第2章投影的基本知识-第二章第6节几何体的投影
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
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b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
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B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
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C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
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两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
第二章 投影的基本知识
投影面平行线的投影图和投影特性见表2-1。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
表2-1 投影面平行线的投影图和投影特性
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
（2）三面正投影图中的点、线、面符号 为了作图准确和便于校核，作图时可把所 画物体上的点、线、面用符号来标注（如图218所示）。 一般规定空间物体上的点用大写字母A、B、 C、D…或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ…表示，面用P、Q、 R…表示。 点或面的投影用相应的小写字母表示。 直线不另注符号，用直线两端点的符号表 示，如AB直线的正面投影是a′b′。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
从图中可以看出点的投影规律： （1）点的V面投影a′和H面投影a的连线垂直 于OX轴（aa′⊥ OX）。 （2）点的V面投影a′和W面投影a″的连线垂直于 OZ轴（a′a″⊥ OZ）。 （3）点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W 面投影a″到OZ轴的距离（ aax=a″az )。 由此可见，在点的三面正投影图中，任何两 个投影都有一定的联系，因此，只要给出一点的 任意两个投影，就可以求出其第三个投影。
2.1 投影的概念
2.2 基本几何元素的投影
2.3 点、直线及平面的投影
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
2.1 投影的概念 2.1.1 投影的形成与分类
1.投影的形成 影子与投影概念的区别： （ 1 ）物体在光源的照射下会出现影子。如图 2-1（a）。 （ 2 ）光源发出的光线，透过形体而将各个顶 点和各条侧棱都在平面 P上投落它们的影，这些 点和线的影将组成一个能够反映出形体各部分 形状的图形，这个图形称为形体的投影。如图21（b）。
第 二 章 投 影 的 基 本 知 识
（a）中心投影
几何体中投影的概念
几何体中投影的概念几何体的投影是指将三维空间中的一个物体或图形在某个平面上所产生的影子或映像。
投影在我们日常生活中无处不在，例如当太阳光通过云层投射到地面上时，我们可以看到地面上的云层的阴影；或者当我们在平面上画一个三维图形的投影时，我们可以更清晰地观察到这个图形的形状和特征。
投影在建筑设计、工程制图、航空航天等领域都起着重要的作用。
几何体的投影可以分为平行投影和透视投影两种。
平行投影是指物体上的所有点通过平行线投射到平面上，使得投影保持原来的形状和大小不变。
透视投影则通过视点和物体上的点之间的直线来进行投影，使得近处的物体投影较大，远处的物体投影较小，呈现出透视效果。
在平行投影中，光线是平行于彼此且垂直于投影平面的。
常见的平行投影有正交投影和斜投影两种。
正交投影的光线与投影平面垂直，投影结果是一个等边形，即保持长度和角度不变。
斜投影的光线与投影平面有一定的夹角，投影结果是一个相似形，即保持长度不变但会改变角度。
透视投影是模拟人眼视觉效果的一种投影方式。
在透视投影中，物体通过一条视线与视点相交，从而产生投影。
透视投影也分为单点透视投影和多点透视投影。
单点透视投影是指物体上的点通过视线在投影平面上的交点投影，而多点透视投影则是根据视点的不同将物体上的不同点分别投影至不同的投影平面上。
投影的概念主要包括以下几个要点：1. 投影平面：投影平面是指用来接收和显示投影的平面。
投影平面可以是水平的、垂直的或倾斜的。
根据需要，我们可以选择不同的投影平面来观察物体的投影效果。
2. 投影点：投影点是指物体上的点在投影过程中与投影平面的交点。
通过投影点，我们可以确定物体在投影平面上的位置。
3. 投影线：投影线是指从投影点引出的光线或投影线段。
投影线在投影过程中起着重要的作用，它们描述了物体上各个点的位置关系。
4. 投影形状：投影形状是指物体在投影平面上所呈现出的形状。
根据物体的形状和投影平面的位置，投影形状可以是点、线、面等不同的形式。
中职《机械制图》第二章必背知识点
第二章正投影法与三视图第一节投影法的概念投影法：从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法。
投影法可分为两大类：中心投影法、平行投影法。
一、中心投影法1、定义：投影线互不平行的投影方法。
2、特点：投影比实物大，立体感强。
3、适用：外观图，美术图，照相等。
二、平行投影法1、定义：投影线互相平行的投影方法。
a、斜投影：平行投影中，投影线与投影面倾斜。
b、正投影：平行投影中，投影线与投影面垂直。
第二节三视图的形成及投影规律物体是有长、宽、高三个尺度的立体。
我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。
为了准确地表达物体的形状和大小，我们选取互相垂直的三个投影面。
一、、三投影面体系三面:正立投影面：简称正面用V表示水平投影面：简称水平面用H表示侧立投影面：简称侧面用W表示OX轴：V面与H面的交线。
OY轴：H面与W面的交线。
OZ轴：V面与W面的交线。
OX轴、OY轴、OZ轴的交点为原点（O）。
二、三视图的形成1.三视图主视图：正面投影（由物体的前方向后方投射所得到的视图）俯视图：水平面投影（由物体的上方向下投射所得到的视图）左视图：侧面投影（由物体的左方向右方投射所得到的视图）2.三视图的展开规定正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转900，侧面绕OZ轴向右旋转900。
三、三视图之间的对应关系1、位置关系:主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在左视图的正右方。
2、投影关系：主视图反映物体的长度和高度。
俯视图反映物体的长度和宽度。
左视图反映物体的高度和宽度。
主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。
主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。
俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。
归纳：主视、俯视长对正．．．（等长）。
主视、左视高平齐．．．（等高）。
俯视、左视宽相等．．．（等宽）。
四、方位关系主视图反映了物体的上下左右方位。
俯视图反映了物体的前后左右方位。
第二章 投影的基本知识
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
投影的基本知识 ppt课件
X X
OZ轴
Z
侧面W
原点O
O
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OX轴 水平面H
H
OY轴
Y
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2.物体在三投影面体系中的投影
将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各 投影面投射，即可得到物体的正面投影、水平面投 影和侧面投影,如图所示。
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3.三投影面的展开
为了画图方便，规定V面不动，H面绕OX轴向下旋 转900，W面绕OZ轴向右旋转900，使得三投影面处于 同一平面，由于视图和平面大小无关，所以投影面的范 围不必画出。
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3.类似性
平面图形(或直线)与投影面倾斜时，其投影变小 (或变短)，但投影的形状与原来形状相类似的性质,称 为类似性。
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d b
c
4.平行性
a
b
d
a
c
若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各 个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
X
下
后
反映了前后 左右
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Z
反映了前 后、 上下
O后
上 前
右 前
下 Y
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小结
1.三面投影与直角 坐标的关系
正面投影——X长、Z高 侧面投影——Z高、Y宽 水平投影——X长、Y宽
2.三视图之间的投 影关系
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第二节、平行投影的基本性质
１.显实性 ２.积聚性 ３.类似性 4.平行性 5.从属性与定比性
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1.显实性(实形性)
第二章 投影的基础知识
第二章 投影的基本知识
图2-16 两点间的相对位置
第二章 投影的基本知识
图2-5 类似性
第二章 投影的基本知识
2.2 物体的三面视图
图2-6 一个视图不能反映物体的形状
第二章 投影的基本知识 2.2.1 三视图的形成 1． 三投影面体系
互相垂直相交的三个投影面，称为三投影面体系，如图27所示。 它们分别是：
正立投影面：直立在观察者正对面的投影面，简称正面， 用字母V表示； 水平投影面：水平位置的投影面，简称水平面，用字母 H 表示； 侧立投影面：直立在右侧面的投影面，简称侧面，用字母 W表示。
上不画投影面的边框线和投影轴，如图2-8(d)所示。
第二章 投影的基本知识
2.2.2 三视图之间的对应关系
将投影面展开到一个平面上后，各视图必须有规则的配置， 并相互之间形成一定的对应关系，如图2-9 所示。
第二章 投影的基本知识 1．位置关系 以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视 图的正右方。 画三视图时必须按以上的投影关系配置。
图2-10 保持宽相等的三种画法
第二章 投影的基本知识
例2-1
以图2-11 所示物体为例，说明画三视图的方法和
步骤， 如图2-12所示。
图2-11 轴测图
第二章 投影的基本知识
图2-12 三视图的画图步骤 (a) 选主视图， 画基准线; (b) 先从主视图画起; (c) 根据尺寸关系， 逐一画全三个视图; (d) 加深、 擦去作图线， 完成三视图
第二章 正投影的基本知识
投影面平行面： 平行于某一个投影面的平面。
一般位置平面： 对三个投影面都倾斜的平面。
图2-33 平面相对于投影面的位置
c′
Z a″
c″ b″
(2)、投影面垂直面
a′ X a b b′
铅垂面
正垂面 侧垂面
YW
c
YH
投影面垂直面的投影特性
•在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内的 两根投影轴倾斜的直线；该直线与相邻投影轴的夹 角反映该平面对另两个投影面的倾角。 •另外两个投影面上的投影均为空间平面的类似形。
xA<xB
yA>yB
,
故A点在右，B点在左 ,
YW
故B点在后，A点在前
zA>zB
,
YH
故A点在上，B点在下
2.重影点 空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。 被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
d”
c”
d
结论：两直线不平行
2.相交 如果空间两直线相交，则它们的同面投 影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之， 如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点 的投影规律，则这两直线在空间一定相交。
[例2-5]
判断两直线是否相交？
z
d'
可用两种方法判断： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
Y
YH
2.投影面上的点
到某个投影面的距离（一个坐标值） 为零。
YW YH
Y
3.投影轴上的点 到某两个投影面的距离（二பைடு நூலகம்坐标值）
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几何体分为平面立体和曲面立体两种。
表面均为平面的立体 平面立体
表面为曲面或曲面与平面的立体 曲面立体
三棱柱
三棱锥
圆柱
圆锥
球
圆环
一、平面立体
1.棱柱体
Z
V
（1）棱柱体三视图
W
Y
X
正 六
共有8个面
棱 顶面、底面是正六边形，为水平面
柱 前面、后面是长方形，为正平面
分 析
4个侧面，是长方形，为铅垂面
分
4条——侧垂线
析
一、平面立体
1.棱柱体
Z
V
（1）棱柱体三视图
W
XLeabharlann Y正 六通共过有上1述2演个示点可以看
棱 出，绘制平面立体的三视
柱 图，实质上就是立体上的
分 析
“点、线、面”的投影。
一、平面立体
m'
（2）棱柱体表面上的点
m"
Z
V
m'
X
M
m Y
W
m m"
立体表面上点的投影求法
1.当点在特殊位置平面上时，应利 用其投影的积聚性，直接求出。
2.当点在一般位置平面上时，可通 过作辅助线的方法，间接求出。
3.点所在平面的投影可见，则点的 同面投影也可见。反之，为不可见，并 加上括弧。
常见棱柱体的投影
正三棱柱
直四棱柱
正四棱柱
正五棱柱
正六棱柱
正六棱柱
2.棱锥
（1）棱锥的三视图 （2）棱锥体表面上的点
V
S
m'
1'
M
m"
A
C
1 B
1m
棱锥的空间投影
1) 球面的形成
图 主视
2) 球的投射情况
左 视 图
主视轮廓线 俯视图
左视轮廓线 俯视轮廓线
3) 球的三视图
平行V面 圆素线的投影
上下
半球的 分界线
平行W面 圆素线的投影
左右
半球的 分界线
平行H面 圆素线的投影
前后
半球的 分界线
4) 圆球体表面上的点 已知球体表面上点M的水平面投影m ，求 m' 、 m"。
最前素线
2)圆柱体三视图
最左素线的投影
它们把圆柱(面)分成前 后两半最，右是素V线面的投投影影的转向 轮廓线和可见与不可见的分 界线。
最前素线的投影
最后素线的投影 它们把圆柱(面)分成左 右两半，是W面投影的转向 轮廓线和可见与不可见的分 界线。
最后素线 最左素线
最右素线 最前素线
3)圆柱体表面上的点
一般位置平面上点的求法
辅助线法 s'
平行线法 s"
2' m'
a' 1' b'
a
2
s
1m
b
m"
c' a"(c")
b"
c
常见正棱锥体及三视图
正三棱锥 正五棱锥
正四棱锥 正六棱锥
常见正棱台及三视图
正三棱台 正四棱台
正五棱台 正六棱台
二、曲面立体
1.圆柱体
图 主视
12)圆柱面体的三形视成图
左 视 图
最左素线 俯视图
一、平面立体
1.棱柱体
Z
V
（1）棱柱体三视图
W
X
Y 正 共有18条线
六 棱
8条——水平线
柱
分
析
一、平面立体
1.棱柱体
Z
V
（1）棱柱体三视图
W
X
Y 正 共有18条线
六 棱
8条——水平线
柱
6条——铅垂线
分
析
一、平面立体
1.棱柱体
Z
V
（1）棱柱体三视图
W
X
Y 正 共有18条线
六 棱
8条——水平线
柱
6条——铅垂线
m" m' 辅助圆法
（1）过m作ef∥ox。
（2）在V上面画直径等 于ef的圆。
（3）由m作ox轴的垂线，
与辅助圆在V面上投影
的交点，即为m' 。
m
e
f
M
（4）由m和m' ，求出 m" 。
因辅助圆平行于V面，所以
正面投影为圆，其他两面投影
积聚成直线。
4.圆环
圆环面的形成及其视图分析
5.不完整的几何体 二分之一圆柱
5.不完整的几何体 二分之一圆台
5.不完整的几何体 四分之一圆台
5.不完整的几何体
二分之一球
二分之一球
球
二分之一球
四分之一球
5.不完整的几何体
二分之一圆环
四分之一圆环
已知圆柱体表面上点M的正面投影m',求其m和m" 。
m'
m"
m" m'
M
m m
2.圆锥体 1)圆锥面的形成
主视图
2)圆锥体的三视图
左 视 图
最左素线
俯视图
最前素线
3）圆锥体表面上的点 S
M
圆锥体的三视图
m'
m"
已知圆锥体表面上点M的 正面投影m',求m，m" 。
辅助素线法
m
辅助圆法
圆锥台
3.球