构造中位线的方法

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1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造1(倍长中线法;构造中位线法)

实用标准文案开场:1 •行礼；2•晨读；3•检查作业；4•填写表格5•如图所示,已知在-ABC中，AD是BC边上的中线f F是AD上的一点，连接BE并延长交AC于点F , AE二EF ,求证：AC = BF.6•如图所示.在二ABC中，分别以AB、AC为直角边向夕卜做等腰直角三角形^ABD和SCE , F为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G ,求证：①DE二2AF ;②FG丄DE .7•如图所示，在R2ABC中，ZBAC二90。

，点D为BC的中点，点巳F分别为AB、AC上的点，且EDJLFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？8•四边形ABCD是矩形岸是BC边上的中点，MBE沿看直线AE翻折，点B落在点F处. 直线AF与直线CD交于点G,请探究线段AB、AG、GC之间的关系.2•已知r如图,四边形ABCD中,AC. BD相交于点6 且AC = BD Z E x F分别是AD. BC 的中点，EF分别交AC、BD于点M. N・求证：0M二ON.CA p B3.BD、CE分别是的-ABC外角平分线，过A作AF丄BD , AG丄CE ,垂足分别是F、G ,易证FG=|( AB+BC+AC](1)若BD、CE分别是-ABC的内角平分线，FG与△ ABC三边有怎样的数量关系？画出图形实用标准文案3 •如图川ABC 中，AB 二BC,zABC 二90J 点E、F 分别在AB. AC 上.且AE 二EF,点QCE;(2)0BW0M.M分别为AF、CE的中点.求证：(1)OM詁实用标准文案4•如图r zDBC = zBCE 二90°, M 为DE 的中点.求证:MB 二MC.教学后记学生签名：家长签名:。

北师大版八年级数学下册6.4《三角形的中位线》知识点精讲

、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法

典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法◐名师点金◑三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。

典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N.求证:MN=21(AB+AC-BC)解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=21(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。

方法1：连接两点构造三角形的中位线1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。

(1)求证PM=PN ；(2)求∠MPN 的度数。

方法2：已知角平分线及垂直构造中位线2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。

3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。

方法3：倍长法构造三角形的中位线4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点，求证ME=21CF方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点，求证AE=2MN方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=31AC。

梯形中位线的三种证明方法

梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。

但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。

梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。

也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。

因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。

下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。

它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。

梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。

这个点总是在梯形中位线上。

将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。

通过简单的计算可以证明这一点。

第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。

通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。

当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。

我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。

- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。

- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。

- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。

- 判断中位线向量是否相等。

第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。

我们考虑用两种方法构造相似三角形。

第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。

假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。

我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。

然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。

因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。

此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。

2021年中考复习第07讲—中点五大模型

总结（题目中出现中点时）：①倍长中线（普通的一个中点时）②连出“三线合一”的线（出现底边上的中点时） ③连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） ④构造中位线（出现多个中点时） ⑤构造8字型全等（平行线夹中点）模型一：倍长中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，6,8==AC AB ，求BC 边上的中线AD 的取值范围解答：构造8字型全等，得证71<<AD【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，延长BE 交AC 于F ，EF AF =，求证：BE AC =解答：①方法一：倍长中线【DG AD =构造8字型全等+集散思想】 ②方法二：类倍长中线【DE DG =构造8字型全等+集散思想】可证【例3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若CF BG =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线解答：类倍长中线+集散思想，可证模型二：平行线夹中点模型【例1】如图，在菱形ABCD 中，110=∠A ，F E ,分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则=∠FPC （）A.35 B.45 C.50 D.55解答：构造8字型全等【延长EF 和DC 交于点G 】，得证D【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，AD BE AD CD ⊥=,2于点F E ,为DC 的中点，连接BF EF ,，下列结论 ①ABF ABC ∠=∠2 ②BF EF =③EFB DEBC S S ∆=2四边形 ④DEF CFE ∠=∠3 其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：双平模型+平行线夹中点模型，得证D【例3】如图，在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60=∠ABC ，点F 在AB 的延长线上，点P 是DF 的中点，连接PC PG ,，求证：PC PG 3=解答：①方法一：延长CP 交AB 于点E ，连接EG CG ,②方法二：延长GP 交AD 于点E ，连接CG CE , 可证模型三：三线合一模型【例1】如图，在等腰三角形ABC 中，BC AC =，D 是BC 的中点，过C 作CE DE ⊥，CF DF ⊥，且CE CF =，求证：EDA FDB ∠=∠解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===，M 为BC 中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 的长度（） A.165 B.125 C.95 D.65解答：得证B【例3】如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BAD CAD BD BE AM BM >∠=∠==，E 为AD 延长线上一点，N 在DE 上，//MN AC ，求证：ND NE =解答：双平模型+三线合一，可证【例4】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：ADB CDF ∠=∠解答：①方法一：三线合一模型 ②方法二：十字型三垂直模型可证模型四：斜边中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点，求证：PM DE ⊥解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 是BC 中点，10AB =，求DM 的长度解答：可证【例3】已知，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=，如图甲，连接DE ，设M 为DE 的中点（1）说明：MB MC =（2）设BAD CAE ∠=∠，固定ABD ∆，让Rt ACE ∆绕顶点A 在平面内旋转到图乙位置，试问：MB MC =是否还能成立？并证明其结论解答：（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】 ②方法二：平行夹中点模型③方法三：相似【作MF BC ⊥交BC 于点M 1DM BFEM CF==得证】（2）成立，同理可证【例4】已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交,AC CB （或它们的延长线）与,E F（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=（2）当EDF ∠绕D 点旋转到和DE AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立,,DEF CEF ABC S S S ∆∆∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解答：（1）可证（2）图2成立，同理可证；图3不成立12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=模型五：中位线模型【例1】已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，如图，,E F 是,BD AC 中点，试写出EF 与,AD BC 之间的关系解答：①方法一：中位线+三点共线，得证1()2EF BC AD =- ②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证1()2EF BC AD =- 【例2】如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，分别与CD BA ,的延长线交于点N M ,，证明：CNE BME ∠=∠解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例3】在ABC ∆中，AB AC >，D 点在AC 上，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60=∠EFC ，连结GD ，判断AGD ∆的形状并证明解答：【类等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例4】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BD AC =，F E ,分别是CD AB ,的中点，连结EF ，分别交BD AC ,于点N M ,，判断OMN ∆的形状解答：【中点四边形（方法连接对角线）】可证。

中位线的构造

八下数学思维解法技巧培优小专题【典例丄】（2019-赤壁市模拟）如图，在四边形肋CD 中，点分别是边AB 、AD 的中点，若BC=15, CD=9, EF=6, ZAFE=55° ,则ZQC= 145 °・【点拨】连接BD •根据三角形中位线定理得到肋=2£F=12, £F 〃肋，根据勾股定理的逆定理得到ZBDC=9Q° ,结合图形计算即可.【解析】解：连接BD ，T 点F 分别是边AB. AD 的中点，:.BD=2EF=12, EF//BD.:• ZADB= ZAFE=55° ,BD 2+CD 2=225, 卅=225,:.BD 2+CD 2=BC 19:.ZBDC=90° ,••• ZADC= ZADB+ZBDC= 145° ,故答案为:145. 连接两点构造中位线中佞线的构31A・100°B. 120° C. 140°D・160°【典例2】（2019・宁波期末）如图，在0BC中D E分别是.IB, AC的中点，点F, G在BC上,且BC=4BF=4CG, £F 与DG 相交于点O,若ZDFE=40° , ZZ）GE=80°,那么ZDOE的度数是（）A【点拨】连接皿利用中位线的性质，可得DE=；BC,由BC=4BF=4CG可得FG= *BC,易得DE //FGRDE=FG,易得四边形DEFG为平行四边形，可得DF//EG,利用平行线的性质可得ZDGE= Z FDG,由外角的性质可得结果.【解析】解：连接DE,TD, E分别是.IB, AC的中点，:.DE//BC且9：BC=4BF=4CG,:.FG=^BC,.•・四边形DEFG为平行四边形，:.DF//EG.:• ZDGE= ZFDG=W ,V ZP/T=40°,I CDCZD利用"••• ZDOE=80° +40° =120° ,【典例3】（2019・钦州期末）如图，MBC中，M是EC中点…Q平分ZBAC. ED丄“10于D,若AB=12, JC=16,则MD等于2・【点拨】延长他交zlC于H 根据等腰三角形的性质得到BD=DH.根据三角形中位线定理计算即可.【解析】解：延长交JC于H,T.1D 平分ABAC. BDW:・BD=DH、AH=4B=\2,:.HC=AC-AH=4.TM 是EC 中点，BD=DH,:.MD=字CH=2,故答案为：2.AB【典例4】（2019・南开区期中）如图，HABC中一3是中线,AE是角平分线，CF丄于F」B=5,AC=2.则DF的长为（）A. 3B. 2.5 C・ 1.5 D・1【点拨】延长CF交肋于证明MFCs/XAFH可得CF=FH, AH=4C,然后求岀EH,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得詁丹.【解析】解：如图，延长CF交肋于H,•••一匹是角平分线，A ZCAF= ZHAF.TCF 丄A ZJFC=Z.4FH=90° ,在△JFC和厶1?7/中.Z.CAF =乙HAFT AF =AF ,LAFC=乙AFH•••△zLFCPZUFH （如），:・CF=FH・ AH=AC,:.BH=AB - .1H=AB - AC=5・2 = 3,又•••.ID是中线，•••DF是的中位线, :.DF=^BH=^x3 = 1.5. 故选：C.区中点构造中位线【典例5】（2019-成都期末）已知：如图一Q、恥分别是厶拐C的中线和角平分线—3丄BE, AD=BE3^5-2 —【点拨】过D点作DF//BE，则DF=^BE=\. F为EC中点.在RtZ^WF中求岀的长度，根据已知条件易知G为3中点，因此E为廿中点，贝ij AC= |jF.【解析】解：过刀点作DF//BE.•••・!□是AABC的中线,AD丄BE,：・F为EC中点,AD丄DF,【典例6]（2019-福田如图，已知在3=24,点E是BC上一点,BE=10,连接DE、\\1D=BE=2,则DF=X V22 + 12 =屈「BE是AABC的角平分线，.10丄PE•••△dEG 幻△DEG,•••G为中点,•••E为M中点,:・AE=EF=CF,故答案为：芋【点拨】连接取加的中点F,连接MF、NF,证明NF、分别是△PDE、肋的中位线，由三角形中位线定理得出NF〃恥，MF//AD、NF= ^BE=5. MF=^AD= 12.证出AF丄MF,在Rt/\MNF中，由勾股龙理即可得出答案・CB【解析】解：连接取肋的中点F,连接MF、NF、如图所示：TM、N、F分别是DE、BD的中点，:・NF、妙分别是△$£）£、厶血的中位线，:.NF//BE. MF//AD, NF=；BE=5,临=訓=\2.V ZJCB=90° ,•••JD 丄BC、\9MF//AD.•••MF 丄BC.•:NFUBE、•••NF 丄MF.在Rt^MNF中，由勾股宦理得：MN= \NF2 + MF2=^52 + 122 =13；故答案为:13.【典例刀（2019-成都校级月考）如图，41BC中，ZJ5C=90° , BA=BC.△BEF为等腰直角三角形, ZBEF=9L , M为2F的中点，求证:ME=^CF・E【点拨】延长EF到D, DE=EF,连接JD、BD,判断岀是等腰直角三角形，根据等峻血角三角形的性质可得加=BF,再求出ZCBF= ZABD,然后利用“边角边”证明&BD和ZkCBF全等，根据全等三角形对应边相等可得.3=CF,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=i W,从而得到ME= i-CF・【解析】证明：如图，延长EF到D，l-li DE=EF,连接肋、BD,••仏BEF为等腰直角三角形，ZBEF=9L ,•••ZBFE=45° , BE丄DF,•••恥垂直平分DF,A ZBDE=45° ,:・、BDF是等腰直角三角形，:・BD=BF. ZDBF=90° ,V ZCBF+Z.1BF= Z ABC= 90° ,ZABLH ZABF= ZDBF= 90c,:.ZCBF=Z.1BD.在HABD和ZkCBF 中,AB = BC乙CBF = J LABD^BD = BF:.AABD^ACBF (SAS).:・AD=CF.•・・M为.IF的中点，DE=EF,:.ME是ZUDF的中位线，：.ME=【典例8】（2019-成都校级月考）如图，点P为'ABC的边EC的中点，分别以AC为斜边作RtZD 和RtAJC£> 且ZB3=Za(E,求证：PD=PE.【点拨】如图，分别取肿、JC的中点M M连接DM、PM、PN、NE,构建三角形中位线，利用三角形中位线左理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得3DP沁NPE (SJS),则该全等三角形的对应边相等：PD=PE・【解析】证明：如图，分别取肿、2C的中点M、N,连接DM、PM、PN、NE.•・•点P为HABC的边BC的中点，.・.PM为/\ABC的中位线，:.PM=扣C・又TWE为直角斜边上的中线，:・NE=AN=扣C.:・MP=NE・同理DM=RV・TD忆=桃AZ1 = Z3,・・・Z5=2Z1 (三角形外角定理).同理，Z6=2Z2.又Z1 = Z2,AZ5=Z6.又PM//AC, PN//AB,AZ7=Z9, Z8=Z9,AZ7=Z &•••Z5+Z7=Z6〒Z8,即ZDMP= ZPNE,DM = PM:.在\MDP与ANPE中，乙DMP =厶PNE,MP = NE:.HMDPS HNPE（SAS）,:・PD=PE・1.（2019・武汉）如图，在△.ISC中，ZJCB=60°C=l, D是边，毎的中点，E是边BC上一点.若^平分△磁的周长，则DE的长是_亨_.【点拨】延长BC至使CM=CA,连接MM,作CN丄于M 根据题意得到ME=£P,很据三角形中位线宦理得到根据等腰三角形的性质求岀厶1CN,根据正弦的概念求岀汁算即可.【解析】解：延长BC至M,使CM=CA.连接凡皿作CN丄凡“于N,•••DE平分ZU5C的周长，:.ME=EB.又AD=DB,B. 20C. 12 D ・10:.DE= jjM, DE//AM.V ZJCB=60° ,A ZJCM= 120° ,VCM=G4,A ZJCV=60°、AN=MN 、：..4N=AC^mZACN=学\/3t• nr — J3• • DE — •故答案为：■-—・22・（2019・宽城区期末）如图，D 是ZUBC 内一点，BD 丄CD, E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD. AC 的中点.若-W=10, BD=J CD=6,则四边形EFGH 的周长是（）【点拨】利用勾股定理列式求出BC 的长,再根据三角形的中位线平行于第滋并且等于第三边的一半A. 24求出EH=FG= ^BC. EF=GH=*1D,然后代入数据进行讣算即可得解.【解析】解：•:BD1CD,肋=8, 3=6,:・BC= \BD2 +CD2 = V 82+ 62=10,•:E、F、G、H分别是AB. AC. CD、的中点，:・EH=FG=专BC, EF=GH=4D,•••四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD-BC,又mo,•••四边形EFGH的周长=10+10=20,故选：B.3・(2019・英徳市期末)如图，在中，BF平分ZABC, AG丄BF,垂足为点交BC于点G, E为/C的中点，连结DE, DE=2.5cm, AB=4cm,则BC的长为9 期・【点拨】由条件“BF平分AG丄肿•'可判怎三角形肋G是等腰三角形(AB=GB).再由条件临为HC的中点”，可判怎a是三角形的中位线，由此可得GC=2DE 进而可求出BC的长.【解析】解：TEF 平分ZABC. AG丄BF.:./\ABG是等腰三角形,A. 3 D ・4AB ~ GB =4d ♦•:BF 平分 ZABC.：..4D=DG.YE 为dC 的中点，.・.D£是ZUGE 的中位线,:.DE= *CG,:.CG=2DE=5cm.:.BC=BG+CG=4+5 = 9m ,故答案为：94. （2019-通川区期末）如图，/\ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，平分ZABC,交DE 于点、F, 若BC=6、则DF 的长是（）【点拨】利用中位线怎理，得到DE 〃肋，根据T •行线的性质，可得ZEDC=ZABC 、再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到进而求出DF 的长.【解析】解：在△肋C 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点,:.DE//AB,:.ZEDC= ZABC. 2•：BF平分ZABC.:.ZEDC=2ZFBD・在△BDF 中，ZEDC= ZFBD+ZBFD.:.ZDBF=ZDFB・:.FD=BD= ；BC= | x6 = 3・故选：2.5.（2019-松北区一模）如图，和BE分别为三角形MC的中线和角平分线，.Q丄BE,若AD=BE=4,则FC的长」【点拨】过D点作〃恥，则F为EC中点,在RtAADF中求出2F的长度，根据已知条件易知6为3中点，因此E为廿中点，则AC=【解析】解：过D点作DF〃EE,如图所示：•••JD是ZUBC的中线,AD丄BE,；・F为EC中点，AD丄DF,\\1D=BE=4.则DF=2, AF= \!AD2 + DF2 =2>/5,•:BE是HABC的角平分线…ID丄:.HABG 竺4DBG,:.AC= |jF=3 洛.故答案为：3尽6.（2019-垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为」B、BC、CD、的中点，并且E、F、G、H四点不共线.当AC=6, BD=*时，四边形EFGF的周长是一14 .【点拨】根据三角形中位线宦理得到FG〃EH, FG=£H根据平行四边形的判左龙理和周长解答即可.【解析】解：TF，G分别为BC, CD的中点，:.FG= FG//BD.VE, H分别为AB, D」的中点，•••EH=$BD=4, EH//BD.:.FG//EH. FG=EH,•••四边形EFGH为平行四边形,:.EF=GH=^1C=3.•••四边形EFGH的周长=3+3+4+4 =14,故答案为：147.(2019・怀化)已知：如图，在HABC中，DE、DF是/XABC的中位线，连接EF. AD,其交点为O・求证：(1)HCDE9HDBF；(2)O4 = OD・【点拨】(1〉根据三角形中位线，可得DF打CE的关系，DB 口 DC的关系，根据SAS.可得答案;(2)根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案.【解析】证明：(1)•:DE、DF是ZL3C的中位线，:.DF=CE. DF//CE. DB=DC・•: DF"CE、:•乙C=ZBDF ・DC = BD住HCDE和△DBF中厶C=乙BDF.CE = DF:.△ CDE9 /XDBF(SJS)：(2) •:DE、DF是WBC的中位线,:.DF=AE, DF//AE,•••四边形DE.1F是平行四边形,•：EF 口.10 交于O 点，:.AO=OD8・（2019-尚志市期中）如图在直角HABC中，ZBAC=9Q Q,点D是BC中点,连接,3,点E为.Q的中点，过点/作AF//BC 交线段恥的延长线于点F,连接CF.（1）求iiE： -1F=DC；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有而积等于ZUEF而枳2倍的三角形.【点拨】（1）由“MS”町证HAFE皿DBE；（2）根据等髙模型即可解决问题.【解析】证明：（1）•:AF〃BC、:.ZAFE= ZDBE•••△4BC是宜角三角形，.3是BC边上的中线，E是的中点,：..1E=DE. BD=CD在和△DBE中，LAFE =乙DBELAEF =乙BED，AE = DE:.^AFE^ADBE (zUS)：(2)解：•:AE=DE・•: S ABD=2S「.BDE=2S• AEF・•:DB=DC、BD=AF, ：..1F=CD9/.四边形ADCF是平行四边形,S； ADC=s； dCF=s(ABF；•••而积等于而枳2倍的三角形有：0CD, £\ABD、ZUCF. “AFB.。

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(二) “中点”之六大模型

3．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 E，EF ∥BD，交 BC 于点 F，若 BD＝10，则 EF 的长为__5__.
模型四：遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长中线法构造全等三角形【模型展示】
【模型归纳】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE 为 AC 边
上的中线，AD 平分∠BAC，交 BC 边于点 D，过点 B 作 BF⊥AD，
垂足为 F，则∠EBF 的度数为
( B)
A．19° B．33° C．34° D．43°
模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质【模型展示】
6．★(2020·武汉)如图，在半径为 3 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D
是A︵C的中点，AC 与 BD 交于点 E.若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是( D )
A.52 3
B．3 3
C．3 2
D．4 2
7．(2020·衢州)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB＝10，AC ＝6，连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，E 是 AD 的中点． (1)求证：∠CAD＝∠CBA； (2)求 OE 的长．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 MB＝MD，再由 NB＝ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法).pptx

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7.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 ED⊥FD.以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？
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做辅助线思路二：构造中位线法
经典例题 2：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线 EF 与对角线分别相交于 H 和
G，则 GH 的长是
.
【课堂训练】 1.已知，如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，BA、FE 的延长线相交于点M，CD、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.
1 别为 AF、CE 的中点.求证：（1）OM＝ CE；（2）OB＝ 2 OM.
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4.如图，∠DBC＝∠BCE＝90°，M 为 DE 的中点，求证：MB＝MC.
教
学
后
记
学生签名：
家长签名：
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2.如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，点 M、N 分别是 BC、DE 的中点， 1 求证：MN⊥DE；
MN
2 连结 ME、MD，若∠A＝60°，求的值.
DE
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3.如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝EF，点 O、M 分

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已知一边中点，取另一边中点构造中位线
5、如图，在⊿ABC中，∠C=90o，CA=BC， E、F分别为CA，CB上一点，CE=CF，M、N分别为AF、 BE中点，求证：AE= 2 MN。
已知两边中点，取第三边中点构造中位线
6、如图，在⊿ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证： AC=3AN。
大垸镇中学八年级数学备课组
连接两点构造三角形的中位线
1、如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在 AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点 P,M,N分别为AC，AD，CE的中点。（1）求证：PM=PN；（2）求∠MPN的度数。
已知角平分ห้องสมุดไป่ตู้和垂直构造中位线
2、如图，在⊿ABC中，点M为BC的中点，AD为 ⊿ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB=12， AC=18，求DM的长。
已知角平分线和垂直构造中位线【练习】
3、如图，在⊿ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE 的长。
倍长法构造中位线
4、如图，在⊿ABC中，∠ABC=90o，BA=BC， ⊿BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90o，M为AF的中点，求证：CF=2ME。