04 相似性原理与因次分析-习题与讨论
流体力学 第10章 相似性原理与因次分析
1.
模型律
2 v
λv λL λ =1 =1 满足粘滞力相似(雷诺准数) 满足粘滞力相似(雷诺准数) λν λg λL
所以上式写为
可写成: 可写成:
除以上式, 用 ρg 除以上式, λ 并令 f ( , Re) = d 2 则 或:
l 2 p = f ( , Re) ρv d d
p l v = hf = λ ρg d 2g
2
p
l v = hf = λ d 2g γ
2
第二节
流动相似的基本概念
力学相似性原理) (力学相似性原理) 模型——研究题目,状态,过程的简化表述. 研究题目,状态,过程的简化表述. 模型 研究题目 模型试验成果要用于原型, 模型试验成果要用于原型,故原型与模型两液流 动相似,即原型(prototype)与模型 与模型(model)上同名 动相似,即原型 与模型 上同名 物理量( 对应成比例. 物理量( v, p, F ....... )对应成比例. 6.2.1 几何相似 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 原型与模型几何长度对应成比例,对应角相等. 长度比尺: 面积比尺: 长度比尺: λ = l p 面积比尺: λ = λ2
1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室(第一水工所) 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院, 1953年 第一水工所解体,一部分去北京建立水科院,而后 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 建南京水科院(南试处)一部分留天津大学(水利馆) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学) 现在:科研机构众多(各省市,大设计院,大学),都建有水 工试验厅( 工试验厅(室).
相似性原理和因次分析
前提条件：
影响流动现象的变量之间的函数关系
是幂函数乘积形式。
具体步骤：
1、确定影响流动的重要物理参数，假定它们 之间的关系为幂函数乘积形式；
2、根据量纲和谐原理，建立各物理参数指数 的联立方程组；
3、求解方程组得各物理参数得指数值，代入 所假定得函数关系得无量纲数之间的函数关系；
4、通过模型实验确定待定系数；
第四节 量纲分析法
一、量纲分析的概念和原理
量纲是指物理量的性质和类别。例如长度
和质量，它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。而单位除表
示物理量的性质外，还包含着物理量的大小，如同为
长度因次的米，厘米等单位。因次又称为因次。
基本物理量的量纲：
长度：[L] ； 质量：[M]； 时间：[T]； 热力学温度[Θ];
弗劳德数：流体在流动过程中重力位能与动 能的比值。重力位能和动能分别与重力和惯 性力成正比，故Fr也表示流体在流动中重力 和惯性力的比。
Fr 2
gl
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。
r个基本物理参数必须包含r个基本量纲； 所选择的物理参数至少应包含一个几何特征参数，一个
质量特征参数，一个流动特征参数； 非独立变量不能作为基本物理参数。
例1： 确定圆管流动中边壁切应力的表达式 τ0。
例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失 hf/L，取决于下列因素：流速υ ,管径D，重力g， 粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分 析确定方程的一般形式。
管道流动，流体机械中的流动：Rem=Rep， Re数为决定性相似准数
例题
流体力学_龙天渝_相似性原理和因次分析
将方程组无量纲化，也即将（１０－１６）式代入（１０－１５
u u u y x z 0 y z x u u u P p 2u 2u 2u x x x x x x u u u 2 x y z x y z V 2 x VL x y 2 z 2 K K u u u gL P p 2u 2u 2u z z z z z z u u 2 u 2 x y z 2 2 2 y z V V z VL x y z x 此式又可写成： u u u y x z 0 x y z u u u p 1 2u 2u 2u x x x x x x u u Eu u x y z 2 2 2 y z x Re x y z x K K u u u 1 p 1 2u 2u 2u z z z z z z u u Eu u 2 x y z 2 2 y z Fr z Re x y z x
lm vm
m
则长度与速度的比例关系为：
vn n m vm 即v
ln lm
，在多数情况下，模型和原型采用同一种流体，则 l
v
1
l
雷诺数相等，表示黏性力相似。原型和模型流动雷诺数相等 这个相似条件，称为雷诺模型律。按照上述比例关系调整原 型流动和模型流动的流速比例和长度比例，就是根据雷诺模 型律进行设计。
u x u y u z 0 y z x u 2u x 2u x 2u x u x u x 1 p x uy uz 2 2 u x x y z x x y 2 z 2 2 2 u u y u u y u u y 1 p u y u y u y 2 y z x x x y z y y 2 z 2 u z 2u z 2u z 2u z u z u z 1 p uy uz g 2 2 u x x y z z x y 2 z 引入无量纲量x、y、z 、u 、u 、u 和p。它们与相应的无量纲量之间的关系为： x y z x=Lx，y=Ly，z=Lz u x Vu，u y Vu，u Vu x y z z p Pp 式中L、V 、P均为定性量
相似相似三角形全部知识点总结附带经典习题和答案
拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。
一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
相似性原理和因次分析相似的概念
2 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( ML1T 2 )
2 2 2
3 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
3 3 3
4 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
二、因次分析法
因次分析π定理： 当某现象由n个物理量所描述（根本不能组成无因次综合量 的物理量不计在内），而这些物理量中有m个基本因次，则可 得到n—m个独立的无因次综合量，即相似准数 书上[例10-3] 有压管流中的压强损失。 分析思路：
描述该现象的物理量有：压强损失ΔP、管长l，管径d，管壁 粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v -----（共7个物理量）
第五章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理
相似的概念：
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物 理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同， 则称两个现象是相似的。 流体流动相似条件：
流动几何相似．运动相似，动力相似，以及流动的边界 条件和起始条件相似 一、几何相似 几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应 两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。
关系表示。或由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关 系。 例如：准则数1=（准则数1，准则数2，准则数3 · · · · · · · · · · · · ）
被决定的准数
（非定性准数）
决定性准数
（定性准数）
例如：大多数流体流动：Eu=（Fr,Re）
第三节 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次（量纲）：物理量的性质和类别。 例如：长度---[L] 质量---[M] 与单位区别：单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量 的大小． 基本因次：质量[m]=M 长度[l]=L． 时间[t]=T 温度[T]＝Θ
第8章 相似性原理和因次分析
本章目录8.1 力学相似性原理8.2 相似准数8.3 模型实验8.4 因次分析法本章概述什么是科学实验？人们根据研究的目的，利用科学仪器和设备，突出主要因素，忽略次要因素，人为地控制或模拟自然现象，探索自然规律的认知活动。
现代力学问题，总体来说，能列出方程给出分析公式的是少数，能列出方程，给出边界条件和初始条件, 并得到精确解的更是少数。
科学实验仍然是解决科学问题的主要方法。
模型实验的意义通过流体力学实验可以重复实现和观察某流动现象或过程，可以获得充分的感性认识，揭示流动的特性和本质，发现新的现象。
大多数实验是在模型上进行的。
模型（model）实验就是将尺寸过大的原形（prototype）缩小，将尺寸过小原形放大，将过于复杂的原形简化。
问题：如何保证模型和原形具有同样的流动规律？答案：保证模型和原形流动相似。
什么是两现象相似？如果两个同一类物理现象，在对应的时空点，各标量物理量大小成比例，各向量物理量除大小成比例以外，而且方向相同，称这两个现象相似。
相似理论（相似性原理）就是研究相似现象之间关系的理论。
相似理论是模型实验的理论基础。
§8.1 力学相似性原理概述要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：（1）几何相似；（2）运动相似；（3）动力相似；（4）边界条件和初始条件相似，共四个方面。
§8.1.1 几何相似几何相似是指流动空间几何相似——任意相应两线段夹角相同，任意对应线段成比例。
面积比例为长度比例的平方体积比例为长度比例的立方几何相似是力学相似的前提。
有了几何相似，才有可能在模型流动与原形流动之间，存在着相应点，相应线段等一系列对应的要素以及相应速度、加速度、作用力等一系列对应的力学量。
§8.1.2 运动相似运动相似是指两流动相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺的意义：两流动实现特定流动过程所需要的时间之比。
两流动只要速度相似，加速度必然相似。
§8.1.3 动力相似动力相似是指两流动相应点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。
04 相似性原理与因次分析-习题与讨论
2013-6-11
15
章后习题简解
(b)由 We
nlnv n
n
2
m lm v m
2
p m
，得
4 .8 50 0 . 679 km/h
m
vn vm
2 2
m lm n l n
vm
l
Fn
nln v n Fm m lm v m
2 2
l F m 50 9 450 N 0 . 450 kN
习题与讨论
4 相似性原理与因次分析
2013-6-11
1
主要内容
思考题 选择题(单选题) 章后习题简解
2013-6-11
2
思考题
什么叫因次?因次和单位有何不同?
因次分析方法的理论根据是什么?
怎样运用瑞利法建立物理方程? 怎样运用定理建立物理方程? 几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么? 何谓相似准则?模型实验怎样选择相似准则?
2013-6-11
13
章后习题简解
10-3
t n 20 C , v n 4 . 5 m/s , d n 0 . 3 m , p n 68 . 95 kPa ,
l 6 , v m 30 m/s , p m 55 . 2 kPa , t m 20 C, p m ?
各相似准数(Re、Fr、Eu、Ma等)的物理意义是什 么?
3
2013-6-11
选择题(单选题)
速度v、长度l、重力加速度g的无因次集合
是：
(a)
lv g
；(b)
相似原理知识点总结
相似原理知识点总结相似原理是几何学中的基本概念之一，它在几何学的许多领域中都有重要的应用。
相似原理主要是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同的原理。
在这篇文章中，我们将会对相似原理进行深入的探讨，包括其定义、性质、常见的应用以及相关的定理。
一、相似原理的定义相似原理是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个图形相似的条件是它们的对应角相等，对应边成比例。
简而言之，如果两个几何图形的所有对应角相等，且对应边的比例相等，那么这两个几何图形就是相似的。
在直角三角形中，有一种特殊的相似原理叫做“AA相似原理”。
当两个直角三角形的一个角相等时，另外一个角也相等，那么这两个三角形就是相似的。
另外，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们也是相似的。
除了直角三角形外，对于其他类型的多边形和圆的相似原理也有一些特殊的条件。
但其核心思想都是相似的，即对应角相等，对应边成比例。
二、相似原理的性质相似原理有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍这些性质：性质1：相似三角形的对应角相等相似三角形的一个重要性质是它们的对应角相等。
这意味着如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角一定相等。
性质2：相似三角形的对应边成比例相似三角形的另一个重要性质是它们的对应边成比例。
即如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的比例一定相等。
性质3：相似三角形的周长成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的周长也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
性质4：相似三角形的面积成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的面积也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
以上的性质都是相似原理的基本性质，它们在解题过程中非常有用。
三、相似原理的应用相似原理在几何学的许多领域中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用：应用1：求图形面积在求解图形的面积时，如果我们知道图形的相似图形，并且知道两者的比例关系，那么我们就可以利用相似原理来求解图形的面积。
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可得 3 1 , 3 1 , 故有
3
2
，则 3
d
2
d
2
M l f2 2 5 , , d d d
2
0
解出M，得
l f3 , 2 5 d d d
M
2013-6-11
【解】(a)该流动的主要作用力为阻力，决定性相似准数 为Re数，则
vnDn
n
vm Dm
m
v m D n / 20
n
v m 20 v p 20 300 6000 km/h
该流速属高超音速，该实验难以实现。
2013-6-11
10
章后习题简解
(b)由
p RT
及tm=tn ，可知=p，故由
2
则由
vnDn 15 . 7 10
6
v m D n / 20 1 . 007 10
1 . 007 15 . 7
6
，得
1 . 007 15 . 7
11
v m 20
v n 20
300 384 . 8 km/h
2013-6-11
章后习题简解
10-2
L 1 . 5 m , B 0 . 3 m, t n 20 C , v 3 m/s , D n 14 N , v m 18 m/s , p abs 101 . 4 kPa, t m 15 C , L m ? B m ? Dm ?
3 . 77 1 .5
0 . 75 m
由 Ne
Fn
nln v n
2
2 2
2
Fm
m lm v m
2 2
，得
Dm
m lm v m D n nln v n
2 2
1 . 227 3 . 77 18 14
2 2
998 . 2 1 . 5 3
2
2
3 . 91 N
各相似准数(Re、Fr、Eu、Ma等)的物理意义是什 么?
3
2013-6-11
选择题(单选题)
速度v、长度l、重力加速度g的无因次集合
是：
(a)
lv g
；(b)
v gl
；(c)
l gv
；(d)
v
2
。
gl
速度v、密度、压强p的无因次集合是： (a)
p
v
；(b)
v
p
；(c)pv2来自；(d)2
2
l n A n Q Vm l
2 5 2
5 2
300 20
537 10 L / s 537 m /s
3 3
由 Ne
Pn
nln v n
2
2
2
2
Pm
m lm v m
2 2
2
，得
2 2
Pn
ln v n
2
lm v m
3
2
Pm
l n Q Vn A m l m Q Vm A n
v n Ln
n
Lm
v m Lm
m
m
，得
3 1 . 5 15 . 2 10 18 1 . 007 10
6
v n L n v m
n
6
3 . 77 m
2013-6-11
12
章后习题简解
l
Bn
Ln Lm
1 .5 3 . 77
Bm
l
0 .3
v m lm
(c)由
Re
v nln
n
m
，得
vm 4 .8 50
Fm 9N
16
vn
nv m lm m ln
Fn
l
2 2
0 . 096 km/h
nln v n Fm m lm v m
2 2
2013-6-11
章后习题简解
10-5 重力、黏性力和表面力同时作用下的相 似关系？
3
1512 . 009 10 Pa 1512kPa or 14 . 9 atm ( abs )
2013-6-11
14
章后习题简解
10-4
分别在(a)重力, (b)表面张力, (c)黏性力的作用下。 【解】(a)由 Fr
vn vm
l 50 , v m 4 . 8 k m/h , F m 9 N , v n ? F n ?
2
，可得
2
p nb
n v n p mb mvm
2
vm
p mb
10 ( 24 ) 37 . 5 Pa 8
2
p nf
2013-6-11
vn
2
2
vm
p mf
10 40 62 . 5 Pa 8
19
章后习题简解
10-8 l
20 , Q Vm 300 L/s , p m 300 N; Q Vn ? p n ?
【解】由
Fr
vn
2
vm gl m
2
gl n
和 Q V Av ，得
Q Vm gl m A m
2 2
Q Vn gl n A n
2
2
2013-6-11
20
章后习题简解
Q Vn
Q Vm lm Am
p
v
2
。
2013-6-11
4
选择题(单选题)
速度v、长度l、时间t的无因次集合是：
(a)
v lt
；(b)
t vl
；(c)
l vt
2
；(d)
l vt
。
压强差Δp、密度ρ、长度l、流量Q的无因 次集合是：
(a)
Q
pl
2
；(b)
l
pQ
2
；(c)
plQ
；(d)
Q
2
p l
。
2013-6-11
【解】查表，tn=20ºC时，n=998.2kg/m3， n=1.00710–6m2/s; tm=15ºC时, m=15.210–6m2/s, 由 完全气体状态方程，
m
pm RT m 101 . 4 10
3
287 273 15
1 . 227 kg/m
3
由 Re
2013-6-11
13
章后习题简解
10-3
t n 20 C , v n 4 . 5 m/s , d n 0 . 3 m , p n 68 . 95 kPa ,
l 6 , v m 30 m/s , p m 55 . 2 kPa , t m 20 C, p m ?
6
选择题(单选题)
雷诺数的物理意义表示：
(a)黏滞力与重力之比； (b)重力与惯性力之比；
(c)惯性力与黏滞力之比；
(d)压力与黏滞力之比。
2013-6-11
7
选择题(单选题)
明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型 流量应为原型流量的:
(a)1/2；(b)1/4；(c) 1/8；(d)1/32。
2 2
vn
vm gl m
，得
50 33 . 9 km/h
gl n
l 4 .8
由
Fn
nln v n
2
2
Fm
m lm v m
2 2
2 3
，得
Fn
nln v n Fm
2
m lm v m
2 2
l F m 50 9 1125 10 N 1125 kN
3 3
2013-6-11
15
章后习题简解
(b)由 We
nlnv n
n
2
m lm v m
2
p m
，得
4 .8 50 0 . 679 km/h
m
vn vm
2 2
m lm n l n
vm
l
Fn
nln v n Fm m lm v m
2 2
l F m 50 9 450 N 0 . 450 kN
【解】由
Fr vn
2
vm gl m
2
gl n
，可得 2 l v
l
由
Re
v nln
n
v m lm
m
，可得 v
l
2 3
则应有
又由
应有
We
nlnv n
n
2
m lm v m
2
，或 v
2 3
2
l
m
l
或
2013-6-11
2
0
T : 1 0
可得 2
2013-6-11
0 , 2 1,
2
0
，则 2
l d
23
章后习题简解
由
dim 3 ( T
1
)
3
(L)