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节点导纳矩阵

节点导纳矩阵

z10
I10
3 V3 1 I3 I13
z13
因此a的导纳矩阵为:
1
z12
1 z13
1 z10
1 z12
1 z13
Y
1 z12
1 z12
0
1
z13
1
0
z13
1
2
3
z12
z23
z20
若将节点1与节点2互换，根据图e，按照上述原则可得导纳矩阵为
1
z12
Y
1 z12
0
1 z12
2
I2 I12
1
I1
I13 0
3 I3
z12
z13
z10
I10
•
•
I 1 I 21 Y12
•
I
•
2 I
21
1 z12
Y22
•
I 3 0 Y32
同理得第三列元素为：
2
I2
•
•
I 1 I 31 Y13
I12 0
•
1
z12
I 2 0 z12 Y23
•
•
I 3 I 31 Y33
1
I1
Y11
1 z12
1 z13
1 z10
y12
y10
y13
节点2的自导纳应为：
Y22
1 z12
y12
(4) 导纳矩阵的非对角元素 等于节点
纳并取负号：
1
Yij
zij
yij
和节点
间的支路导
按照上述原则无论电力系统如何复杂都可以根据输电线路的参数和接线拓 扑，直接求出导纳矩阵。
一下包括变压器、移相器时，导纳矩阵的的形成方法。

电力系统分析第四章

电力系统分析第四章

三 节点导纳矩阵的修改
• （1）从网络的原有节点i引出一条导纳为yik • （2）在网络的原有节点i，j之间增加一条 • （3）在网络的原有节点i，j之间切除一条 的支路，同时增加一个节点k。 导纳为yik的支路。 ij • 由于节点数增加1，导纳矩阵将增加一行一 这种情况可以当做是在i，j节点间增加一条 • 由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵 列。新增的对角线元素Ykk=yik。新增的非对 导纳为-yij的支路来处理，因此，导纳矩阵 的阶次不变。因而只要对与节点i，j有关的 角线元素中，只有Yik=Yki=-yik，其余的元素 中有关元素的修正增量为 元素分别增添以下的修改增量即可 • 都为0.矩阵原有部分，只有节点i的自导纳 ΔYii=ΔYjj=yij，ΔYij=ΔYji=-yij =-yij ΔY =ΔY ji=yij 应增加ΔYii=yik。 • 其余的元素都不必修改。 其他的网络变更情况，可以仿照上述方法 经行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的 物理意义，导出相应的修改公式。
ik
Vk
V j 0, j k
二、节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点导纳矩阵的主要特点是：
• （1）导纳矩阵的元素很容易根据网络连接图和支路参数 直观地求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。 • （2）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为0， 但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接 线图中，一般每个节点同平均不超过3~4个其他节点有直 接的支路连接。因此在导纳矩阵的非对角线元素中每行平 均仅有3~4个非零元素，其余的都是零元素。如果在程序 设计中设法排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省 储存单元和提高计算速度。
• 对角元素Yii称为节点i的自导纳，其值等于接于节 点i的所有导纳之和。非对角元素Yij称为节点i、j 间的互导纳，它等于直接连接于节点i、j间的支路 j间的支 导纳的负值。 路导纳的负值。

节点导纳矩阵

节点导纳矩阵
KCL KVL 独立方程个数 支路电流、结点电压法
2019/12/5
电气工程基础-系统篇
3
3.3.1 电力网络方程
对任意节点i,根据KCL
U i
U i
U j
U j
Ii n Iij n yij Ui U j
yij yij
j0
j0
ji
ji
Iij
1
I1
y10
2
y13 y12 y23
I2
3
y30
y34
4
y40
I4
简化等值网络
2019/12/5
电气工程基础-系统篇
11
2019/12/5
电气工程基础-系统篇
I YU
12
3.3.2 功率方程和节点分类 I Y U
以极坐标形式表示节点电压、直角坐标形式表示导纳
Ui Uie ji Ui cosi jsini
13
节点分类
节点 已知变 待求变
类型 量
量
适用节点
备注
PQ P和Q
PV P和U
平衡节 U和δ 点？
U 和δ Q和δ P和Q
按给定有功、无功功率发电的 P Q 节 点 占
发电厂节点和没有其他电源的 系 统 节 点
变电站接点
总数的大
部分， PV
有一定无功功率储备的发电厂 节 点 占 少
节点和一定无功功率电源的变 部 分 （ 某
G
1）若以同获时2 得给同定时末满端3 足负两荷4个功限率制始条端件电的压YT1结，果必（须Y2l 前反推复回推Y2l 代算算（Y法T迭2 ）代
z 1 12 2
z23
z 3
34 4

节点导纳矩阵的形成

节点导纳矩阵的形成

极坐标形式 Page-132 令：
P i P Gi P Di U i U j Gij cos ij Bij sin ij （4-43a） Qi QGi QDi U i U j Gij sin ij Bij cos ij （4-43b）
——雅克比矩阵对角元素的计算公式
为什么
没有i=j项
为什么 有2倍项
42
雅克比矩阵元素的特点

雅克比矩阵不对称 节点分块雅克比矩阵与节点导纳矩阵具有相同的结构 维数相同，稀疏结构相同（非零元的位置相同）
N11 L11 N n1 H1n 1 J U / U 1n 1 1 H nn n nn
0
f1 x2 f 2 x2 f n x2
0
0
0
0
0
0 0 x 1 f 2 0 ... x2 xn 0 x 0 n f n ... xn 0 f1 ... xn
j 1 j 1 n
Ui ei jfi
25
直角坐标形式:（P-129：式（4-36a），（4-36b）
4.2.1.2 功率方程中变量的分类
n节点系统 2n个 2n个 2n个
给定2n个扰动变量和2n个控制变量，则功率方程组可解吗？
26
4.2.1.2 功率方程中变量的分类 ——变量的约束条件
4.2.1.1 功率方程
——两节点系统功率方程的形成
等式两边取共轭乘电压，则得节点的注入功率方程：
网络的功率损耗等于所有节点注入功率的代数和，则：

电力系统网络矩阵

电力系统网络矩阵

i
Yii
+
N
YNi
-
节点导纳矩阵表示短路参数。
在网络中节点i 接单位电压源，其余 节点都短路接地，此时流入节点i 的
电流数值上是Yii，流入节点j的电流
数值上是Yij。
注意：只有和节点i有支路相连的节点才有 电流，因此导纳矩阵是稀疏矩阵。节点导 纳矩阵的元素只包含网络的局部信息。
2011-1-1
高等电力网络分析
C2Z(0)C1
yaa1
zaa
za 0 z01z0a
2011-1-1
高等电力网络分析
14
3、追加树支支路
增加新节点q
部i 分 网
络j
a p
q 前 A0
A
A0 0T
ep 1q
后 y0
Y
A0 0T
ep y0
1
ya
0
y0a A0T
yaa
eTp
0 1
整理后可得
Z
Z(0) C2Z(0)
(Yn YpYpp1YpT )Vn In YpYpp1Ip
Y Yn YpYpp1YpT
i p
2011-1-1
j
i
k
j
消去节点p，只需对Y阵
中和p有支路相连的节
点之间的元素进行修正，
k
其他节点之间的元素不
需要修正。
高等电力网络分析
8
4、节点电压给定的情况
Yn YsT
Ys Yss
Vn Vs
部i
分
追加前：
网
a
络j
Y(0) A0z01A0T
追加后： Y A0
辅助矩阵求逆定理
M a
y0

矩阵形式的节点法ppt课件

矩阵形式的节点法ppt课件

dt
电
路
方
I(s) sCUc (s) Cuc (0 )
程 的
形
成
—
矩
u c
(t
)

1 C
t
0 i(t) dt uc (0 )
矩 阵 形 式 的 节 点 法
—
（5）编写MATLAB程序：
2.2
Ze=[1/3 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1/4 0 0;0 0 0 1 0;0 0 0 0 1]
Ye=inv(Ze);
电
C=[0 0 0 0 6;0 0 1 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0];
路
方
2 利用无伴电流源的转移方法，重新求解本
程 的
课件中例2-2-1（即下图）。
形 成
—
要求绘制出电流转移后的等效电路图，有
矩 阵
向图，并写出关联矩阵，支路导纳矩阵，
形 式
电压源向量和电流源向量。
的 节
点
法
2.2
电 路 方 程 的 形 成
本次课到此 矩 阵 形 式 的 节 点 法
—
复频域知识回顾
的 节
Ｐ为受控电压源关联矩阵，(b×b)
点 法
Ye(s)为元件导纳矩阵，(b×b)对角阵
2.2
Yn (s) AYb (s) AT
电 路 方
？
？
程 的 形
成
—
矩
阵
形
Yb (s) (E C)Ye (s)(E P)1
式 的 节 点
？
法
2.2
Ｃ为受控电流源关联矩阵，(b×b)，
其元素定义为 ：

节点导纳矩阵法

节点导纳矩阵法

n
n
节点电压u j 可为任何值 → 各项系数为零
∑y
k =1
n
k1
= ∑ yk 2 = L = ∑ ykn = 0
k =1 k =1
10
n
n
z 性质二：行元素之和为零。
假设各节点电位都相等且不为零（u1 =u2 = L =un ≠ 0）。 由于节点间无电位差，所以各电流都为零。 ik = −∑ u j ykj = 0
18
微波半导体器件
根据基尔霍夫电流定律： I1 + jωC2 (V2 − V1 ) + ( G1 + jωC1 )(V3 − V1 ) = 0 I 2 + jωC2 (V1 − V2 ) + ( G2 + jωC3 )(V3 − V2 ) − g m (V1 − V3 ) = 0 I 3 + ( G1 + jωC1 )(V1 − V3 ) + ( G2 + jωC3 )(V2 − V3 ) + g m (V1 − V3 ) = 0
20
利用S参数求待定导纳矩阵 实际电路中尚有一些微波元器件，它们 的导纳矩阵或等效电路中 Ykj 不可能精确的 从理论分析中导出。对于这类元器件，一般 采用测量方法测出其散射矩阵参数，然后将 它变换成导纳矩阵参数，再求出待定导纳矩 阵。
21
利用S参数求待定导纳矩阵
[S ] → [ y] :
% ] = ([ I ] − [ S ]) ([ I ] + [ S ]) [y ⎤ % ⎡ ⎤ [ y] = ⎡ ⎣ y0 ⎦ [ y ] ⎣ y0 ⎦
7
节点电流方程（基尔霍夫电流定律）
写成向量形式： I = YU Y : 待定导纳矩阵 I : 外电流向量 U : 节点电压向量 其中 − ykk = ∑ ykj

节点导纳矩阵法

节点导纳矩阵法

Y1(23)
Y1(13)
⎥ ⎦
所以：
[ ]y = ⎡⎢⎢YY13((1111))
⎢ ⎢⎣ 0
Y1(31) Y3(31) + Y1(12) + Y2(23)
Y2(12) + Y1(23)
21
利用S参数求待定导纳矩阵
[S] → [ y]:
[ y%] = ([I ] −[S])([I ] + [S])−1
[ y] = ⎡⎣ y0 ⎤⎦[ y%] ⎡⎣ y0 ⎤⎦
其中[ y%]为归一化导纳矩阵，[I ]为单位矩阵，
⎡⎣
⎡
y0
⎤⎦
=
⎢ ⎢
y01
O
0
⎤ ⎥
⎥
⎢ ⎢⎣
0
y0n
⎥ ⎥⎦
y01, y02 ,L, y0n为n端口元件各端外接传输线特性导纳。
3.2 节点导纳矩阵法（待定导纳矩阵法） Admittance Matrix Method
1
一般电路
端点：元件与外部连线的衔接点； 端口：电路网络的输入与输出口， 一个端口由两个端点构成； 节点：元件与元件的端点互相连接 之处； 支路：两个节点之间的通路； 回路：由一个节点出发，再回到该 节点的一组支路。
k =1
k =1
k =1
10
z 性质二：行Βιβλιοθήκη 素之和为零。假设各节点电位都相等且不为零（u1=u2 =L=un ≠ 0）。 由于节点间无电位差，所以各电流都为零。
n
∑ ik = − u j ykj = 0 j =1
k = 1, 2,L, n
又由于u1=u2 =L=un ≠ 0，所以
n
n
n
∑ ∑ ∑ y1 j = y2 j = L = ynj = 0
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解决图的编程问题4
这些是各节点的自导纳；
Y12 Y13 Y23 Y24 Y25
Y21 y4 Y31 y5 Y32 y3 Y42 y1 Y52 y2
这些是各节点的互导纳；其余节点互导纳为


0；

I1 ~ I5
上式反映了各I 1 节I 5 点电压与注入电流的关系，
I12 0

1
z12
I 2 0 z12 Y23


I 3 I 31 Y33
1
I1
z10
I10
3 V3 1 I3 I13
z13
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问1题1
因此a的导纳矩阵为:
1

z12

1 z13

1 z10
1 z12

1 z13

Y


I3
I12
I13
z12
z13
z10
I10
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题9

I
1

I

12 I

13 I
10
1 z12

1 z13

1 z10
Y11


1
I 2 I 12 z12 Y21
同样第二列元I 3素 ，I 1应3在 z1节13 点Y321 加单位电压，
0

1 z23

1
z23
通过比较可以发现，导纳矩阵第一行与第二行交换， 第一列与第二列交换即可以得到上式的导纳矩阵。 可得节点编号的顺序是任意的。
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问1题3
通过上面的讨论导纳矩阵有以下特点：
(1) 当不含移相器时，电力网络的导纳矩阵为对称矩阵。
为通各过节以点上注的入例的子电，流 节，点除方程的外阶其数他等都于为网0络的节点
数n，展开一般形式为：
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题5




I1 Y11 V 1 Y1i V i Y1n V n





I2 Y21 V 1 Y2i V i Y2n V n
导纳矩阵的对称性和稀疏性对于计算机解算电力系统 问题有很大的影响，如果能充分利用该特点，会大大 1.提2节高点计导算纳机矩的阵速的度形并成节与约修内改存。




In

Y1n

解决图的编程问题7
很明显，导纳矩阵i中第 列的Y对ii 角元素 在数i值上等于 节网点络注入Y加ij 的单电位流电。压导，i纳其矩他i 阵节中点第都接地列时的，对节角点元素 向i电在路数j
值上等于节点 加单位电压，其他节点都接地时，节点
向电路 网络注入的电流。
通过a图简2单说明导纳矩阵1 各元素的具体3意义，这个电力 网络有3各节点。因此导纳矩阵为三阶矩阵






I4


Y51 V 1 Y52 V 2 Y53 V 3 Y54 V 4 Y55 V 5

I5

其中：
Y11 y4 y5 y6
Y22 y1 y3 y4
Y33 y2 y3 y5
Y44 y1
Y55 y2
数据结构(C#语言版)
1 z12
1 z12
0


1
z13
1
0

z13
1
2
3
z12
z23
z20
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问1题2
若将节点1与节点2互换，根据图e，按照上述原则可
得导纳矩阵为
1

z12
Y



1 z12

0

1 z12
111 z12 z23 z20
1 z23






In Yn1 V 1 Yni V i Ynn V n
节点导纳矩阵为：
Y11 Y12 Y13 Y Yi1 Yi2 Yi3 Yn1 Yn2 Yn3
Y1n

Yin


Ynn
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题6
节点1、3接地，如图c所示在这种情况下：
2
1
3
I2 I12
I1
I3
I13 0
z12
z13
z10
I10
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问1题0


I 1 I 21 Y12

I

2 I
21

1 z12
Y22

I 3 0 Y32
同理得第三列元素为：
2
I2


I 1 I 31 Y13
节点导纳矩阵
1
目录
一、节点导纳的基本概念 二、节点导纳矩阵的形成与修改
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题2
一、节点导纳矩阵的的基本概念
V4
y1
4
i1
2 y4
y3
i3
i4
i5
3 y5Βιβλιοθήκη 1 V1i6y6y2 5
i2
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题3






Y11 V 1 Y12 V 2 Y13 V 3 Y14 V 4 Y15 V 5 I1
它反映了电力网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵
可以看成是对电力网络电气特性的一种数学抽象。
如果在一节点i 加以单位电压，把其余节点全部接地
即令


V i 1 V j 0 ( j 1, 2, , n, j i)
在该情况下可得
数据结构(C#语言版)

I1
Y1i



Ii Yii
z12
z13
z10
a
数据结构(C#语言版)
解决图的编程问题8
Y11 Y12 Y13
Y

Y21
Y22
Y23

Y31 Y32 Y33
首先讨论第一列元Y11素Y12 Y13
，根据上面的论
述，这种情况应在节点1加单位电压，将节点2、3接
地，如图b所2 示，不难看出1；
3
I2
V1=1 I1
Y12

Y21


1 z12
Y13

Y31


1 z13
Y23 Y32 0
即：
Yij Yji
(2)导纳矩阵为稀疏矩阵，通过上面讨论当电力网络 中两个不相邻的节点，它们的互导纳为0，导纳矩阵 每行非对角元素中非零元素的个数与相应节点的出 线数相同，，通常出线数为2-4条，所以导纳矩阵每 数据结构行(C的#语非言版对) 角元素中非零的元素为2—4个非零元素解决，图的编程问1题4







Y21 V 1 Y22 V 2 Y23 V 3 Y24 V 4 Y25 V 5 I2





Y31 V 1 Y32 V 2 Y33 V 3 Y34 V 4 Y35 V 5


I3







Y41 V 1 Y42 V 2 Y43 V 3 Y44 V 4 Y45 V 5
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