数学概念是反映事物本质属性的思维形式
第五章 数学概念、命题与问题解决教学
第五章 数学概念、命题与问题解决教学[教学目标] 了解数学概念的意义和结构，概念的定义和分类；理解数学概念之间的关系、定义方式、定义的规则以及分类的基本方法和规则，使学生明确数学概念教学的重要性、基本要求，并对概念教学进行若干教法探讨。
[学时] 8[教学方法] 课堂讲解；课外阅读[重点、难点] 数学概念的意义、定义方式和分类的基本方法；定义的规则，分类的规则，概念的限制与概括[教学过程]§5.1 数学概念及其教学一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联系的。
人们必须先具有关于某事物的概念。
然后才能作出关于某事物的判断、推理。
概念是判断推理的基础。
另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识，又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。
科学史表明：“科学是与概念并肩成长起来的”。
概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的理解和掌握。
1、数学概念的意义[引题]师问：“等式12)1(22++=+x x x 是不是方程？”生答：“不是。
”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x 取什么数，等式都成立，可以这个等式不是方程。
”师问：“什么叫方程？”生答：“含有未知数的等式叫做方程。
”师问：“等式12)1(22++=+x x x 含有未知数吗？”生答：“含有未知数x ，这是方程。
原来我认为含有未知数的恒等式不是方程，这是不对的。
”师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?”生答：“有无穷多解。
”师问：“对。
有的方程有有限个解，例如：x +1=0只有一个解；有的方程无解，例如: 012=+x 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程12)1(22++=+x x x 就是一例。
”——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。
什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。
小学数学论文：巧用分类,让学生轻松学概念
巧用分类，让学生轻松学概念数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。
小学数学中反映数和形本质属性的数字、图形、符号、名词术语和定义、法则等都是数学概念。
概念教学是数学教学的一个重要组成部分，它具有极强的基础性。
概念教学的效果如何将直接影响学生对数学知识的理解和掌握，关系到学生解题能力的培养与提高。
小学数学中概念描述比较抽象，小学生学习概念普遍存在一定难度，但许多概念之间又有着密切联系，若在概念教学中充分运用分类方法，便能使学生准确、牢固地掌握数学概念。
一、巧用分类，引入概念的教学概念的引入是概念教学的第一步，它是形成概念的基础。
引入这个环节设计、组织得好，后面的教学活动就能顺利展开，学生就会对教师所提供的感性材料进行比较、分类，继而顺利地形成概念。
如:我在上《平面图形密铺》时，是这样进行教学的：课前出示下面图片，让学生欣赏，感受图片的美。
（1）（2）（3）（4）师：漂亮吗？这些图片都是由我们以前学过的平面图形拼成的。
请小朋友再次仔细观察这组图形，你能给这些图形分分类吗？生：按图形的中间是否有空隙分：图形中间没有空隙的；（1）、（4）；图形中间有空隙的：（2）、（3）；师：是呀，像（2）、（4）这样的，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。
这样设计使小朋友在欣赏、比较分类中初步感受了什么是平面图形的密铺，导致学生迫切想进一步了解有关密铺的相关知识，这样就激发了学生的学习欲望，提高了学习积极性，使学生更好地掌握平面图形的密铺。
二、巧用分类，形成概念的教学形成概念的教学是整个概念教学过程中至关重要的一步。
概念的形成是通过对具体事物的感知、辨别而抽象、概括出概念的过程，因此学生形成概念的关键就是发现事物或形的本质属性或规律。
数学中的一些概念是相互联系的,既有相同点,又有不同之处。
只有理清这些,才能建立明确的概念。
而对这类概念,应用对比分类的方法找出它们之间的联系、区别，使学生更加准确地理解和牢固记忆学过的概念。
4.1概念的概述 练习 高二政治统编版选择性必修3逻辑与思维(解析版)
第1课时概念的概述一、选择题1. 人脑反映客观事物本质特征或本质属性的思维形式是()A.推理B.判断C.概念D.词汇2. 概念A与概念B之间有交叉关系,当且仅当,(1)存在对象x,x既属于A又属于B;(2)存在对象y,y属于A但不属于B;(3)存在对象z,z属于B但不属于A。
根据上述定义,两个概念之间具有交叉关系,下列符合这一关系的是()A.人物画;工笔画B.电影《盗梦空间》;最佳影片C.食堂总经理;学生D.高校教师;副教授3.概念是反映事物本质属性的思维形式。
对概念认识正确的是()①概念反映事物的属性②是思维形式最基本的组成单位③是构成命题、推理的要素④是人脑对事物的正确反映A.①②B.②③C.②④D.①④4.下列对概念认识正确的是()①概念是反映事物属性的思维形式②概念的基本特征是抽象性和概括性③概念只有通过语词才能表达出来④任何概念都是内涵和外延的统一A.①②B.②③C.②④D.③④5.有位病人想吃水果,家人给他一个苹果,他反对道:我要吃水果,不吃苹果。
这位病人没有看到水果与苹果的()A.全同关系B.属种关系C.种属关系D.反对关系6. 有两个猎人老伊和老鲍看见一棵大松树上有一只可爱的小松鼠。
奇怪的是,老伊和老鲍干脆围绕着这棵大松树走了一圈,没想到的是,这只松鼠也在树上绕了一圈,它的脸一直对着两个猎人,并且双眼紧紧盯着他们。
这时候,在旁边观望的另一个猎人问他们:“你们有没有绕着松鼠走了一圈?”“有,”老伊说, “不对不对!”老鲍马上表示反对。
从科学思维的角度,两个人的分歧在于:()A.不明白“围绕松鼠转一圈”的内涵B.不明白“围绕松鼠转一圈”的外延C.不明白“围绕松鼠转一圈”的表达形式D.不明白“围绕松鼠转一圈” 的抽象性和概括性7.概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的全部对象。
根据概念外延之间是否有重合的部分,可将概念间的关系区分为相容关系和不相容关系。
概念间的相容关系是指两个概念外延至少有部分重合的关系。
第四章 中学数学的逻辑基础
三、概念间的关系
概念间的关系是指两个概念间的外延关系. 概念的外延可以用集合表示，根据集合
间的运算关系，我们来确定概念间的外延 关系。 为叙述方便，我们设概念甲、乙、丙的 外延集合分别为A、B、C，它们都是非空 集合，那么我们可以得到如下几个概念间 的关系：
1.相容关系
如果A∩B≠Ф，那么称概念甲与概念乙 之间是相容关系.
形式。 这里所指的本质属性是反映事物的内部 的联系，是决定事物根本性质的属性， 并通过这种属性把一类事物同另一类事 物区别开来。概念是从客观事物个体性 中抽象出来的。
例如，圆是一类事物，圆的概念揭示了 平面内到定点的距离等于定长的本质属 性。
数学概念是反映事物的数量关系和空间 形式方面的本质属性的思维形式。
（如下图）
例如平行四边形和菱形这两个概念具有 属种关系。
又如有理数与自然数这两个概念也 是属种关系。其中平行四边形、有 理数是属概念，菱形和自然数分别 是种概念。
∩ ∩
（3）交叉关系
如果集合（ A ∩ B） A，且(A∩B) B， 即两个概念的外延集合相交只有一部分重 合，则称这两个概念是交叉关系。可表示 为如下的图形：
3．下定义的方法
由于一个概念的表达方式不同对应着不 同的定义方法，最常见的定义方法是：
（1）属种定义法 属种定义法即“属加种差定义法”，这
种定义方法用公式表示是： 被定义项=种差+邻近的属概念
例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形
↓↓
↓
↓
被定义项 联项种差源自邻近的属从上面的定义方法我们可以看出，利用属种定义法下定义，
4．定义的规则
要给一个概念下定义，除了具有其相应的 专业知识外，还要遵守下定义的规则。
关于数学概念教学的几点体会
关于数学概念教学的几点体会广西2012年开始进入新课改，对教师提出更高的要求.有些教师对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；不知如何教概念.导致课堂教学抓不住数学概念的核心，学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱高中新课改，对教师提出了更高的要求。
一方面，课标内容比原来的大纲版教材内容明显增加。
内容的增加，给高中数学教师带来挑战。
另一方面，模块教学的要求，几乎每一节课都是新课，使教师没有更多的时间上习题课，讲评作业，甚至做检测，这对于课堂教学的要求大大提高了。
以往的教学，课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。
学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。
对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；有些老师不知如何教概念.概念教学走过场，常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，以解题教学代替概念教学，认为让学生多做几道题目更实惠。
概念是反映事物本质属性的思维形式。
正确的概念是科学抽象的结果。
人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过“透过现象看本质”的过程，舍掉事物的次要属性，保留事物的本质属性，进而形成了概念。
任何概念都有含义、意义。
概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。
概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延式概念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是那些事物。
概念的内涵和外延式来那个个密切联系、互相依赖的因素。
每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。
数学概念的学习
数学概念的学习【摘要】：能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程称为概念学习。
例如，上述关于矩形概念的学习，学生将矩形与平行四边形比较，发现新概念是已有的旧概念的组合，于是通过建立新旧概念的联系去获得矩形概念。
由于数学概念具有多级抽象的特征，学生学习新概念在很大程度上依赖于旧概念以及原有的认知结构，所以概念同化的学习方式在数学概念学习中是经常和普遍使用的，特别是对高年级的学生学习数学概念更加适合。
数学概念是数学知识的重要组成部分，是数学学习的主要内容。
一、数学概念的定义能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程称为概念学习。
概念学习的特点是抽取一类对象的共同特征，而辨别学习的特点则是识别一类对象的不同特征，这是两者的区别。
但是，在概念学习中，共性的抽象总需要有一定的区分能力，因此，辨别学习又是概念学习的前提。
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。
如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。
这就是四边形的本质属性。
例如，人们从现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识。
在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识圆的本质属性：“圆是平面内到一个定点的距离等于定长的点集（或封闭曲线）。
”这样就形成了圆的概念。
数学概念的语词表达的一般形式是“（概念的本质属性）……叫做……（概念的名词）”。
二、数学概念的特征（一）数学概念具有抽象和具体的双重性数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式上的本质属性的思维形式，它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。
这种抽象可以脱离具体的物质内容，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象，形成一种具有层次性的体系。
譬如，函数→连续函数→可微函数。
这就是一个函数概念体系的抽象体系。
显然，随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高。
数学课程与教学论
《数学课程与教学论》复习题库1．当前，我国已由原来的仅适合精英教育的数学课程,向着大众化、层次化教育的课程转变。
2．当前中学数学教学改革的三大趋势是大众数学、服务性学科、问题解决。
3．数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
4．数学具有高度的抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性。
5.数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式。
6．数学教育是传承人类数学文化的教育活动。
7．数学学习的特点有哪些?答：数学学习是数学语言的学习，也是一种科学的公共语言的学习；数学学习是一个“数学化”的过程，需要较强的抽象概括能力；数学学习是一个逻辑推理过程，需要较强的逻辑推理能力；数学学习是一个再创造的过程，需要极强的非逻辑思维能力；数学学习是能使学习者形成良好心理品质、科学态度、富于创造开拓精神和良好素质。
8．中学数学学习的特点有哪些？答：中学数学学习是人类发现基础上的再发现；是有目的、有计划地进行学习；中学数学学习的重点在于知识的学习和能力的培养。
9．数学概念学习的基本方式是什么？什么是概念形成？什么是概念同化？答：有概念形成和概念同化。
概念形成的学习过程一般是主体对客观事物反复感知和进行分析、比较、抽象的基础上，概括出某一类事物的本质性的过程. 概念同化的学习过程一般是接受他人以定义方式给出的概念，主体进行认知磨合，得其要领，掌握概念。
10.以概念形成理论为基础的数学概念教学的基本步骤是什么？答：数学概念教学的基本步骤依次是：（1）创设情境引入数学概念；（2）分析、比较不同的例证，对相关属性进行概括和综合；（3）从例证中概括出共同特征；（4）抽象出概念的本质属性；（5）形成概念的定义，并用符号表示数学概念；（6）概念正反例证辨析，进一步明确概念的内涵和外延；（7）概念的初步应用，建立与相关概念的联系。
11．影响数学概念学习的原因有那些？答主要有数学概念意象化；受直觉的影响；游离于概念本质；认知惯性；概念僵化；概念简单化。
数学教育学.pdf
单选题1.影响中学数学课程因素：（）A.社会因素、数学因素、学生因素、教师因素、教育理论因素、课程的历史因素B.课程因素C.教育因素D.学生因素答案:A2.说课是指教师在备课的基础上结合有关的教育、教学理论，以讲述的形式向听的对象，就一节课或一个单元（章节）或一个知识点（）程序然后由听的教师评议，以达到互相交流共同提高的一种教研活动形式。
A.说教材、说教法、说学法、说教学B.说教育、说教法、说学法、说教学C.说教材、说教研、说学法、说教学D.说教材、说教法、说学术、说教学答案:A3.心智活动技能是指:（）A.数学活动的心智活动方式B.新旧知识相互作用阶段C.操作阶段D.心智活动技能答案:A4.任何事物的运动都有（）形式。
A.相对的静止B.绝对的运动C.绝对的静止D.相对的静止和绝对的运动答案:D5.心智活动技能是指顺利完成:（）A.数学活动的心智活动方式B.新旧知识相互作用阶段C.操作阶段D.心智活动技能答案:A6.数学的德育价值是指数学在形成和发展人的（）道德色彩和个性品质所具有的教育作用和意义。
A.科学世界观B.社会世界观C.审美世界观D.人类世界观答案:A7.刺激输入的过滤或改变:（）A.评价主体B.顺应C.同化D.评价方式答案:C8.数学教育的价：（）A.实践价值、认识价值、美育价值、德育价值B.实践价值、认识价值、美育价值C.实践价值、认识价值D.实践价值答案:A9.影响学习迁移因素:（）A.积极因素和主观因素B.客观因素和消极因素C.客观因素和主观因素D.消极因素和主观因素答案:C10.发现学习是学生独立地获得知识有：（）A.学术思想B.学识方式C.学习方式D.学习方法答案:C11.数学问题是运用已有的（）经过积极的探索、思考才能解决的问题。
A.数学概念、语言或评价B.数学内容、语言或评价C.数学概念、理论或方法D.数学内容、理论或评价答案:C12.课程教材直接服务对象（）。
A.师生B.学员C.教师D.学生答案:D13.学习的迁移：（）A.学习者所习得的学习形式对其他学习的影响B.学习者所习得的学习结果对其他学习的影响C.学习者所习得的学习内容对其他学习的影响D.学习者所习得的学习过程对其他学习的影响答案:B14.理解数学问题、符号、方法和证明的本质的能力是:（）A.文学能力B.数学能力C.理解能力D.认知能力答案:B15.根据数学的特点，考虑数学知识结构时，应遵循的原则是：A.逻辑性原则、应用的广泛性原则、统一性原则B.逻辑性原则、应用原则、统一性原则C.逻辑性原则、广泛性原则、统一性原则D.逻辑性原则、应用的广泛性原则、唯一性原则答案:A16.学习中已获得的（）对其他学习的影响可能是积极的，也可能是消极的。
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1.数学概念是反映事物本质属性的思维形式。
它反映的是一类具有共同属性的
事物（能区别于其他事物）的全体。
思考：什么是属性？什么是本质属性？
客观事物都有各自的许多性质，称为属性．
一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，便称其为这种事物的本质属性．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．
2.任何一个数学概念都有它确定的含义以及所确定的对象范围，这就是说数学
概念是由它的内涵和外延组成。
一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．
概念的内涵是概念在质的方面的反映。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．
数学概念所反映的全部对象，是概念在量方面的反映，说明概念所反映事物的范围。
数学概念的内涵和外延相互联系、互相依赖，给定一个概念，意味着就确定了它的内涵和外延。
概念的内涵和外延之间遵循着反变关系，即当概念的外延集合缩小，就会得到概念内涵增多的新概念；反之，当概念的外延集合扩大就会得到概念内涵减小的新概念。
3.如果一个命题的条件和结论中所含的单纯事项不止一个，有时为了更深入地
研究这些事项间的逻辑联系，我们不把条件和结论整个换位，而只是把它们的部分事项换位，所得的命题称为原命题的偏逆命题．
4.例原命题：等腰三角形顶角的平分线是底边上的高和中线。
逆命题：等腰三角形底边上的高和中线是顶角的平分线。
偏逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线和底边上的中线。
这些不加证明而被承认其真实性的命题叫做公理．
5.经过证明为真实的命题叫做定理．。