知识讲解_双曲线及其标准方程_基础
双曲线及其标准方程(重要知识)
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx, y
O
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） F1c, 0
F2 c, 0 X
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
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1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
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【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|重大点辅于导 0 0<2a<2c
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【思考1】如何理解双曲线的定义？
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4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
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分类讨论
高中数学知识点精讲精析 双曲线及其标准方程
3.1双曲线及其标准方程1.双曲线的第一定义数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F1和F2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。
两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）2.双曲线的第二定义(1)文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率。
(2)集合语言定义:设 双曲线上有一动点M,定点F,点M 到定直线距离为d,这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F 要在定直线外 且 比值大于1.(3)标准方程设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M 到定直线l:x=a^2/c 的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.这是中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线标准方程为:1． 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹． 分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？【解析】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得： 121==-BC AC AB ∵2=BC ∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分2． 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．3． 在周长为48的直角三角形MPN中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程． 分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．【解析】∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ． 由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ． 由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ． 说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．。
知识讲解_双曲线的简单性质_基础
双曲线的简单性质【学习目标】 1． 知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力． 3． 情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围221x a≥，即22x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x = -a 和x = a 的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a=>． 由c 2= a 2+b 2，可得b a =b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．||bMN x a =x →【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x ya b-=，则其渐近线方程为2222x ya b-=⇒0x ya b±=⇒by xa=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny±=，则可设双曲线方程为2222m x n yλ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x ya b-=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x ya bλλ-=≠（0λ>，焦点在x轴上，λ<，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a ======>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】双曲线的方程可化为：221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53e =，渐近线方程34y x =±．【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．14-B．－4 C．4 D．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k的值等于（）A．－2 B．1 C．－1 D．3 2 -【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．（1）221 916x y-=；（2）221 916x y-=-．【解析】（1）双曲线221916x y-=-的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．（2）双曲线221916x y-=的渐近线方程为：22916x y-=，即43y x=±．【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：（1）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±；（2）双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为bx ya=±，即ay xb=±；（3）若双曲线的方程为2222x ym nλ-=（00m nλ>>、，，焦点在x轴上，0λ<，焦点在y轴上），则其渐近线方程为2222x ym n-=⇒0x ym n±=⇒ny xm=±．举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：（1）221 1636x y-=；（2）2228x y-=；（3）22272y x-=．【答案】（1）32y x =±；（2）y x =；（3）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】D例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y ±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】 （1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b-=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=．当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪-=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴ 284λ=，解得4λ=， ∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）． 举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．225513654x y -+=C ．22131318136x y -=D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴12||2tan 30AF c ==，22||2tan 30cos30c AF c ===，∴21||||2AF AF a -===，∴ce a== 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距，求双曲线的方程．(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=； （2）2241273y x -=【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e 2B ．1< e <2C ．1< e <3D ．1< e <2【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【思路点拨】将2ABF ∆的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=．即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．故2ABF ∆的周长22||||||28L AF BF AB =++=．【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式1】已知双曲线的方程22221x y a b-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A ．2a +2mB ．4a +2mC ．a +mD ．2a +4m 【答案】B【变式2】已知12F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠=______【答案】90类型六：直线和双曲线的位置关系例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解． 【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点． 综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三： 【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】D例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．【解析】由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x=-==（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx=+，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为(,)P x y，由22114y kxyx=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx---=（*）设方程（*）的解为12,x x，则22420(4)0k k∆=+->∴21680,||k k<<且12122225,44kx x x xk k+==---，∴121212221114(),()()124224kx x x y y y x xk k=+==+=++=--，22444kxkyk⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y-+=<-或0)y>．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x yB x y，弦中点为(,)P x y，则221122224444x yx y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y+-=+-，∴121212124()y y x xx x y y+-=+-，即41y xx y=-，即2240x y y-+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y=-=-；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．举一反三：【变式】垂直于直线230x y+-=的直线l被双曲线221205x y-=l的方程【答案】210y x=±。
知识讲解双曲线_基础
b x 叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交
.
a
【高清课堂： 双曲线的性质 356749 知识要点一、 3】
要点五：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
图形
焦点
性 质
焦距 范围 对称 性
方程
Ax
2
+By
2
=C
可化为
Ax 2
C
By 2
x2
C 1，即 C
A
y2 1， C B
所以只有 A 、 B 异号，方程表示双曲线。
CC
当
0,
0 时，双曲线的焦点在 x 轴上；
AB
C
当
0, C
0 时，双曲线的焦点在
y 轴上。
AB
要点诠释：
1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方 程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
3. 若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1 F2 ，则动点轨迹是以 F1、 F2 为端点
的两条射线（包括端点） ；
4．若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，则动点轨迹不存在； 5．若常数 a 0 ，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
要点二：双曲线的标准方程
系数，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y 2项的系数是正的，那么焦点在 y
轴上。
4. 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在
哪一条坐标轴上。
《解析几何》第13讲 双曲线及其标准方程(修订)
第13讲
1．双曲线的定义的内涵与外延
文字语言：
平面内与两个定点 F1 ， F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
即： |PF1|-|PF2| ＝2a（2a<|F1F2|）,点M的轨迹是双曲线．
思考1：
|
|
① |PF1|-|PF2| ＝2a (2a<|F1F2|), 点M的轨迹是 双曲线的一支 ．
2014-11-25
性 对称轴：x轴，y轴 质 对称 性 对称中心：__________ 坐标原点
思考3：你能区分双曲线和椭圆吗？
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
c=
2014-11-25
.
c=
.
a2=b2+c2
c2=a2+b2
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示双曲线， 5－ k k － 3
标准方程
y2 x2 x2 y2 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b a b
图形
x≥a或x≤－a 范围 思考 2： ________________
y≥a或y≤－a ________________ 对称轴：x轴，y轴
如何判定双曲线焦点的位置？ 对称中心：坐标原点
P
A
y =x+b
KAB KPQ = -1
Q B
求点Q(x,y)的坐标 成为本题的关键.
2
2
( ∞,3) ∪ (5, +∞) 则 k 的取值范围是 ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的取值范围是 (5, +∞) ．
数学复习：双曲线及其标准方程
数学复习：双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．导语同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近，但不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．一、双曲线的定义问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|－|PB||<|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．如图，在|PA|＋|PB|>|F1F2|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数．知识梳理一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注意点：(1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．例1已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为() A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线答案D解析当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．跟踪训练1已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线答案D解析F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．二、双曲线的标准方程及其推导过程问题2类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝(x＋c)2＋y2，|PF2|＝(x－c)2＋y2，所以(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a ，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c 2－a 2)·x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)，两边同除以a 2(c 2－a 2)，得x 2a 2－y 2c 2－a 2＝1.由双曲线的定义知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b 2＝c 2－a 2，其中b >0，代入上式，得x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．问题3设双曲线的焦点为F 1和F 2，焦距为2c ，而且双曲线上的动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a ，其中c >a >0，以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？提示y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．知识梳理双曲线的标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1_(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1_(a >0，b >0)焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝c 2－a 2注意点：(1)若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(2)a 与b 没有大小关系．(3)a ，b ，c 的关系满足c 2＝a 2＋b 2.例2(1)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线的标准方程为________________．答案x23－y25＝1解析由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2 2.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，9a2－10b2＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(2)焦距为26，且经过点M(0，12)的双曲线的标准方程是__________．答案y2144－x225＝1解析∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.反思感悟双曲线的标准方程用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)的双曲线的标准方程为________．答案x28－y24＝1解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得－4b2＝1，①－8b2＝1，②解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x28－y24＝1.三、双曲线定义的简单应用例3(1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于()A ．11B ．9C ．5D ．3答案B解析由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去)．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.反思感悟双曲线定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tanθ2.跟踪训练3设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于()A ．42B ．83C ．24D ．48答案C解析1|－|PF 2|＝2，PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝24.1．知识清单：(1)双曲线的定义．(2)双曲线的标准方程及其推导过程．(3)双曲线定义的简单应用．2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋y 2－(x ＋1)2＋y 2＝±2，则动点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．双曲线的一支答案B解析设A (1，0)，B (－1，0)，则由已知得||PA －|PB ||＝2，即动点P 到两个定点A ，B 的距离之差的绝对值等于常数2，又|AB |＝2，且2<2，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线．2．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是()A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2答案A解析∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.3．若椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为()A ．1B ．1或－2C ．1或12 D.12答案A解析>0，a 2<4，－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.4．以椭圆x 29＋y 28＝1______________．答案x 214－y 234＝1解析由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．b 2＝1，－454b 2＝1，2＝14，2＝342＝16，2＝－15(不符合题意，舍去)，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.练习1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1答案B解析2a ＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a ＝25，又c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.2．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是()A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案A解析当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P 点的轨迹是双曲线．3．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()D ．(3，0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，4．(多选)双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A ．17B ．7C ．22D ．2答案CD 解析设双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，则a ＝5，b ＝3，c ＝34，设P 为双曲线上一点，不妨令|PF 1|＝12(12>a ＋c ＝5＋34)，∴点P 可能在左支，也可能在右支，由||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，得|12－|PF 2||＝10，∴|PF 2|＝22或2.∴点P 到另一个焦点的距离是22或2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为()A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m答案C解析由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .6．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O的距离为()A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7答案A解析设F 2是双曲线的右焦点，连接ON (图略)，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3.7．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．答案x 216－y 29＝1解析设焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得12QF QF k k ＝－1，∴5c ·5－c1，∴c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.8．若点P 在双曲线x 216－y 212＝1上，且点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P 的纵坐标为________．点P 与双曲线的左焦点间的距离为________．答案±311解析记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P (x P ，y P )．因为点P 的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以x P ＝16＋12＝27，所以2816－y 2P12＝1，解得y P ＝±3，所以|PF 2|＝3.由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，所以|PF 1|＝11.9．在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．解因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，所以设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48，得k ＝4.所以|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点O 为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由|PM |－|PN |＝4，得2a ＝4，a ＝2，a 2＝4.由|MN |＝20，得2c ＝20，c ＝10，c 2＝100，所以b 2＝c 2－a 2＝100－4＝96，故所求方程为x 24－y 296＝1.10．如图，设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解(1)F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，则a ＝3，b ＝4，c ＝5，设点M 到另一个焦点的距离为m ，由双曲线定义可知|m －16|＝2a ＝6，解得m ＝10或m ＝22，即点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)P 是双曲线左支上的点，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，则|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 1|2＝36，代入|PF 1|·|PF 2|＝32，可得|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2×32＝100，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，所以△F 1PF 2为直角三角形，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.11．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14 B.13C.19D.35答案B解析设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝13.12．双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．1B ．4C ．7D ．9答案B 解析在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝b ＝1，c ＝2，设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，∵∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|，即|PF 1|·|PF 2∣＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4.13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案A 解析设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1—→·PF 2—→＝0，则|PF 1—→＋PF 2—→|的值为________．答案210解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．设点P (x ，y )，则PF 1—→＝(－10－x ，－y )，PF 2—→＝(10－x ，－y )．∵PF 1—→·PF 2—→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10.∴|PF 1—→＋PF 2—→|＝|PF 1—→|2＋|PF 2—→|2＋2PF 1—→·PF 2—→＝2(x 2＋y 2)＋20＝210.15．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心．若12PMF PMF S S △△＝＋8，则△MF 1F 2的面积为()A ．27B ．10C ．8D ．6答案B 解析设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由双曲线的标准方程可知a ＝4，b ＝3，c ＝5.因为12PMF PMF S S △△＝＋8，所以12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，所以R ＝2，所以12MF F S △＝12·2c ·R ＝10.16.如图所示，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，c ＝2a ，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，12F PF S △＝123，求双曲线的标准方程．解由题意得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2.∴12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2.∴3b 2＝123，b 2＝12.由c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
双曲线的定义及标准方程(201911新)
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
一、定型：
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)
新课预习讲义选修2－1：第二章§双曲线（一）§2.双曲线及其标准方程●学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点1. 难点是双曲线的标准方程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =●预习教材：第52页——第55页的内容。
●自主梳理：_____________________________●预习检测：1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．一条直线 C ．双曲线 D ．前三种情况都有可能 答案： D2．已知方程x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．－4<k <4B ．k >0C ．k ≥0D ．k >4或k <－4解析： ∵x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，∴(4＋k )(4－k )>0，∴(k ＋4)(k －4)<0，∴－4<k <4. 答案： A3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析： 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.答案： 14．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．解析： ∵所求双曲线与x 216－y 24＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为(±25，0)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 220－a 2＝1.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12. ∴所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？●基础知识归纳： 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？2．双曲线的标准方程 小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定2. a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c +=（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）●典例导析：题型一、求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a 、b 的值（注意应用222b a c +=）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常用待定系数法.[解题过程] (1)方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由于双曲线过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(－3)2b 2＝1，(－3)2a 2－⎝⎛⎭⎫522b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求双曲线标准方程是x 24－y 2＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．则⎩⎨⎧3a 2－16b 2＝1，54a 2－9b 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，b 2＝－4.不合题意，舍去．综上所述，双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.方法二：设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1，由双曲线经过A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52 可得⎩⎪⎨⎪⎧ 16m －3n ＝1，9m －54n ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵c ＝6，∴6＝a 2＋b 2①又∵双曲线经过点(－5,2)，∴(－5)2a 2－4b2＝1②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5b 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝30b 2＝－24(舍)∴双曲线方程为x 25－y 21＝1.[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上．(2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．(3)焦点分别为F 1(－10,0)、F 2(10,0)，且经过点(35，－4)． (4)焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5.解析： (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(3)由题设知双曲线的焦点在x 轴上，且c x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．从而将双曲线的标准方程化为x 2100－b 2－y 2b 2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b 4－39b 2－1 600＝0，解得b 2＝64或b 2＝－25(舍去)， 故所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1.(4)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.题型二、双曲线定义的应用例2－1、已知定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)，动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝4时，点M 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线 [解题过程] 由已知，|F 1F 2|＝8.当a ＝3时，|MF 1|－|MF 2|＝6<|F 1F 2|，故点M 的轨迹是双曲线的一支 当a ＝4时，|MF 1|－|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，故点M 的轨迹是一条射线F 1F 2 答案： D[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a 与|F 1F 2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF 1|－|MF 2|＝2a 有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征． 变式训练：2－1.已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为 A ．y ＝0 B ．y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C ．x ＝0(|y |≥13) D ．以上都不对答案： C 例2－2、若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [思路点拨][规范作答] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[题后感悟]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用． 变式训练：2－2.设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．解析： 在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴a ＝2，c ＝ 5.由于点P 在双曲线上，所以|PF 1|－|PF 2|＝±4.① ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.② ②－①2得，2|PF 1|·|PF 2|＝4，∴|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴△F 1PF 2的面积是S ＝12|PF 1||PF 2|＝1.（想一想：若改为“∠F 1PF 2＝60°”呢？） 题型三、求与双曲线相关的轨迹方程例3、求与两个定圆C 1：x 2＋y 2＋10x －24＝0和C 2：x 2＋y 2－10x ＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程． [思路点拨][解题过程] ⊙C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49⇒C 1(－5,0)，r 1＝7， ⊙C 2：(x －5)2＋y 2＝1⇒C 2(5,0)，r 2＝1， 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，(1)如图①，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切时，有|MC 1|＝r1＋R ，|MC 2|＝r 2＋R ， 则|MC 1|－|MC 2|＝r 1－r 2＝6.(2)如图②，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都内切时，有|MC 1|＝R －r 1，|MC 2|＝R －r 2.，则|MC 1|－|MC 2|＝r 2－r 1＝－6.在(1)(2)两种情况下，点M 与两定点C 1、C 2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M 的轨迹是以C 1(－5,0)，C 2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线，c ＝5，a ＝3⇒b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，方程为：x 29－y 216＝1.[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a ，b 时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简． (2)由于动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线． 变式训练：4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解析： 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c 2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2C的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． [疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a ＜|F 1F 2|不可缺少．若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线； 若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b 代入所设方程即为所求．[误区警示]◎设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．（上海高考试题）【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF 1|－|PF 2|＝8，即9－|PF 2|＝8，得|PF 2|＝1.【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a ，到一个焦点的距离是c －a ，到另一个焦点的距离是a ＋c ，本题是2或10，|PF 2|＝1小于2，不合题意． 【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8， 所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时， |PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去． 所以|PF 2|＝17.三、巩固拓展●必做：教材第61页，习题2.3 A 组 第1、2题，B 组第2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析： 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.故选C. 答案： C2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析： 方程可变为x 2n m －y 2n m ＝1，又m ·n <0，∴又可变为y 2－n m －x 2－nm ＝1.∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 答案： D 3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 解析： 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2， 又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12. 答案： B4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一个焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析： 设△ABF 1的周长为C ，则C ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋|AF 2|＋|BF 2|＋|AB | ＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝2a ＋2a ＋2m ＝4a ＋2m .答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分)5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析： ∵x 24－y 212＝1，∴当x ＝3时，y ＝±15. 又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15， ∴|MF 2|＝1＋15＝4.故填4. 答案： 46．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为________．解析： 双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0) 由||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴||PF 1|－15|＝8，∴|PF 1|＝23或|PF 1|＝7. 答案： 7或23三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)．解析： (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1，又点A (42，3)在双曲线上， ∴3216－9b 2＝1. 解得b 2＝9，则x 216－y 29＝1， 若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同上，解得b 2<0，不合题意，∴双曲线的方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1.解之得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝－14.∴所求双曲线的方程为x 23－y 24＝1.8．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解析： (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)满足如下条件：(1)ab ＝3；(2)过右焦点F 的直线l 的斜率为212，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1， 求双曲线的方程．解析： 设右焦点F (c,0)，点Q (x ，y )，设直线l ：y ＝212(x －c )， 令x ＝0，得p ⎝⎛⎭⎫0，－212c ，则有 P Q →＝2Q F →， 所以⎝⎛⎭⎫x ，y ＋212c ＝2(c －x ，－y ) ∴x ＝2(c －x )且y ＋212c ＝－2y ，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解得：x ＝23c ，y ＝－216c . 即Q ⎝⎛⎭⎫23c ，－216c ，且在双曲线上， ∴b 2⎝⎛⎭⎫23c 2－a 2⎝⎛⎭⎫－216c 2＝a 2b 2， 又∵a 2＋b 2＝c 2， ∴49⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2－712⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋1＝1， 解得b 2a 2＝3，又由ab ＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3. ∴所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.。
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双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程2． 标准方程的推导如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)． （3）列式设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ．由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||M F 1|-|M F 2||=2a }={M |M F 1|-|MF 2|=±2a }．∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y =++-+2222()()2x c y x c y a ++-+±(4)化简将这个方程移项，得2a =两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：()()22222222c a x a y a c a --=- ① （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 3． 两种不同双曲线的相同点与不同点定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合不同 点图形标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标 ()10F c ， ，()20F c ， ()10F c ， ，()20F c ，相 同a 、b 、c 的关系222c a b =+焦点位置的判哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．4．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：图象定义根据|MF1|+|MF2|=2a根据||MF1|－|MF2||=2aa、b、c关系a2－c2=b2（a最大）（a＞c＞0，b＞0）c2－a2=b2（c最大）（0＜a＜c，b＞0）标准方程22221x ya b+=，（焦点在x轴）22221y xa b+=，（焦点在y轴）其中a＞b＞022221x ya b-=，（焦点在x轴）22221y xa b-=，（焦点在y轴）其中a＞0，b＞0，a不一定大于b）标准方程的统一形式221x ym n+=（当0,0,m n m n>>≠时，表示椭圆；当0mn<时，表示双曲线）2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C C AB><时，双曲线的焦点在x 轴上；当0,0C C AB<>时，双曲线的焦点在y 轴上．要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1．已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y +=B ．22197x y -=＝1(y >0)C ． 22197x y -=或22179x y -=D ． 22197x y -= (x >0)【答案】 D【解析】 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：22197x y -=(x >0)【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．举一反三：【变式1】已知定点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（ ）A ．|PF 1|－|PF 2|=±3B ．|PF 1|－|PF 2|=±4C ．|PF 1|－|PF 2|=±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2=±4【答案】A【变式2】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对【答案】C【变式3】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A例2． 已知P 是双曲线2216436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17,PF =求2||PF 值【解析】利用双曲线的定义求解．【答案】在双曲线221164x y -=中，8,6,a b ==故10c =．由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =【总结升华】本题容易忽略2||2,PF c a ≥-=这一条件，而得出错误的结论2||1,PF =或2||33PF =举一反三：【变式1】双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，求1 2 PF F ∆的面积S ．【答案】16【解析】221916x y -=中，a 2=9，b 2=16，c 2=9+16=25，所以a =3，b =4，c =5．设11PF r =，22PF r =，由题意可知，112212-6100.r r r r ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()2221112111--=322r r r r r r ⎡⎤=+⎣⎦， 因为1 2 PF F ∆是直角三角形，所以111==162S r r ．【变式2】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F 与左支相交的弦AB 的长为m ，另一焦点2F ，求2ABF ∆的周长．【解析】∵2121||||2,||||2AF AF a BF BF a -=-=，且11||||AF BF m +=，∴2211||||2||2||4AF BF a AF a BF a m +=+++=+∴2ABF ∆的周长为：22||||||42AF BF AB a m ++=+．【变式3】已知点P (x ，y )4=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对 【答案】B类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；8=； 22(5)134x y +=； 22(6)1515x y +=-．【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，bc．（2）能．双曲线可化为：22194x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c（3）能．双曲线可化为：2214833x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以a，bc =2． （4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．． （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C+=； （2）分子上22x y ，的系数化为1：利用1ba b a⨯=，将双曲线化为 221x y C C A B+=；（3）注意符号：若双曲线的焦点在x轴，则将双曲线化为 221x y C C A B= ；若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为221y x C CB A= ． 举一反三：【变式1】双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．5，0)C ．60)D ．30)【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准方程为22=112y x －，∴a 2＝1，b 2＝12，∴22c a b =+6故右焦点的坐标为60)．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______． 【答案】1± 【解析】 当k >0时，双曲线的标准方程为22118x y k k= ，此时2222183a b c a b k k k===+==，，，解得k =1；当k <0时，双曲线的标准方程为22181x y k k= ，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1．所以k 的值为1±．例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22114425x y -=； 当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22114425y x -=． 【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256 例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．（2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．【答案】（1）221169x y -=；（2）2211620y x -=．【变式2】求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．【答案】221128x y -=【解析】解法一：依题意设双曲线方程为22ax －22by =1由已知得22220a b c +==，又双曲线过点2)，∴22241a b-=∴22222222012481a b a b a b ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎪⎩故所求双曲线的方程为221128x y -=．解法二：依题意设双曲线方程为221164x y k k-=-+，将点2)代入221164x y k k-=-+，解得4k =， 所以双曲线方程为221128x y -=．类型三：双曲线与椭圆 例5．讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于221x y m n+=：当0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线．【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为221259x y k k -=--．此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆2212736x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n>0)和椭圆221x y a b+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±①|MF 1|＋|MF 2|＝②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 M ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 M /s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=⨯=<，又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，21320,22000a c ==得660,1000,a c ==∴222564400b c a =-= ∴点P所在曲线的方程是221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离． 【答案】米。