2018届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试理科数学(5.24)扫描版

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东北师范大学附属中学、吉林一中,重庆一中等五校2018届高三1月联合模拟考数学(理)试题含解析

2018届高三联合模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集）【答案】A故选A2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A故选A3. 以下有关命题的说法错误．．的是（）A. ”的逆否命题为“若B.C. 对于命题，均有D. 与至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于A.正确：对于B. ”，故“分条件，正确；对于C.正确；对于D.D错误.故选D4. 下列函数中既是偶函数又在）D.【答案】B【解析】对于R,奇函数；故排除A；对于对，是偶函数，但在C；对于 D.故选B5. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A. 多1斤B. 少1斤C.D.【答案】C则，故选C6. ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B不满足退出循环的条件；不满足退出循环的条件；，满足退出循环的条件；4，故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数）【答案】D【解析】图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，则.即函数的图象的一个对称中心是故选D8.其中所有正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；故选D．9. 已知实数）C. -2D. -1【答案】C【解析】由约束条件故选C．10. 下列命题：①在线性回归模型中，表示解释变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值与的把握程度越大.其中正确命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】对于①，在回归分析模型中，相关指数的贡献率，越接近于1合效果越好，①正确．对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；每增加一个单位时，预报变量少0.5个单位；正确；，它们的随机变量握程度越大.故选C11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【答案】D故选D12. 两点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）C.【答案】A【解析】可得：，故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】5，解得∴常数项即答案为514. ．．又圆的半径是2，，所以故答案为．15. 已知数列．【解析】当时，；两式相减得故即答案为16. 已知函数满足若在区间__________．故函数作函数与的图象如下，，，故，故故，的取值范围是【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数的最小正周期和单调递减区间；.【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得值；可得，结合由余弦定理可得边的长试题解析：的最小正周期所以的单调递减区间是，，又∵∴，的面积为∴18. 为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.【答案】(Ⅰ)中位数是83【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众评分的极差；；（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90得到分布列，然后求解期望．为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于908名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，则90分的概率.试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90的分布列为（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于908名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于908名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的19. 如图，已知，，，..【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：设方向为的法向量，可得与平面.试题解析：中点为，∴为平等四边形，∴，方向为，设平面与平面所成角为，则20. 已知椭圆的短轴长为，点的左焦点.最小值.【解析】试题分析：........................试题解析：的方程是斜率为∴∴四边形面积时等号成立，四边形面积的最小值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相切的充要条件，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力．21. 已知函数.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析: ∵函数与函数对称，∴，（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知利用导数研究.，即可求出实数的取值范围.试题解析:∵函数，，则.，所以所以在所以当函数有且仅有一个零点时，，上单调递增，在.，即为所求.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 的方程是（，为极点，.，值范围.【解析】试题分析：（I）直线的方程是，利用可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）将分别带入试题解析：（Ⅰ）∵消参数得∴曲线的极坐标方程是，∴的取值范围是23. 已知函数，.【解析】试题分析：写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式解集，综合可得结论．试题解析：化为时，不等式化为的最小值是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.。

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考理数试题 Word版含解析

吉林省东北师范大学附中2018届高三三校联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}8≤∈=x N x U ，集合{}7,3,1=A ，{}8,3,2=B ，则=)()(B C A C U U （） A ．{}8,7,2,1 B ．{}6,5,4 C ．{}6,5,4,0 D ．{}6,5,4,3,0 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}80,1,2,3,4,5,6,8U x N x =∈≤= ，(){}()()0,4,5,6U U U C A C B C A B ∴=⋃= ，故选C ．考点：集合交、并、补的运算． 2.已知复数i z +=11，i z -=22，则=iz z 21（） A ．i 31- B ．i 31+- C ． i 21+ D ．i 21- 【答案】A考点：复数的运算．3.若实数数列：1231,,,,81a a a 成等比数列，则圆锥曲线1222=+a y x 的离心率是（）A ．10 或322B ．10C ． 322 D ． 31或10【答案】C 【解析】试题分析：因为81,,,,1321a a a 成等比数列，所以2281a =，又因为20a >，所以29a =，所以离心率223ce a ===，故选C ．考点：等比数列中项性质，椭圆离心率.4.函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+ 【答案】D考点：基本不等式．5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A ．π220+ B ．π320+ C ．π224+ D ．π324+俯视图侧视图正视图12222【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体.其底面积的面积：22282S ππ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭；底面周长：6C π=+；侧面面积：()62122ππ+⨯=+.所以几何体的表面积：()()8123203πππ+++=+，故选B ．考点：三视图的识别，几何体的表面积计算.6.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为2.10. 则肯定进入夏季的地区有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】C考点：中位数、平均数、众数的概念及运用.7.24(1)(2)x x +-的展开式中含3x 项的系数为（） A ．16 B ．40 C ．40- D ．8 【答案】D 【解析】试题分析： 242444(1)(2)(2)2(2)(2)x x x x x x x +-=-+-+-，∴3x 项的系数为4(2)x -中x 、2x 与3x的系数决定，即()()()3212344422228C C C -+-+-=，故选D ．考点：二项式定理．8.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n【答案】B考点：程序框图．9.若方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x (02)θπ≤<的任意一组解),(y x 都满足不等式x y 33≥，则θ的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,6ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213,125ππ C. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可得，方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x )20(πθ<≤的任意一组解),(y x 都满足不等式x y 33≥表示方程1)sin 2()cos 2(22=-+-θθy x )20(πθ<≤在y x =的左上方或相切，所以12sin 2cos θθ≥⎪≥⎩，∴1sin 62πθ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 02θπ≤<∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选D ．考点：圆的方程，三角函数知识的运用.10.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，32=AB ，22=AC ，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则=⋅（）A ．3B ．4C ．5D ．6OM CBA【答案】C考点：向量内积运算，圆直径所对的圆周角等于090.【思路点晴】本题主要考查向量数量积和圆的综合性质，属于中档题.根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅可知，要求向量数量积必须知道向量的模长和向量的夹角，所以需要进行恰当的转化.本题的突破口就是将AM转化成()12AM AB AC =+ ，进而得到()12AM AO AB AO AB AO ⋅=⋅+⋅，再结合圆的性质直径所对的圆周角等于090求出最终答案.11.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（） A ．MT MO a b -=- B ．MT MO a b ->- C ．MT MO a b -<- D ．MT MO a b +=- 【答案】A考点：双曲线的定义，直线与圆相切．【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义、直线与圆相切的性质和三角形中位线的综合运用，属于难题.解题的关键是根据相切，得到1OT PF ⊥，再根据双曲线的性质，求出1TF b =；又因为M 点是中点，在焦点三角形12PF F ∆中，运用中位线定理得212OM PF =，再结合双曲线定义122PF PF a -=，最终求出答案．12.函数()f x =.给出函数)(x f 下列性质：①函数的定义域和值域均为[]1,1-；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④⎰=badx x f 0)(（其中b a ,为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤N M ,为函数)(x f 图象上任意不同两点，则22≤<MN .则关于函数)(x f 性质正确描述的序号为（）A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③④D ．②④ 【答案】D 【解析】考点：函数的性质和定积分的运算．【方法点晴】本题主要考查函数()f x =的一些性质，综合比较强，属于难题.解决函数问题第一步求出函数的定义域，这是研究函数问题的基础；第二步观察函数解析式能否化简，能化简的化成最简，这样能给我们后面研究性质带来方便．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.1=2=，)2()(b a b a -⊥+，则向量与的夹角为．【答案】2π【解析】试题分析： )2()(-⊥+，∴()(2)0a b a b +⋅-= ，即222c o s ,0a ab a b b +⋅-= ，∴cos ,0a b = ，即向量a 与b 的夹角为2π.考点：向量的乘积运算．14.函数x x x f sin 22cos )(-=的值域为 .【答案】33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：2213()cos 22sin 12sin 22sin 22f x x x x sinx x ⎛⎫=-=--=-++ ⎪⎝⎭，又 []sin 1,1x ∈-，∴()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：三角函数二倍角公式，二次函数求值域．15.设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则⋅的最大值是 . 【答案】5考点：线性规划和向量数量积的坐标运算．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题.本题关键是将目标函数转化成坐标：2OA OB x y ⋅=+，利用数形结合的方法求出目标函数的最大值.在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则.16.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2,1,21,31,21P ，集合P 的所有非空子集依次记为：3121,,,M M M ，设,,21m m 31,m 分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么=+++3121m m m .【答案】5 【解析】试题分析：集合P 所有子集的“乘积”之和为函数()()()11112232f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭展开式中所有项数之和1T -；因为()1431236232T f ==⨯⨯⨯⨯=，所以15T -=. 考点：集合、二项式定理．【方法点晴】本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题.本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数()()()11112232f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x =时，函数的值就是所有子集的乘积.这种转化思想是需要注意的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 252cos 22cos 222=+．（Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+；（Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b . 【答案】（1）证明见解析；（2）4．（Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ，………….6分 151581sin 21===ac B ac S ，8=ac ………….8分又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=，由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b ………….12分考点：正弦定理和余弦定理的运用．【方法点晴】本题主要考查解三角形，正弦定理和余弦定理得综合运用，属于基础题.解三角形中，常用的的技巧“边化角”或者“角化边”，特别是当遇到题干有每项都含有边的齐次式的等式时，多选择边化角.题上出现三角形面积时要合理利用公式111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===. 18.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE .（Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得二面角P AF C --的余弦值是322.E【答案】（1）证明见解析；(2)1．所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ，所以：平面⊥PAD 平面ABFE ………….5分考点：证明面面垂直；利用空间向量求二面角.【易错点晴】本题主要考查面面垂直的证明和用向量求二面角的综合运用，属于中档题.证明面面垂直常用的方法：通过线面垂直证明面面垂直，关键是找准其中一个平面存在一条直线垂直另一个平面.空间向量在立体几何中的运用要保证所建坐标系正确和向量的一些公式.19.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[)76,70[)82,76[)88,82[)94,88[)94,100元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下：（1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率【答案】（Ⅰ）甲45、乙34；（Ⅱ）（1）随机变量X 的分布列见解析，数学期望是66；（2）81128．（2）设生产的5件元件乙中正品有n 件，则次品有n -5件，依题意，140)5(1050≥--n n ，解得：619≥n ，所以4=n 或5=n ，设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则：12881)43(41)43()(5445=+=C A P ………….12分考点：古典概率；分布列和期望．20.（本小题满分12分）椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22=e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. （Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F .（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；（2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（Ⅰ）1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）18-．（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ， 211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：212211220212121-=--=-=⋅x x x y k k EBEA ，同理：21-=⋅FB FA k k ………….10分所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有 81-=⋅FB EA k k ………….10分考点：椭圆标准方程、直线与椭圆相交． 21.（本小题满分12分）设函数()ln 1af x x x =+-（0>a ）．（Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在)1,0(e 内有极值点，当)1,0(1∈x ，),1(2+∞∈x ，求证：342)()(12->-e x f x f .（ 71828.2=e ）【答案】（Ⅰ）函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞，函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）证明：2221(2)1()(1)(1)a x a x f x x x x x -++'=-=--，令：0))((1)2()(2=--=++-=n x m x x a x x g ，所以：2+=+a n m ，1=mn ，若)(x f 在)1,0(e内有极值点，不妨设e m 10<<，则：e m n >=1，且212-+>-+=ee n m a 由0)(>'xf 得：m x <<0或n x >，由0)(<'x f 得：1<<x m 或n x <<1所以)(x f 在),0(m 递增，)1,(m 递减；),1(n 递减，),(+∞n 递增当)1,0(1∈x 时，1ln )()(1-+=≤m am m f x f ；当),1(2+∞∈x 时，1ln )()(2-+=≥n an n f x f考点：利用导函数求单调区间，利用导数去证明函数不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：（Ⅰ）EC BE =；（Ⅱ）22PB DE AD =⋅.P【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．【解析】试题分析：（I ）连接AB ，AC ，因为PD PA =，故P D A PAD ∠=∠，又因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠，根据弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =；(II)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2和 DC PD PA ==，能得到PB DC 2=，PB BD =，再根据相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅，所以 22PB DE AD =⋅．考点：圆的性质．23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23321,(t 为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为 )2,3(π.（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.【答案】（Ⅰ）)3,0(P ，115522=+y x ；（Ⅱ）6．【解析】考点：坐标系与参数方程，直线与曲线相交． 24.（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数5)(++-=x a x x f .（Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ；（Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{}2-≤x x ；（Ⅱ） 3≥a 或13-≤a . 【解析】试题分析：（Ⅰ）当1=a 时，写出不等式，运用零点分区间的方法，讨论3≥x 时，当21≤x 时，当321<<x 时，去掉绝对值解不等式，然后取并集；（Ⅱ）因为55+≥++-a x a x ，所以将8)(≥x f 转化85≥+a 就可以解出来.试题解析：（Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x ………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立，只需：85≥+a解得：3≥a 或13-≤a ………10分考点：不等式求解，恒成立．。

东北师大附中2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题+答案

东北师大附中2023—2024学年下学期第五次模拟考试高三年级（数学）科试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1.答题前考生需将姓名､班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知直线m ∥平面α，直线n ⊥平面β，则“m ∥n ”是“αβ⊥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知两个向量,a b满足1,a b b a b ⋅==−=，则a =（）4.ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c ab A B ==､､，则c =（）D.15.已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ==−，则5π6f=（）A.0B.12 D.6.过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点()6,0M ，则p =（）A.2B.4C.6D.87.如图，为球形物品设计制作正四面体､正六面体､正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（）A.123S S S <<B.321S S S <<C.312S S S <<D.231S S S << 8.已知0.12e1,,ln1.121a b c =−==，则（） A.b a c << B.c a b << C.c b a << D.b c a <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合A B B C ∩=∪，则一定有（） A.C B ⊆ B.B C ⊆ C.B A ⊆ D.A B ⊆10.已知函数()1221xx f x −=+，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 单调递增B.函数()f x 值域为()0,2C.函数()f x 的图象关于()0,1对称D.函数()f x 的图象关于()1,1对称11.已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（）1+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线:21l y kx k =−−与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.13.春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14.记[,]max{()}xa b f x ∈表示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则{}2[0,1]max x x x c ∈−+取得最小值时，c =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC∥平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N −−的余弦值. 16.（本小题满分15分）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5110696 107 827 103 808 102 629 100 6710 98 7511 98 6812 95 7713 94 5914 92 6515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 5220 75 54（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀. （i）完成如下列联表；数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀不优秀合计（ii）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩130 110 100 85 75物理成绩90 69 67 70 54如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数nx x y y r −−=.（2）经验回归方程ˆˆˆy abx =+；.()()()121ˆˆˆ,. niii ni i x x y y b ay bx x x ==−−==−−∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：17.（本小题满分15分）已知1a ，函数()ln 1a f x ax x x =−+. （1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 18.（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值；（3）求MAB 面积的最大值. 19.（本小题满分17分）对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=−∈N.对正整数()2k k ，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a −−−+==− 已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2nn n a a +−−为{}na 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =−+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1nii n n i x C a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y −+=，其中122t <<.证明：2122n n ni i y −=<−∑.高三年级第五次模拟考试数学参考答案一､单项选择题12345678DADACBBD二､多项选择题9 10 11 ACABDBC三､填空题12.2 13.23 14.18四､解答题15.（本小题满分13分）【解析】方法1：（1）设11AC AC D ∩=，则D 为1AC 中点， 1A M AN E ∩=，连DE ，延长AN 交1BB 延长线于F ，由112A N NB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点， MC ∥DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC ∥平面1NAC ，（2）因为1AC ⊥平面111,,MAC AC DE AC DM ⊥⊥，所以MDE ∠即为二面角1M AC N −−的平面角，11122DE MC DM EM A M ====cos MDE ∠=，二面角1M AC N −−解法2：（1）取AC 中点O ，取11AC 中点1O ，连1,OB OO ，以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,A C C M−，())11,2,0,2,2,1,13N AC CM −=−，)14,0,3C N AM −，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11220403n AC y z n C Nx y ⋅=+=⋅=−=，令y =(2,x z n =， 0,n CM MC ⋅=∥平面1NAC . （2）设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则12200m AC b c m AMb c ⋅=+= ⋅=++=，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =−==−，cos ,m n m nm n⋅==所以锐二面角1M AC N −−16.（本小题满分15分）【解析】（1）（i ）数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计51520 （ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ−×−×=++++×××0.01206.667 6.6353α=≈>=依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. （2）（i ）100,70xy =，r =33.37（ii ）()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b×+×−+×−+−×+−×−=+++−+−990991850185=99610ˆ7010018537a y bx=−=−×=，经验回归方程为9961018537yx +996102986ˆ120,12080.7811853737x y==×+=≈≈，物理成绩约为81分. 17.（本小题满分15分）【解析】（1）当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =−+==′+−， ()()()0,1,0,x f x f x <′∈单调递减；()()()1,,0,x f x f x ∞∈+>′单调递增； ()min ()10f x f ==（2）()()()111ln 1ln a a f x a x axa x x −−=+−=+−′，设()()()1211ln ,1a a g x x x g x a x x−−=+−=−−′，①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意； ②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x−− <<=−−=′−− ，设()()()()12211,(1)0,a a h x a x h x a x h x −−=−−=−−′<单调递减，()()11120h a a =−−=−>，令)()1110110,(1)a a h xa x x a −−−=−−==−，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>′>单调递增，()()10g x g >=， ()()0,f x f x ′>单调递增，()()10f x f >=，不合题意； ③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞−∈+=−−′< ， ()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<′单调递减，()()10f x f <=；综上，2a .18.（本小题满分17分）【解析】（1）依题意22222411c aa b b a c =+= =−，解得22228,2,182x y a b +.（2）设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx m x y =+ += 得()222418480k x kmx m +++−=， ()222121222848Δ16820,,4141km m k m x x x x k k −−=+−>+==++， ()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +−+−−−=⋅=−−−− ()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k −−⋅+−⋅+−+−++−++=−−++++++ ()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k −+−−−==++−++，解得12k =−. （3）由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =−+≠−+−=， 22Δ1640,4,22,0m m m m −><−<<≠，)22AB x h m =−=− MAB的面积(122S AB h m ==− ()()3(2)2f m m m =−+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m ′=−−++−=−−−，当1m =−时，取到最大值()127f −=， MAB的面积max S =【也可用多项均值不等式】19.（本小题满分17分）【解析】（1）解：因为{}1Δ2n n n a a +−−为{}n a 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n a a a +−−=，将21ΔΔΔn n n a a a +=−，代入得11Δ2ΔΔn n n n n a a a a ++−−=−，整理得Δ2nn n a a −=，即122n n n a a +−=，所以111222n n n n a a ++−=.故数列2n n a 是首项为12，公差为12 的等差数列，因此，()111222n n a n =+−⋅，即12n n a n −=⋅. （2）解：因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1n n n x b b n +−，故 1n i in n i x C a ==∑成立，即为12122n n n n n C C nC n −+++=⋅ .①当1n =时，①式成立；当2n 时，因为()110111112(11)n n n n n n n n n C C C −−−−−−⋅=⋅+=⋅+++ ，且11k k n n nC kC −−=，所以①成立.故对*n ∀∈N 都有1n i in n i x C a ==∑成立.【倒序相加()()01201202,120n n n n n n n n n n S C C C nC S nC n C n C C =++++=+−+−++ ，相加得()0112122,22n n n n n n n n n n S n C C C n C C nC n −=⋅+++=⋅+++=⋅ 也可以】（3）证明：2n nn t t y −+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n n t t ><，故()()()1222(2)10(2)n n n n n n n n t t t t t −− +−+=−−> ，即22n n n n t t −−+<+，所以()()()111111221111222212222112n n n n n i i i i i i i i y t t −−== − − =+<+=+− −∑∑∑.()()2111121121222222222n n n n n n n −− −+−−+<−⋅−。

2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

东北师范大学附属中学等五校2018届高三上学期联合模拟

2018届高三联合模拟考试理科综合试题东北师范大学附属中学重庆一中长春十一高中吉林一中松原实验中学考试时间:2018年1月30日二、选择题:本大题共8小题，每小题8分，共48分。

在每小题給出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，速对但不全的得3分，有选错的得0分。

请仔细审题，认真做答。

14.下列说法正确的是A.氢原子从n=3能级跃迁到n=1能级和从n=2能级跃迁到n=1能级相比较。

前者辐射出的光的波长比后者的长B.α射线与β射线和γ射线相比，α射线具有较强的穿透能力C.动能相等的质子和电子，它们的德布罗意波长也相等D.康普顿效应说明光具有粒子性，电子的衍射实验说明实物粒子具有波动性15.A、B两个质量相同的物体在各自的外力作用下沿着同一方向做直线运动，它们的速度随时间的变化图线如图所示。

在0~t o这段时间内，下列判断正确的是A.A、B两个物体所受的合外力相同B.A、B两个物体的合外力所做的功相同C.A、B两个物体的合外力的冲量大小相等D.A、B两个物体的平均速度大小相等16.放在租糙的水平地面上的斜面体，倾角θ=45，斜面光滑。

斜面上有两个质量均为m的小物块A、B，它们之间有轻绳连接。

当用水平外力F推物块A时，两个滑块和斜面体一起向左做匀速直线运动。

若斜面对物块A的支持力大小为N，斜面对物块B的支持力大小为M，则下列结论正确的是A.N A=mg N B=mgB. N A=mg N B=mgC. N A=mg N B=mgD. N A=mg N B=mg17.如图所示，固定在竖直面内的光滑绝缘圆环上穿有一个小球P(视为质点)，P带正电。

该空间同时存在匀强电场和匀强磁场。

电场方向竖直向上;磁场方向重直于圆环平面向里。

将小球P从与圆心0等高处由静止释放后，小球逆时针运动到达圆环的最高点。

在此过程中A.小球动能的增量等于电场力、格伦兹力做功的代数和B.小球重力势德的增量等于电场力和重力做功的代数和C.小球机械能的增量等于电场力做的功D.小球电势能的增量等于重力做的功18.如图所示，光清绝缘水平桌面上有一句强电场，电场强度大小为E,方向与桌面平行。

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷(理科)

2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2i1+i的模为（）A.1 2B.√22C.√2D.22. 已知集合A={x|y=√9−x2}，B={x|x≥a}．若A∩B=A，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, −3]B.(−∞, −3)C.(−∞, 0)D.[3, +∞)3. 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片上的数字是奇数的情况下，第二次抽到卡片上的数字是偶数的概率为（）A.1 4B.12C.13D.234. 已知sin(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=()A.1 3B.−13C.2√23D.−√235. 若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(−2, 4)，则它的离心率为（）A.√52B.2C.√3D.√56. (x2+2)(1x−1)5展开式中的常数项是（）A.12B.−12C.8D.−87. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A.2B.3C.32D.928. 已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为（）A.[−π3,π6] B.[−5π12,π12] C.[π6,2π3] D.[−π3,2π3]9. 辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A.148B.37C.333D.010. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的侧面积为4√3，则该半球的体积为（）A.4π3B.2π3C.8√2π3D.4√2π311. 已知抛物线C:y2=2x，直线l:y=−12x+b与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是()A.−15B.−25C.−45D.−8512. 在△ABC，∠C＝90∘，AB＝2BC＝4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|＝1，则CM→⋅CN→的取值范围为（）A.[114,9] B.[5, 9] C.[154,9] D.[114,5]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，AB=2，AC=√7，∠ABC=2π3，则BC=________．若x，y满足约束条件{x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx+1的最大值为________．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科．可以判断乙教的学科是________．已知函数f(x)=xlnx +12x 2，x 0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题： ①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f(x 0)+x 0<0；④f(x 0)+x 0>0；其中正确的命题是________．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知正项数列{a n }满足：4S n =a n 2+2a n −3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n2−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[−20, −10]，需求量为100台；最低气温位于区间[−25, −20)，需求量为200台；最低气温位于区间[−35, −25)，需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X （单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y （单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？如图，四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA =PD ，底面ABCD 为矩形，点M 、E 、N 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，F 是PE 上的一点，PF =2FE ．直线PE 与平面ABCD 所成的角为π4．（1）证明：PE ⊥平面MNF ；（2）设AB =AD ，求二面角B −MF −N 的余弦值．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过抛物线M:x 2=4y 的焦点F ，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且F 1F →⋅F 1F 2→=6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值．已知函数f(x)=e x ，g(x)=lnx ，ℎ(x)=kx +b ．（1）当b =0时，若对任意x ∈(0, +∞)均有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)成立，求实数k 的取值范围；（2）设直线ℎ(x)与曲线f(x)和曲线g(x)相切，切点分别为A （x 1, f(x 1)），B （x 2, g(x 2)），其中x 1<0． ①求证：x 2>e ；②当x ≥x 2时，关于x 的不等式a(x 1−1)+xlnx −x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C 2的参数方程为：{x =3−12t,y =√32t, （t 为参数）. (1)求出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于P ，Q 两点，点A(3,0)，求|AP|⋅|AQ|的值． [选修4-5：不等式选讲]已知不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1．（1）当a =1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求a 的范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】∵2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，∴|2i1+i|=|1+i|=√2．2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合A={x|y=√9−x2}={x|9−x2≥0}={x|−3≤x≤3}，B={x|x≥a}．若A∩B=A，则A⊆B，所以a≤−3，所以实数a的取值范围是(−∞,−3]．故选A．3.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P(A)=35，P(AB)=3 5×24=310，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【解答】解：从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P(A)=35，P(AB)=35×24=310，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为： P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12．故选B . 4.【答案】 B【考点】两角和与差的三角函数【解析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos(5π6−a)．【解答】∵ sin(π3−a)=13，∴ cos(5π6−a)=cos[π2+(π3−a)] =−sin(π3−a)=−13． 5.【答案】 A【考点】双曲线的特性【解析】先求渐近线带入点的坐标，再用c 2=a 2+b 2求离心率．【解答】解：∵ 焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y =±ab x ， ∴ 4=−ab ⋅(−2)，∴ ab =2，a =2b ，a 2=4b 2=4c 2−4a 2，e =√52．故选A . 6.【答案】 B【考点】二项式定理的应用【解析】写出二项式(1x −1)5的通项，由x 的指数为−2、0分别求得r 值，再由多项式乘多项式得答案．【解答】(1 x −1)5的展开式的通项为T r+1=C5r∗(1x)5−r∗(−1)r=(−1)r∗C5r∗x r−5．取r−5=−2，得r=3，取r−5=0，得r=5．∴(x2+2)(1x−1)5展开式中的常数项是−C53−2C55=−12．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD // BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=12×(1+2)×2＝3．该几何体为x，几何体的体积V=13×x×3=1，可得x＝3．8.【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】化函数f(x)为正弦型函数，根据题意求出ω的值，写出f(x)的解析式，即可求出它的单调增区间．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)=2sin(ωx+π6)；由f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离是π2，∴T=2×π2=π，∴ω=2πT=2；∴f(x)=2sin(2x+π6)，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，∴函数f(x)的一个单调增区间为[−π3, π6 ]．9.【答案】B【考点】程序框图【解析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，10.【答案】D【考点】球内接多面体【解析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．【解答】连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=√2r，四棱锥的侧面积为：4×√34×(√2r)2=4√3，解得r=√2，四棱锥的外接半球的体积为：V=12×4π3×(√2)3=4√23π，11.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】联立{y2=2xy=−12x+b得：y2+4y−4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值【解答】联立{y2=2xy=−12x+b得：y2+4y−4b=0．依题意应有Δ=16+16b>0，解得b>−1．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴y1+y2=−4，y1y2=−4b，∴x1+x2=−2(y1+y2)+4b=8+4b，设圆心Q(x0, y0)，则有x0=12(x1+x2)=4+2b，y0=12(y1+y2)=−2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=√1+4⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√5⋅√16+16b=4√5⋅√1+b，∵|AB|=2r，即4√5⋅√1+b=4，解得b=−45．故选C.12.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】建立坐标系，设AN＝a，用a表示出CM→,CN→，得出CM→⋅CN→关于a的函数，从而得出范围．【解答】以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB＝2BC＝4，∴∠BAC＝30∘，AC＝2√3设AN＝a，则N(2√3−√3a2, a2)，M(2√3−√3(a+1)2, a+12)，∴CM→⋅CN→=(2√3−√3a2)(2√3−√3(a+1)2)+a2⋅a+12=a2−5a+9．∵ M ，N 在AB 上，∴ 0≤a ≤3． ∴ 当a ＝0时，CM →⋅CN →取得最大值9，当a =52时，CM →⋅CN →取得最小值114．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 1【考点】余弦定理【解析】根据题意，设BC =t ，△ABC 中，由余弦定理可得cos∠ABC =4+t 2−74t=−12，变形可得：t 2+2t −3=0，解可得t 的值，即可得答案．【解答】根据题意，设BC =t ，△ABC 中，AB =2，AC =√7，∠ABC =2π3，则有cos∠ABC =4+t 2−74t=−12，变形可得：t 2+2t −3=0，解可得：t =−3或t =1，又由t >0，则t =1，即BC =1；【答案】 32【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，再由yx+1的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−1, 0)连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件{x −1≥0,x −y ≤0,x +y −4≤0,作出可行域如图，联立{x =1,x +y −4=0,解得A(1, 3)，由yx+1的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−1, 0)连线的斜率可得， yx+1的最大值为k PA =3−01−(−1)=32．故答案为：32.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理【解析】分析判断每一名话，能推理出正确结果．【解答】由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C 学科，甲不教C ；由③得在长春工作的教师教A 学科；由④得乙不教B 学科和A 学科．综上，乙教C 学科．【答案】 ①③ 【考点】利用导数研究函数的极值命题的真假判断与应用【解析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f(x 0)+x 0=x 0lnx 0+12x 02+x 0=x 0(lnx 0+12x 0+1)=−12x 0<0，可判断③④．【解答】∵ 函数f(x)=xlnx +12x 2，(x >0)∴ f′(x)=lnx +1+x ，易得f′(x)=lnx +1+x 在(0, +∞)递增， ∴ f′(1e )=1e >0， ∵ x →0，f′(x)→−∞，∴ 0<x 0<1e ，即①正确，②不正确； ∵ lnx 0+1+x 0=0∴ f(x 0)+x 0=x 0lnx 0+12x 02+x 0=x 0(lnx 0+12x 0+1)=−12x 02<0，即③正确，④不正确．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】令n ＝1，得4a 1=a 12+2a 1−3，且a n >0，解得a 1＝3．当n ≥2时，4S n −4S n−1=a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)＝0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1＝2，所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，故a n ＝3+(n −1)×2＝2n +1．由（1）知：b n =1a n2−1=14n 2+4n =14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴ T n ＝b 1+b 2+...+b n =14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】令n ＝1，得4a 1=a 12+2a 1−3，且a n >0，解得a 1＝3．当n ≥2时，4S n −4S n−1=a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，整理得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)＝0，∵ a n >0，∴ a n −a n−1＝2，所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，故a n ＝3+(n −1)×2＝2n +1．由（1）知：b n =1a n2−1=14n 2+4n =14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴ T n ＝b 1+b 2+...+b n =14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4．【答案】由已知X 的可能取值为100，200，300， P(X ＝100)=16+290=0.2，P(X ＝200)=3690=0.4， P(X ＝300)=11+2590=0.4，∴ X 的分布列为：由已知：①当订购200台时，E(Y)＝[200×100−50×(200−100)]×0.2+200×200×0.8＝35000（元）②当订购250台时，E(Y)＝[200×100−50×(250−100)]×0.2+[200×200−50×(250−200)]×0.4+[200×250]×0.4＝37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当订购200台时，求出E(Y)＝35000元；当订购250台时，求出E(Y)＝37500元，由此求出11月每日应订购250台．【解答】由已知X的可能取值为100，200，300，P(X＝100)=16+290=0.2，P(X＝200)=3690=0.4，P(X＝300)=11+2590=0.4，∴X的分布列为：①当订购200台时，E(Y)＝[200×100−50×(200−100)]×0.2+200×200×0.8＝35000（元）②当订购250台时，E(Y)＝[200×100−50×(250−100)]×0.2+[200×200−50×(250−200)]×0.4+[200×250]×0.4＝37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【答案】方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=π4，OP=OE．因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=14PE=√24OE，EQ=12OE，所以EFEO =EOEP=√24，所以△EFQ∽△EOP，所以∠EFQ=∠EOP=π2，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE ⊥平面MNF ．方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ， ∠PEO =π4，OP =OE ．又因为MN // BC ，OE // AB ，所以MN ⊥OE ，所以MN ⊥PE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =m ，AD =n ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，M(n 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)，于是PE →=(0, m, −m)，MF →=(−n 2,m 4,m4)．所以PE →∗MF →=0，所以PE ⊥MF ，且MN ∩MF =M ，所以PE ⊥平面MNF取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，∠PEO =π4，OP =OE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =AD =m ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，B(m2,m,0)，M(m 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)，于是PE →=(0, m, −m)，BM →=(0, −m2, 0)，BF →=(−m2,−m 4,m4)．设平面BMF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗BM →=−m2y =0n →∗BF →=−m 2x −m 4y +m4z =0，令x =1，得n →=(1, 0, 2)．而平面NMF 的一个法向量为m →=PE →=(0, m, −m)．所以cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=√5∗√2m=−√105．由图形得二面角B −MF −N 的平面角是钝角，故二面角B −MF −N 的余弦值为−√105．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz．利用向量法能求出二面角B−MF−N的余弦值．【解答】方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=π4，OP=OE．因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=14PE=√24OE，EQ=12OE，所以EFEO =EOEP=√24，所以△EFQ∽△EOP，所以∠EFQ=∠EOP=π2，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，∠PEO=π4，OP=OE．又因为MN // BC，OE // AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O−xyz．设AB=m，AD=n，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，M(n2,m2, 0)，F(0, 3m4,m4)，于是PE →=(0, m, −m)，MF →=(−n 2,m 4,m4)．所以PE →∗MF →=0，所以PE ⊥MF ，且MN ∩MF =M ，所以PE ⊥平面MNF取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，∠PEO =π4，OP =OE ．以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =AD =m ，则P(0, 0, m)，E(0, m, 0)，B(m2,m,0)，M(m 2,m2, 0)，F(0, 3m 4,m 4)，于是PE →=(0, m, −m)，BM →=(0, −m2, 0)，BF →=(−m2,−m 4,m4)．设平面BMF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗BM →=−m2y =0n →∗BF →=−m 2x −m 4y +m4z =0，令x =1，得n →=(1, 0, 2)．而平面NMF 的一个法向量为m →=PE →=(0, m, −m)．所以cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=5∗2m=−√105．由图形得二面角B −MF −N 的平面角是钝角，故二面角B −MF −N 的余弦值为−√105．【答案】∵ F(0, 1)，∴ b =1，又F 1F →⋅F 1F 2→=6， ∴ 2c 2=6,c =√3．又a 2−b 2=c 2，∴ a =2， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，则l:y −x 024=x 02(x −x 0)，即y =x 02x −x 024，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理得(1+x 02)x 2−x 03x +14x 04−4=0．由△=16(x 02+1)−x 04>0，得0<x 02<8+4√5．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则：x 1+x 2=x 031+x 02,x 1x 2=x 04−164(1+x 02)．则|AB|=√1+x 024|x 1−x 2|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4+x 022⋅√16(x 02+1)−x 041+x 02原点O 到直线l 的距离d =22√x 0+4．故△OAB 面积S =12d ⋅|AB|=18x 02√16(x 02+1)−x 041+x 02=18√[16(x 02+1)−x 04]⋅x 041+x 02≤1+x 021+x 02=1，当且仅当16(1+x 02)−x 04=x 04，即x 02=4+2√6取等号，故△OAB 面积的最大值为1．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）通过焦点坐标以及F 1F →⋅F 1F 2→=6转化求解椭圆方程．（2）设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，求出切线方程，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理利用判别式，以及弦长公式，求解由原点O 到直线l 的距离，表示△OAB 面积，推出△OAB 面积的最大值为1．【解答】∵ F(0, 1)，∴ b =1，又F 1F →⋅F 1F 2→=6， ∴ 2c 2=6,c =√3．又a 2−b 2=c 2，∴ a =2， ∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．设直线l 与抛物线相切于点P(x 0, y 0)，则l:y −x 024=x 02(x −x 0)，即y =x 02x −x 024，联立直线与椭圆{y =x02x −x 024x 24+y 2=1 ，消去y ，整理得(1+x 02)x 2−x 03x +14x 04−4=0．由△=16(x 02+1)−x 04>0，得0<x 02<8+4√5．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则：x 1+x 2=x 031+x 02,x 1x 2=x 04−164(1+x 02)．则|AB|=√1+x 024|x 1−x 2|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4+x 022⋅√16(x 02+1)−x 041+x 02原点O 到直线l 的距离d =022√x 0+4．故△OAB 面积S =12d ⋅|AB|=18x 02√16(x 02+1)−x 041+x 02=18√[16(x 02+1)−x 04]⋅x 041+x 02≤1+x 021+x 02=1，当且仅当16(1+x 02)−x 04=x 04，即x 02=4+2√6取等号，故△OAB 面积的最大值为1．【答案】当b =0时：ℎ(x)=kx ，由f(x)≥ℎ(x)≥g(x)知：e x ≥kx ≥lnx ，依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，设m(x)=e x x(x >0),∴ m /(x)=e x (x−1)x 2，当x ∈(0, 1)时m′(x)<0；当x ∈(1, +∞)时m′(x)>0， ∴ [m(x)]min =m(1)=e ，设n(x)=lnx x(x >0),∴ n /(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0, e)时n′(x)>0；当x ∈(e, +∞)时n′(x)<0， ∴ [n(x)]max =n(e)=1e ，故：实数k 的取值范围是[1e ,e] 由已知：f′(x)=e x ，g ′(x)=1x①：由y −e x 1=e x 1(1−x 1)得：ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1 由y −lnx 2=1x 2(x −x 2)得：ℎ(x)=1x 2x +lnx 2−1故{e x 1=1x2e x 1(x 1−1)=1−lnx 2∵ x 1<0，∴ e x 1(x 1−1)<0， ∴ lnx 2>1，故：x 2>e ；②由①知：x 2=e −x 1，e x 1(x 1−1)=x 1+1且x 2>e >1由a(x 1−1)+xlnx −x ≥0得：a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2) 设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0， ∴ G(x)在[x 2, +∞)为减函数，∴ [G(x)]max =G(x 2)=x 2−x 2lnx 2 由a(x 1−1)≥x 2−x 2lnx 2，得：a(x 1−1)≥x 2(1−lnx 2)， ∴ a(x 1−1)≥(x 1−1) 又x 1<0， ∴ a ≤1．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，根据函数的单调性求出k 的范围即可；（2）①得到ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1，∴ e x 1(x 1−1)<0，从而证明结论；②得到a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2)，设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0，根据函数的单调性求出G(x)的最大值，从而求出a 的范围即可．【解答】当b =0时：ℎ(x)=kx ，由f(x)≥ℎ(x)≥g(x)知：e x ≥kx ≥lnx ，依题意：e x x≥k ≥lnx x对x ∈(0, +∞)恒成立，设m(x)=e x x(x >0),∴ m /(x)=e x (x−1)x 2，当x ∈(0, 1)时m′(x)<0；当x ∈(1, +∞)时m′(x)>0， ∴ [m(x)]min =m(1)=e ，设n(x)=lnx x(x >0),∴ n /(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0, e)时n′(x)>0；当x ∈(e, +∞)时n′(x)<0， ∴ [n(x)]max =n(e)=1e ，故：实数k 的取值范围是[1e ,e] 由已知：f′(x)=e x ，g ′(x)=1x①：由y −e x 1=e x 1(1−x 1)得：ℎ(x)=e x 1+(x 1−1)⋅e x 1 由y −lnx 2=1x 2(x −x 2)得：ℎ(x)=1x 2x +lnx 2−1故{e x 1=1x 2e x 1(x 1−1)=1−lnx 2∵ x 1<0，∴ e x 1(x 1−1)<0， ∴ lnx 2>1，故：x 2>e ；②由①知：x 2=e −x 1，e x 1(x 1−1)=x 1+1且x 2>e >1由a(x 1−1)+xlnx −x ≥0得：a(x 1−1)≥x −xlnx ，(x ≥x 2) 设G(x)=x −xlnx(x ≥x 2)G′(x)=1−lnx −1=−lnx <0， ∴ G(x)在[x 2, +∞)为减函数，∴ [G(x)]max =G(x 2)=x 2−x 2lnx 2 由a(x 1−1)≥x 2−x 2lnx 2，得：a(x 1−1)≥x 2(1−lnx 2)， ∴ a(x 1−1)≥(x 1−1) 又x 1<0， ∴ a ≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】解：(1)由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ， ∴ x 2+y 2=4x ，故曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4．由{x =3−12t,y =√32t, 消去参数t ，可得√3x +y −3√3=0． ∴ 曲线C 2:√3x +y −3√3=0；(2)将{x =3−12t,y =√32t,代入x 2+y 2=4x ，得t 2−t −3=0，∵ Δ=1+4×3=13>0，∴ 方程有两个不等实根t 1，t 2分别对应点P ，Q ， ∴ |AP|⋅|AQ|=|t 1|⋅|t 2|=|t 1⋅t 2|=|−3|=3，即|AP|⋅|AQ|=3．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线与圆的位置关系【解析】（1）把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求得曲线C 1的直角坐标方程，在{x =3−12ty =√32t中，直接消去参数t 即可求得曲线C 2的普通方程；（2）把曲线C 2的参数方程代入x 2+y 2=4x ，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t 的几何意义求得|AP|⋅|AQ|的值．【解答】解：(1)由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ， ∴ x 2+y 2=4x ，故曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4．由{x =3−12t,y =√32t,消去参数t ，可得√3x +y −3√3=0． ∴ 曲线C 2:√3x +y −3√3=0； (2)将{x =3−12t,y =√32t,代入x 2+y 2=4x ，得t 2−t −3=0，∵ Δ=1+4×3=13>0，∴ 方程有两个不等实根t 1，t 2分别对应点P ，Q ， ∴ |AP|⋅|AQ|=|t 1|⋅|t 2|=|t 1⋅t 2|=|−3|=3，即|AP|⋅|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a =1时：不等式为：|2x −5|+|2x +1|>x −1，等价于：解得：x <−12−12≤x ≤52x >52，所以不等式的解集为：(−∞, +∞)；设函数f(x)=|2x −5|+|2x +1|={−4x +4,x <−126,−12≤x ≤524x −4,x >52，试卷第21页，总21页设函数g(x)=ax −1过定点A(0, −1)，画出f(x)，g(x)的图象，不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1．不等式的解集为R ，k AB =6+152=145，由数形结合得a 的范围是[−4,145)．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）当a =1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．【解答】当a =1时：不等式为：|2x −5|+|2x +1|>x −1，等价于：解得：x <−12−12≤x ≤52x >52，所以不等式的解集为：(−∞, +∞)；设函数f(x)=|2x −5|+|2x +1|={−4x +4,x <−126,−12≤x ≤524x −4,x >52，设函数g(x)=ax −1过定点A(0, −1)，画出f(x)，g(x)的图象，不等式|2x −5|+|2x +1|>ax −1．不等式的解集为R ，k AB =6+152=145，由数形结合得a 的范围是[−4,145)．。

东北师大附中2018届高三第五次模拟考试数学(理科)

2018届高三第五次模拟考试理科数学考试时间：2018年5月 24 日本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共3页。

注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、学号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知复数yi x z +=()R y x ∈,，若i y x i )1(1-+=+，则z =（A ）2 （B ）2 （C ）5 （D ）5 （2）已知集合{}{}32,022<<-=>-=x x B x xx A ，则（A ）A B =∅ （B ）R B A = （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆ （3）已知向量a ,b1=2=7=+=-（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（4）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” （A ）6斤（B ）7斤（C ）8斤（D ）9斤（5）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A ） 322+π （B ） 324+π（C ）3322+π （D ） 3324+π （6）已知函数）0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，将)(x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（A ）32π （B ）3π （C ）4π （D ）8π （7）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆22:(2)2C x y -+=相切，则双曲线的离心率为（A（B（C（D ）2（8）秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，4，则输出v 的值为（A ）399 （B ）100 （C ）25 （D ）6（9）已知函数(1)f x -是偶函数，对于任意的12,(1,)x x ∈-+∞ 都有2121[()()]()0f x f x x x --<成立，设3()2a f =-,(0)b f =,(1)c f =.则a ,b ,c 的大小关系是（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<（10）记曲线y 与3y x =围成的区域为D ，若利用计算机产生[0,1]内的两个均匀随机数,a b ，则点(,)a b 恰好落在区域D 内的概率为俯视图ACBO（A ）512（B ）58（C ）713（D ）38（11）已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 的直线与抛物线交于D A ,两点，与圆1)1(:22=+-y x M 交于C B ,两点（如图），则||2||CD AB +的取值范围是（A ）），∞+22[ （B ）），∞+2[ （C ）]422[，（D ）]4,2[ （12）已知函数ax xex f x-=)(，当012>>x x 时，不等式0)()(1221<-x x f x x f 恒成立，则实数a 的取值范围为（A ）],(e -∞ （B ）),(e -∞ （C ）2,(e -∞ （D ）]2,(e-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018届吉林省东北师大附中高三第五次模拟考试理科综合试题

2018 届高三第五次模拟考试
理科综合题
考试时间：2018 年 5 月 25 日注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 300 分，考试时间 150min；
2．请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号，并将条形码贴在相应位置； 3．第 I 卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，第 II 卷（非选择题）答案填写在答题卡上； 4．请仔细审题、认真做答。
C．充电时，应将铝石墨电极与电源负极相连
D．以此电池为电源，电解 NaCl 饱和溶液，当生成 11.2L H2 时，电池负极质量减少 7g
13．常温下，二元弱酸 H2Y 溶液中滴加 KOH 溶液，所得
实
验
现
象
结
论
用坩埚钳夹住一小块用砂纸仔细打
A
金属铝熔化而不滴落下来金属铝熔点比氧化铝熔点低
磨过的铝箔在酒精灯上加热
B 向溴水中通入乙烯
溴水褪色，溶液分层
乙烯与溴水发生反应生成了难溶于水的卤代烃
向盛 Na2SiO3 溶液试管中滴加 1 滴酚
C
2min 后，试管里出现凝胶非金属性 Cl＞Si
酞，然后逐滴加入盐酸至红色褪去
B．VO2 是该反应的中间产物 C．该反应正反应的活化能一定大于 198kJ·mol-1
D．使用催化剂可使该反应的△H 增大
10．短周期元素 W、X、Y、Z 的原子序数依次增大，W 的最高正价和最低负价的代数和为 0；X 的
一种核素在考古时常用来鉴定文物的年代，Y 的常见氢化物和最高价氧化物的水化物能反应生
杂交组合 1 P 刚毛（♀）×截毛（♂）→F1 全部刚毛杂交组合 2 P 截毛（♀）×刚毛（♂）→F1 刚毛（♀）∶截毛（♂）＝1∶1 杂交组合 3 P 截毛（♀）×刚毛（♂）→F1 截毛（♀）∶刚毛（♂）＝1∶1

吉林省东北师范大学附属中学2017-2018学年高三第五次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设{}{}220,0,A x x x B a =--<=,若AB B =,则实数a 的取值范围是（）A ．()12-，B ．()()1,00,2-C ．()(),12,-?+?D ．()20，【答案】B考点：集合的运算，集合的概念．2. 已知i 是虚数单位，a R Î，复数()()2z a i i =++为纯虚数，则2a i -的模等于（）A ．2 D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：()(2)21(2)z a i i a a i =++=-++，则21020a a -=⎧⎨+≠⎩，12a =，21a i i -=-，1i -=A ．考点：复数的运算，复数的概念． 3. 下列结论错误的是（）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若q Ø，则p Ø”互为逆否命题B ．命题[]:"0,1,1xp x e e "危?（e 是自然对数的底数），命题2:",10"q x R xx $?+<，则p q Ú为真C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件D ．若p q Ú为假命题，则p q 、均为假命题【答案】C考点：命题的真假判断．4. 已知21nxx 骣琪+琪桫的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（）A ．5B ．10C ．20D ．40 【答案】B 【解析】试题分析：由题意(11)32n+=，5n =，展开式通项为52351551()()rrr r r r T C x C x x--+==，令351r -=，2r =，因此x 的系数为2510C =．故选B ．考点：二项式定理的应用．5. 设x R Î，定义符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x ì>ïï==íï-<ïî，则下列正确的是（）A ．()sin sgn sin x xx ? B ．()sin sgn sin x x x ? C ．()sin sgn sin x x x ? D ．()sin sgn sin x x x ?【答案】A 【解析】试题分析：0x >时，sin sgn()sin x x x ⋅=，0x <时，sin sgn()sin sin()x x x x ⋅=-=-，所以sin sgn()x x ⋅=sin x ，A 正确．故选A ．考点：新定义．6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的周长可无限逼近于圆的周长，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14 ，这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图，如图所示，则输出的n =（）（参考数据：sin7.50.1305,sin3.750.06540,sin1.8750.03272换? ）A ．48B ．96C ．192D ．384【答案】B考点：程序框图． 7. 函数()()2sin 0,2f x x pw j w j 骣琪=+><琪桫的部分图像如图所示，则()04f f p骣琪+=琪桫（）A ．1B ．1-．12+．12- 【答案】B考点：三角函数的解析式．8. 边长为a 的等边三角形ABC 中心为O ，P 是边BC 上的动点，则()OP ABAC ?（）A ．有最大值26aB ．有最小值212aC ．是定值22a D ．与P 的位置有关【答案】C 【解析】试题分析：设D 是BC 中点，则2()266OP AB AC OP AD OP OD OD ⋅+=⋅=⋅=2216)2a =⨯=.故选C ．考点：向量的数量积．【名师点睛】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．9. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该四棱锥的底面是一个梯形，棱锥的高为2，所以体积为()12212223+⨯⨯⨯=考点：三视图，棱锥的体积10. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()(2211x y ++-=相切，则此双曲线的离心率为（）A．2 C【答案】D考点：双曲线的性质，直线与圆的位置关系．11. 在锐角ABC D中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，满足()cos 1cos a B b A =+，且ABC D 的面积2S =，则()()+c a b c b a +--的取值范围是（）A．()8,8 B．8桫 C． D．(【答案】A 【解析】试题分析：由()cos 1cos a B b A =+结合正弦定理得sin cos sin (1cos )A B B A =+，sin cos cos sin sin A B A B B -=，sin()sin A B B -=，因为ΔABC 是锐角三角形，所以A B B -=，即2A B =，所以290B <︒，45B <︒，2390A B B +=>︒， 30B >︒，3045B ︒<<︒，4590C ︒<<︒，考点：正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变形．【名师点睛】本题考查范围问题，题中必须有一个变量，上变量的范围是已知的或可求出．对()()c a b c b a +-+-化简后知道与余弦定理联系起来此式化为2(1cos )ab C -，结合三角形的面积，ab 也可化为角C 的函数，因此()()c a b c b a +-+-8(1cosC)sin C=-，从而只要求得角C 的范围即得，首先三角形是锐角三角形，各角都是锐角，条件()cos 1cos a B b A =+化为角的关系得2A B =，从而很快得出三角形中角B 的范围，也即有C 的范围． 12. 曲线()()20f x axa =>与()ln g x x =有两条公切线，则a 的取值范围为（）A ．10,e 骣琪琪桫B ．10,2e 骣琪琪桫C ．1,+e 骣琪¥琪桫 D ．1,+2e 骣琪¥琪桫【答案】D 【解析】试题分析：设11(,)P x y 是()f x 的切点，22(,)Q x y 是()g x 的切点，'()2f x ax =，1'()g x x=，则直线切线为1112()y y ax x x -=-，2221()y y x x x -=-，即2112y ax x ax =-，2211ln y x x x =-+，由题意这两条直线重合，因此12212121ln ax xax x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，消法1x 得2221ln 104x ax +-=，由题意此方程有两个不等实根，记21()ln 14h x x ax =+-，则2331121'()22ax h x ax x ax -=-+=，0x <<'()0h x <，x >'()0h x >，因此x =min 1()ln 2h x h ==-+min 1()2h x h ==-+0<，解得12a e >．故选D ．考点：导数的几何意义，导数的综合应用．【名师点睛】两曲线的公切线问题，分别在两曲线设出切点坐标，如设11(,)P x y 是()f x 的切点，22(,)Q x y 是()g x 的切点，利用导数的几何意义分别写出切线方程：111'()()y y f x x x -=-，222'()()y y f x x x -=-，由这两条直线是同一条直线（即重合）得出12,x x 的关系，并求出12,x x ．本题中关于12,x x 的方程有两解，可转化为一个函数有两个零点，这又可利用导数来研究函数的单调性与极值从而得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数,x y 满足5030x y x x y ì-+?ïï£íï+?ïî，则65y x --的取值范围是．【答案】9[1,]2- 【解析】试题分析：作出可行域，如图ΔABC 内部（含边界），65y x --表示可行域内点(x,y)与(5,6)P 连线斜率，86135PA k -==--，369352PCk --==--，所以96125y x --≤≤-考点：简单线性规划的非线性应用．14. 在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，则事件“12xy £”的概率为．【答案】1+ln22考点：几何概型．15. 过点()0,1M 的直线l 交椭圆22143x y C +=：于,A B 两点， 1F 为椭圆的左焦点，当1ABF D 周长最大时，直线l 的方程为．【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：设右焦点为2(1,0)F ，则124AF AF =-，124BF BF =-，所以11AF BF AB ++=228()AB AF BF =+-+，显然22AF BF AB +≥，当且仅当2,,A B F 共线时等号成立．所以当直线l 过点2F 时，1ABF ∆的周长取最大值8，此时直线方程为1y x =-+，即10x y +-=．考点：椭圆的定义．【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上的点到焦点距离的问题时，一般要联想圆锥曲线的定义，通过定义把距离转化，如通过第二定义转化为点到相应准线的距离，或者通过第一定义把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，从而便于求得最值． 16. 已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且(0PA r r =<，记点P 的轨迹长度为()f r ，给出以下四个命题：①函数()f r 在()0,1上是增函数；②()31=2f p ；③f；④f 桫其中为真命题的是．（写出所有真命题的序号）【答案】①②④考点：命题真假的判断，空间点的轨迹．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，实质考查空间动点为的轨迹．本题实质就是求以A 为球心，r 为半径有球面与正方体1111ABCD A BC D -表面相交的交线（或者是说正方体表面上到点A 的距离为r 的动点轨迹），利用平面上到定点的距离为定长的点的轨迹是圆这个概念，可以判断出题中动点轨迹在相应面上都是圆弧．这是解决立体几何的一种方法，空间问题平面化．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分12分) 已知函数()23f x x =，数列{}n a 中0n a >，满足()()1n n a f a n N *+=?，且25827a a ? （1）求数列{}n a 的通项；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b a n =+，求n S【答案】（1）22()3n n a -=；（2）1229332n n n n S -++⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭．考点：等比数列的通项公式，分组求和，等比数列与等差数列的前n项和．18. (本小题满分12分)为配合4月23日“世界读书日”，某校将4月18日-4月24日定为学校读书周，并从全校学生中随机抽取n名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位：小时）的数据如下：（1）求n的值及该校读书周人均读书时间估计值；0,6,6,12,12,18用分层抽样的方法从n名学生中抽取20人，再（2）如果按读书时间(](](]12,18的人数，求X的分布列和数学从这20人中随机选取3人，记X为课外读书时间落在(]期望；12,18（3）将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记Y表示课外读书时间落在(]的人数，求Y的分布列和数学期望【答案】（1）200n ，估计值：7.78；（2）分布列见解析，期望为310；（3）分布列见解析，期望为310．（2）由题意，抽取的20人中课外阅读时间落在(]12,18的人数为20202200?0,1,2X \=()03218320136680=19095C C P X C === ()12218320511190C C P X C ===()2121832032190C C P X C ===所以X 的分布列为因此，301219019019010EX =??? （3）由题意，在从该校学生中随机选取一名学生，该周课外读书时间落在(]12,18的概率为20120010= 则0,1,2,3Y =，且13,10Y B 骣琪琪桫，()()33190,1,2,31010kkkP Y k C k -骣骣琪琪===琪琪桫桫所以Y 的分布列为因此，()31010E Y =?考点：频率分布表，随机变量分布列及数学期望，二项分布．19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中， PC ABCD ^底面，ABCD 底面是直角梯形，,,222,4AB AD AB CD AB AD CD PC ^====，E 为线段PB 上一点（1）求证：EAC PBC ^平面平面；（2）若二面角P AC E --的余弦值为3BE BP 的值【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，就是要证线面垂直，也即要证线线垂直，从图形中看特别是梯形ABCD 中可证得AC BC ⊥，再有PC AC ⊥，从而AC 就是线面垂直的“线”，由此可证；（2）本小题是与二面角有关的问题，可建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求得二面角，从而确定比值．这里以CP 为z 轴，CD 为y 轴，建立坐标系，可以很快地写出各点的坐标．法二：由（1）知，PCE Ð为二面角P AC E --的平面角，因此cos 3PCE?cos cos PCE CE CP\??=整理得：23+2-1=0l l ，解得1l =-或13，由0l >得13l =，即=BE BP 13考点：面面垂直的判断，二面角．【名师点睛】利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝1212n n n n ⋅；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－1212n n n n ⋅.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量12,n n 的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．20. (本小题满分12分) 已知抛物线()220y px p =>，过点()5,2M -的动直线l 交抛物线于,A B 两点，当直线l 的斜率为-1时，点M 恰为AB 的中点（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）24y x =；（2）存在点()1,2P 满足题意．考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线相交，抛物线中的存在性问题．【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题，一般都不直接求出交点坐标，而是设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，同时设直线方程为(2)5x m y =++，并代入圆锥曲线方程，整理后得出1212,y y y y +（或1212,x x x x +），把它们用直线方程中的参数m 表示出来，然后把已知条件如0PA PB ⋅=（或斜率，或弦长等）用12,y y 表示后，并代入1212,y y y y +，从而转化为参数m 的关系，再分析得出结论．21. (本小题满分12分)已知函数()2ln f x x x ax =-+，12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求a 的取值范围；（3）设()f x ¢是函数()f x 的导函数，求证1202x x f 骣+¢琪<琪桫【答案】（1）00x >，当()00,x x Î时，()f x 单调递增；当()0,x x ??时，()f x 单调递减；（2）(1,)+∞；（3）证明见解析．（2）由于函数()f x 存在两个零点，()max0f x \>由（1）可知()()20000max=ln f xf x x x ax =-+，且20021x a x -= ()22200000max ln 21=ln 10f x x x x x x \=-+-+->由于()2000g ln 1x x x =+-在()0+¥，为增函数，且()0101g x =\>，，20000211=21x a x x x -=->所以a 的取值范围是()+¥1，要证明1202x x f 骣+¢琪<琪桫，只需证()2121212ln 0x x xx x x --<+，即只需证21221121ln 1x x x x x x 骣琪-琪桫>+ 设211x t x =>，构造函数()()()()()()22221114ln ,0111t t h t t h t t t t t t --¢=-=-=>+++()h t 在()+¥1，单调递增，()()()21ln 101t h t t h t -\=->=+21221121ln 1x x x x x x 骣琪-琪桫\>+，1202x x f 骣+¢琪\<琪桫考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)如图，已知圆O 是ABC D的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径，（1）证明：AC BCAD AE ??；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若2,4AF CF ==，求AC 的长【答案】（1）证明见解析；（2）3．考点：相似三角形的判断与性质，切割线定理．23. (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 为过点11,2P 骣琪琪桫，且倾斜角为2p a a p 骣琪<<琪桫的直线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ()22:1sin 2r q += （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且13PA PB ?-，求AB 的长【答案】（1）直线l ：1cos 1sin 2x t y t a a ì=+ïí=+ïî（t 为参数，其中2p a p <<），22:12x C y +=；（2）3．考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化．24. (本小题满分10分)设函数()212f x x x =+--（1）求不等式()5f x >的解集；（2）对任意实数x ，不等式()2112f x a a ?成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}28或x x x ><-；（2）152a ＃．考点：解绝对值不等式，不等式恒成立．。