共轴球面光学系统
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7.2-7.4共轴球面光学系统解析
I ' U ' 同理，在像方可得 OE L 'sin U '/ cos 2
则
2
I Q
E
I ' U ' I ' U ' cos L sin U cos 2 2 L ' OE I U sin U ' sin U 'cos 2
A
U -L
φ O r
C L'
U'
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
近轴光线的光路计算则按实际光线的光路计算公式近似简化为
l r ， i r
n i' i ， n'
u#39; r (1 u'
当光线平行于光轴时
h sin I r
h i r
7.2 单个折射球面的折射
近轴光的光路计算公式
符号法则
注意：几何图形上各量一律标注其绝对值，因此，对图 中负量必须在该量的字母前加一负号。
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式 光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单 个折射球面的结构参量n、n’和r，由已知入射光线 坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L’和U’。 L和 L’分别为物方、像方截距；U和U’分别为物方、 像方孔径角。 单考虑折射球面的折射原因是：大多数光学系统由 折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统；平面 可以看成曲率半径取于无穷大；反射是n’=-n时的特 例.
7.2 单个折射球面的折射
单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sin AEC sin(U ) L r r
又 sin I
第2章 共轴球面系统
β=
y′ l ′ r = y l r
l ′ r nl ′ = lr n ′l
因此横向放大率为: β
=
y′ nl′ = y n ′l
(1 )
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
2.
y′ nl ′ nu 讨论: 讨论:β = = = y n′l n′u ′
β > 1, 放大像 β < 1, 缩小像
(1)式表示物像位置的关系 物像位置的关系;(2)式称为阿贝 物像位置的关系 阿贝 不变量公式,它表示单个折射球面物方和像方的 不变量 Q值相等;(3)式表示近轴光线经球面折射后物 物 像方孔径角的关系. 像方孔径角 例题:有一折射球面,其参数为 r = 20mm, n = 1, n′ = 1.5163, 物距为 l = 60mm ,求像距的值.
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式 近轴光线的光路计算公式: 近轴光线的光路计算公式
Lr sinI = sinU r U′ =U + I I′ n ′ = sinI sinI n′ sinI′ ′ = r(1+ L ) ′ sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度 表示为: i = h / r
物点由A1移动到A2点,物方截距l2-l1,像方截距 l'2-l'1,则轴向放大率为: n′ α = β1 β 2 ——平均沿轴放大率
n
结论:只有当dl很小时,才能满足
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
5.角放大率 5.角放大率
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
共轴球面系统成像的原理
共轴球面系统成像的原理
共轴球面系统（Spherical Coordinate Imaging，SCI）是一种用于成像的技术，其原理基于球面坐标系的数学模型，将空间中的点用三个参数（径向距离、角度和极角）来描述，即r（径向距离）、θ（角度）和φ（极角）。
共轴球面系统成像的原理如下：
1. 首先，将待成像区域划分为一系列小单元，每个小单元对应一个球面坐标系上的点。
2. 对于每个小单元，通过探测器阵列采集其反射或散射的光线，并将其转化为电信号。
3. 将每个小单元对应的球面坐标转化为直角坐标系中的坐标点，并将其输入到图像处理系统中。
4. 图像处理系统根据每个坐标点的位置和亮度信息，计算出其在图像中的像素值，并将其输出到显示器上，从而得到共轴球面系统的成像结果。
共轴球面系统成像的优点在于能够提供比传统成像技术更为全面和详细的图像信息，特别是在对复杂目标的成像方面具有优势。
此外，
共轴球面系统成像还具有高分辨率、高信噪比和低失真率等优点，因此在医学成像、工业检测、天文观测等领域得到了广泛应用。
第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
7.27.4共轴球面光学系统
点的位置有关。这个量在像差中有重要用途。
h
（2） n ' u ' nu (n ' n )
孔径变化式
r
表示近轴光经球面折射前后的孔径角 u 和 u ' 的关系 。
2020/9/27
7.3 单个折射球面近轴区成像
（3） n' n n'n “距度”（距离倒数）变化式或物像公式 l' l r
该式表示折射球面成像时，物像位置 l 和l ' 之间的关系。已
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sinAECsin(U)
Lr
r
又 sinIsin A E C
sin I (L r) sin U r
2020/9/27
7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
在光线的入射点处应用折射定律
②当β>0，y’和y同号，成正像；l '和l 同号，物像位于球面的同
侧，实物成虚像，虚物成实像。 ③当∣β∣>1，为放大像；∣β∣<1，为缩小像。
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7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 轴向放大率
当物体在给定位置有一微量位移dl，其像也在像点位置处有一
微量位移dl′，定义dl′与dl 的比值为轴向放大率，用 表示.
➢ 高斯公式和牛顿公式
将r
/(n'
n)
乘以物象公式
n' l'
ห้องสมุดไป่ตู้
n l
(n
r '
n)，得
f' f 1
第二章 球面与共轴球面系统
3. 放大率公式1） Nhomakorabea轴放大率：
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
工程光学第2章 共轴球面光学系统
10
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
球面和共轴球面系统培训课件
物体位于有限 远处
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
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C2
C1
C4
C3
光轴
2、光学系统的物
(1)物点 实物点：入射光线的会聚点;
虚物点：入射光线延长线的会聚点。 (2)物: 物点的集合。 实物：实物点的集合。 ——可以人为设置
虚物：虚物点的集合。——可由光学系统给出 (3)物平面：在光轴光学系统中，经过物点垂直光轴的平面称为物平 面。 (4)物空间：经光学系统成像以前的整个空间。 B A
在几何光学中，发光点被抽象为一个既无体积又无 大小的几何点，任何被成像的物体都是由无数个这样的 发光点所组成。
在几何光学中，光线被抽象为既无直径又无体积 的几何线。它的方向代表光线的传播方向即光能的传 播方向。 在各向同性介质中，光沿着波面的法线方向传播， 可以认为光波波面法线就是几何光学中的光线，与波 面对应的法线束称为光束。
A
B
这就是费马原理的数学表达式。
说明: 该处极值可以是极大值、极小值或常值.
任何一条实际的光路，其光程有一个共同的特 点，即它均满足极值条件。亦即，或者是所有光程 可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极 大值，或者是某一稳定值。
5、马吕斯(Malus)定律－几何光学的基本定律
1’ A B C 1 2
2、光的独立传播定律 从不同光源发出的光线，以不同的方向通过介质 某点时，各光线彼此不影响，好像其它光线不存在 似的独立传播，这就是光的独立传播定律。
3、光的折射定律和反射定律 当光在传播中遇到两种不同介质的光滑界面时， 光线将发生折射和反射，其继续传播的规律遵循折射 定律和虑角量的符号规定。
平面波对应于平行光束；球面波对应于会聚或发 散光束；其光线既不相交于一点，又不平行所对应的 光束称为像散光束。如图所示。
几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传 播途径加以表示的，光线的这种传播途径称为光路。
二、几何光学的基本定律 1、光的直线传播定律
在各向同性的均匀介质中，光线按直线传播， 这就是光的直线传播定律。--只有光在均匀介质中无 阻拦地传播时才成立。
3
光 学 系 统
Malus定律的解释图
A’ 2’ 3’ B’ C’
p1
p2
(1)内容
垂直于入射波面的入射光束，经过任意次的反射和折 射后，出射光束仍然垂直于出射波面，并且在入射波面和出 射波面间所有光路的光程相等。
(2)数学表示
A'
A
nds nds nds c
B C
B'
C'
三、物像的基本概念
理论都可以得到较满意的近似结果。
第一节
几何光学的基本定律
一、波面、光线和光束 光波是横波，在各向同性介质中，其电场的振动 方向与传播方向垂直，振动相位相同的各点在某时刻 所形成的曲面称为波面。 波面可以是平面、球面或其它曲面。 当发光体（光源）的大小和其辐射能的作用距离相 比可以忽略不计时，该发光体称为发光点或点光源。
四、费马原理
(1) 光程
指光在介质中经过的几何路径和介质折射率的 乘积，以字母L表示。 均匀介质中：L＝n×s
其中n为介质的折射率，s为光经过的几何路径。
光程
非均匀介质中
L n( s)ds
A
B
光程为光在介质中传播的时间和真空中光速的乘积.
L n(s)ds cds / v(s) cdt ct
应用光学
第五章 几何光学基础
在许多实际的光学工程应用中，由于光的频率 很高（10-14Hz），波长很短（10-7m），光的传输特 性可以利用波长趋于零的极限情况近似，这就是几 何光学处理光传输特性的基本思想。因此，可以认
为几何光学是波动光学在波长趋于零时的极限。
对于大多数光学工程技术问题，应用几何光学
1
2 A
B
3、光学系统的完善像
(1)像点 同心光束经光学系统后仍为同心光束，该同心光束的会 聚点。 实像点：出射光线的会聚点;
虚像点：出射光线反向延长线的会聚点。 (2)像: 像点的集合。 实像：实像点的集合。 ——可以用屏接收 虚像：虚像点的集合。——只可以观察
(3)像平面：经过像点垂直光轴的平面称为像平面。
如图，按照角度符号法
I
I
n
规的规定： 入射角和折射角均应以锐角 来量度，由光线沿锐角转向法线， 顺时针转成的角为正，反之为负。
I
n
反射和折射定律
折射定律
n sin I n sin I
如图，根据角度符 号法规的规定
I I
三、全反射现象 当光线由光密介质进入光疏介质时，当入射角大 于由两种介质折射率所决定的临界角时，光线将完全 被界面反射回来，这就是全反射。
A A tA
B
B
tB
(2) Fermat原理内容 费马原理指出：光线从A点到B点，是沿着光程 为极值的路径传播的。也就是说，光由A点到B点的 传播在几何方面存在着无数条可能的路径，每条路径 都对应着一个光程值，光由A点传播到B点的实际光 路包含在这些可能的路径之中。
数学表示：
L n( s)ds 0
使用光学仪器，离不开物像的基本概念，物体通 过光学系统(由基本的光学元件构成的系统)成像，所 成的像由人眼接收，这就是人们使用光学仪器的一般 过程。 光学系统由一系列的光学零件所组成。
常见的光学零件有：
透镜、棱镜、平行平板和反射镜等，其截面如图
所示。
1、共轴球面光学系统
(1) 球面光学系统：各光学元件表面均为球面或者平 面的光学系统。 (2) 共轴球面光学系统：球面光学系统中，各光学元 件表面的曲率中心在同一直线上的光学系统。 (3) 光轴：共轴球面光学系统中各光学元件表面的曲 率中心所在的直线。 (4) 子午面：共轴球面光学系统中，通过光轴的平面。
(4)像空间：经光学系统成像以后的整个空间。 B A B’2 1 A’1
B
A
2
A’2 B’1
4、光学系统成完善像的条件
从物点到像点的所有光路等光程
LAA' LAp1 Lp1 p 2 Lp 2 A'
p1 p2
A
A’
1
1
1
5、物点成完善像的界面方法
设置单一的反射或折射界面，一般可以对定点实现成完善像。 (1) 无限距离的物点反射成实像点 抛物面将无限距离的物点反射成有限距离的实(虚)像点 (2)有限距离的实物点反射成有限距离的实像点 椭球面将有限距离的实(虚)物点反射成有限距离的实(虚)像点 (3)有限距离的实物点反射成有限距离的虚像点 双曲面将有限距离的实(虚)物点反射成有限距离的虚(实)像点