江苏中职数学第四册17.1复数的概念
江苏扬中中职数学(苏教版 第四册)教案：17.1 复数的概念
通过探究让学生体会复数的由来；同时培养学生合作学习及质疑的精神.
以例题深化学生对复数概念的理解，帮助学生
体会复数的有关概念.
巩固概念
通过学生的做、述、评，加深对复数的分类的理解.
通过学生的做、述、评，进一步加深对复数的分类的理解.
检查所学，做到堂堂清.
课堂小结
【导引】填空形式复习本节知识点
问：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
【例3】当实数m取什么值时，复数 分别是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【试金石】当实数m取什么值时，复数 分别是(1)当实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【检测】
1. 的实部为，虚部为.
2.判断下列命题是否正确：
（1）若 为实数，则 为虚数.
三、解答题
5．若 为实数，且复数 为纯虚数，求 的值.
6.已知 为复数， 的实部为复数 的实部与虚部的和， 的虚部为复数 的实部和虚部的积，当 时，求复数 .
板书设计
投影
17.1复数的概念
1.虚数单位 i： 例3：
2.复数代数形式
实部 虚部 生书：
3.分类
（维恩图）
尝试练习
从学生已有知识出发，激发学生的学习兴趣；让学生体会数学的实用性.
新授
探究：通过解方程，引进虚数单位i.
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位， ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿
实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
复数的知识点总结
复数的知识点总结1. 复数的概念复数是数学中的一个重要概念，由实部和虚部构成。
形式上，复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的表示形式复数可以用不同的表示形式来表示，包括直角坐标形式和极坐标形式。
2.1 直角坐标形式直角坐标形式将复数表示为一个有序对(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
例如，复数3 + 4i可以表示为(3, 4)。
2.2 极坐标形式极坐标形式将复数表示为一个模长和一个幅角。
模长表示复数到原点的距离，幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
例如，复数3 + 4i可以表示为5 * (cosθ + isinθ)，其中模长为5，幅角θ为arctan(4/3)。
3. 复数的运算复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
3.1 加法和减法复数的加法和减法运算与常规的实数运算类似，将实部和虚部分别相加或相减。
例如，复数a + bi与复数c + di的加法结果为(a + c) + (b + d)i，减法结果为(a - c) + (b - d)i。
3.2 乘法复数的乘法运算可以通过分配律来进行计算。
例如，复数a + bi与复数c + di的乘法结果为(ac - bd) + (ad + bc)i。
3.3 除法复数的除法运算需要利用共轭复数的概念来进行计算。
共轭复数是保持实部不变，虚部取相反数的复数。
例如，复数a + bi除以复数c + di的结果可以通过以下步骤计算：1.计算分子和分母的乘积，即(a + bi)(c - di)。
2.将结果的实部和虚部分别除以分母的模长的平方。
4. 复数的应用领域复数广泛应用于物理学、电子工程、信号处理等领域。
在物理学中，复数用于描述振幅和相位，解决波动方程、薛定谔方程等问题。
在电子工程中，复数用于描述电压和电流的相位关系，解决交流电路的分析问题。
在信号处理中，复数用于表示信号的频谱，解决滤波、调制等问题。
5. 复数的性质复数具有一些重要的性质，包括共轭性、模长、幅角等。
2025江苏中职职教高考-数学-强化班-精编讲义
数学课程知识框架第一章集合第二章不等式第三章函数第四章三角函数第五章数列第六章复数第七章平面向量第八章平面解析几何第九章立体几何第十章线性规划初步第十一章概率与统计初步第十二章排列、组合、二项式定理第十三章逻辑代数初步第十四章算法与程序框图第十五章数据表格信息处理第十六章编制计划的原理与方法第一章集合核心知识清单1.集合的表示法2.集合与集合之间的关系3.集合的运算（并、交、补）4.逻辑用语的判断巩固训练【例题1】下列集合属于无限集的是（）.A.某学校教师组成的集合B.方程x2−2=0的解组成的集合C.不等式x>3的解集组成的集合D.大于1且小于10的整数组成的集合【答案】C【解析】该不等式的解集是无限集.【例题2】下列关系不正确的是（）.A.2∈{1，2，3，4}B.0⫋{0}C.{1，2，3，4}={4，3，2，1}D.Z⊆Q【答案】B【解析】0∈{0}【例题3】设集合M ={−2，0，1}，N ={−1，0，2}，则M ∩N=（）.A.{0}B.{1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【答案】A【解析】交集运算，取两个集合的公共部分.【例题4】平面直角坐标系中不在坐标轴上点的集合为（）.A.{（x ，y）|xy ≠0}B.{（x ，y）|x ≠0}C.{（x ，y）|y ≠0}D.{（x ，y）|xy =0}【答案】A【解析】坐标轴上的点至少一个坐标为零，故坐标乘积不为0的点一定不在坐标轴上.【例题5】“x>1”是“|x|>1”的（）.A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】>1可以推出||>1，反之不成立，故为充分非必要条件.【例题6】“0<a <1”是“log a 2>log a 3”的（）.A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】B【解析】两者可以互相推导，故为充分必要条件.第二章不等式核心知识清单1.不等式的性质2.一元一次不等式和不等式组的计算3.一元二次不等式的计算4.简易分式不等式与绝对值不等式的计算【例题1】已知0<a <1，则（）.A.2a >a >a2B.a >2a >a2C.a>a2>2aD.a2>a>2a【答案】A【解析】a>0可得2a>a，0<a<1可得a>a2，故A正确.【例题2】解不等式3−r14>1并用区间表示解集.解：3−r14>1⇒4x-3(x+1)>12⇒x>15解集为x∈（15，+∞).【例题−2>2(x+1)−2≤−65x+6并用区间表示解集.解：4x-2>2(x+1)⇒x>5254x-2≤−65x+6⇒x≤4解集为x∈（，4].【例题4】不等式x2+7x+6<0的解集是（）.A.（1，6）B.(−∞,1）∪（6，+∞)C.(−6，−1）D.(−∞,−6）∪(−1，+∞)【答案】C【解析】x2+7x+6<0可得（x+6）（x+1）<0，故解集为(−6，−1）.【例题5】不等式x2−6x+9>0的解集是（）.A.（3，+∞)B.(−∞,3）∪（3，+∞)C.∅D.R【答案】B【解析】x2−6x+9>0可得（x−3）2>0，故解集为(−∞,3）∪（3，+∞).【例题6】不等式x−1x+4>0等价于（）.A.（x−1）（x+4）>0B.（x−1）（x+4）<0C.（1−x）（x+4）<0D.（x−1）（x+4）≤0【答案】B【解析】分式不等式转化为一元二次不等式，不等式两端同乘负一倍得（x−1）（x+4）<0.【例题7】解不等式|3x−1|> 2.解：此不等式转化为3x−1>2或3x−1<−2，解得x>1或x<−13.故不等式的解集为(−∞,−13）∪（1，+∞).第三章函数核心知识清单1.函数的概念2.函数的性质3.二次函数4.函数的解析式5.函数的应用6.指数幂运算与指数函数7.对数运算与对数函数【例题1】函数f(x)=5−+ln(x-1)的定义域为（）.A.(−∞,5）B.（1，5]C.[1，5）D.（1，+∞)【答案】B【解析】5−x≥0可得x≤5，x−1>0可得x>1.解集取交集得（1，5].【例题2】已知函数2+1,≤12,>1,则f[f（2）]=（）.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】f（2）=22=1，故f[f（2）]=f（1）=1+1=2.【例题3】若函数f（x）=3x2+bx,(b∈R为偶函数，则f(1)=（）.A.4B.−4C.2D.−2【答案】C【解析】由f（1）=f(−1）可得b=0，f（1）=3−1=2.【例题4】已知定义在R上的奇函数f（x），对任意的x都有f（x+4）=f（x），若f(−1）=3，则f（4）+f（5）=（）.A.6B.1C.3D.−3【答案】D【解析】由f(−1）=3可得f（1）=−3，奇函数可得f（0）=0，故f（4）=f（0），f（5）=f（1），f（4）+f（5）=0−3=−3.【例题5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则（）.A.ac>0B.ac<0C.ac=0D.ab>0【答案】B【解析】二次函数开口向下得a<0，对称轴在y轴右侧得−2>0，故b>0，与y轴交点在正半轴得c>0，故ab<0，ac<0.【例题6】已知矩形的周长为10，设该矩形的面积为A，一边的长为x，1.将A表示为x的函数；2.求A 的最大值；3.设周长为10的圆的面积为S ，试比较A 和S 的大小关系，并说明理由.解：1.矩形的两条边的长为x，10−22,，故A =x ·10−22=−x 2+5x （0<x <5）；2.二次函数的对称轴为x =52，显然在定义域内，代入得A =X ∙254；3.2πT =10得T =52，S =πT 2=25>254，故S >A.【例题7】下列运算错误的是（）.A.3−1=13B.13=3aC.a 2·a 3=a 5D.a 2+a 3=a 5【答案】D【解析】不是同类项不能运算.【例题8】下列大小关系正确的是（）.A.0.3−6>0.3−4>3−0.6B.0.3−4>0.3−6>3−0.6C.3−0.6>0.3−6>0.3−4D.3−0.6>0.3−4>0.3−6【答案】A【解析】指数函数y =0.3x 是减函数，故0.3−6>0.3−4>1，而3−0.6<1，故A 正确.【例题9】若log 155=m ，则log 153=（）.A.3B.1+mC.1−mD.m −1【答案】C【解析】log 155+log 153=log 1515=1，故log 153=1−log 155=1−m.【例题10】函数f(x)=1l|r1|的定义域为______.解：|x+1|>0⇒x ≠−1lg |x+1|≠0⇒|x+1|≠1⇒-2，x ≠0综上，可得定义域为(-∞,-1)∪(-2,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞).第四章三角函数【例题1】2020°角是（）.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】2020°=360°×5+220°,故为第三象限角.【例题2】终边在y轴负半轴上的角的集合为（）.A.{β|β=k.360∘+90∘,k∈Z}B.{β|β=k.60∘−90∘,k∈Z}C.{β|β=k.180∘+90∘,k∈Z}D.{β|β=k.180∘−90∘,k∈Z}【答案】B【解析】−90∘在y轴负半轴上，B为与它终边相同的角的集合.【例题3】已知角θ的顶点与原点重合，始边为x轴的非负半轴，如果θ的终边与单位圆的交点为P（35，−45），则下列等式正确的是().A.sinθ=35C.tanθ=−35B.cosθ=−45D.tanθ=−45【答案】C，【例题4】sin2-cosπ+tan0=______。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a\）、＼（b\）均为实数）的数称为复数，其中\（a\）被称为实部，＼（b\）被称为虚部，＼（i\）为虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就变成了实数\（a\）；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\），这是最常见的表示形式。
2、几何形式：在复平面上，复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以用点\（（a,b)＼）来表示，其中\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴。
3、三角形式：＼（z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（＼theta\）为复数的辐角。
4、指数形式：＼（z ＝ re^｛i\theta}＼），这是三角形式的另一种表达。
三、复数的运算1、加法：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面上向量的加法。
2、减法：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面上向量的减法。
3、乘法：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、除法：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若复数\（z＝ a ＋ bi\），则其共轭复数为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
复数概念及其运算
复数概念及其运算复数是数学中一个非常重要的概念，起源于希腊数学。
在实数范围中，我们可以解决绝大多数方程和不等式问题，但在某些情况下，我们需要引入复数来进行运算。
本文将讨论复数的概念及其运算规则。
一、复数的概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。
虚数定义为包含负数的平方根的数。
通常情况下，复数用字母"z"表示。
一个复数可以表示为：z = a + bi其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，且满足i²= -1。
例如，一个典型的复数可以是：z = 3 + 4i。
在这个例子中，实数部分为3，虚数部分为4。
二、复数的运算规则1. 加法：复数的加法规则遵循实数和虚数分别相加的原则。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i2. 减法：复数的减法规则与加法类似，实数部分和虚数部分分别相减。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i3. 乘法：复数的乘法规则通过展开公式进行计算。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (3 * 2 - 4 * 5) + (3 * 5 + 4 * 2)i = -14 + 23i4. 除法：复数的除法规则通过乘以共轭复数并进行简化计算。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、基本概念复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。
三、基本运算1. 加法(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i即实部相加，虚部相加。
2. 减法(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i即实部相减，虚部相减。
3. 乘法(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，共轭复数满足以下性质：a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
四、复数的模和幅角1. 复数模|r|复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。
|r| = √(a² + b²)2. 复数的幅角θ复数的幅角是指复数与正实轴正方向的夹角，可以用反正切函数求出。
复数全章知识点
复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。
比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。
其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。
就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。
②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。
像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。
③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。
因为复数也会用到实数的运算规则。
④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。
因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。
在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。
二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。
如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。
②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。
许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。
还和向量有点联系。
可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。
③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。
它不像实数那么直观。
- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。
能熟练进行复数的四则运算。
④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。
比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。
如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ii的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=13.4.复数的定义：形如(,)a bi ab R+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)z a bi a b R=+∈5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且a bi ab R仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化）12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。