运用公式法分解因式(1)
运用公式法因式分解
运用公式法因式分解一、教学目标1. 认知目标：分解因式的意义.2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式.二、教学重难点1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式.2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解.三、教学过程（一）温故1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 乘法公式：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2(a+b)2＝a2+2ab＋b23. 练一练（二）知新例1. 把下列各式分解因式：(1) (a+b)2 -1 (2) x4-1(1) (a+b)2 -1解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解.解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1)(2) x4-1解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底.x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1)小练手1:(1) (x-3y)2-4x2(2) 9(a+2b)2-4(a-b)2例 2. x3-xy2分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。
x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)小小总结：分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止.小练手2(x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2例 3.把下列各式分解因式：(1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2(1) m2-12m+36解析：直接利用完全平方差公式m 2-12m+36=(m-6)2(2) –a 2+2ab-b 2解析：先提取-1，之后利用完全平方差公式–a 2+2ab-b 2=-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b)2 小练手 3：(1) 19 m 2+1+23m (2)x 4+16y 2-8x 2y例 4.2a 3b+8a 2b 2+8ab 3解析：先提取公因式，然后再利用完全平方式。
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
《公式法》因式分解PPT(第1课时)
B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
公式法分解因式(一)教案
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－ b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2
=（3a+ b）（3a－ b）.
［师］那么这两道题中a2、b2分别对应着谁？
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
课题：运用公式法（1）
*******
班级：三年四班
教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.从右向左可以看作是整式乘法中的平方差公式，从左向右可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两项的符号相反，整体来看是两个整式的平方差.
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
【设计意图】：帮助学生意识到平方差公式中的a、b既可以表示单项式也可以表示多项式。通过分解到每个因式不能再ห้องสมุดไป่ตู้解为止来培养学生数学思维的严谨性。
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）
小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法
小专题( 六 ) 因式 分解的几种常见方法
小专题
因式分解的几种常见方法
（六）
-2-
专题概述
因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而 将多项式化成两个因式乘积的形式. 2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用 来把某些多项式分解因式. 3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因 式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a( m+n )+b( m+n ),又可以提取公因式 m+n,从而得到( a+b )( m+n ).
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
用公式法进行因式分解第一课时课件
因式分解
我们把多项式a² ＋2ab＋b²和
a² －2ab＋b²叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
(1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
a2+2Βιβλιοθήκη b+b2 =(a+b)2. a2−2ab+b2 =(a−b)2.
两数的平方和，加上（或者减去）这两 数的积的2倍，等于这两数和或差的平方. 像 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平式
当堂达标：
1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 是（ D ） A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y D. - X² + y² 2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
考考你
除了平方差公式外，还有哪些公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2 ;
怎样用语言表述
两数和或差的平方，等于这两数的平方和 加上（或者减去）这两数的积的2倍.
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 两个数的平方 和，加上(或减 整式乘法 去)这两数的积 2 a²＋2ab＋ b² = (a＋b) 的2倍，等于这 a²－2ab＋ b² = (a－b)2 两数和(或差)的 平方。
用公式法进行因式分解
教学目标 1.理解运用平方差公式和完全平方公式分 解因式与整式乘法是相反的变形. 2.学会运用平方差公式和完全平方公式分 解因式，并且分解到底. 3.培养观察分析问题的能力. 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 法.
公式法因式分解(1)
例4 如图，求圆环形绿地的面积.
解： π352 - π152 = π(35 -15 ) = (35 +15)(35-15)π 20 π = 50 · = 1000 π (m2)
2 2
答：圆环形绿地的面积是 1000 π m2
——说说本节课你的收获
问题：
记住平方差公式了吗？它有什么特 点？ 运用平方差公式要分几个步骤？ 在使用过程中我们该注意什么？
x2-25
第⑴、⑵两式从左到右是什么变形？ 第⑶、⑷两式从左到右是什么变形？
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差。
a b (a b)(a b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与
这两个数的差的积。
下列各式中，能用平方差公式分解因式的有:
——运用公ห้องสมุดไป่ตู้法
授 课 人：程辛贤
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学 过什么因式分解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关 系？
在横线上填上适当的式子，使等号成立：
1、(x+5) (x-5) = _____ 2-b2 a 2、(a+b) (a-b) = _____ 3、x2-25 = （ _____ x+5） (x-5) (a-b) 4、a2-b2 = (a+b)_____
练习：用平方差公式分解因式：
(1) -0.01+9a2 (2) -36y2+25x2
例 3 分解因式
x4 - y4
解：原式= (x2)2 - (y2)2 = ( x2+ y2) ( x2-y2) = ( x2+ y2) (x+y)(x-y) 练习 :（1）81x4
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1.定a , b 2.变形式 3 .写结果. ●注意:最终结果要保证不能再分解为止,也 就是说分解要彻底.
随堂练习:
1.判断正误:
(1) x2+y2=(x+y)(x-y) (2)x2-y2=(x+y)(x-y) (3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y) (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y)
• (7)9a2p2 –b2q2
• (8) -16x4 +81y4
• (1) a2-81
解原式＝a2－92
•
＝(a＋9)(a－9)
• (2) 36- x2
解原式＝62－x2
•
＝(6＋x)(6－x)
• (3) 1－16b2
解原式＝12 － (4b)2
＝ (1＋4b)(1－4b)
• (4) m2 – 9n2
(2)9a2-
1 b2=(3a)2-( 4
1 2
b)2=(3a+ 12
b)(3a-
1 2
b)
确定多项式中的a和b是利用平方差公式分解
因式的关键．
练一练
• (1) a2-81
(2) 36- x2
• (3) 1- 16b2
(4) m2 – 9n2
• (5) 0 .25q2 -121p2 (6) 16公式:
两个数的和与两个数的差的积等于这两 个的平方差：
(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，就得到：
a2-b2=(a+b)(a-b)
例题讲解
例１ 把下列各式分解因式：
1
（１) 25 —16x2
(2) 9a2— 4 b2
解:（１）25 -16x2=52 -(4x)2=(5+4x)(5-4x)
解原式＝ m2－(3n)2
＝ (m＋3n)(m－3n)
• (5) 0 .25q2 －121p２
解原式＝(0.5q)2 － (11p)2
• ＝(0.5q+11p)(0.5q-11p)
• (6) 169x2 －4y2
解原式＝(13x)2－(2y)2
•
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
• (7)9a2p2 －b2q2
解原式＝(3ap)2－(bq)2
＝(3ap＋bq)(3ap－bq) (8) -16x4 ＋81y4 解原式＝81y4－16x4 ＝(9y２)2－ (4x２)2 ＝(9y2+4x2)(9y2-4x2) ＝(9y2+4x2)〔 (3y)2-(2x)2〕 ＝(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
利用 平方差公式分解因式的步骤:
(×)
(√ )
(× )
(× )
2.分解因式:
(1)a2b2-m2
( 2) (m-a)2-(n+b)2
(3) x2-(a+b-c)2
(4) -16x4 + 81y4
作业:
•P50
•
1 .(1) (3) (5) (6) (7)
(8)
•
2. (1) (3)