相似性原理和因次分析相似的概念
第四 章 量纲分析和相似理论
度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。
第一节 有因次量和无因次量
这七个基本量的因次相应地用［Ｌ］、［Ｍ］、［Ｔ］、 ［Ｅ］、［Θ］、［Ｎ］、［Ｃ］来表示，称为基本因次。其 它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程 推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次［LT－ 1 ］是
p p0 h
各项的因次都必须是［ML－1T－2］。
第一节 有因次量和无因次量
再如伯努利方程
p1
2 u12 p2 u2 z1 z2 2g 2g
各项的因次都必须是［Ｌ］。
由此可给出因次分析的一个重要原理，即
因次和谐原理： “凡正确的物理方程，其中各项的因次都
必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。 有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依 变关系，给人以直观感。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三
个基本量纲的指数乘积来表示，即
x L T M
α β
γ
（3）无量纲量
各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1 ，则称x为无量纲量。
阐述无量纲量的特点 2. 量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方 程，其各项的量纲都必须是一致的。
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模
型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
一、几何相似
几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似， 即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
相似理论及其在机械工程中的应用
相似理论及其在机械工程中的应用摘要：本文就相似理论基础概念、相似理论相关研究进展、相似理论在机械工程中的应用、相似理论在机械工程中的发展趋势等方面进行了详细的阐述。
关键词相似理论;机械工程;应用前言随着我国科技的不断进步与发展，相似理论的研究越来越受到重视，本文就其在机械工程中的应用展开了探讨。
2.相似理论基础概念相似准则是表示系统中的某一量，这个量在不同系统单元中有不同的数值，但当一个现象转换到与它相似的另一个系统时，相似准则是不变的。
相似常数值是系统中任一参量与其相似系统中对应同一参量在具体数值上的比值。
相似第一定理（相似正定理）：相似系统（相似现象）的相似指标等于1。
相似第一定理是系统（现象）相似的必要条件，它揭示相似系统（现象）的基本性质。
相似第二定理（π定理或因次定理）：一个物理系统有s个物理量和k个基本量纲，则n个物理量可以表示为（s-k）个独立的相似判据π1，π2，…，πs-k 之间的函数关系式，即f（π1，π2，π3，…，πs-k）=0相似第三定理（相似逆定理）：对于同一类物理现象，如果单值条件相似，而且由其单值量所组成的相似准则在数值上相等，则现象相似。
单值条件包括：几何条件、物理条件、边界条件和初始条件。
在相似准则的确定中多采用以下三种相似准则求解方法：定律分析法、方程分析法和量纲分析法。
从理论上说，三种方法可以得出同样的结果，只是用不同的数学方法来对物理现象做描述。
（1）定律分析法：运用已知的物理定理来求解相似准则的方法，称为定律分析法。
这种方法要求研究人员必须对所研究的对象和所包括的物理定理有明确的认知，各个定理的主次关系要明确，相互间的联系也要明确，什么是可以忽略，什么是不可以忽略，必须慎重考虑。
有些定理间的关系还得通过试验来研究，在确定关系上要花费大量的时间和精力，这给解决问题带来许多不便。
（2）方程分析法：当知道物理模型的数学模型即可运用已知的微分方程、积分方程或物理方程来求解相似准则，称为方程分析法。
第8章 相似性原理和因次分析
本章目录8.1 力学相似性原理8.2 相似准数8.3 模型实验8.4 因次分析法本章概述什么是科学实验？人们根据研究的目的，利用科学仪器和设备，突出主要因素，忽略次要因素，人为地控制或模拟自然现象，探索自然规律的认知活动。
现代力学问题，总体来说，能列出方程给出分析公式的是少数，能列出方程，给出边界条件和初始条件, 并得到精确解的更是少数。
科学实验仍然是解决科学问题的主要方法。
模型实验的意义通过流体力学实验可以重复实现和观察某流动现象或过程，可以获得充分的感性认识，揭示流动的特性和本质，发现新的现象。
大多数实验是在模型上进行的。
模型（model）实验就是将尺寸过大的原形（prototype）缩小，将尺寸过小原形放大，将过于复杂的原形简化。
问题：如何保证模型和原形具有同样的流动规律？答案：保证模型和原形流动相似。
什么是两现象相似？如果两个同一类物理现象，在对应的时空点，各标量物理量大小成比例，各向量物理量除大小成比例以外，而且方向相同，称这两个现象相似。
相似理论（相似性原理）就是研究相似现象之间关系的理论。
相似理论是模型实验的理论基础。
§8.1 力学相似性原理概述要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：（1）几何相似；（2）运动相似；（3）动力相似；（4）边界条件和初始条件相似，共四个方面。
§8.1.1 几何相似几何相似是指流动空间几何相似——任意相应两线段夹角相同，任意对应线段成比例。
面积比例为长度比例的平方体积比例为长度比例的立方几何相似是力学相似的前提。
有了几何相似，才有可能在模型流动与原形流动之间，存在着相应点，相应线段等一系列对应的要素以及相应速度、加速度、作用力等一系列对应的力学量。
§8.1.2 运动相似运动相似是指两流动相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺的意义：两流动实现特定流动过程所需要的时间之比。
两流动只要速度相似，加速度必然相似。
§8.1.3 动力相似动力相似是指两流动相应点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。
2实验基本理论相似和因此理论概述
（3）边界上几何特性的相似。相似现象 必然发生在几何相似的对象里。
（4）由于相似现象的一切量各自互成比 例（性质2），而同时由这些量所组成的 方程组又是相同的(性质1)，所以各量的 比值(相似倍数/相似比例尺)不能是任意 的，而是彼此相约束的。
（5）这种约束关系的具体体现就是相似 准则。 对于彼此相似的现象，存在着同样数值 的综合量，这个综合量叫作“相似准 则”。
量纲只表明物理量的属性，但没有度量大 小的性质。 LT-1代表速度，MLT-2代表力。
一个物理量A的量纲表达式可写为：
A
L
T
M
只要α 、β 、γ 有一个不等于零，就说 该物理量有量纲，并把 α ≠0；β =0；γ =0 叫做几何量 α ≠0；β ≠0；γ =0 叫做运动量 α ≠0；β ≠0；γ ≠0 叫做动力量 α =0；β =0；γ =0 叫做无量纲量
自由落体的一般方程为： 2 0
2 c1
c2
S C gt
例2 关于污水二沉池工艺性能的研究 （1）确定影响因素及函数表达式
bt f (t , u, , i, d )
bt—二沉池出水中悬浮物含量； t—沉淀时间； u—沉淀池的溢流率； γ—运动粘性系数； d—二沉池进水中的混合污泥含量； i—污泥指数。
2.2.4应用实例
例1 一个自由落体在时间t内落下的距离 为S，试写出它的一般方程。 解： 选择时间t和重力加速度g作为影响因变 量S的因素，则物理方程的形式是
S C0 g t
c1 c2
S C0 g t
c1 c2
[ L] [ LT ] [T ]
相似定律——精选推荐
相似第一定理：两个相似的系统，单值条件相同，其相似判据的数值也相同。
相似第二定理：当一现象由n个物理量的函数关系来表示，且这些物理量中含有m种基本量纲时，则能得到(n-m)个相似判据。
相似第三定理：凡具有同一特性的现象，当单值条件(系统的几何性质、介质的物理性质、起始条件和边界条件等)彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等时，则这些现象必定相似。
相似第一定律是关于相似准则存在的定理。
相似第二定律解决了实验数据的整理方法和实验结果的应用的问题。
相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。
相关概念(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
相似常数(也称为相似比、比尺、模拟比、相似系数等)是模型物理量同原型物理量之比。
主要有几何相似比、应力、应变、位移、弹性模量、泊松比、边界应力、体积力、材料密度、容重相似比等。
在这些相似常数中，长度、时间、力所对应的相似常数称为基本相似常数。
(2)相似指标及相似判据模型和原型中的相似常数之间的关系式称为相似指标。
若两者相似，则相似指标为1。
由相似指标导出的无量纲量群称为相似判据。
(3)同类物理现象具有相同的物理内容，并能用同一微分方程描述的物理现象。
如果两个物理现象的微分方程的形式一样，但物理内容不同，就不是同类物理现象。
(4)时间对应点是指从起始时刻起，具有的瞬时，不是从起始时刻起具有相同时间的点。
(5)空间对应点显然只有几何相似的体系才具有空间对应点，它是物理现象相似的前提。
相似模拟实验基本概念1、岩石力学模拟方法：根据相似原理，运用矿山岩石力学的理论与法则，在模型上研究岩体在各种不同受力状态下产生变形和破坏规律的方法。
岩石力学模拟方法，包括数学模拟和物理模拟。
数学模拟灵活方便，随着电子计算机的发展，用以解决的问题越来越广泛和富有成效。
物理模拟，既能全面模拟原型，又能直观地显示岩石的力学过程。
相似理论
第8章相似理论8.1 概述1 实验是检验和获取理论的重要方法实验对流体力学的发展曾起过重要作用，现在它对流体力学的发展仍然有着十分重要的意义。
实验流体力学已成为流体力学的重要分支之一。
流体的流动问题，有些可以作适当简化，得出解析结论，但得出的结论还必须通过必要的实验验证，才能用于实际。
描述粘性流体运动的N—S方程是二阶偏微分方程组，除少数简单的流动可获得解析解外，对于复杂的三维流动，难以用理论方法获得精确解，即使使用高性能的计算机也难以获得精确的数字解。
另外，由于流体运动的复杂性和人们认识的局限性，对于许多复杂的流动现象，从理论上也难以用运动微分方程描述。
再者，流体的某些力学现象，并非随时都存在，而出现的时间又往往比较短暂，为了进行较长期的探索和多次观察分析，实验就是一个必不可少的方法。
2模型实验是流体力学研究的常用手段最权威的实验就是原型或实体实验，但随着科学技术的发展，出于经济和技术上的限制，这种实验将会遇到很大困难，特别是原型尚未出现之前，只能通过模型实验作出预测。
例如新型航空航天器研究，要取得初步可靠的设计资料，常先制成模型，在风洞中进行系统的实验研究。
新型舰船和水库堤坝设计，也是先制作模型进行实验研究。
将设想的实体（原型）制成模型而进行实验研究，节省经费和时间，测试也比较方便。
在某些情况下，即使实物已经存在，但由于各种条件限制，也难以进行实体实验。
因为更多是在实验室内进行模型实验，这是研究流体流动问题的常用手段。
3 相似理论是模型实验的依据进行模型实验研究，必须解决如何设计、制作模型及将模型实验的结果折算到实体上等问题。
相似理论对如何进行模型实验以获得正确的结果，可以提供指示或答案，及总结实验结果，也只有对力学相似的流动才有可能。
说明相似方法的基本原理称为相似理论。
所以相似原理是研究、支配力学相似的系统的性质及如何用模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实验研究的依据。
相似方法是一种科学的方法，但不是一门独立的科学研究方法，而是实验和分析研究的方法。
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2 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( ML1T 2 )
2 2 2
3 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
3 3 3
4 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
二、因次分析法
因次分析π定理： 当某现象由n个物理量所描述（根本不能组成无因次综合量 的物理量不计在内），而这些物理量中有m个基本因次，则可 得到n—m个独立的无因次综合量，即相似准数 书上[例10-3] 有压管流中的压强损失。 分析思路：
描述该现象的物理量有：压强损失ΔP、管长l，管径d，管壁 粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v -----（共7个物理量）
第五章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理
相似的概念：
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物 理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同， 则称两个现象是相似的。 流体流动相似条件：
流动几何相似．运动相似，动力相似，以及流动的边界 条件和起始条件相似 一、几何相似 几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应 两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。
关系表示。或由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关 系。 例如：准则数1=（准则数1，准则数2，准则数3 · · · · · · · · · · · · ）
被决定的准数
（非定性准数）
决定性准数
（定性准数）
例如：大多数流体流动：Eu=（Fr,Re）
第三节 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次（量纲）：物理量的性质和类别。 例如：长度---[L] 质量---[M] 与单位区别：单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量 的大小． 基本因次：质量[m]=M 长度[l]=L． 时间[t]=T 温度[T]＝Θ
因次分析法：就是通过对现象中物理量的因次以及因次之间 相互联系的各种性质的分析来研究现象相似性的方法。它是 以方程式的因次和谐性为基础的。
完整的物理方程式中各项的因次应相同的性质。
例如：压强P单位： N/m2 , 因次：MLT-2/L2 = ML-1T-2 γh单位: N/ m3 · m, 因次: MLT-2/L3 · L= ML-1T-2 常用物理量因次：P281 表10-1
例如：重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。
同名力作用：指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、 惯性力、弹件力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、 重力、惯性力牌性力。 相应的同名力成比例：指原型流动和模型流动的同名力成比例。
F FPn FGn FIn FEn n F FPm FGm FIm FEm m
Fn Fvm FIn FIm
v2 Fr称为傅鲁得数：表示惯性力与重力之比 Fr gl vl Re Re 为雷诺数：表示惯性力与粘性力之比 v
二、由运动微分方程式推导相似准数：P274 三、相似三定理
相似第一定理：彼此相似的现象，其单值条件相似，对应部位上
同名相似准数必定相等．即相同名称的相似准数分别相等。
将以上两力带入（1）中的
FPn Fpm FIn FIm
2 2 pnln pmlm 2 2 2 2 vn ln vmlm
Fpm FPn FIn FIm
，则：
pn pm 2 2 vn vm
Eu
p
v 2
Eu称为欧拉数：表示压差与惯性力之比 同理：
FGn FGm FIn FIm
F F n In F FIm m Fn F vm FIn FIm
（1）
2 2 作用于此两立方体的压力为： Fpn pnln Fpm pmlm 作用于此两立方体的惯性力为： 2 2 2 2 F Q v v FIn Qnvn vn l n Im m m ml m
单值性条件：指把某一现象从无数个同类现象中区分开来的条件，其包括几何条 件（形状与大小），边界条件（进口与出口的速度分布，壁面上流速大小等）和 初始条件（初始的速度分布特点）。
相似第三定理：各现象的单值性条件相似，且对应部位上同名的
相似准数相等，则这些现象相似。(相似第一定理的逆定理）
相似第二定理：描写现象的方程式可以改用相似准数的单值函数
在这7个物理量中，基本因次数为3个，因而可得到4个无因重复变量，把其他的4 个变量作为一 个变量组合起来
取:管径：[d]=L
平均流速：[v]=LT-1 密度：[ρ]=ML-3 黏度[ν]=L2T-1 作为重复变量
管长[l]=M
压强损失[ΔP]= ML-1T-2 作为一个变量
管壁粗糙度[K]=M
用这些未知数写出无因次参数：
1 2 3 4
v 1 d 1 1 v 2 d 2 2 p v 3 d 3 3 l v 4 d 4 4 K
将各量因次代入：
1 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L2T 1 )
式中：ν、P、G、 I、E表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。
第二节 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 思路：设想在两相似水流中． 取两个相似质点原型n和模型m， 质点是边长为ln、lm的立方体。 研究两质点受力： 粘性力、压力、重力、惯性力 Fpm FPn FPn FIn FIn FIm FPm FIm 则动力相似： F FGn FGm FIn Gn FIn FIm FGm FIm
例如：
相应线段夹角相同： n m 相应的线性长度保持一定的比例：
二、运动相似
dn l n l dm lm
运动相似：两流动运动相似，相应点的流速大小成比例，方向相同。
un1 un 2 v um1 um 2
三、动力相似 流动的动力相似：要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力：同一物理性质的力。