2）CE的长．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从而得出⊙D的半径；（2）过圆心D作DH⊥BC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，∴⊙D的半径为3；（2）过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，∴BH=EH，在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，∵BH=EH，∴BE=2BH=，∴CE=BC﹣BE=5﹣=．22．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AB∥CD，坝顶宽DC为6米，坝高DG为2米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为（8+2）米．（1）求背水坡AD的坡度；（2）为了加固拦水坝，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底HB的宽度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；梯形．【分析】（1）作CP⊥AB于点P，即可知四边形CDGP是矩形，从而得CP=DG=2、CD=GP=6，由BP==2根据AG=AB﹣GP﹣BP可得DG：AG=1：1；（2）根据题意得EF=MN=4、ME=CD=6、∠B=30°，由BF=、HN=、NF=ME，根据HB=HN+NF+BF可得答案．【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥AB于点P，则四边形CDGP是矩形，∴CP=DG=2，CD=GP=6，∴BP===2，∴AG=AB﹣GP﹣BP=8+2﹣6﹣2=2=DG，∴背水坡AD的坡度DG：AG=1：1；（2）由题意知EF=MN=4，ME=CD=6，∠B=30°，则BF===4，HN===4，NF=ME=6，∴HB=HN+NF+BF=4+6+4=10+4，答：加高后坝底HB的宽度为（10+4）米．23．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．（1）求证：GF=BF．（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据已知条件可得到GF∥AD，则有=，由BF∥CD可得到=，又因为AD=CD，可得到GF=FB；（2）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到，等量代换得到，即，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，∵GF∥BE，∴GF∥BC，∴，∵AB∥CD，∴，∵AD=CD，∴GF=BF；（2）延长GF交AM于H，∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴，∴，∵BM=BE，∴GF=FH，∵GF∥AD，∴，∴，∴，∴FO•ED=OD•EF．24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心， OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用待定系数法即可确定出函数解析式；（2）用tan∠OAP=3建立一个b，c的关系，再结合点A得出的等式即可求出b，c进而得出函数关系式；（3）用两圆外切，半径之和等于AC建立方程结合点A代入建立的方程即可得出抛物线解析式．【解答】解：（1）把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，，∴b=﹣1．c=8，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c 得，﹣4+4b+c=0①，∵抛物线的顶点为P，∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，∴P（b，b2+c），∴PH=b2+c，AH=2﹣b，在Rt△PHA中，tan∠OAP=，∴=3②，联立①②得，，∴（不符合题意，舍）或，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8；（3）∵如图2，抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，∴C（0，c）（c＞0），∴OC=c，∵A（2，0），∴OA=2，∴AC=，∵⊙A与⊙C外切，∴AC=c+2=，∴c=0（舍）或c=，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，∴b=，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+．25．已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB 边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．由△BDE∽△CFD，得=，推出FC=，由DM∥AB，得=，推出DM=，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM=，FM=﹣，于DM∥AB，得=，代入化简即可．（3）分三种情形讨论①当AO=AF时，②当FO=FA时，③当OA=OF时，分别计算即可．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EDC=∠B+∠BED，∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，∵∠EDO=∠B，∴∠BED=∠EDC，∵∠B=∠C，∴△BDE∽△CFD．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．∵△BDE∽△CFD，∴=，∵BC=8，BD=3，BE=x，∴=，∴FC=，∵DM∥AB，∴=，即=，∴DM=，∵DM∥AB，∴∠B=∠MDC，∴∠MDC=∠C，∴CM=DM=，FM=﹣，∵DM∥AB，∴=，即=，∴y=（0＜x＜3）．（3）①当AO=AF时，由（2）可知AO=y=，AF=FC﹣AC=﹣5，∴=﹣5，解得x=．∴BE=②当FO=FA时，易知DO=AM=，作DH⊥AB于H（如图2中），BH=BD•cos∠B=3×=，DH=BD•sin∠B=3×=，∴HO==，∴OA=AB﹣BH﹣HO=，由（2）可知y=，即=，解得x=，∴BE=．③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，作EG⊥BC于G，则BG=x，EG=x，∴GD=，∴BG+GD=x+=3，∴x=＞3（舍弃），综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE=或．。