浙江省东阳中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合2，3，，4，，则中的元素个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.直线的斜率是A. B. C. D. 23.“且”是“直线过点”的A. 充分条件不必要B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的最小正周期为A. B. C. D.5.已知向量，且，则实数x的值是A. B. 2 C. 8 D.6.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则A. B. C. D.8.设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为A. B. C. D.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为A. B. C. 1 D. 210.定义域为R的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知，则______，______．12.若函数是偶函数，则______，值域为______．13.在等差数列中，若，则______，______．14.一个几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积为______，该该几何体的体积为______．15.过点的直线与抛物线交于A、B两点，且则此直线的方程为______．16.函数在区间内是增函数，则实数a的取值范围是______．17.若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知向量，且A，B，C分别是锐角三角形ABC三边a，b，c所对的角．Ⅰ求的大小；Ⅱ若a，c，b成等比数列，且，求c的值．19.设是公差大于零的等差数列，已知，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和．20.在四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ证明：平面PAC；Ⅱ若二面角的大小为，求AP的值．21.已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为，，求直线l的倾斜角．22.设函数．求函数的最小值；设，讨论函数的单调性；斜率为k的直线与曲线交于、两点，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2，3，，4，，，则的元素个数是2个．故选：C．求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：直线变形得：，则直线斜率为．故选A将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．3.答案：A解析：解：由直线过点得：，即：，得不出且，直线过点不是且的必要条件；而且能得出，直线过点是且的充分条件．故选：A．直线过点，所以得到，下面只要验证能否得出且，且能否得出就可以了．本题考查了直线的方程、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：函数的最小正周期为，故选：B．根据了函数的周期为，计算求得结果．本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．5.答案：D解析：解：向量，且，，解得故选：D．由题意可得，解之即可．本题考查向量的垂直，转化为向量的数量积为0是解决问题的关键，属基础题．6.答案：D解析：解：等比数列中，，即有，，则新数列的公比为9，即有．故选：D．求出等比数列中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，，，故选：C．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sin B不为0求出cos A的值即可．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8.答案：A解析：解：在椭圆中，由，得椭圆的焦点为，，曲线是以、为焦点，实轴长为8的双曲线，故C的标准方程为：，故选：A．在椭圆中，由题设条件能够得到，曲线是以，，为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线的标准方程．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质求最值，属于一般题．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是12，确定a，b之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时确定最大值12，由，解得，即，代入目标函数得，即，则，，．，，当时，取得最小值．故选B．10.答案：A解析：解：，令，则，是定义在R上的偶函数，．，则函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，又当时，，令，则与在的部分图象如下图在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，在上单调递减，则，解得：，故选：A．由题意可判断函数是定义在R上的，周期为2的偶函数，令，画出与在的部分图象如下图，将在上至少有三个零点可化为与的图象在上至少有三个交点，从而解出a的取值范围．本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题．11.答案：解析：解：，，．故答案为：，．由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化简求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.答案：2解析：解：根据题意，函数，是对称轴为的二次函数，若函数是偶函数，必有，即；则，即函数的值域为；故答案为：2，．根据题意，将函数的解析式变形可得，分析可得是对称轴为的二次函数，结合偶函数的性质可得a的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，注意结合二次函数的性质分析．13.答案：解析：解：等差数列中，由等差数列的性质可得，，则，．故答案为：，．由已知结合等差数列的性质可求，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的三角函数值的求解．14.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体．如图所示：故：，．故答案为：，首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：设，由，得P为AB的中点．把A，B的坐标代入抛物线方程得，得：．所以．则过AB两点的直线方程为．即．故答案为．设出A，B两点的坐标并代入抛物线方程，由知P为AB的中点，利用点差法求出直线AB的斜率，由点斜式得方程．本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用点差法求涉及弦中点的直线的斜率，是中档题．16.答案：解析：解：，令即，当，；当时，解得，或；因为函数在区间内是增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：求出，因为要求函数的增区间，所以令大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间上是增函数列出关于a的不等式，求出a的范围即可．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用不等式解集的端点大小列出不等式求字母的取值范围，是一道综合题．17.答案：解析：解：由不等式对于且恒成立，可得，对于且恒成立，令，由表示两点与的斜率，根据右图可知，点代入可得t的最小值为1，点代入可得t的最大值3，则，则在上恒成立，由，，可得函数y在递减，则，即时，，可得，故答案为：．将a分离出来得，然后根据，，求出的范围，令，可得在上恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出a的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．18.答案：解：Ⅰ向量，可得即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以．Ⅱ因为a，c，b成等比数列，所以，又，所以．所以，即，所以．解析：Ⅰ通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C的大小．Ⅱ，c，b成等比数列，得到，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，等比数列的性质，三角形的解法，考查计算能力．19.答案：解：Ⅰ是公差大于零的等差数列，，．，解得，或舍，．Ⅱ是以1为首项，以3为公比的等比数列，，，．解析：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．Ⅰ由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出．Ⅱ由已知条件得，，由此能求出数列的前n项和．20.答案：Ⅰ证明：设O为AC与BD的交点，作于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，，所以，从而得，所以，即．由平面ABCD得，因为，所以平面分Ⅱ解：方法一：作于点H，连接DH．由Ⅰ知平面PAC，故D．所以平面DOH，从而得，．故是二面角的平面角，所以．在中，由，得．在中，．设，可得．解得，即分方法二：Ⅱ由Ⅰ知以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知各点坐标如下：，0，，，0，．由平面ABCD，得轴，故设点．设y，为平面PDC的法向量，由，知取，得1，又平面PAC的法向量为0，，于是，．解得，即分解析：Ⅰ设O为AC与BD的交点，作于点E，证明，可得由平面ABCD得，利用线面垂直的判定定理，可得平面PAC；Ⅱ方法一：作于点H，连接DH，可得是二面角的平面角，在中，，可求AP的值；方法二：以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的大小为，可求AP的值．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．21.答案：解：由椭圆的离心率，则，，由，即，由解得：，，椭圆的方程；由题知，，直线l斜率存在，故设l：，则，整理得：，，由，得，，，，．故直线的倾斜角为或．解析：由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：，令，得．当时，；当时，，当时，分，．当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得．综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减．证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证．设，则，故在上是增函数，当时，，即．设，则，故在上是增函数，当时，，即．由知成立，得证．解析：根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间内只有一个极值，那么极小值就是最小值；先确定函数的定义域然后求导数，讨论a在函数的定义域内解不等式和即可求得；要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证即可．本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达到了相当的高度．。
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三(上)期中数学试卷试题及解析
2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，则()(A B C = )A ．{1}-B ．{1-，2}-C ．{1-，2-，0}D ．{2-，1-，0，2，4}2．设(1iz i i=-为虚数单位），则1(||z = )A B C ．12D ．23．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若m α⊥，//m β，则//αβ C ．若m α⊥，//n α，则//m n D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n4．252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．805．已知a c <，随机变量ξ，η的分布列分别如下：则下列结论成立的是( ) A ．()()E E ξη>，()()D D ξη> B ．()()E E ξη>，()()D D ξη=C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη<，()()D D ξη=6．已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的最大值是( )A ．1B ．32C D ．27．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是( ) A ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈C ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ D ．[,],2k k k Z πππ-∈8．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,n n n n n nn b a bc a a b ⎧=⎨>⎩…，若在数列{}n ð中，5n c …ð对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．54k --剟 B ．43k --剟 C ．53k --剟 D ．4k =-9．已知()f x 是定义在R 上的函数，若方程(())f f x x =有且仅有一个实数根，则()f x 的解析式可能是( ) A ．()|21|f x x =-B ．()x f x e =C ．2()1f x x x =++D ．()sin f x x =10．已知P ，Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=、圆22:(4)1D x y +-=上的动点，O 是坐标原点，则|||PQ PO 的最小值是( ) A．B．1- C．D．1-二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3x y +的最大值为 ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 ．13．若A ，B 为锐角，且4A B π+=，则44log (1tan )log (1tan )A B +++= ．14．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e =，当此三角形的面积是，则2b = ． 15．若正数x ，y 满足121x y +=，则412x yx y +--的最小值为 ． 16．已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则(21)f -= ；()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是 ．17．设数列{}n a 共有8项，且1481a a a ===，对于每个(17,)i i i N ∈剟，均有11{,1,2}2i i a a +∈，则满足条件的数列的个数是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边，向量(sin ,)m A b c =+与(sin sin ,)n C B a b =--满足//m n ．（1）求角C 的大小；（2）若a b kc +=，求实数k 的取值范围．19．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）若O 为BCD ∆的重心，N 在棱AC 上，且2CF FN =，求证：//OF 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列1(2)(2)n n n n a b a a +=++，其前n 项和为n T ，问142n n T S ++是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．在平面直角坐标系xoy 中，已知不与坐标轴平行的动直线:10l x my --=过抛物线2:2C y px =的焦点F ，动直线l 交抛物线于A ，B 两点．（1）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ，判断||||AB FM 是否为定值，并说明理由； （2）在x 轴上是否存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <，①若212t t =，求函数()f x 在原点处的切线方程；②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，则()(A B C = )A ．{1}-B ．{1-，2}-C ．{1-，2-，0}D ．{2-，1-，0，2，4}【解答】解：{2A =-，1-，0，2}，{1B =-，2，4}，{|0}C x x =<，{2A B ∴=-，1-，0，2，4}， (){2AB C ∴=-，1}-．故选：B ． 2．设(1iz i i=-为虚数单位），则1(||z = )A B C ．12D ．2【解答】解：(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+，||z ∴==∴1||z = 故选：B ．3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若m α⊥，//m β，则//αβ C ．若m α⊥，//n α，则//m nD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【解答】解：对于A ，//m α，//m β时，//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，m α⊥，//m β时，αβ⊥，故B 错误； 对于C ，m α⊥，//n α时，m n ⊥，故C 错误； 对于D ，m α⊥，n α⊥时，//m n ，D 正确． 故选：D ．4．252()x x+的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80【解答】解：由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为：251031552()()2r r r r r r r T C x C x x--+==，由1034r -=，解得2r =，252()x x∴+的展开式中4x 的系数为225240C =．故选：C ．5．已知a c <，随机变量ξ，η的分布列分别如下：则下列结论成立的是( ) A ．()()E E ξη>，()()D D ξη> B ．()()E E ξη>，()()D D ξη=C ．()()E E ξη<，()()D D ξη>D ．()()E E ξη<，()()D D ξη=【解答】解：依题意0E c a ξ=->，0E a c η=-<，E E ξη∴>． 所以22222()(1)()(1)2D a c a b c a c c a a c ac a c ξ=--++-+-+=+---． 同理：22222()(1)()(1)2D c c a b c a a c a a c ac a c η=-+-+-+++-=+---， ()()D D ξη∴=，故选：B ．6．已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的最大值是( )A ．1B ．32C D ．2【解答】解：当1i =，2，3，4，5时， 1(1,2,3,4,5)i OP OP i =的值 依次是311,,1,0,22-，故最大值为32． 故选：B ．7．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是( )A ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈C ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ D ．[,],2k k k Z πππ-∈【解答】解：函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中πϕπ-<<，若()()6f x f π…对x R ∈恒成立，则6x π=时，函数取得最小值，故有232k ππϕπ+=-，k Z ∈， 56πϕ∴=-，()2sin(2)6f x x π=-，令5222262k x k πππππ--+剟，求得263k x k ππππ++剟， 可得()f x 的单调递增区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈， 故选：C ．8．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,n n n n n nn b a bc a a b ⎧=⎨>⎩…，若在数列{}n ð中，5n c …ð对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．54k --剟 B ．43k --剟 C ．53k --剟 D ．4k =-【解答】解：若55c a =，则55a b >，则前面不会有n b 的项，{}n b 递增，{}n a 递减，(1i b i ∴=，2，3，554)(1i b a a i <<<=，2，3，4)，n a 递减，∴当6n …时，必有n n a ≠ð，即n n b =ð， 此时应有65b a …，55a b ∴>，即025k >+，得4k <-，65b a …，即61k +…，得5k -…， 54k ∴-<-…．若55c b =，则55b a …，同理，前面不能有n b 项，即454a b b >…，当6n …时，{}n b 递增，{}n a 递减， 55(6)n n b b a a n ∴>>厖，∴当6n …时，n n b =ð．由55b a …，即51k +…，得，4k -…， 由45a b …，得25k +…，得3k -…，即43k --剟． 综上得，53k --剟． ∴实数k 的取值范围是[5-，3]-．9．已知()f x 是定义在R 上的函数，若方程(())f f x x =有且仅有一个实数根，则()f x 的解析式可能是( ) A ．()|21|f x x =-B ．()x f x e =C ．2()1f x x x =++D ．()sin f x x =【解答】解：对于A ，由(())f f x x =，即为|2|21|1|x x --=，可得1x =或13或15或35，故A不可能；对于B ，由()1x x e x e -'=-，可得x y e x =-的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞， 即x e x -的最小值为0010e -=>，即有x e x >恒成立，则(())f f x x =无实数解，故B 不可能；对于C ，2()1f x x x =++，222(())(1)(1)1f f x x x x x x =++++++=， 即为222(1)20x x x ++++=无实数解，故C 不可能；对于D ，由sin y x x =-的导数为cos 10y x '=-…，可得函数sin y x x =-在R 上递减，由0x =时，sin 000y =-=，可得sin(sin 0)sin 00==，且sin(sin )x x -在R 上单调，则(())f f x x =有且仅有一个实数根0，故D 可能． 故选：D ．10．已知P ，Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=、圆22:(4)1D x y +-=上的动点，O 是坐标原点，则|||PQ PO 的最小值是( )A ．B ．1-C ．D ．1-【解答】解：如图所示：令|||Z PQ PO =，令||1|min Z PD PO =-， 在PMC ∆和OPC ∆中，MC PC PC OC ==PMC ∴∆和OPC ∆，∴OP =∴||||PQ PO的最小值为||1|PD PO -+， 即：||||1PD PC +-(||||)||min PD PC MD +==所以||||PQ PO的最小值是1， 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3x y +的最大值为 5 ．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件1,210,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(1,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3125⨯+=． 故答案为：5．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2+，体积为 ．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P ABC -，其中PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2PA =，1AC =，2BC =．∴该几何体的表面积111121122222222S =⨯⨯+⨯⨯++=+， 体积112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故答案为：2+23．13．若A ，B 为锐角，且4A B π+=，则44log (1tan )log (1tan )A B +++=2． 【解答】解：4A B π+=，tan tan tan()11tan tan A BA B A B+∴+==-，即tan tan 1tan tan A B A B +=-，则(1tan )(1tan )A B ++ 1tan tan tan tan A B A B =+++ 11tan tan tan tan A B A B =+-+2=．44441log (1tan )log (1tan )log (1tan )(1tan )log 22A B A B ∴+++=++==．故答案为：12． 14．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，则此椭圆的离心率e 1- ，当此三角形的面积是，则2b = ．【解答】解：如图，由OPF ∆为正三角形，可得(2cP )，代入椭圆方程，可得22223144c c a b+=，又222b a c =-，得22222222()34()a c c a c a a c -+=-，解得1ce a==；若12OPF S c ∆=⨯=4c =，216a ===+，则222b a c =-=1-；15．若正数x ，y 满足121x y +=，则412x yx y +--的最小值为 9 ． 【解答】解：由0x >，0y >，且121x y+=， 所以1221y x y y -=-=，求得2y x y =-， 同理21xy x =-； 所以411284(4)()145225912222x y y y x y x x x y x y x y x y+=+=++=++++=⨯+=--…，当且仅当82y x x y =，即4y x =，即32x =、6y =时， 412x yx y +--取得最小值为9． 故答案为：9．16．已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则(21)f -= 4 ；()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是 ．【解答】解：由已知函数3log (8)1,1()(20),1x x f x f x x ++⎧=⎨+<⎩…，则3(21)(2120)(1)(120)(19)log (198)14f f f f f -=-+=-=-+==++=；当1x …时，3()log (8)1f x x =++，()f x ∴在[1，)+∞上为增函数， 且在区间[1，4)上，3f =（1）()f x f <…（4）3log 121=+；当1x <时，()(20)f x f x =+，()f x ∴在(,1)-∞上为周期为20的周期函数； 且在区间[19-，1)上单调递增，∴在区间(,1)-∞上，f （1）()(21)f x f <…，即33()log 291f x <+…；综上所述：()f x 在区间(,4)-∞上的最小值是3． 故答案为：4，3．17．设数列{}n a 共有8项，且1481a a a ===，对于每个(17,)i i i N ∈剟，均有11{,1,2}2i i a a +∈，则满足条件的数列的个数是 133 ． 【解答】解：根据题意，11{,1,2}2i i a a +∈， 11i a a k +∴=⨯，1{2k ∈，1，2}．1481a a a ===，∴①从14~a a 的三步变化中，k 全为1或者三步变化中k 互不相同，此时14~a a 共有3317A +=种方法；②从48~a a 的4步变化中，有以下几种方式： （1）k 全为1，有1种，（2）其中两步k 为12，另外两步k 为2，有246C =种， （3）有1步为12，1步为2，其余两步为1，有24A 种， 故从48~a a 的4步变化中，有161219++=种方法，根据分别乘法原理，满足条件的数列的个数是719133⨯=种． 故答案为：133．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边，向量(sin ,)m A b c =+与(sin sin ,)n C B a b =--满足//m n ．（1）求角C 的大小；（2）若a b kc +=，求实数k 的取值范围【解答】解：（1）(sin ,)m A b c =+，(sin sin ,)n C B a b =--， 由//m n ，得()sin ()(sin sin )a b A b c C B -=+-．由正弦定理得()()()a b a b c c b -=+-，即222a b c ab +-=， 由余弦定理得1cos 2C =，即3C π=； （2）由3C π=知，23B A π=-，则2sin sin()sin sin 3cos 2sin()sin 6sin 3A A a b A Bk A A A c Cπππ+-++====+=+．203A π<<，得5666A πππ<+<，∴1sin()126A π<+…， 故k 的取值范围是(1，2]．19．如图，在三棱锥D ABC -中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =．（Ⅰ）若O 为BCD ∆的重心，N 在棱AC 上，且2CF FN =，求证：//OF 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过O 作//OM BE ，并且233aOM BE ==，过F 作//FH BC ，且133a FH BC ==；//OM FH ∴，且OM FH =； ∴四边形OMHF 是平行四边形；//OF MH ∴，OF ⊂/平面BDN ，MH ⊂平面BDN ；//OF ∴平面BDN ；（Ⅱ）取AC 中点G ，连接EG ，则//EG AB ，AB ⊥平面BCD ； EG ∴⊥平面BCD ；又DE BC ⊥；EG ，EB ，ED 三直线两两垂直，∴分别以这三直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则：(0E ，0，0)，(,,0)44a a F -，(A a ，2a，0)，(0D ，0；∴(,2a AD a =--，ED =，(,44a aEF =-，0)； 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则：302044az n ED ax ay n EF ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩； ∴0z x y =⎧⎨=⎩，取1y =，∴(1,1,0)n =； 设直线AD 与平面DEF 所成角为θ，则332sin |cos ,|24an AD a θ=<>==；∴直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值为34． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列1(2)(2)n n n n a b a a +=++，其前n 项和为n T ，问142n n T S ++是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为点(n a ，)n S 在直线3220x y --=上， 则312n n S a =-．当1n =时，11312S a =-，解得12a =； 当2n …时，有11312n n S a --=-， 两式相减得13322n n n a a a -=-， 即13n n a a -=，所以数列{}n a 是等比数列， 因此有123n n a -=⨯．（2）因为111123111()(2)(2)(232)(232)43131n n n n n n n n n a b a a ---+⨯===-++⨯+⨯+++， 所以11111111()424410331n n n T -=-+-+⋯+-+所以111()4231n n T =-+．又因为31n n S =-，所以11422n n T S +=+， 即142n n T S ++是定值12．21．在平面直角坐标系xoy 中，已知不与坐标轴平行的动直线:10l x my --=过抛物线2:2C y px =的焦点F ，动直线l 交抛物线于A ，B 两点．（1）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于点M ，判断||||AB FM 是否为定值，并说明理由； （2）在x 轴上是否存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:2C y px =的焦点F 在x 轴上，焦点F 的坐标为(,0)2p ，动直线:10l x my --=经过焦点(,0)2pF ，2p ∴=，故所求抛物线C 的方程为24y x =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程得214x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，得21212()242x x m y y m +=++=+，∴有2212||4224(1)AB x x p m m =++=++=+．又线段AB 的中点为1212(,)22x x y y ++，即2(21m +，2)m ， l '的斜率为m -，则线段AB 的中垂线l '的方程为22(21)y m m x m -=---．令0y =，得223x m =+，2(23M m ∴+，0)，则2||2(1)FM m =+，∴有22||4(1)2||2(1)AB m FM m +==+，是定值． （2）假设在x 轴上存在定点N ，使得ANF BNF ∠=∠恒成立，即0AN BN k k +=，设(,0)N a ， 由（1）知：1212211221121212121212()()(1)(1)2(1)()0()()()()()()AN BN y y y x a y x a y my a y my a my y a y y k k x a x a x a x a x a x a x a x a -+-+-++-+-+=+=+===--------即12122(1)()0my y a y y +-+=， 得2(4)(1)40m a m -+-=， 解得1a =-，故存在定点(1,0)N -， 使得ANF BNF ∠=∠恒成立．22．已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <，①若212t t =，求函数()f x 在原点处的切线方程；②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为2()36(2)f x x x a '=-+-，当1a -…时，△12(1)0a =+…，()0f x '…恒成立，则()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞．当1a >-时，()0f x '…的解为x x，则()f x 的单调递增区间是⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或 （2）由方程()0f x =，得1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两实根， 故123t t +=，122t t a =-，且由判别式得14a >-．①若212t t =，得11t =，22t =，故1222t t a =-=，得0a =． 因此(0)2k f ='=，故函数()f x 在原点处的切线方程为2y x =．②若对任意的1[x t ∈，2]t ，都有()16f x a -…成立，所以()16max f x a -…． 因为123t t +=，12t t <，所以121230,02t t t t <<<<<或． 当12302t t <<<时，对1[x t ∈，2]t 有()0f x …，所以016a -…，解得16a …． 又因为1220t t a =->，得2a <，则有124a -<<；当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，则存在()f x 的极大值点11(x t ∈，0)，且1x =，且211362a x x =-+． 由题意得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--…，将211362a x x =-+代入得31(1)8x --…，得110x -<…． 又因为211362a x x =-+，得211a <…．综上可知a 的取值范围是124a -<<或211a <…．。
2019-2020学年浙江省东阳中学高二上学期期中考试数学试卷
2019-2020学年浙江省东阳中学高二上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ） A ．棱锥B ． 圆柱C ． 球D ． 圆锥2．"0">x 是"11"<-x 的（ ） A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是（ ）A ．333cm B ．3334cmC ．3338cm D ．33cm4. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10 5．圆()4222=++y x 与圆()()91222=-+-y x 的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 6．下列命题中，假命题的个数为（ ）①对所有正数p p p <； ②若方程220()R x x a a ++=∈有实数解，则2a ≤；③存在实数x ，使得111x -+≤≤且24x >； ④33≥. A.1 B.2 C.3 D.47．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖8. 设双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别为 1F ，2F ．若在双曲线的右支上存在一点P ，使得 213PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ） A.(]2,1 B.(]2,2 C.()2,2 D.()2,1A 1C 1B 1BCAP9. 已知正方体1111D C B A ABCD -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为30︒，这样的平面α可以有（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ．1个10. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点P 在平面111A B C 内运动，使得二面角P AB C --的平面角与二面角P BC A --的平面角互余， 则点P 的轨迹是（ ）A.一段圆弧B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一支非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．抛物线y x 42-=的焦点坐标是 ，准线方程是 ．12. 棱长为1的正方体的内切球的半径等于 ，外接球的表面积为 .13．双曲线221169x y -=的离心率为 ，渐近线方程为 ． 14．从直线2:-=x y l 上一点P 向圆22C:240x y x y ++-=引切线，则圆C 的半径长 为 ，切线长的最小值为 ．15. 已知命题p ：方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，若命题p 是假命题，则实数m 的取值范围是 ． 16．如图，在三棱锥BCD A -中，AD AC AB ,,两两互相垂直，4===AD AC AB ，点P ，Q 分别在侧面ABC ，棱AD 上运动， 2=PQ ，M 为线段PQ 中点，当Q P ,运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于 .A'B'C'ECBD A 17. 设直线l 与椭圆181622=+y x 相交于,A B 两点，与圆())0(1222>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 . 三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本题满分14分）如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为侧棱'CC 的中点.（1）求证：//CD 平面EB A '；（2）求直线E B '与平面C C AA ''所成角的正弦值.19. （本题满分15分）已知命题p ：“曲线182:2221=++m ym x C ()R m ∈表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲线2C ：1122=--+-t m y t m x (,)R R m t ∈∈表示双曲线”． （1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．20. （本题满分15分）如图，已知抛物线方程为x y 42=．直线l 与抛物线相交D C ,两点.（1）若直线l 的倾斜角为︒60，且过抛物线的焦点F ，O 为原点，求OCD ∆的面积； （2）若4-=⋅，求证：直线l 必过定点，并求出定点坐标.21. （本题满分15分）在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，二面角1A BC B --的平面角为60o ，11BB CC =.（1）求证：1A A BC ⊥；（2）求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.22. （本题满分15分）(第19题图)已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（1）求k 与m 的关系式；（2）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.数学卷参考答案一、选择题(4×10=40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCABBBBBD二、填空题（11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分）11．()1,0-，1=y ； 12．21，π3； 13．45, x y 43±=； 14．5，230；15．0≤m 或1≥m 16．ππ-64； 17．()7,1三. 解答题(74分) 18.（1）略 （2）51519.（1）24-<<-m 或4>m （2）34-≤≤-t 或4≥t 20.（1）334 （2）定点为()0,2 21. （I ）证明：设1AA ，1BB 与1CC 交于点S ，取棱BC 的中点O ，连结,AO SO .因11BB CC =，11B C BC P ，故SB SC =. ………………2分 又O 是棱BC 的中点， 故BC SO ⊥. 同理BC AO ⊥又,SO AO ⊂平面SAO ，且SO AO O =I ， 因此BC ⊥平面SAO ，又1A A ⊂平面SAO ， ………………………4分 所以1A A BC ⊥； ………………………6分 （II ）作AH SO ⊥，垂足为H .因BC ⊥平面SAO ， 故AH⊥平面11BCC B ，从而ABH ∠为直线AB 与平面11BCC B 所成的角. ………………10分 不妨设2AB =,则AO =3sin 2AH AO AOM =∠=， ………………13分 所以3sin 4AH ABH AB ∠==. ……………………15分22.（I ）由2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， ……2分则22222222(2)4()()0akm a k b a m b ∆=-+-=， ……………………4分化简整理，得2222m a k b =+； ……………………6分（Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值22a ，此时OA OB ⊥，从而原点O 到直线l 的距离d =， ………………8分 又d =，故22212m a k =+. ……………………10分 再由（I ），得2222212a k b a k +=+，则22221b k a=-. 又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =， ……………………13分从而22222518c b e a a ==-=，即e =. ……………………15分。
浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
东阳中学2020年上学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A∩B 的元素个数是（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.直线x +2y +3=0的斜率是（ ） A. 12-B.12C. 2-D. 23.“2k =且1b =-”是“直线y kx b =+过点()1,1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件4.函数πy sin 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A.π2B. πC. 2πD. 4π5.已知(1,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则实数x 的值为（ ） A. 2-B. 2C. 8D. 8-6.已知等比数列{}n a 中，123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项的和为（ ） A. 31n - B. 3(31)n- C.1(91)4n- D.3(91)4n- 7.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)3cos cos b c A a C -=，则cos A =（ ） A.12B.32C.3338.设椭圆1C 的离心率为513,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为（ ）A.2222143x y-= B.22221135x y-=C.2222134x y-= D.222211312x y-=9.设x，y满足约束条件360{200,0x yx yx y--≤-+≥≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则2294a b+的最小值为（）A.12B.1325C. 1D. 210.定义域为R的偶函数()f x满足对任意的实数x，有(2)()(1)f x f x f+=-，且当[]2,3x∈时，2()21218f x x x-+-=，若函数()()log1ay f x x=-+在()0,∞+上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A.20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭B.30,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.50,5⎛⎫⎪⎝⎭D.60,6⎛⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知3cos=θ，则cos2=θ________，3πsin+2θ⎛⎫=⎪⎝⎭__________.12.若函数()()()()2Rf x a x x a=+-∈是偶函数，则a=_____，值域为________．13.在等差数列{}n a中，若1594πa a a++=，则5a=_______，()28tan+=a a________.14.一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为__________该该几何体的体积为___________．15.过点()2,1P 的直线与抛物线216y x =交于,A B 两点，且0PA PB +=则此直线的方程为_________.16.若函数()32f x x ax =+-在区间()1,+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是______ .17.若对任意[]1,2x ∈且[]2,3y ∈，不等式222xy ax y +恒成立， 则实数a 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知向量()()3sin ,cos ,cos ,sin ,m A A n B B m n ==⋅=，且,,A B C 分别是锐角三角形ABC 三边,,a b c 所对的角. （1）求C ∠的大小；（2）若,,a c b 成等比数列，且18CA CB ⋅=，求c 的值.19.设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知2132210==a a a -,. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S ． 20.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.21.已知椭圆222210x y a b a b +=>>（）离心率e =积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设过点()0A a -，直线l 与椭圆相交另一点B ，若AB =，求直线l 的倾斜角. 22.设函数()ln f x x x =(0)x >． （1）求函数()f x 的最小值；（2）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<。
2020年浙江省东阳中学高二第一学期期中考试数学试题及答案
浙江省东阳中学2020～2021学年度高二第一学期期中考试试卷(数学)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1.如图所示的组合体,其结构特征是( )A.由两个圆锥组合成的B.由两个圆柱组合成的C.由一个棱锥和一个棱柱组合成的D.由一个圆锥和一个圆柱组合成的2.设命题p :所有矩形都是平行四边形,则:p ⌝( ) A.所有矩形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是矩形C.有的矩形不是平行四边形D.不是矩形的四边形不是平行四边形 3.设2:0log 1,:21x p x q <<>,则p 是q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线2212x y m -=与椭圆2214x y +=有相同焦点,则m ＝( )A.1B.3C.4D.55. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若 m ∥α,n ∥α,则 m ∥n , B.若 α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则 m ∥n C.若 m ⊥α,m ⊥n ,则 n ∥α D.若 m ⊥α,m ∥n ,n ∥β,则 α⊥β6. 如图,在直棱柱111ABC A B C -中,1,AB BC CC AB BC ==⊥,E 为BC 的中点,F 为11B C 的中点, 则异面直线AF 与1C E 所成角的正切值为( )5 B.23 C. 25D.57. 圆锥的表面积为9π,它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( ) A.13 C.228.已知抛物线24y x =的焦点为F ,(1,0)A -,点P 是抛物线上的动点,则当PF PA的值最小时,PF =( ) A.1B.2C. 22D.49.椭圆的焦点12(22,0),(22,0)F F -,长轴长为2a ,在椭圆上存在点P ,使1290F PF ∠=,对于直线y a =,在圆22(1)2x y +-=上始终存在两点,M N 使得直线上有点Q ,满足90MQN ∠=,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.22⎫⎪⎪⎣⎭B.21⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C.222⎣⎦D.22⎛ ⎝⎦10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M ,N 分别是棱1,BC CC 的中点,动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动,若1PA ∥面AMN ,则线段1PA 的长度范围是( )A.5⎡⎣B.[]2,3C.32⎤⎥⎣⎦D.325⎡⎤⎢⎥⎣ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 11.命题:p “若a ＞b ,则a c b c ->-的逆否命题是 , 且命题:p 是 (真、假)命题.12.双曲线221124x y -=的离心率为 ,渐近线方程为 .13. 在空间四边形ABCD 中,若(3,5,2),(7,1,4)AB CD =-=---,点,E F 分别为线段,BC AD 的中点,则AB = , EF 的坐标为 .14.一个几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图是全等的等腰三角形,则该几何体的体积是 ,该几何体的外接球的表面积是 .15.正四面体ABCD 的棱长为a ,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点,则AE AF ⋅的值为 .16.一个三棱锥的6条棱中有5条棱长是1,一条棱长是x ,则该三棱锥的体积最大值是 .17.椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线1y kx =-与椭圆相交于A 、B 两点,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积为 .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点,且线段EF 的中点在圆22+1x y =,求m 的值.19.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥AC ,AB ＝AC ＝2,14AA =,点D 是BC 的中点. (1)求证:平面1ADC ⊥平面11BCC B ；(2)求平面1ADC 与平面1A BA 所成的锐二面角,(是指不超过90°的角)的余弦值.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为2的一点P 到焦点的距离为3. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线OA ,OB 的斜率分别为12,k k ,且122k k ⋅=-,证明:直线l 经过定点,求出定点的坐标.21.如图,在边长为8的菱形ABCD 中,120ABC ∠=,将ABD ∆沿BD 折起,使点A 到达1A 的位置,且二面角1A BD C --为60°. (1)求证:1AC BD ⊥； (2)若点E 为1A C 中点,求直线BE 与平面1A DC 所成角的正弦值.22.如图,A 为椭圆2212x y +=的下顶点,过点A 的直线l 交抛物线22(0)x py p =>于,B C 两点,C 是AB 的中点.(1) 求证:点C 的纵坐标是定值;(2)过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l '交椭圆于,M N 两点.问:p 为何值时,BMN ∆的面积最大？并求面积的最大值.东阳中学2020年下学期期中考试答案(高二数学)一.选择题(共10小题)1.D.2.C3.A4.A5.D.6.C7.B8.B9. A 10.D[难题解析]8.解:抛物线的准线方程为x＝﹣1.设P到准线的距离为|PQ|,则|PQ|＝|PF|.∴PF PQPA PA＝sin∠PAQ.∴当PA与抛物线y2＝4x相切时,∠PAQ最小,即PFPA取得最小值.设过A点的直线y＝kx+k与抛物线相切(k≠0),代入抛物线方程得k2x2+(2k2﹣4)x+k2＝0,∴△＝(2k2﹣4)2﹣4k4＝0,解得k＝±1.即x2﹣2x+1＝0,解得x＝1,把x＝1代入y2＝4x得y＝±2.∴P(1,2)或P(1,﹣2).∴|PF|＝2.故选:B.9.A解:要使在椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,设∠F1PF2＝2α,只需最大的角大于等于90°即可,当P坐标为(0,b)或(0,﹣b)时,角最大,当α＝45°,此时sinα2,故2e ≥. ∵在圆C 上存在两点M ,N ,在直线y ＝a 上存在一点Q ,使得∠MQN ＝90°, 即在直线y ＝a 上存在一点Q ,使得Q 到圆的圆心(0,1)的距离等于a ﹣1＝2, ∴只需(0,1)到直线y ＝a 的距离小于或等于2,即a ﹣1≤2,所以a ≤3,即2222c e a ==,综上,故22[e ∈,故选:A .10.解:取B 1C 1的中点E ,BB 1的中点F ,连结A 1E ,A 1F ,EF ,取EF 中点O ,连结A 1O , ∵点M ,N 分别是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ,CC 1的中点, ∴AM ∥A 1E ,MN ∥EF , ∵AM ∩MN ＝M ,A 1E ∩EF ＝E , ∴平面AMN ∥平面A 1EF ,∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动,且PA 1∥面AMN , ∴点P 的轨迹是线段EF , ∵A 1E ＝A 1F 5,EF 2, ∴A 1O ⊥EF ,∴当P 与O 重合时,PA 1的长度取最小值为A 1O ()2223252⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 当P 与E (或F )重合时,PA 1的长度取最大值为A 1E ＝A 1F 5.∴PA 1的长度范围为32,5⎡⎤⎢⎥⎣. 故选:D .二.填空题(共7小题)11.若a c b c --≤,则a b ≤ ；真 12.23 , 3y x =±. 13.38 ；(2,3,3)--- 14.43;9π 15.24a 16.18 17.122[难题解析]17:解:如图所示,设椭圆的右焦点为F ′.则当△FAB 的周长＝|AF |+|BF |+|AB |＝2a ﹣|AF ′|+2a ﹣|BF ′|+|AB |＝8+|AB |﹣(|AF ′|+|BF ′|)≤8+|AB |﹣|AB |＝8. 当且仅当直线AB 经过椭圆的右焦点F ′时取等号. 此时直线AB 的斜率k ＝1. ∴直线AB 的方程为:y ＝x ﹣1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为:7y 2+6y ﹣9＝0, ∴y 1+y 2＝67-,y 1y 2＝97-,∴|y 1﹣y 2|＝122.∴,△FAB 的面积＝12×|FF ′|×|y 1﹣y 2|＝故答案为三.解答题18 解:(1)由题意,e ==得:a =2212x y +=-------------------------------5分(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0), 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得,3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0, △＝24﹣8m 2＞0,∴m <∴x 0＝122x x +＝23m-,------------------------------9分 y 0＝x 0+m ＝13m -.∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2＝1上,∴19m 2+49m 2＝1,∴m＝.检验满足△＞0成立. 故m的值为分 19. 解:(1)关键在于证明AD ⊥平面BB 1C 1C----------------------------------------------6分 (2)(0,2,0)AC =是平面ABA 1的一个法向量,设平面ADC 1的法向量为n ＝(2,﹣2,1),设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ, ∴cosθ＝|cos ＜AC ,n ＞|＝23, ∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的余弦值为:23.-------------------------------15分20.解:(1)24y x = -----------------------------------------------6分 (2)证明:设直线l 的方程为x ＝my +n , 代入抛物线方程化简得y 2﹣4my ﹣4n ＝0,∴1212+=4m 4y y y y n⎧⎨⋅=-⎩.---------------------------------------------10分 ∵121212121642y y k k x x y y n===-=-,解得n ＝2 ∴直线l 经过定点,且定点为(2,0).---------------------------------------------15分 21. 解:(1)连接AC ,交BD 于点O ,连接OA 1, 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD , 从而OA 1⊥BD ,OC ⊥BD ,又因为OA 1∩OC ＝O ,所以BD ⊥平面A 1OC , 因为A 1C ⊂平面A 1OC ,所以BD ⊥A 1C , ………………………(7分) (2)由(1)可知,∠A 1OC 即为二面角A 1﹣BD ﹣C 的平面角,所以∠A 1OC ＝60°. 以O 为坐标原点,为x ,y 轴正方向,建立空间直角坐标系O ﹣xyz ,B (4,0,0),D (﹣4,0,0),CA 1E所以BE ＝(﹣1DA ＝DC=(4,4设平面A 1DC 的法向量为n ＝() 设直线BE 与平面A 1DC 所成角为θ, 则sin BE n BE n θ⋅==1213. 所以直线BE 与平面A 1DC 所成角的正弦值为1213.…(15分) 22. (1)证明:易知A (0,-1),不妨设2(,)2t B t p ,则22)2 (,4t t p C p -,代入抛物线方程得t 2=4p,∴12C y = 故点C 的纵坐标为定值. ------------------6分法二:用韦达完成.(2)∵点C 是AB 的中点,∴S △BMN =S △AMN .设直线l 的斜率为k , 直线l'的斜率为k',则1(1)k --== 则 k '=∴直线l'的方程为12y x-=-即2y=+,不妨记m =,则l ':y=mx+2, ---------8分代入椭圆方程并整理得(2m 2+1)x 2+8mx+6=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则12122286,2121m x x x x m m +=-=++------------------------------------10分12|MN ||x x =-=点A 到直线l'的距离d =,所以S △AMN =1|MN |2d ⋅= ------------------------------12分≤=时取等号,解得272m =,所以229187t m ==,从而29414tp == ,故当914p =时,△BMN 的面积最大. ------------------------------15分。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(65).doc
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(65)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的方程为260x y +-=，则该直线的斜率为（ ）A. 12-B. 12C.2D.2-2．直线y -1的倾斜角为 ( ) A ． 150º B ． 60º C ．30º D ．-60º 3．直线3x +y +3=0与直线x -3y -5=0的位置关系是 ( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直 4. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π5.已知两圆122=+y x 和098622=+--+y x y x ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A.相离B.相交C.外切D.内切6. 若l 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若//,,l ααβ⊥则l β⊥ D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．已知圆：22(1)2x y -+=，则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为（ ）A ．30x y +-=B ．250x y +-=C ．2x =D ．10x y --=8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ． ①②B ． ①③C ． ①④D ． ②④9. 对任意实数K ,直线()011=--+Ky x K 与圆022222=---+y x y x 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.与K 的值有关10．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．324kk ≤≥或 C ．324k ≤≤ D ．2k ≤ 11.如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°12.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 13．直线20x y +-=与0x y -=的交点坐标为__________.14．经过点（-2，0），与32:1+=x y l 平行的直线方程是 . 15．圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的 倍．16．光线沿直线y =2x +1的方向射到直线x －y =0上被反射后，反射光线所在的直线方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分，(1)小问5分，（2）小问5分.)已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）．（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求AB 边的高所在的直线方程.（直线方程均化为一般式方程）18.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，O 分别是1,A B BD 的中点. （1）求证：//OM 平面11AA D D ； （2）求证：1OM BC ⊥.19.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）已知点(3,3),A -点(1,3)B 两点. （1）求以AB 为直径的圆C 的方程；（2）若直线230x y ++=与圆C 交于,M N 两不同点，求线段MN 的长度.20.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是个边长为2正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，且2=PA ，Q 是PA 的中点（1）证明：BD ⊥平面PAC ； （2）求三棱锥C BQD -的体积.ABCDOA 1B 1C 1D 1M21. （本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）定长为A ，B 分别在x ，y 轴上移动，M 为线段AB 的中点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 经过点P （－1，2）且与轨迹C 交于M 、N 两点，求当弦MN 的长最短时直线l 的方程.22.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ， 求证：||||AM AN ⋅为定值.2017年下期高二半期联合诊断测试数学试题参考答案一、选择题：ACBBC、DADAB、BC二、填空题：13.（1,1）； 14.； 15. 2； 16. x-2 y-1=0三、解答题：17．(本小题满分10分，(1)小问5分，（2）小问5分.)解：（1）由两点式写方程得即（或由，得直线方程为直线AB的方程即 6x-y+11=0………………………………5分（2）设为AB边的高所在的直线方程的斜率，则由，得由AB边的高所在的直线过点C（4，3），得，即AB边的高所在的直线为………10分18.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）解：（1）连接，因为，分别是的中点，所以，且，所以平面………………6分（2）由题意，所以为平行四边形，所以，由（Ⅰ），且，所以………………12分19.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）解：（1）由题意圆心为中点，所以半径所以圆的方程为；…………………6分（2）圆心到直线的距离所以，所以…………………12分20.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分．）（1）证明：记,交于因为底面为正方形, 所以又因为底面，所以所以平面…………………6分（2）…………12分21. （本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）解：（1）设，由题知：由，得化简得：，即点M的轨迹C的方程为…………（5分）（2）（O为原点），点P在圆C的内部，故当时，弦MN最短.因为直线OP的斜率为-2，所以直线的斜率为.根据点斜式，直线的方程为，即.……（12分）22.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分．）解：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，所以，即，解得或………….5分（2）由由设两点横坐标分别为，则得所以………….12分。
【精准解析】浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
则 a2 b2 的最小值为（ ） 94
1
13
A.
B.
C. 1
D. 2
2
25
-4-
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】因为解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线 ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点 A（4，6）时，
目标函数 z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大 12，即 4a 6b 12 ， a b 1， 32
所以 a2 b2 1 (a b )2 1 ，当且仅当 a 3 , b 1 时等号成立.
【解析】
【分析】
将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出直线的斜率
【详解】解：由题可得,Hale Waihona Puke y 1 x 3 ,则直线斜率为 1
22
2
故选 A
【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题
3.“ k 2 且 b 1”是“直线 y kx b 过点 1,1 ”的（ ）
4.函数
y
sin
2x
π 3
的最小正周期是（
π
A.
2
【答案】B
B. π
【解析】
【分析】
根据三角函数的周期公式得到结果.
）
C. 2π
D. 4π
【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数
y
sin
2x
3
，∵ω=2，∴T=π．
故选 B．
【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单. y Asin(x ) 存在周
2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 如图，该球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切.若球O 的体积为4π3，则圆柱O 1O 2的表面积为( ) A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是A. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”B. “若一个数是负数，则它的平方不是正数”C. “若一个数的平方是正数，则它是负数”D. “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”3. 下列函数中，在定义域上为增函数的是( )A. y =(12)xB. y =1xC. y =lgxD. y =x 2 4. 已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，△ABC 为等边三角形.若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，双曲线M 的左焦点为F ，经过F 和抛物线x 2=16y 焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. x24−y 24=1 B. x 28−y 28=1 C. x 24−y 28=1 D. x 28−y 24=1 5. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为AA 1，C 1D 1的中点，现有下列结论： ①PQ//AC 1；②PQ ⊥平面A 1BD ；③PQ//平面AB 1C 1D ；④四面体D 1−PQB 的体积等于13．其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④ 6. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，则A B 1与D 1E 所成角的余弦值( ) A. √55 B. √1010 C. √510 D. √337. 下列判断正确的是( )A. 棱柱中只能有两个面可以互相平行B. 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C. 底面是正六边形的棱台是正六棱台D. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥8. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A. 3B. 4C. 6D. 9 9. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线FM ，交y 轴于点P ，切圆于点M ，若2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率是( )A. √5B. √3C. 2D. √210. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 1的中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为( )A. 矩形B. 三角形C. 正方形D. 等腰梯形二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知向量a ⃗ =(1,1,x)，b ⃗ =(1,2,1)，c ⃗ =(1,2,3)满足(c ⃗ −a ⃗ )⋅b ⃗ =−1，则x =______．12.已经如图，圆锥、球内切于圆柱，则其体积之比，圆锥体积：球体积：圆柱体积为______．13.直线y=32x与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.命题“若−1≤x≤3，则x2−2x−3≤0”的逆否命题是(1)；直线：x−y+m=0与椭圆C：x22+y2=1有公共点的充要条件是(2)．15.双曲线C：x2−y23=1的渐近线方程为；若双曲线C的右焦点恰是抛物线N：y2=2px(p>0)的焦点，则抛物线N的准线方程为．16.向量a⃗=(2,−1,3)，b⃗ =(−4,2，x)，若a⃗⊥b⃗ ，则x=(1)；若a⃗与b⃗ 夹角是锐角，则x的取值范围(2)．17.几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为，几何体的外接球的直径为．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.如图，椭圆C:+=1的焦点在x轴上，左右顶点分别为A1，A，上顶点为B，抛物线C1，C2分别以A，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线y=x上一点P．(1)求椭圆C及抛物线C1，C2的方程．(2)若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点Q(−，0)，求·的最小值．19.在平面四边形ACPE中(如图1)，D为AC的中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起使二面角A−PD−C为直二面角，得到立体图形(如图2)，又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．(Ⅰ)求证：面FGH//面ADPE；(Ⅱ)在线段PC上是否存在一点M，使得面FGM与面PEB所成二面角的余弦值为√30？若存在，求6线段PM的长；若不存在，请说明理由．20.如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．21. 如图，已知四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA 1=6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱DD 1，BC上，BQ =4．(1)若DP =23DD 1，证明：PQ//平面ABB 1A 1；(2)若P 是D 1D 的中点，证明：AB 1⊥平面PBC ．22. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，过抛物线上一点P 作抛物线C 的切线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，当|FD|=2时，∠PFD =60°．(1)判断△PFQ 的形状，并求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 两点在抛物线C 上，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，其中点M(2,2)，若抛物线C 上存在异于A 、B 的点H ，使得经过A 、B 、H 三点的圆和抛物线在点H 处有相同的切线，求点H 的坐标．。
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年浙江省高二上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，当时，等于（）A． 5 B． 6 ______________ C． 7_____________________________D． 82. 6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有（）A ． 480______________________________B ． 720______________________________C ． 240____________________________D ． 3603. 在的展开式中含常数项，则正整数的最小值是（）A ． 2___________________________________B ． 3________________________C ． 4_________________________________D ． 54. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，且，则_________B ．若，且，则C．若，且，则_________D ．若，且，则5. 有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有个人正在使用电话或等待使用的概率为，且与时刻无关，统计得到，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率的值是（）A ． 0_________B ． 1_________C ．________________D ．6. 设双曲线的左焦点，圆与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B ，若，则双曲线的离心率为（）A ． 2___________________________________B ． 3______________________C ．______________________D ．7. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A ． 1______________B ． 2____________________C ． 3____________________________D ． 48. 如果正整数的各位数字之和等于8，那么称为“幸运数” （如：8，26，2015等均为“幸运数” ），将所有“幸运数”从小到大排成一列，，，……，若，则（）A ． 80______________B ． 81________________________C ． 82____________________________D ． 83二、填空题9. 多项式的展开式中，项的系数=_________，项的系数=___________ ．10. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______ ．11. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积＝___________ ，表面积＝______．12. 已知抛物线上两点A，B的横坐标恰是方程的两个实根，则直线AB的斜率＝；直线AB的方程为．13. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有___________ 种．14. 设，是椭圆的两个焦点，是以为中心的正方形，则的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有___________ 个（的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是______________ ．三、解答题16. 某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于，则男生比女生多几人？17. 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1 （其中为坐标原点）．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．18. 在三棱柱中，已知，，的中点为，垂直于底面．（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的平面角的余弦值．19. 如图，椭圆的左、右焦点为，，过的直线与椭圆相交于、两点．（1）若，且，求椭圆的离心率．（2）若，，求的最大值和最小值．20. 数列满足，，……，（）（1）求，，，的值；（2）求与之间的关系式；（3）求证：（）参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
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浙江省东阳中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ） A ．棱锥
B ． 圆柱
C ． 球
D ． 圆锥
2．"0">x 是"11"<-x 的（ ）
A ．充分不必要条
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该四棱锥的体积是（ ） A ．
3
33cm B ．
3
3
34cm
C ．
3
3
38cm D ．3
3cm
4. 椭圆
22
1259
x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10 5．圆()422
2
=++y x 与圆()()9122
2
=-+-y x 的位置关系为( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．外离 6．下列命题中，假命题的个数为（ ）
①对所有正数p p <； ②若方程220()R x x a a ++=∈有实数解，则2a ≤；
③存在实数x ，使得111x -+≤≤且2
4x >； ④33≥. A.1 B.2 C.3 D.4
7．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
C ．,,m n m n αα若则‖‖‖
D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
1
8. 设双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=（0
b a
>>）的左、右焦点分别为
1
F，
2
F．若在双曲线的
右支上存在一点P，使得
2
1
3PF
PF=，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A.(]2,1 B.
(]2,2 C.()2,2 D.()2,1
9. 已知正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-，过顶点
1
A作平面α，使得直线AC和
1
BC与平面α所成的角都为30︒，这样的平面α可以有（）
A．4个B．3个C．2个 D．1个
10.如图，在三棱柱
111
ABC A B C
-中，点P在平面
111
A B C内运动，使得二面角P AB C
--的平面角与二面角P BC A
--的平面角互余，
则点P的轨迹是（）
A.一段圆弧
B.椭圆的一部分
C.抛物线
D.双曲线的一支
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．抛物线y
x4
2-
=的焦点坐标是，准线方程是．
12. 棱长为1的正方体的内切球的半径等于，外接球的表面积为 . 13．双曲线
22
1
169
x y
-=的离心率为，渐近线方程为．
14．从直线2
:-
=x
y
l上一点P向圆22
C:240
x y x y
++-=引切线，则圆C的半径长
为，切线长的最小值为．
15. 已知命题p：方程0
2
)1
(2
2=
-
+
-
+m
x
m
x的两个实根一个小于1
-，另一个大于1，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是．
16．如图，在三棱锥BCD
A-中，AD
AC
AB,
,两两互相垂直，
4
=
=
=AD
AC
AB，点P，Q分别在侧面ABC，棱AD上运动，
2
=
PQ，M为线段PQ 中点，当Q
P,运动时，点M的轨迹
把三棱锥BCD
A-分成上、下两部分的体积之比等于 .
A'
B'
C'E
C
B
D A 17. 设直线l 与椭圆
18
1622=+y x 相交于,A B 两点，与圆())0(1222
>=+-r r y x 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .
三．（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. （本题满分14分）
如图，在三棱柱'''C B A ABC -中，每个侧面均为正方形， D 为底边AB 的中点，E 为侧棱'CC 的中点.
（1）求证：//CD 平面EB A '；
（2）求直线E B '与平面C C AA ''所成角的正弦值.
19. （本题满分15分）
已知命题p ：“曲线18
2:2
221=++m y
m x C ()R m ∈表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：
“曲线2C ：11
2
2=--+-t m y t m x (,)R R m t ∈∈表示双曲线”．
（1）若命题p 是真命题，求m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求t 的取值范围．
20. （本题满分15分）
如图，已知抛物线方程为x y 42
=．直线l 与抛物线相交D C ,两点.
（1）若直线l 的倾斜角为︒60，且过抛物线的焦点F ，O 为原点，求OCD ∆的面积； （2）若4-=⋅，求证：直线l 必过定点，并求出定点坐标.
21. （本题满分15分）
在三棱台111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，二面角1A BC B --的平面角为60，
11BB CC =.
（1）求证：1A A BC ⊥；
（2）求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.
22. （本题满分15分）
(第19题图)
已知直线:l y kx m
=+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.
（1）求k 与m 的关系式；
（2）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12
k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2
a ，求椭圆的离心率.
东阳中学2019年下学期期中考试
高二数学卷参考答案
一、选择题(4×10=40分)
二、填空题（11-14题每题6分，15-17题每题4分，共36分）
11．()1,0-，1=y ； 12．
21，π3； 13．45, x y 4
3
±=； 14．5，230；
15．0≤m 或1≥m 16．π
π
-64； 17．()
7,1
三. 解答题(74分) 18.（1）略 （2）
5
15
19.（1）24-<<-m 或4>m （2）34-≤≤-t 或4≥t 20.（1）
3
3
4 （2）定点为()0,2 21. （I ）证明：设1AA ，1BB 与1CC 交于点S ，取棱BC 的中点O ，
连结,AO SO . 因11BB CC =，11
B C BC ，
故SB SC =. ………………2分 又O 是棱BC 的中点， 故BC SO ⊥. 同理BC AO ⊥
又,SO AO ⊂平面SAO ，且SO AO O =，
因此BC ⊥平面SAO ，
又1A A ⊂平面SAO ， ………………………4分 所以1A A BC ⊥； ………………………6分 （II ）作AH SO ⊥，垂足为H .
因BC ⊥平面SAO ， 故AH
⊥平面11BCC B ，
从而ABH ∠为直线AB 与平面11BCC B 所成的角. ………………10分 不妨设2AB =,
则AO =3
sin 2
AH AO AOM =∠=， ………………13分 所以3
sin 4
AH ABH AB ∠==. ……………………15分
22.（I ）由2222,1y kx m x y a b
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222222
()2()0a k b x a kmx a m b +++-=， ……2分
则22222222
(2)4()()0a km a k b a m b ∆=-+-=， ……………………4分 化简整理，得2
2
2
2
m a k b =+； ……………………6分 （Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.
所以当12
k =-时，OAB ∆的面积取到最大值2
2a ，此时OA OB ⊥，
从而原点O 到直线l
的距离d =
， ………………8分
又d =
22
212m a k =+. ……………………10分 再由（I ），得22222
12a k b a k +=+，则22
221b k a
=-. 又12
k =-，故22
22114b k a =-=，即2238b a =， ……………………13分
从而222
225
18
c b e a a ==-=
，即4e =. ……………………15分。