(最新整理)反比例函数与三角形
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与三角形综合
2023年中考数学高频压轴题突破——反比例函数与三角形综合1．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y＝的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；（3）设P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0），M（m，y1），N（n，y2）是双曲线y＝上的四点，m＝，n＝，试判断y1，y2的大小，说明理由．2．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，反比例函数（x＞0）的图象经过点A．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，连接PQ．设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．3．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k＝；（2）试说明AE＝BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．4．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连接EF、OF．＝，求反比例函数的解析式；（1）若S△OCF（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数在第一象限交于点P（1，p），点M的横坐标为m（0＜m＜1）是反比例函数图象上的一点，MN∥x轴交一次函数于点N．（1）求出k的值；（2）是否存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形，若存在求出m，若不存在说明理由；（3）以MN为边长，在MN的下方作正方形MNAB，判断边NA与反比例函数图象是否有交点，若有求出交点坐标，若没有并说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点p，点E为直线l2上一点，反比例函数y＝（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF面积的3倍，求点E的坐标：（3）当k＜2时，G是y轴上一点，直接写出所有使得△EFG是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．7．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．8．有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y 轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），＝，点E的横坐标为3，反比例函数y＝的图象经过点E．（1）求k的值；（2）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求三角形ECP的面积；（3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．①求△AOP的面积；②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知反比例函数y＝的图象经过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y＝的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点m．（1）求反比例函数y＝的解析式和直线y＝ax+b的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）x轴是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．12．直线y＝kx与双曲线交于A、B两点，C为第三象限内一点．（1）如图1，若点A的坐标为（a，3）．①a＝，点B的坐标为．②不等式的解集为．（2）如图2，当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系．13．如图所示，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）直接写出x在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．14．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G 的坐标．15．如图1，一次函数AB：y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）大的图象交于点A （a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值．（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD．①如图2，连接OA，OC，求△OAC的面积．②点P在x轴上，若以点A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，写出符合条件的点P的坐标．＜0）的图象交于点B（﹣3，b），连接OB．（1）b＝，k＝．（2）若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l 交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．＞0）上的一动点，PM⊥x轴于M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E．（1）点E的坐标为，点F的坐标为（用a，b的式子表示）；（2）当点P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，在下列2个问题中任选一题探究；①△BOF与△AEO是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；②BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．（3）∠EOF的大小是否会改变？若不存，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．18．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，矩形AOBC 的顶点C在反比例函数y＝的图象上．（1）反比例函数的表达式为；（2）如图2，点D是直线AB上的一个动点，过点D作x轴的平行线，与直线AC及反比例函数y＝的图象分别交于点E，F．设点D的纵坐标为n．①若点D在线段AB上运动，则线段EF的长为（用含n的式子表示）；②若点D在直线AB上运动，求AD＝OA时线段EF的长；（3）在（2）的条件下，当点D在直线AB上运动时，试探究是否存在某一时刻，使以A，D，C为顶点的三角形与以A，C，F为顶点的三角形全等？若存在，直接写出n的值；若不存在，说明理由．19．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的一点，当△PAB为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标：若不存在，请写出理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）由旋转的性质可得AO＝AF＝DE＝BC，∠BAO＝∠OAF，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOF，∴∠AOF＝∠OAF，∴AF＝OF，∴AF＝OF＝OA，∴△AOF为等边三角形，∵点A，D在反比例函数y＝的图象上，∴A、D关于原点对称，∴AO＝OD＝AD＝OC＝2，如图1，设AH交x轴于点K，在Rt△AOK中，可得∠OAK＝30°，∴OK＝OA＝1，AK＝OA＝，∴A（1，），∴k＝1×＝；（2）设G（x，0），且A（1，），C（﹣4，0），∴AG＝＝，CG＝|x+4|，AC＝＝2，∵△ACG是等腰三角形，∴有AG＝CG、AG＝AC和CG＝AC三种情况，①当AG＝CG时，则＝|x+4|，解得x＝﹣，此时G点坐标为（﹣，0）；②当AG＝AC时，则＝2，解得x＝﹣4（与C点重合，舍去）或x＝6，此时G点坐标为（6，0）；③当CG＝AC时，则|x+4|＝2，解得x＝﹣4+2或x＝﹣4﹣2，此时G点坐标为（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；综上可知G点坐标为（﹣，0）或（6，0）或（﹣4+2，0）或（﹣4﹣2，0）；（3）y1＜y2．理由如下：由（1）可知反比例函数解析式为y＝，∵P（x1，a），Q（x2，b）（x2＞x1＞0）在反比例函数图象上，∴a＝，b＝，∴m＝＝＝，∴m2﹣n2＝﹣＝＝，∵x2＞x1＞0，∴＞0，即m2﹣n2＞0，∴m2＞n2，又由题意可知m＞0，n＞0，∴m＞n，∵M（m，y1），N（n，y2）在反比例函数y＝的图象上，且在第一象限，∴y1＜y2．2．【解答】解：（1）如图①，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵OA＝2OB，AB＝5，∴4OB2+OB2＝25，解得OB＝，∴OA＝2，∵AB平行于x轴，∴OC⊥AB，∴OC•AB＝OB•OA，即OC＝＝2，在Rt△AOC中，AC＝＝4，∴A点坐标为（4，2），设过A点的反比例函数解析式为y＝，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）分别过P、Q作x轴垂线，垂足分别为H、D，如图②，∵OQ⊥OP，∴∠POH+∠QOD＝90°，∵∠POH+∠OPH＝90°，∴∠QOD＝∠OPH，∴Rt△POH∽Rt△OQD，∴＝＝，∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，Q点坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，OP＝2OQ，∴PH＝y，OH＝x，OD＝﹣m，QD＝n，∴＝＝2，解得x＝2n，y＝﹣2m，∵y＝，∴2n•（﹣2m）＝8，∴n＝（﹣4＜m＜﹣）；（3）∵n＝1时，m＝﹣2，即Q点坐标为（﹣2，1），∴OQ＝＝，∴OP＝2OQ＝2，＝××2＝5．∴S△POQ3．【解答】解：（1）把B（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3；故答案为：3；（2）反比例函数解析式为y＝，设A点坐标为（a，），∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴＝＝，＝，∴＝，而∠CPD＝∠BPA，∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA，而BC∥DF，AD∥EC，∴四边形BCDF、ADCE都是平行四边形，∴BF＝CD，AE＝CD，∴BF＝AE，﹣S△PCD，（3）∵四边形ABCD的面积＝S△P AB∴•（3﹣）•（1﹣a）﹣•1•（﹣）＝，整理得a+＝0，解得a＝﹣，∴P点坐标为（1，﹣2）．4．【解答】解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC＝x，CF＝y，＝xy＝，∴S△OCF∴xy＝2，∴k＝2，∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；（2）该圆与y轴相离，理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，在△AOB中，OA＝AB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°，设OH＝m，则tan∠AOB＝＝，∴EH＝m，OE＝2m，∴E坐标为（m，m），∵E在反比例y＝图象上，∴m＝，∴m1＝，m2＝﹣（舍去），∴OE＝2，EA＝4﹣2，EG＝，∵4﹣2＜，∴EA＜EG，∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF＝x．∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝4，∠AOB＝∠ABO＝∠A＝60°，∴BC＝FB•cos∠FBC＝x，FC＝FB•sin∠FBC＝x，∴AF＝4﹣x，OC＝OB﹣BC＝4﹣x，∵AE⊥FE，∴AE＝AF•cos A＝2﹣x，∴OE＝OA﹣AE＝x+2，∴OH＝OE•cos∠AOB＝x+1，EH＝OE•sin∠AOB＝x+，∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x），∵E、F都在双曲线y＝的图象上，∴（x+1）（x+）＝（4﹣x）•x，解得：x1＝4，x2＝，当BF＝4时，AF＝0，不存在，舍去；当BF＝时，AF＝，BF：AF＝1：4．5．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x的图象过点P（1，p），∴p＝2，∴点P（1，2），∵反比例函数过点P（1，2），∴k＝2；（2）不存在，理由如下：由（1）可知：反比例函数的解析式为y＝，∴点M（m，），若△MNP是以MN为底的等腰三角形，∴点P在MN的垂直平分线上，∴点N（2﹣m，），∵点N在直线y＝2x上，∴＝2（2﹣m），∴m＝1，∵0＜m＜1，∴m＝1不合题意舍去，∴不存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形；（3）没有交点，理由如下：∵点M（m，），MN∥x轴，∴点N（，），∴MN＝﹣m，∵四边形MNAB是正方形，∴MN＝AN＝﹣m，AN⊥MN，∴点A（，+m），当x＝时，y＝2m，∵0＜m＜1，∴2m＜+m，∴点A在双曲线的上方，∴NA与反比例函数图象没有交点．6．【解答】解：（1）如图1中，由题意知，直线l1与直线l2相交于点p，∴P（1，2），把P（1，2）代入y＝得，2＝，∴k＝2，即k的值为2；（2）①如图2，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M，设E（m，2），则F（1，2m），＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，∵S△OEF＝S△EOM，又∵S△AOF＝S梯形AMEF，∴S△OEF＝3S△PEF，∵S△EOF∴×（m﹣1）＝3××（m﹣1）（2m﹣2），解得m＝1或m＝2，∵E在P右边，∴m＞1，∴m＝2，此时E（2，2）；②如图3，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M，设E（m，2），则F（1，2m），同理可得，×（1﹣m）＝3×（1﹣m）（2﹣2m），解得m＝1或m＝，∵点E在点P左边，∴0＜m＜1，∴m＝，此时E（，2）；综上，当点E（4，2）或（，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的3倍；（3）根据题意，设E（m，2），则F（1，2m），∵0＜k＜2，∴0＜m＜1，当△EFG是等腰直角三角形时可分以下几种情况：①如图6，当点E在P点左边时，∠FEG＝90°，EG＝EF，∵∠FEG＝90°，∴∠BEG+∠PEF＝90°，又∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠PEF＝∠BEG，又∵EG＝EF，∠GBE＝∠EPF＝90°，∴△EFP≌△GEB（ASA），∴EB＝PF，BG＝PE，∴m＝2﹣2m，解得m＝，∴BE＝，∴BG＝PE＝1﹣＝，OG＝2﹣BG＝2﹣＝，∴此时G（0，）；②如下图，当点E在P点左边时，∠FGE＝90°，EG＝GF，作FH⊥OB于H，∵∠FGE＝90°，∴∠BGE+∠HGF＝90°，又∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠BEG＝∠HGF，又∵EG＝GF，∠GBE＝∠FHG＝90°，∴△GBE≌△FHG（AAS），∴EB＝GH＝m，BG＝FH＝1，∵F（1，2m），∴OH＝AF＝2m，∴BG+GH+OH＝2，即1+m+2m＝2，解得m＝，∴OG＝GH+OH＝m+2m＝1，∴此时，G点的坐标为（0，1）；③如图7中，当点E在点P左侧时，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GN⊥PA于N，同理可证△EFP≌△FGN（SAS），∴PE＝FN，PF＝GN，∴2﹣2m＝1，∴m＝，∴BG＝PF+FN＝，∴OG＝，∴G（0，），综上，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，）．7．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，∵点E，点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴点E（1，1），点F（2，），设直线EF的解析式的解析式为：y＝kx+b，∴∴∴直线EF的解析式的解析式为：y＝﹣x+；﹣S△AOE﹣S△OCF，（2）∵四边形BEOF的面积＝S四边形ABCO∴四边形BEOF的面积＝2﹣﹣＝1；（3）∵点E（1，1），∴OE＝，若OE＝OP＝，则点P（0，）或（0，﹣），若OE＝EP，且AE⊥AO，∴OA＝AP＝1，∴点P（0，2）若OP＝PE，∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．8．【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC＝AC•AB①若AC＝i）AB＝AC＝2，∴S＝ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝②若AB＝i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝③若BC＝，若AB＝AC＝＝1∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°∵∠ACB＝105°∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°∴Rt△ACD中，AD＝CD∴AC＝∴∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角∴BC＝AB∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°∴∠BCF＝∠ABE∴△BCF∽△ABE∴设AE＝a，则BF＝AE＝a∵A（3，0）∴OE＝OA+AE＝3+a∵B的纵坐标为，即BE＝∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，）∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a∴C（1+a，）∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1∴k＝②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°∴∠MCA＝∠NAB∴△MCA∽△NAB∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2∴AC＝AB∴△MCA≌△NAB（AAS）∴AM＝BN＝∴OM＝OA﹣AM＝3﹣设CM＝AN＝b，则ON＝OA+AN＝3+b，∴C（3﹣，b），B（3+b，）∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3﹣）b＝（3+b）＝k解得：b＝∴k＝18+15综上所述，k的值为或9．【解答】解：（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），∴OC＝6，OA＝12，∴A（12，0），C（﹣6，0），∵＝，∴OB＝OA＝16，∴B（0，16），设直线AB解析式为y＝k'x+16，∴12k'+16＝0，∴k'＝﹣，∴直线AB解析式为y＝﹣x+16，∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，∴E（3，12），∵反比例函数y＝的图象经过点E，∴k＝3×12＝36，（2）如图1，∵点P在直线AB上，∴设P（m，﹣m+16），由（1）知，k＝36，∴反比例函数解析式为y＝，∵点P还在反比例函数的图象上，∴m×（﹣m+16）＝36，∴m＝3，或m＝9，∴P（9，4），由（1）知，A（12，0），C60），E（3，12）∴AC＝18＝S△ECA﹣S△PCA＝AC×|y E|﹣AC×|y P|＝AC×（|y E|﹣|y P|）＝×18×（12∴S△ECP﹣4）＝72；（3）如图2，由（1）知，C（﹣6，0），E（3，12），∴直线CE解析式为y＝x+8，∵以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边，∴过点E作MM'⊥CE，∴直线MM'的解析式为y＝﹣x+④，∴M（0，）．M'（19，0），过点M作MN∥CE，∴直线MN解析式为y＝x+，①过点C作CN⊥MN，∴直线CN的解析式为y＝﹣x﹣②①联立①②得，x＝﹣9，y＝，∴N（﹣9，），②过点M'作M'N'⊥MM'交直线CN于N'∴直线M'N'的解析式为y＝x﹣③，联立②③得，x＝10，y＝﹣12，∴N'（10，﹣12），③过M''作M''N'⊥CN交MM'于N，∵直线CN的解析式为y＝﹣x﹣∴M''N''的解析式为y＝x﹣⑤，联立④⑤解得，x＝9，y＝，∴N''（9，）∴满足条件的N点的坐标为（﹣9，）、（9，）或（10，﹣12）．10．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），点B（6，4）．（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．∴S△AOP②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M1，交OA于点M2，连接PM1、PM2，如图4所示．∵点P（2，2），O（0，0），∴点M1（2，0）；∵点A（1，4），点O（0，0），∴直线OA的关系式为y＝4x．设点M2（n，4n），＝3，OA＝＝，∵S△AOP∴PM2＝＝＝＝，即289n2﹣340n+100＝0，解得：n＝，∴点M2（，）．故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（，）．11．【解答】解：（1）将A（﹣2，2）代入y＝得：k＝﹣4，∴反比例函数解析式y＝﹣，将y＝﹣1代入反比例解析式得：x＝4，即m＝4，∴B（4，﹣1），将A（﹣2，2）与B（4，﹣1）代入y＝ax+b得：，解得：a＝﹣，b＝1，∴直线解析式y＝﹣x+1；（2）连接OA，OB，对于直线y＝﹣x+1，令y＝0，得到x＝2，即M（2，0），OM＝2，＝S△AOM+S△BOM＝×2×2+×2×1＝2+1＝3；则S△AOB（3）假设存在点P（p，0）使得为等腰三角形，AP2＝（p+2）2+22＝p2+4p+8，AO2＝8，PO2＝p2，若AP＝AO，则有AP2＝AO2，即p2+4p+8＝8，解得：p＝﹣4或p＝0（舍去），此时P1（﹣4，0）；若AP＝PO，则有AP2＝PO2，p2+4p+8＝p2，解得：p＝﹣2，此时P2（﹣2，0）；若AO＝PO，则有p2＝8，解得：p＝±2，此时P3（2，0），P4（﹣2，0），综上，P点坐标是（﹣4，0）；（﹣2，0）；（2，0）；（﹣2，0）．12．【解答】解：（1）①由于点A在反比例函数图象上，所以3＝﹣，解得a＝﹣2，将A（﹣2，3）代入y＝kx，∴k＝﹣，∴y＝﹣x，∵点A是直线y＝kx与双曲线y＝﹣的交点，令y＝﹣x＝﹣，解得x＝±2，y＝±3．∴B点坐标为（2，﹣3），故答案为：﹣2，（2，﹣3）；②由图可得：x＜﹣2或0＜x＜2；故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2；（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点．∵反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们都关于原点对称，∴OA＝OB．又∵△ABC为等边三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠AOD+∠DAO＝90°，∠COE+∠BOE＝90°，∠DOA＝∠BOE，∴∠DAO＝∠COE．∴△ADO∽△OEC，∴．∵∠ACO＝30°，∴tan∠ACO＝＝，因为C的坐标为（m，n），所以CE＝﹣m，OE＝﹣n，∴AD＝﹣n，OD＝﹣m，所以A（n，﹣m），代入y＝﹣中，得mn＝18．13．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），把P代入y＝得：k＝4，则双曲线解析式为y＝；（2）∵P（2，2），∴当0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y＝上，∴n＝，当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，∴m﹣2＝2n，即m﹣2＝，整理得：m2﹣2m﹣8＝0，解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，整理得：2m﹣4＝，解得：m＝1+或m＝1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．14．【解答】解：（1）将点A（m，﹣3）代入y＝x，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），将A（﹣2，﹣3）代入y＝，∴k＝6，∴y＝，当＝x时，解得x＝2或x＝﹣2，∴B（2，3）；（2）存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形，理由如下：如图1，当P点在x轴上时，过点B作BE⊥x轴交于E点，∵B（2，3），∴OB＝，∴cos∠BOP＝＝＝，∴OP＝，∴P（，0），∵PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，设Q（t，t﹣），∵AB＝PQ，∴52＝（t﹣）2+（t﹣）2，解得t＝或t＝（舍），∴Q（，﹣6）；如图2，当P点在y轴上时，过B点作BF⊥y轴交于点F，∵cos∠BOP＝＝，∴OP＝，∵PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝x+，设Q（t，t+），∵AB＝PQ，∴52＝t2+（t）2，解得t＝4（舍）或t＝﹣4，∴Q（﹣4，﹣）；综上所述：P（，0），Q（，﹣6）或P（0，），Q（﹣4，﹣）；（3）如图3，过C点作CK⊥x轴交于K点，过B作BH⊥x轴交于H点，∵BC＝2CD，∴＝＝＝，∴CK＝1，∴C（6，1），设直线BC的解析式为y＝k'x+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，过G点作GM∥y轴交BC于点M，设G（m，m），则M（m，﹣m+4），∴GM＝|2m﹣4|，＝4×|2m﹣4|＝4，∴S△BCG解得m＝3或m＝1，∴G（1，）或（3，）．15．【解答】解：（1）将（a，3）代入y＝x+1，得3＝a+1，∴a＝4，将（4，3）代入y＝，∴k＝12；（2）①∵AC＝AD，A（4，3），设C（m，n），D（z，0），由中点公式知：＝3，＝4n＝6，将n＝6代入y＝，得6＝，∴m＝2，∴z＝6，∴△OAC的面积＝6×6÷2﹣6×3÷2＝9；（3）设P（s，0），∵A（4，3），B（0，1），当PA＝PB时，（s﹣4）2+32＝s2+12，解得s＝3，∴P（3，0），当PB＝AB时，s2+12＝42+（3﹣1）2，解得s＝±，∴P（，0）或P（﹣，0），当PA＝AB时，（s﹣4）2+32＝42+（3﹣1）2，解得s1＝4+，s2＝4﹣，∴P（4+，0）或（4﹣，0），综上所述，点P的坐标为（3，0）或（，0）或（﹣，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．16．【解答】解：（1）∵B（﹣3，b）在反比例函数（x＜0）的图象上，∴b＝1，∴B（﹣3，1），∵一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象过点B，∴1＝﹣3k﹣2，∴k＝﹣1，故答案为：1，﹣1；（2）存在，理由如下：若△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时，过点O作OP⊥OB，且OP＝OB，分别过点B，P作y轴的垂线，垂直于点E，F，∴∠BEO＝∠OFP＝90°，∠BOE+∠FOP＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠FOP＝∠OBE，∵OB＝OP，∴△BEO≌△OFP（AAS），∴OE＝FP＝1，BE＝OF＝3，∴P（﹣1，﹣3），②当点B为直角顶点时，连接PP'，∴四边形OBPP'是正方形，∴OB∥PP'，且OB＝PP'，∴P'（﹣4，﹣2），综上，点P的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣4，﹣2）；（3）∵点C在直线AB上，∴设点C（m，﹣m﹣2），则点D（m，），＝S△CDB+S△CDO＝CD•（x O﹣x B）＝（﹣+m+2）×3＝3，∴S四边形OCBD解得m＝﹣或（舍去），∴C（﹣，﹣2）．17．【解答】解：（1）当y＝b时，﹣x+1＝b，∴x＝1﹣b，当x＝a时，y＝﹣a+1，∴E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），故答案为：（1﹣b，b），F（a，1﹣a）；（2）①△BOF与△AEO一定相似，∵E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），A（1，0），∴OE2＝（1﹣b）2+b2＝2b2﹣2b+1，EA2＝2b2，FA2＝2（1﹣a）2，∴EF＝AE﹣AF＝b﹣（1﹣a）＝（a+b﹣1），∵EF×EA＝（a+b﹣1）×b＝2b2﹣2b+1，∴OE2＝EF×EA，∵∠OEF＝∠AEO，∴△OEF∽△AEO，∴∠EOF＝∠EAO＝45°，∴∠BFO＝45°+∠FOA，∵∠AOE＝45°+∠AOF，∴∠BFO＝∠AOE，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴△BFO∽△AOE；②∵BE2＝2（1﹣b）2，AF2＝2（1﹣a）2，EF2＝2（a+b﹣1）2，∴BE2+AF2＝2（1﹣b）2+2（1﹣a）2，＝2（2﹣2b+b2+a2﹣2a），∵点P（a，b）在y＝上，∴ab＝，∴EF2＝2[a2+2ab+b2+1﹣2（a+b）]＝2（a2+2×+b2+1﹣2a﹣2b）＝2（2﹣2b+b2+a2﹣2a），∴BE2+AF2＝EF2，∴BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形；（3）∠EOF的大小不变，∵E（1﹣b，b），F（a，1﹣a），A（1，0），∴OE2＝（1﹣b）2+b2＝2b2﹣2b+1，EA2＝2b2，FA2＝2（1﹣a）2，∴EF＝AE﹣AF＝b﹣（1﹣a）＝（a+b﹣1），∵EF×EA＝（a+b﹣1）×b＝2b2﹣2b+1，∴OE2＝EF×EA，∵∠OEF＝∠AEO，∴△OEF∽△AEO，∴∠EOF＝∠EAO＝45°，∴∠EOF的大小不变，为45°．18．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3，则点B的坐标为（0，4），点A的坐标为（3，0），∴点C的坐标为（3，4），则k＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为：y＝，故答案为：y＝；（2）①∵点D的纵坐标为n，DF∥x轴，∴点E的坐标为（3，n），点F的坐标为（，n），∴EF＝﹣3＝，故答案为：；②∵点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（，n），∴AD＝＝n，由题意得：n＝3，解得：n＝，∴EF＝＝2；（3）由题意得：△ADC≌△AFC，∴AD＝AF，∵AE⊥DF，∴DE＝EF，即＝3，整理得：n2+4n﹣16＝0，解得：n1＝2﹣2，n2＝﹣2﹣2，则n的值为2﹣2或﹣2﹣2．19．【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线上，∴m＝﹣4，解得m＝﹣3，∴A（﹣3，﹣4），∵A（﹣3，﹣4）在y＝上，∴k＝12，∴y＝，∵直线和双曲线均关于原点对称，∴A、B关于原点对称，∴B（3，4）；（2）∵BC＝CD，∴C点是BD的中点，∴C点的纵坐标为2，∴C（6，2），作B点关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G，∴BG＝B'G，∴BG+CG＝B'G+CG≥B'C，∴当B'、G、C三点共线时，BG+CG的值最小，∴B'（﹣3，4），∴B'C＝，∴BG+CG的最小值为；（3）设P（x，0），∴PA2＝（x+3）2+16，PB2＝（x﹣3）2+16，AB2＝100，①当∠PAB＝90°时，（x﹣3）2+16＝（x+3）2+16+100，解得x＝﹣，∴P（﹣，0）；②当∠PBA＝90°时，（x+3）2+16＝（x﹣3）2+16+100，解得x＝，∴P（，0）；③当∠APB＝90°时，100＝（x+3）2+16+（x﹣3）2+16，解得x＝±5，∴P（5，0）或（﹣5，0）；综上所述：P点坐标为（﹣，0）或（，0）或（5，0）或（﹣5，0）．20．【解答】解：（1）∵A（﹣4，2），∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得m＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣；将B坐标代入y＝﹣，得n＝﹣4，∴B坐标（2，﹣4），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣2；（2）当﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2，∵点A（﹣4，2）、点B（2，﹣4），∴△AOB的面积为：×|﹣2|×2×|﹣2|×|﹣4|＝6．（3）设P（m，0），∵A（﹣4，2），∴OP＝|m|，AP＝，OA＝2，∵△AOP是等腰三角形，∴①当OP＝AP时，|m|＝，∴m＝﹣，∴P（﹣，0）；②当OP＝OA时，|m|＝2，∴m＝±2，∴P（2，0）或（﹣2，0）；③当OA＝AP时，2＝，∴m＝0或m＝﹣8，∴P（﹣8，0）；即点P的坐标为P（﹣，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）．。
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
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PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
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PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
反比例函数三角形面积问题
反比例函数三角形面积问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个有趣的话题——反比例函数和三角形面积的结合。
乍一听，可能会觉得有点晦涩，但别担心，我们一步一步来，肯定能搞清楚！想象一下，三角形的面积和反比例函数就像是一对好朋友，他们相互影响，相互作用，带来不少趣味。
2. 反比例函数的基础知识2.1 什么是反比例函数？先从最基础的开始说起。
反比例函数其实很简单，它就是形如 (y = frac{k}{x}) 的函数，其中 (k) 是常数，(x) 和 (y) 是变量。
简而言之，当 (x) 增大时，(y) 会减小，反之亦然。
你可以把它想象成一个永远相反的游戏：一个上升，另一个就得下降。
2.2 反比例函数的图像说到图像，这个函数的图像是双曲线。
它的两个分支分别位于坐标轴的两侧，永远不会触碰坐标轴。
感觉像是两条永远不会交汇的路。
3. 三角形的面积3.1 基础公式提到三角形的面积，最简单的公式就是 (text{面积} = frac{1}{2} times text{底} times text{高})。
就这么简单，底和高就是构成三角形的两条直线，像是两个好朋友，缺一不可。
3.2 结合反比例函数现在，我们把反比例函数和三角形的面积结合起来。
假设有一个三角形，它的底边和高分别是 (x) 和 (y)，且这两者之间满足 (y = frac{k}{x})。
那三角形的面积就是(frac{1}{2} times x times y)。
代入反比例函数的关系，面积公式就变成了 (frac{1}{2} times x times frac{k}{x})，结果是 (frac{k}{2})，也就是说，三角形的面积只和常数 (k) 有关，而和底边 (x) 或高度 (y) 无关。
4. 例子解析4.1 具体例子举个例子来说明。
假设我们有一个三角形，底边 (x) 和高 (y) 满足 (y = frac{6}{x})。
我们把这些值带入面积公式中，计算过程如下：[。
反比例函数常见几何模型(最新整理)
反比例函数常见模型一、知识点回顾例1：如图的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=在第一象限的交点，且ABC Rt ∆xm,（1）求m 的值 （2）求的面积3=∆AOB S ABC ∆分别过,,作y 轴平行1A 2A 3A ,作x 轴的平行线，2B 3B 影部分的面积之和为上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，任意不重合的两点，直线AB 交轴于Mx 轴于F 点，x BF ⊥DF例2：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①；②相似于DEF CEF S S ∆∆=AOB ∆图1图2模型三：如图，已知反比例函数（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，ky x=交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则.S S =两点，）的中点E ，交AB 于点D ，若梯形 D. xy 6=题3 题4题5如图，A,B 是函数的图像上关于原点对称的任意xy 2=两点，BC//x 轴，AC//y 轴，的面积记为S ，则S （ABC ∆A.S=2 B.S=4 C.2<S<4 AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（1≤k<4B 1、如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，1y x =3y x=若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .、如图，双曲线经过四边形的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC )0(2x xy =轴正半轴的夹角，AB ∥轴，将△x交轴于，若，则的解析式是 ．y C 1AOB S ∆=2y 课后习练一、填空题42、反比例函数y=kx的图像上有一点k=_______；点P 到原点的距离3、已知双曲线xy=1与直线4、反比例函数y=k的图像经过点 D ．22到原点的距离为3）A．0个B．2个C．4个D．无数个。
反比例函数及三角形
一、反比例函数：1. 定义：一般地，形如x k y=（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数xk y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x ky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质如下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小o k < 二、四象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x ky =中的两个变量必成反比例关系。
二．三角形的知识点：1.等腰三角形的两个底角相等；2.等腰三角形的两边相等；3.两角相等的三角形是等腰三角形；两边相等的三角形是等腰三角形 形；4.等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合， 简述为“三线合一”；5.等边三角形的三个角都相等，且都为60； 6.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形；7.在直角三角形中，30 所对的直角边是斜边的一半；8.三个角都相等的三角形是等边三角形。
(完整)反比例函数与三角形
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反比例函数与三角形1、如图，、都是等腰直角三角形、在函数（)的图像上,斜边、、都在轴上，则点的坐标__________2、如图所示,，……，在函数，，，…,，…都是等腰直角三角形,斜边轴上，则__________3、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= C 点作CE ⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 错误!，则k=__________4、如图,直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B C 、D 两点，E 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F,若△AOD 错误!时，则k=__________ 11POA ∆212PAA ∆1P 2P 4y x =0x >1O A 12A A x 2A ()()111222Px y P x y ，，，()n n n P x y ，9y x =11212PAA ∆323PA A ∆1n n n PA A -∆1121n n -12n yy y +++=…5、如图，反比例函数y=错误!(k<0)与直线y=x+4交于C 、D 两点，S △OCD=2S △AOC,则k=6、如图,直线y=—x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 错误!相交于C 、D 两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b=7、如图，直线y=—2x-2分别与两坐标轴交于A 、B 两点，C 为双曲线AC 交y 轴于点D ，且D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为52，则k=8、如图，直线y=–错误!x 与双曲线y= 错误!交于A 、B 两点，C(5，0)为x 轴正半轴上一点，若∠ACB=90°，则k=9、将直线向左平移个单位长度后得到直线，如图,直线与反比例函数的图象相交于，与轴相交于,则10、如图,平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO =90°,点A 的坐标为（1，2）。
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)考点归纳【模型1：定值矩形与定值三角形】【模型2：平行线之间的定值三角形】【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【模型4：“喇叭三角形”】【模型5：中点模型】【模型6：比例模型】【模型7：相等模型】考点精讲【模型1：定值矩形与定值三角形】【方法点拨】1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是()A.12B.9C.6D.3【答案】C【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S =k ，据此解答即可．【详解】解：∵点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，∴矩形AOBP 的面积=6 =6．故选：C ．2.如图，点A 是反比例函数y =-4x <0 的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为()A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y =kxk ≠0 系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD =-4 =4，所以有S 平行四边形ABCD =4．【详解】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数y =-4xx <0 的图象上的一点，∴S 矩形AHOD =-4 =4，∴S 平行四边形ABCD =4．故选：B ．3.如图，A 、B 是反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，若正方形OCAD 的面积为6，则矩形OEBF 的面积为．【答案】6【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k 的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积S 的关系即S =k ，进行解答即可．【详解】解：∵S 正方形OCAD =OD ⋅OC =x A ⋅y A =k =6，∴S 长方形OCAD =OE ⋅OF =x B ⋅y B =k =6．故答案为：6．4.如图是反比例函数y =-4x在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA 的面积为．【答案】4【分析】根据矩形的面积公式S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：设点B a ,b ，∵四边形BCOA 是矩形，∴AB =a ，BC =b ，∴S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，∵点B 在反比例函数y =-4x在图象上，∴a ⋅b =-4，∴a ⋅b =4，∴S 矩形BCOA =ab =4；故答案为4．【模型2：平行线之间的定值三角形】【方法点拨】5.如图，是反比例函数y =5x 和y =-9x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是()A.7B.14C.18D.28【答案】A【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．【详解】解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y =5x 和y =-9x 的x 轴上方的图象上，∴S △AOB =S △COB +S △AOC =12(5+9)=7，故选：A ．6.已知反比例函数y =-6x x <0 与y =2xx >0 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M ，N 两点．若点A 是x 轴上的任意一点，连接MA ，NA ，则S △AMN 等于．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，连接MO ,NO ，根据MN ∥x 轴可得，S △AMN =S △OMN ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接MO ,NO ，∵MN ∥x 轴∴S △AMN =S △OMN =S △POM +S △PON =-62+22=4故答案为：4．7.如图，在函数y =2x x >0 的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y =-8xx <0 的图象于点B ，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积是．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A 在函数y =2xx >0 的图象上，∴S △AOC =12×2=1，又∵点B 在反比例函数y =-8xx <0 的图象上，∴S △BOC =12×8=4，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4=5，故答案为：5．8.如图，B 、C 两点分别在函数y =5x (x >0)和y =-1x(x <0)的图象上，线段BC ⊥y 轴，点A 在x 轴上，则△ABC 的面积为．【答案】3【分析】设B m ,n ，则mn =5，结合BC ⊥y 轴，得到C -1n ,n ，计算BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为1BC ·y B =1m +1×n 计算即可．本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】设B m ,n ，根据题意，得mn =5，∵BC ⊥y 轴，∴C -1n ,n ，∴BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为12BC ·y B =12m +1n ×n =12mn +1 =3，故答案为：3．【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【方法点拨】9.如图，点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，且AB ∥x 轴，点C ．D 在x 轴上，若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为．【答案】2【分析】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长BA 交y 轴于点E ，易得四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，又由点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，即可得S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，继而求得答案．【详解】解：延长BA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 为矩形，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，∴AE ⊥y 轴，∴四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，∵点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，∴S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，∴S 矩形ABCD =S 矩形BCOE -S 矩形ADOE =3-1=2．故答案为：2．10.如图，点A 、B 分别是反比例函数y =3xx >0 的图象上两点，分别过点A 、B 向坐标轴作垂线，四边形ACEG 的面积记作S 1，四边形BFDG 的面积记作S 2，则S 1S 2(填>、<或=)．【答案】=【分析】本题考查了反比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =kx图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k 的几何意义可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，得出S 1=3-m ，S 2=3-m ，即可得出答案．【详解】解：∵A ，B 两点在反比例函数y =3xx >0 的图像上，∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，∴S 1=3-m ，S 2=3-m ，∴S 1=S 2．故答案为：=．11.如图，平行于x 轴的直线l 与函数y =6x (x >0)和y =2x(x >0)的图象分别相交于A ,B 两点，分别连接AO 、BO ，则△ABO 的面积为．【答案】2【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k 的几何意义，设l 交y 轴于点M ，根据反比例函数k 的几何意义，得出S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，即可求解．【详解】解：如图，设l 交y 轴于点M ，∵S △AOM =3，S △BOM =1，则S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，故答案为：2．12.如图，点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，则△ABO 的面积是．【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA 交y 轴于C ，则AB ⊥y 轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得S △AOC =12，S △BOC =32，则S △AOB =S △BOC -S △AOC =1．【详解】解：如图所示，延长BA 交y 轴于C ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，∴S △AOC =12，S △BOC =32，∴S △AOB =S △BOC -S △AOC =1，故答案为：1．【模型4：“喇叭三角形”】【方法点拨】13.如图，点A ，B ，在反比例函数y =4x的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为S 1、S 2；若S 1=1，则AMBN=．【答案】2【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k |是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出△OAM 、△OBN 的面积，然后求出△OCM 的面积，利用相似三角形的性质得到S △OCM S △OBN =OM ON 2即可求解．【详解】解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴S △OAM =S △OBN =2，∴S △OCM =S △OAM -S 1=2-1=1，又∵AM ∥BN ，∴△OCM ∽△OBN ，∴S △OCM S △OBN =OM ON2=12，∴OM ON=22，又∵OM ⋅AM =ON ⋅BN ，∴AM BN =ON OM =2．故答案为：214.如图是一个反比例函数(x >0)的图象，点A (2，4)在图象上，AC ⊥x 轴于C ，当点A 运动到图象上的点B (4，2)处，BD ⊥x 轴于D ，△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为()A.1B.2C.34D.13【答案】A【解答】解：如图所示：∵点A (2，4)，点B (4，2)，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴点C 的坐标为(2，0)，点D 的坐标为(4，0)，AC ∥BD ，∴△OCE ∽△ODB ，∴OC OD =CE DB ，即24=CE 2解得CE =1，∴S △OCE OC ⋅CE 2=2×12=1，即△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为1．故选：A ．15.如图，过反比例函数y =9x(x >0)的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得()A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.大小关系不能确定【答案】B 【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y =9x 的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=92；S 2=92．故S 1=S 2．故选：B ．16.如图，在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y =k x (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为()A.32B.43C.2D.83【答案】B 【解答】解：把P (2，3)，M (a ，2)代入y =k x得k =2×3=2a ，解得k =6，a =3，设直线OM 的解析式为y =mx ，把M (3，2)代入得3m =2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x =2时，y =23×2=43，所以C 点坐标为(2，43)，所以△OAC 的面积=12×2×43=43．故选：B ．【方法点拨】条件：A /B 两点分别位y =k x上不同两点，延长AB 交x 轴与点F ，B 位AF 的中点结论：①▲ACF ~▲BDF ，且相似比为BF AF =12。
中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合
中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形综合(x>0)的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于A(1,m)，1.如图，反比例函数y1=kxB(4,n)两点，过点A作AC垂直于x轴于点C，且S△OAC=2．(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；(2) 当y1>y2时，求x的取值范围．)，且与2.如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A与y轴交于点B(0,52反比例函数y=10在第一象限的图象交于点C，CD⊥y轴于点D，CD=2．x(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数y=10的函数值y≤5时，自变量x的取x值范围．的图象于点Q．若(2) 动点P在x轴上，PQ⊥x轴交反比例函数y=10xS△PAC:S POQ=2，求点P的坐标．在第一象限图象上一点，连接OA，过A作3.如图，点A(3,4)是反比例函数y=kxAB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k的图象于x 点P，连接AP．(1) 求反比例函数的表达式．(2) 求△OAP的面积．(k≠0)的图象相交于A，4.如图，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=kxB两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=3，过点A作AE⊥x轴于2点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为−4．(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式(2) 连接ED,求△ADE的面积5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A(0,−2)，，y轴平分∠BAC，斜边AC交x轴于点D，BC与y轴交于点E，且tan∠OAD=12(x>0)的图象经过点C．反比例函数y=kx(1) 求点B，D坐标；(x>0)的函数表达式．(2) 求y=kx6.如图，在△AOB中，∠OAB=90∘，AO=AB=4，以O为原点，OB所在直线为x的图象上．轴，建立平面直角坐标系，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx(1) 求反比例函数的表达式．(2) 把△OAB向右平移m个单位长度，对应得到△OʹAʹBʹ，当这个函数图象经过△OʹAʹBʹ一边的中点时，求m的值．7.如图的反比例函数图象经过点A(2,5)．(1) 求该反比例函数的解析式．(2) 过点A作AB⊥x轴，垂足为B，在直线AB右侧的反比例函数图象上取一点C，若△ABC的面积为20，求点C的坐标．8.如图，一次函数y=x+32的图象与反比例函数y=kx的图象在第一象限的一个交点为A(1,m)，与y轴交于B点．(1) 求反比例函数y=kx的表达式；(2) 若点P在x轴上，且满足S△POB=S△AOB，求此时点P的坐标．9.正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x，（k1k2≠0）的图象交于点A(−0.5,2)和点B．(1) 求图象的另一交点B的坐标；(2) 在x轴上找一点P，使△APB的面积等于4，写出点P的坐标．10.如图，直线y=ax(a≠0)与双曲线y=kx(k≠0)(x>0)相交于点A(3,4)，P是x 轴上的一个动点，点P的坐标为(5t,0)(t>0)，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．(1) 求a和k的值．(2) 用含t代数式表示点Q的坐标．(3) 如果将△OPQ绕点P顺时针旋转90∘，使得旋转后△OPQ的顶点O或Q落在双曲线上，求t的值．11.如图，已知直线y=kx+b与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于A(1,4)，B(4,1)两点，与x轴交于C点．(1) 求一次函数与反比例函数的解析式．(2) 根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？(x>0)图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当(3) 点P是y=mxS△CPQ=1S△CAO时，求点P的坐标．212.已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=4的图象交于点A(m,2)，B(−1,n)．x(1) 求m，n的值；(2) ①求一次函数的表达式；，直接写出x的取值范围；②当kx+b≥4x(3) 点P是x轴上一点，当△OAP和△OAB的面积相等时，求P点的坐标．13.如图，直线y=ax+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,−2)，与反比例函(x>0)的图象交于点C(m,1)．数y=kx(1) 求直线和反比例函数的表达式．≥ax+b的解集(2) 结合图象，请直接写出不等式kx(3) 连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以C为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标．14.如图，直线y=kx+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,−2)，与反比例函(x>0)的图象交于点C(m,1)．数y=kx(1) 求直线和反比例函数的表达式．≥ax+b的解集．(2) 结合图象，请直接写出不等式kx(3) 连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标．15.如图在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=4x(x>0)的图象与一次函数y2= kx−k的图象的交点为A(m,2)．(1) 求一次函数的解析式；(2) 观察图象，直接写出使y1≥y2的x的取值范围；(3) 设一次函数y2=kx−k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，请写出点P的坐标．16.如图，直线l的解析式为y=−13x+73，与x轴，y轴分别交于A，B两点，双曲线y=kx(x>0)与直线l交于EF两点，点E的横坐标为1．(1) 求k的值及F点的坐标；(2) 连接OE，OF，求△EOF的面积；(3) 若点P是EF下方双曲线上的动点（不与E，F重合），过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，求BM⋅AN的值．17.如图，反比例函数y1=kx 的图象与一次函数y2=14x的图象交于点A，B，点B的横坐标实数4，点P(1,m)在反比例函数y1=kx的图象上．(1) 求反比例函数的表达式；(2) 观察图象回答：当为何范围时，y1>y2；(3) 求△PAB的面积．18.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3,4)，点B的坐标为(6,n)．(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式；(2) 连接OB，求△AOB的面积；(3) 在x轴上是否存在点P，使是△APC直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．的图象经19.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx 过点A(2,2)．(1) 分别求这两个函数的表达式；(2) 将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；(3) 反比例函数图象上是否存在点D，使DC⊥BC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．的图象和一次函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为−1，20.已知反比例函数y=2x点B的纵坐标为−1．(1) 求这个一次函数的表达式．(2) 若点P(m,n)在反比例函数的图象上，且P点关于x轴的对称点Q恰好落在一次函数的图象上，求m2+n2的的值．(3) 若M(x1,y1)，N(x2,y2)是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足x2−x1=2，y1+y2=3，求三角形MON的面积．答案1. 【答案】(1) 因为 AC ⊥x 轴，A (1,m )，S △OAC =2，所以 12×1⋅m =2， 所以 m =4， 所以 A (1,4)．又因为点 A 在反比例函数 y =kx上，所以 k =1×4=4，所以反比例函数的表达式为 y =4x ． 又因为点 B 在反比例函数 y =4x 上， 所以 4n =4，n =1， 所以 B (4,1)，把 A ，B 两点坐标代入 y =ax +b ，得 {a +b =4,4a +b =1,所以 {a =−1,b =5,所以一次函数的表达式为 y =−x +5． (2) 0<x <1 或 x >4．2. 【答案】(1) x ≥2 或 x <0．(2) ∵CD ⊥y 轴于点 D ，CD =2， ∴C 点的横坐标为 2．把 x =2 代入反比例函数 y =10x ，得 y =102=5， ∴C (2,5)．设直线 AC 的解析式为 y =kx +b ，把 B (0,52)，C (2,5) 代入，得 {b =52,2k +b =5, 解得 {k =54,b =52.∴ 直线 AC 的解析式为 y =54x +52，令 y =54x +52=0，解得 x =−2．∴A (−2,0)，∵PQ ⊥x 轴，点 Q 在反比例函数 y =10x的图象上， ∴S △POQ =12×10=5． ∵S △PAC :S △POQ =2，∴S PAC =10，则 12PA ⋅y c =10， ∴PA =2×105=4， ∴(−6,0) 或 (2,0)． 【解析】(1) 当 y =5 时，x =10y =2，观察图形可知：y ≤5 时，x ≥2 或 x <0．3. 【答案】(1) 将点 A (3,4) 代入 y =kx ，得：k =12，则反比例函数表达式为 y =12x ．(2) 如图，过点 A 作 AC ⊥x 轴于点 C ， 则 OC =3，AC =4， ∴OA =√42+32=5，∵AB ∥x 轴，且 AB =OA =5， ∴ 点 B 的坐标为 (8,4)，设 OB 所在直线表达式为：y =kx ，由 B (8,4) 得：OB 所在直线表达式为 y =12x ， ∴ 点 D (3,22)， ∴AD =52，由 {y =12x,y =12x 可得点 P 坐标为 (2√6,√6)，∴S △OAP =12AD ⋅2√6=12⋅52⋅2√6=52√6．4. 【答案】(1) ∵AE ⊥x 轴于点 E ，点 C 是 OE 的中点，且点 A 的横坐标为 −4， ∴OE =4，OC =2，∵Rt △COD 中，tan∠DCO =32， ∴OD =3， ∴A (−4,3)，∴D (0,−3)，C (−2,0)，∵ 直线 y =ax +b (a ≠0) 与 x 轴，y 轴分别交于 C ，D 两点，∴{b =−3,−2a +b =0,解得 {a =−32,b =−3,∴ 一次函数的解析式为 y =−32x −3， 把点 A 的坐标 (−4,3) 代入，可得3=k−4，解得 k =−12， ∴A (−2,3)，∴ 反比例函数解析式为 y =−12x ．(2)S △ADE =S △ACE +S △DCE =12EC ⋅AE +12EC ⋅OD=12×2×3+12×2×3=6.故答案为：6．5. 【答案】(1) ∵ 点 A (0,−2)， ∴OA =2，∵tan∠OAD =OD OA =12，∴OD =1，∵y 轴平分 ∠BAC ， ∴∠BAO =∠DAO ，∵∠AOD =∠AOB =90∘，AO =AO ， ∴△AOB ≌△AOD (ASA )， ∴OB =OD =1，∴ 点 B 坐标为 (−1,0)，点 D 坐标为 (1,0)； (2) 过 C 作 CH ⊥x 轴于 H ， ∴∠CHD =90∘， ∵∠ABC =90∘，∴∠ABO +∠CBO =∠ABO +∠BAO =90∘， ∴∠BAO =∠DAO =∠CBD ， ∵∠ADO =∠CDH ， ∴∠DCH =∠DAO ， ∴∠DCH =∠CBH ，∴tan∠CBH =tan∠DCH =12， ∴CHBH =DH CH=12，设 DH =x ，则 CH =2x ，BH =4x ， ∴2+x =4x ，∴x =23，∴OH =53，CH =43， ∴C (53,43)，∴k =53×43=209，∴y =k x (x >0) 的函数表达式为 y =209x ．6. 【答案】(1) 过点 A 作 AD ⊥x 轴于点 D ，如图 1． ∵∠OAB =90∘，AO =AB =4，∴S △AOB =12×4×4=8，∵OD =DB ，∴S △AOD =12S △AOB =4， ∴k =2S △AOD =8，∴y =8x ．答：反比例函数的表达式为 y =8x ．(2) ①当边 AʹBʹ 的中点 C 在 y =8x 的图象上，如图 2， ∵∠OAB =90∘，AO =AB =4，∴Aʹ(2√2+m,2√2)，Bʹ(4√2+m,0)，C(3√2+m,√2)， ∴(3√2+m)√2=8， ∴m =√2；②当边 AʹOʹ 的中点 E 在 y =8x 的图象上，过点 Aʹ 作 AʹD ⊥x 轴于点 D ，如备用图， ∵Oʹ(m,0)，Aʹ(m +2√2,2√2)， ∴ 中点 E(m +√2,√2)， ∴(m +√2)√2=8， ∴m =3√2．综上所述：符合条件的 m 的值有 √2 或 3√2．7. 【答案】(1) 设反比例函数的解析式为 y =kx，且过 A (2,5)，∴k =2×5=10．∴ 反比例函数的解析式为 y =10x ．(2) 设点 C (m,10m )，∵△ABC 的面积为 20，∴20=12×5×(m −2)， ∴m =10， ∴ 点 C (10,1)．8. 【答案】(1) ∵ 一次函数 y =x +32的图象经过点 A (1,m )，得 m =1+32=52，将 (1,52) 代入 y =kx ，得 k =52， ∴ 反比例函数的表达式为 y =52x ． (2) 由条件得 OB =32，∴S △AOB =12×1×32=34． 设点 P (x,0)，则 OP =∣x ∣，由 S △POB =S △AOB ，得 12⋅∣x ∣⋅32=34，解得 x =±1，∴ 点 P 的坐标为 (−1,0) 或 (1,0)．9. 【答案】(1) 点 B 的坐标为 (0.5,−2)． (2) P (±2,0)．10. 【答案】(1) 因为直线 y =ax (a ≠0) 与双曲线 y =kx(k ≠0)(x >0) 相交于点 A (3,4)，所以 3a =4，4=k3，所以 a =43，k =12．(2) 过点 A 作 AB ⊥ 轴于点 B ， 过点 Q 作 QC ⊥ 轴于点 C ， 因为 PQ ⊥OA ，所以 ∠ABO =∠PQO =90∘， 又 ∠AOB =∠POQ ， 所以 △AOB ∽△POQ ，所以 ABPQ =OBOQ =OAOP ，因为 A (3,4)，P (5t,0)，所以 OB =3，AB =4，OP =5t ，所以 OA =√OB 2+AB 2=5， 所以 4PQ =3OQ =55t， 所以 PQ =4t ，OQ =3t ，因为 S △OPQ =12OQ ⋅PQ =12OP ⋅CQ ，所以 CQ =3t⋅4t5t =125t ，所以 OC =√OQ 2−CQ 2=95t ， 所以点 Q 的坐标为 (95t,125t)．(3) 设 △OPQ 旋转后点 O 的对应点为 Oʹ，点 Q 的对应点为 Qʹ，因为 ∠OPOʹ=90∘，OʹP =OP =5t ，所以 Oʹ(5t,5t )，过点 Qʹ 作 Qʹ D ⊥x 轴于点 D ，则 ∠QʹDP =∠PCQ =90∘，∠QʹPD +∠PQʹD =90∘，因为 ∠QʹPQ =90∘，所以 ∠QʹPD +∠QPC =90∘，所以 ∠PQʹD =∠QPC ．又 QʹP =PQ ，所以 △QʹDP ≌△PCQ ，所以 QʹD =PC =OP −OC =5t −95t =165t ，DP =CQ =125t ， 所以 OD =OP +DP =5t +125t =375t ， 所以 Qʹ(375t,165t)， ①当点 Oʹ 落在双曲线 y =12x (x >0) 上时，5t =125t ，解得 t =2√35（负值舍去）， ②当点 Oʹ 落在双曲线 y =12x (x >0) 上时，165t =12375t ，解得 t =5√11174（负值舍去）， 综上所述，t 的值为 2√35 或5√11174．11. 【答案】 (1) 把 A (1,4) 代入 y =m x (x >0)，得 m =1×4=4，∴ 反比例函数为 y =4x ； 把 A (1,4) 和 B (4,1) 代入 y =kx +b 得 {k +b =4,4k +b =1, 解得：{k =−1,b =5,∴ 一次函数为 y =−x +5．(2) 1<x ≤4(3) 设 P (m,4m )， 由一次函数 y =−x +5 可知 C (5,0)，∴S △CAO =12×5×4=10，∵S △CPQ =12S △CAO ， ∴S △CPQ =5， ∴12∣5−m ∣⋅4m =5，解得 m =107 或 m =−103（舍去）， ∴P (107,145)．12. 【答案】 (1) 点 A (m,2)，B (−1,n ) 在反比例函数 y =4x ， ∴2m =−n =4，∴m =2，n =−4．(2) ①一次函数 y =kx +b 的图象过点 A (m,2)，B (−1,n )， ∴{2k +b =2,−k +b =−6, ∴{k =2,b =−2,∴ 一次函数的表达式为：y =6x −2； ②当 kx +b ≥4x 时，x ≥4 或 −1≤x <0．(3) 由直线 y =2x −2 可知，D (0,−2)，∴S △AOB =32×2×7+12×3×1=3．设 P (m,2)，∵△OAP 和 △OAB 的面积相等， 则 S △OAP =12∣m ∣⋅7=3，解得 m =±67，∴P (−67,0) 或 (67,0)．13. 【答案】(1) 将 A (4,0)，B (0,−2) 代入 y =ax +b ， 得：{4a +b =0,b =−2, 解得：{a =12,b =−2,∴ 直线 AB 的函数表达式为 y =12x −2，当 y =1 时，12m −2=1，∴ 点 C 的坐标为 (6,1)， 将 C (6,1) 代入 y =k x ，得：1=k 6，解得：k =6，∴ 反比例函数的表达式为 y =6x ．(2) 0<x ≤6．(3) 过点 C 作 CD ⊥x 轴，垂足为 D 点，则 OD =6，CD =1，∴OC =√OD 2+CD 2=√37，∵OC 为腰，∴ 分两种情况考虑，如图所示：①当 OP =OC 时，∵OC =√37，∴OP =√37，∴ 点 P 1 的坐标为 (√37,0)，点 P 2 的坐标为 (−√37,0)；②当 CO =CP 时，DP =DO =6，∴OP =2OD =12，∴ 点 P 3 的坐标为 (12,0)．【解析】(2) 观察函数图象，可知： 当 0<x <6 时，反比例函数 y =6x 的图象在直线 y =12x −2 的上方，∴ 不等式 kx ≥ax +b 的解集为 0<x ≤6．14. 【答案】(1) 将 A (4,0)，B (0,−2) 代入 y =ax +b ，得： {4a +b =0,b =−2, 解得：{a =12,b =−2,∴ 直线 AB 的函数表达式为 y =12x −2．把 C (m,1)，代入 y =12x −2 中，得 12m −2=1，m =6，∴C (6,1)， 把 C (6,1) 代入 y =k x 中，得 k =6×1=6，∴ 反比例函数解析式 y =6x ．(2) 观察图象可知 k x ≥ax +b 的解集为 0<x ≤6． (3) 过点 C 作 CD ⊥x 轴，垂足为 D 点，则 OD =6，CD =1，∴OC =√OD 2+CD 2=√37，∵OC 为腰，∴ 分两种情况考虑，如图所示：①当 OP =OC 时，∵OC =√37，∴OP =√37，∴ 点 P 1 的坐标为 (√37,0)，点 P 2(√37,0)，的坐标为 (−√37,0)，②当 CO =CP 时，DP =DO =6，∴OP =2OD =12，∴ 点 P 3 的坐标为 (12,0)．综上 P 坐标为 (√37,0) 或 (−√37,0) 或 (12,0)．15. 【答案】 (1) 将 A (m,2) 代入 y 1=4x (x >0) 得，m =2，则 A 点坐标为 A (2,2)，将 A (2,2) 代入 y 2=kx −k 得，2k −k =2，解得 k =2，则一次函数解析式为 y =2x −2．(2) 0<x ≤2．(3) ∵ 一次函数 y 2=2x −2 与 x 轴的交点为 C (1,0)，与 y 轴的交点为 B (0,−2)，S △ABP =S △ACP +S △BPC ，∴12×2CP +12×2CP =4，解得 CP =2，则 P 点坐标为 (3,0)，(−1,0)．【解析】(2) ∵A (2,2)，∴ 当 0<x ≤2 时，y 1≥y 2．16. 【答案】 (1) 将点 E 的横坐标 1 代入直线 y =−13x +73 ⋯⋯① 中，得 y =2，∴E (1,2)， 将点 E (1,2) 代入双曲线 y =k x (x >0) 中，得 k =1×2=2，∴ 双曲线的解析式为 y =2x (x >0). ⋯⋯② 联立①②解得 {x =1,y =2（点 E 的纵横坐标）或 {x =6,y =13.∴F (6,13)． (2) 针对于直线 y =−13x +73， 令 x =0，则 y =73，∴B (0,73)，∴OB =73， 令 y =0，则 0=−13x +73，∴x =7，∴A (7,0)，∴OA =7，如图，连接 OE ，OF ， 由（1）知，E (1,2)，F (6,13)， ∴S △EOF =S △AOB −S △BOE −S △AOF=12×73×7−12×73×1−12×7×13=356.(3) 如备用图． 由（2）知，OA =7，OB =73，∴AB =√OA 2+OB 2=7√103， ∵ 点 P 在双曲线 y =2x (1<x <7) 上， ∴ 设 P (m,2m)(1<m <7)， 过点 M 作 MG ⊥y 轴于 G ，过点 N 作 NH ⊥x 轴于 H ，∵ 过点 P 作 x 轴，y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M ，N ， ∴MG =m ，NH =2m，∵NH ⊥x 轴，∴NH ∥y 轴， ∴△AHN ∽△AOB ， ∴AN AB =NH OB ，∴AN =ABOB ⋅NH ， 同理：△BGM ∽△BOA ，∴BM AB =MG OA ，∴BM =ABOA ⋅MG ，∴BM ⋅AN =AB OB ⋅MG ⋅AB OA ⋅NH=AB 2OA⋅OB ⋅NH ⋅MG =(7√103)27×73×2m ⋅m =203.17. 【答案】 (1) 将 x =4 代入 y 2=14x 得：y =1，所以 B (4,1)．所以 k =xy =4×1=4，所以反比例函数的表达式为 y =4x ．(2) 由正比例函数和反比例函数的对称性可知点 A 的横坐标为 −4．因为 y 1>y 2，所以反比例函数图象位于正比例函数图象上方，所以 x <−4 或 0<x <4．(3) 过点 A 作 AR ⊥y 轴于 R ，过点 P 作 PS ⊥y 轴于 S ，连接 PO ，设 AP 与 y 轴交于点 C ，如图，因为点 A 与点 B 关于原点对称，所以 OA =OB ，所以 S △MOP =S △BOP ，所以 S △PAB =2S △AOP ．y 1=4x 中，当 x =1 时，y =4， 所以 P (1,4)．设直线 AP 的函数关系式为 y =mx +n ，把点 A (−4,−1)，P (1,4) 代入 y =mx +n ，则 {−4m +n =−1,m +n =4,解得 m =1，n =3．故直线 AP 的函数关系式为 y =x +3，则点 C 的坐标 (0,3)，OC =3，所以 S △AOP =S △AOC +S △POC =12OC ⋅AR +12OC ⋅PS =12×3×4+12×3×1=152，所以 S △PAB =2S △AOP =15．18. 【答案】 (1) 将 A (−3,4) 代入 y =m x ，得 m =−3×4=−12，∴ 反比例函数的解析式为 y =−12x ；将 B (6,n ) 代入 y =−12x ，得 6n =−12，解得 n =−2，∴B (6,−2)，将 A (−3,4) 和 B (6,−2) 分别代入 y =kx +b (k ≠0)，得{−3k +b =46k +b =−2, 解得 {k =−23b =2, ∴ 所求的一次函数的解析式为 y =−23x +2； (2) 当 y =0 时，−23x +2=0， 解得：x =3，∴C (3,0)， ∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3，∴S △AOB =6+3=9；(3) 存在．过点 A 作 AP 1⊥x 轴于 P 1，AP 2⊥AC 交 x 轴于 P 2，如图，∴∠AP 1C =90∘，∴A 点坐标为 (−3,4)，∴P 1 点的坐标为 (−3,0)，∴∠P 2AC =90∘，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90∘，而 ∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90∘，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，∴AP 1CP 1=P 1P 2AP 1，即 46=P 1P 24， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173，∴P 2 点的坐标为 (−173,0)，∴ 满足条件的 P 点坐标为 (−3,0) 、 (−173,0)．19. 【答案】(1) 若将 A (2,2) 代入 y =kx ，所以 2k =2，所以 k =1，所以正比例函数的解析式为：y =x ． 将 A (2,2) 代入 y =m x ，所以 m =2×2=4，所以反比例函数的解析式为：y =4x ； (2) 因为直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得，所以 B (0,3)，所以直线 BC 的解析式为：y =x +3， 联立 {y =x +3,y =4x ,解得：{x =1,y =4, 或 {x =−4,y =−1,因为点 C 在第一象限，所以点 C 的坐标为 (1,4)，因为 OA ∥BC ，所以 S △ABC =S △BOC =12×3×1=32．(3) 设 D (m,4m )，因为 DC ⊥BC ，所以 k DC ⋅k BC =−1，因为 k DC =4m −4m−1=−4m ， 所以 −4m ×1=−1．所以 m =4，所以 D (4,1)．20. 【答案】 (1) ∵ 反比例函数 y =2x的图象和一次函数的图象交于 A ，B 两点，点 A 的横坐标是−1，点 B 的纵坐标是 −1，∴A (−1,−2)，B (−2,−1)，设一次函数的表达式为 y =kx +b ，把 A (−1,−2)，B (−2,−1) 代入，得：{−k +b =−2,−2k +b =−1, 解得 {k =−1,b =−3,∴ 这个一次函数的表达式为 y =−x −3．(2) ∵ 点 P (m,n ) 与点 Q 关于 x 轴对称，∴Q (m,−n )，∵ 点 P (m,n ) 在反比例函数图象上，∴mn =2，∵ 点 Q 恰好落在一次函数的图象上，∴−n =−m −3，即 n =m +3，∴m (m +3)=2，∴m 2+3m =2，∴m 2+n 2=m 2+(m +3)2=2m 2+6m +9=2(m 2+3m )+9=2×2+9=13.(3) 如图，过 M 作 MG ⊥x 轴于 G ，过 N 作 NH ⊥x 轴于 H ， ∵M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 是反比例函数 y =2x 在第一象限图象上的两点，∴S △MOG =S △NOH =12∣k ∣=1．∵x 2−x 1=2，y 1+y 2=3， ∴S △MON =S △MOG +S MNHG −S △NOH =S MNHG =12(y 1+y 2)(x 2−x 1)=3.。
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反比例函数与三角形1、如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形1P 、2P 在函数4y x=（0x >)的图像上,斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，则点2A 的坐标__________2、如图所示,()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…,1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形,斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…__________3、如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与y= 错误!相交于C 、D 两点，过C 点作CE⊥y 轴，垂足为E 点，S △BDE = 错误!，则k=__________XE 是点C 关于点A 的中心对称点，EF ⊥OA 于F,若△AOD 的面积与△AEF 的面积之和为 错误!时，则k=__________5、如图，反比例函数y=错误!(k<0)与直线y=x+4交于C 则k=6、如图,直线y=—x+b 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，与双曲线y= 错误!相交于C 、D 两点，当S △BOC + S △AOD= S △COD 时，b=kAC 交y 轴于点D ，且D 为AC 的中点，若△ABC 的面积为52，则k=8、如图，直线y=–错误!x 与双曲线y= 错误!交于A 、B 两点，C(5，0)为x 轴正半轴上一点，若∠ACB=90°，则k=9、将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图,直线a 与反比例函数()10y x x=>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ,则22OA OB -=DBAyxOC 10、如图,平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO =90°,点A 的坐标为（1，2）。
将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =k x（x>0）上,则k 的值为11、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(6-，4）,则△AOC 的面积为12、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝yxOBCA（第18题）OC 于B ，则△ABC 的周长为14、如图，A 、B 是双曲线 错误!上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ,线段AB 的延长线交x轴于点C ，若S △AOC =6．则k=15、如图，在平面直角坐标系中,函数（,常数）的图象经过点，，（）,过点作轴的垂线,垂足为．若的面积为2，则点的坐标为16、关于x 的一元二次方程()01222=+-+k x k x 的两根21,x x 满足02221=-x x ，双曲线xky 4=（x－6OB xy A17、已知反比例函数y =k x 的图像经过点A （31），点O 是坐标原点,将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段OB ，则点B (是、否)在反比例函数的图像上.18、已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图,点A 的坐标为()333-,点B 的坐标为()60-，． ①若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数63y =的图像上，求a 的值；②若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）．当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上,求k 的值．19、如图:等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴,若双曲线y= （k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是20、如图，在第一象限内，点P （2，3)，M(α,2）是双曲线y=xk（k ≠0)上的两点，PA ⊥χ轴于点B ，MB ⊥χ轴于点B ，PA 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为21、双曲线y y 21==与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线E FP NB M A xy OEDCBAOxy二、反比例函数与四边形 1、已知点（1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上,矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点,函数k y x=(0x >）的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒,则E 点的坐标 .2、如图，P 是函数12y x=（0x >)图象上一点,直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F 。
则AF BE ⋅=3、已知:在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上，则点F 的坐标的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，的对角线交于点E ，则E 点的坐标XxOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为(4，0），顶点G的坐标为（2,0）。
使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A。
A，则k=6、如图,矩形ABCD的边AB在x轴上，直线y=—错误!—1经过A,C两点，过D点的双曲线y= 错误!恰好经过AC的中点M，则k=7、如图，点Ｐ为双曲线y= 错误!(x 〉0）上一点，轴于点B ，PA,PB 分别交双曲线y= 错误!（x 〉0）于C 、D ，连CD ，若S BC 在x 轴上，E 为CD 的中点，点A ，E 在双曲线y= 错误!上，则S 矩形9、如图所示，已知菱形OABC ,点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ,菱形OABC .若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为10、如图,反比例函数y ＝错误!（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为11、如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x交OB于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值y A S12、函数6y x =-与函数40yx x的图象交于A 、B 两点,设点A 的坐标为()11,x y ，则边长分别为1x 、1y 的矩形面积和周长分别为13、如图,若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1y x=(0x >)的图象上，则点E 的坐标是14、如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=15、如图，双曲线)0(＞k xky =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。
若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为16、反比例函数y=-5x的图像如图所示，P 是图像上的任意点，过点P 分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB ，点D 是对角线OP 上的动点，连接DA 、DB ，则图中阴影部分的面积是17、已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。
正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x xky 的图像又经过A 、E 两点,则点E 的横坐标为__________18、如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点,菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=的图像上，则菱形的面积为____________19、如图，点A （x 1，y 1)、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)ky x x=>上，且214x x -=,122y y -=；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14,那么双曲线的解析式为20、函数y= 错误!和y=错误!在第一象限内的图像如图，点P 是y= 错误!的图像上一动点,PC ⊥x 轴于点C ，交y=错误!的图像于点B.给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA= 13AP 。
其中所有正确结论的序号是y=k 2xy=k 1xP DyBAEO X YCBA DD O C A PB y x21、如图，矩形ABCD 的一边AD 在x 轴上,对角线AC 、BD 交于点E ，过B 点的双曲线y= 错误!（x 〉0)恰好经过点E ，①若k=4,则矩形ABCD 的面积为 ②若AB=4，AD=2，则k 的值是22、两个反比例函数1k y x =和()2120k y k k x =>>在第一象限内的图象如图所示,动点P 在1k y x=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ,PD y ⊥轴于点D ,交2ky x=的图象于点B ． ⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时,求DB BP 的值；。