4.5(2)反函数
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy ；了解)(1x f表示反函数的符号，1f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24 x y （2）13x y （3）)0(12x x y（4）)21,(2413x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y fx ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy ；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y 对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12x x y ；②)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ④)0()2( x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y 的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21( （B ）x y 2 （C ）xy 3 （Ｄ）x y 103、设)1(22)( x x x f ，则)(1x f（ D ）（A ）在（), 上是增函数 （B ）在（), 上是减函数 （C ）在),0[ 上是减函数 （Ｄ）在（]0, 上是增函数4、若函数)(x f 是函数 10222 x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）A B C D5、)21( 22x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112 x x y （B ）)10( 112 x x y （C ）)11( 112 x x y（D ）)10( 112 x x y6、若)0( a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y 本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y ，得b y ax .由0 a ，知ab y a x1. 所以函数b ax y 的反函数为a by a x1. 由于函数b ax y 的反函数aby a x 1就是函数b ax y 本身，即有xxxyyyya a 1，且b ab. 于是，解得1 a ，0 b 或1 a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y 的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y 有反函数)(1x fy ，则)(1x fy 的反函数是)(x f y ，即)(x f y 和)(1x fy 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y 对称，从而巩固对反函数概念的理解.。
4.5__反函数的概念
反函数的概念
1、反函数的概念。
（ 1 ）能否将圆周长y表示成关于圆半径 x的函数？ （ 2 ）能否将圆半径x表示成关于圆周长y的函数？
问题1：
任何函数都可以x与y互换变作一个新函数吗？ 如：y x 2
函数:
在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x在某个实数集合D内的每一个 确定的值，按照某个对应法则f , y都有 唯一确定的实数值与它对应，那么 y就是x的函数。记作：y f x , x D
1
反函数恒等式：
f f f
1
x x, x A.
f x x, x D.
求反函数的步骤：
(1)由y f x f 1 y f 1 f x x 即x f 1 y ； 性是否一致？ 答：反函数与原函数的单调性一致。
求证：已知函数y f x 在定义域D上单调递增， 求证其反函数y f
1
x 在对应区间A上也单调递增。
x 在对应区间A上不单调递增。 即存在x1 x 2 x1 , x 2 A, 使得f 1 x1 f 1 x 2 f 1 x1 , f 1 x 2 D , 原函数y f x 在定义域D上单调递增, f f 1 x1 f f 1 x 2 , 即x1 x 2 与x1 x 2 矛盾。 y f 1 x 在对应区间A上也单调递增。
结论：
一一对应的函数，若自变量x与因变量y 互换就产生一个新函数，新函数的定义域为 原函数的值域，新函数的值域为原函数的定义域。
反函数：
一般的，对于函数y f x , x D, y A. 与它对应，且满足y f x ，这样得到的x关于y的 函数叫做y f x 的反函数，记作：x f 所以把它改写为y f
4.5(2)反函数
第四章 幂、指、对、函数
4.5反函数（2）
一、复习回顾： 二、课堂新授：
1．求下列函数的反函数。 （ 1） y x 2 , x 0
2x （ 2） y x 1
练习： (1)求函数 f x 3x 1 的反函数.
x2
(2)求函数 f x x x 的反函数.
2.已知 f x x2 2x, x 1，求 f 13的值.
3.在同一坐标系中，画出函数 及其反函数的大致图象，分析它们的关系.
f x x 2 , x 0
4．若点 1,2既在 y, b 的值
x 5 5．若函数 f x 的图像关于直线 y x 对称， 2x m
求实数 m 的值.
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件(3)
解密
知识总结 本节课，你学到了哪些知识？
4 、不要把成功想得太遥远，有时候，它离我们很近，只是由于我们的疏忽而与它失之交臂。 15 、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。 14 、在这个世界上，取得成功的人是那些努力寻找他们想要机会的人，如果找不到机会，他们就去创造机会。 13 、一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。 16 、如果青春是醺人欲醉的海风，那么自信就是这和风前行的路标;如果青春是巍峨入云的高耸，那么拼搏就是这山脉层层拔高的动力;如果青 春是高歌奋进的谱曲，那么坚强就是这旋律奏响的最强音! 19 、最有希望得成功者，并不是才干出众的人，而是那些最善于利用时机去努力开创的人。 19 、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 1 、用心工作，成功根本;用心思考，力量根本;用心读书，智慧根本;用心结缘，交友根本;用心慈悲，做人根本;用心祝福，快乐根本。愿你用 心，幸福一生! 16 、拥有的时候，多加珍惜，无论是亲情，友情还是爱情，平安就是福。且行且惜，且走且悟，人生之中唯有自强不息，勇敢向前，方可走 出一条阳光大道。
在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y 表示， 这样把y=f(x)的反函数改写为
y f 1 x x A
例3.求下列函数的反函数.
(1) y 4x 2
(1)解： y 4x 2 x y2 4 改写为 y x 2 4 ∴反函数为 y x 2 , x R 4
例3.求下列函数的反函数.
4 、我从不间断读新科技、新知识的书籍，不至因为不了解新讯息而和时代潮流脱节。 2 、发现自己的闪光点，挖掘自己的潜能，做你真正喜欢的事业。 2 、天空，经常刮风经常下雨经常没太阳;季节，天渐转凉秋意渐浓记得加衣裳!生活，吃得要香睡得要甜身体要健康，祝福工作顺心，事业有 成! 14 、自动自发地做事，同时为自己的所作所为承担责任，那么你终究会获得回报，取得最后的成功。 13 、不断进取，勇于面对一切困难，努力克服它，战胜它，这是生存的法则。相反，逃避是懦夫的作为，最终只能带来更多的危机。 20 、你要求的次数越多，你就越容易得到你想要的东西，而且也会享受到更多的乐趣。 18 、金矿的山上还有着其他花朵，除了具备发现的眼睛外，还需要有着肯流汗的心。成功提示：金子常常就埋在身旁的泥土里，勤奋是最好 的点金指。
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件(3)
2,
xR)返回
4、解： x 2 y 1 x y1
y x 1(x 1)
yx21(x0)的反函数ห้องสมุดไป่ตู้ y x1(x1)
返回
3 、因为有悔，所以披星戴月;因为有梦，所以奋不顾身。 6 、乐观的人能重整旗鼓东山再起，悲观的人因缺乏自信，往往一败涂地。 3. 凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 8 、不求与人相比，但求超越自己，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格! 3 、如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 11 、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。 2 、如果你想在这个世界上获得成功，当你进入某个沙龙时，你必须让你的虚荣心向别人的虚荣心致敬。 4. 成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒 16. 伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，而是靠性格、意志和知识的力量完成的 22. 不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。 6 、不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 9. 我努力，我坚持，我一定能成功!( ) 6. 忘时，忘物，忘我;诚实，朴实，踏实。 20. 生命没有完结，生命只有前进。 15. 宽阔的河平静，博学的人谦虚。秀才不怕衣衫破，就怕肚子没有货。 21. 高考是汇百万人参加的一次练习。 15. 考过高富帅，战胜官二代! 24. 嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 25. 这世界上没有不适合学习的人，只是有人没有找到适合自己的学习方法罢了。 1 、人生就像一口大锅，当你走到了锅底时，无论朝哪个方向走，都是向上的。最困难的时刻也许就是拐点的开始，改变一下思维方式就可能
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件(3)
例题：
试用解析式将正方体棱长a表示成表面积 A的函数。
a
复习函数概念
函数定义： 某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x 在某个范围内的每一个确定的值， 按照某个 对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那
么y就是x的函数，记作 y=f(x),x∈D. 有关概念：
X叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定 义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函
。只是现在遭遇青春时我们有些激动罢了。期待着想象中的花季盛开，经历青春的时候，我们哭着、笑着、灿烂着、张扬着、美丽着，也哀愁 着、体验着、感动着、慢慢长大着。
16.只有毅力才会使我们成功，而毅力的来源又在于毫不动摇，坚决采取为达到成功所需要的手段。 3、没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。
8、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 12、人生并非游戏，因此，我们并没有权利只凭自己的意愿放弃它。 6、空谈家用空谈来装饰自己，实干家用实干去创造业绩。 10、艺术的大道上荆棘丛生，这也是好事，常人望而却步，只有意志坚强的人例外。 6. 就这样遭遇青春，就这样拥有青春，或许有一天，也就这样一个人走过青春，青春是纯美而短暂的，没有人可以拖着青春的尾巴过一辈子
数值的集合叫做函数的值域。
y
图1
y
图2
0
x
0
x
y
图3
图4
y
0
x
0
x
y
图5
图6
y
0
x
0
x
问题
对于函数y=f(x) x∈D，换一 个角度思考：能否将x表示成 y的函数？
y
图1
y
图2
0
x
0
4.5反函数 课件
多 对一 一 对一
例1、求下列函数的反函数
（1）y 4x 3
(2) y 2x 3 x 1
本题除了求出反函数的表达式， 还须将反函数的定义域求解出来
(3) y 2x
(4) y log 2 x
唯一确定的值和它对应，那么就得到一个定义在C上的，以y为自变量的新函数
x ( y)，这个新函数叫做y f (x)的反函数，通常记作x f 1( y),但一般记作
y f 1(x)，则函数y f (x)与y f 1(x)互为反函数。
2、函数y f (x)和其反函数 y f 1(x)和图象：关于直线y x对称
4.5反函数
复习目标
1、理解反函数概念，掌握反函数性质 2、会求简单函数的反函数
知识回顾
1、反函数定义：
已知一个函数y f (x)，设其定义域为A，值域为C，根据y f (x)中，y与x的关系，
用y表示x，得x ( y),如果对于y在C中的任何一个值，通过x ( y)，x的A中都有
（2）已知f (x) 100 x1,则f 1(1000 )
例2、已知函数f (x) 3x b的图象与g(x) x 1的图象关于直线y x对称， 3
则b
例3、若函数y f (x)的图象经过点（0，1）,则其反函数必过点
例练 4、习 若函：数（f 1(） x) 函a 数x 3yb与3函数2gx(x1)的 1反 2函 xc1数互的 为反图函象数，经求过a、点b、c的值
3 1 c ，得c 6 211
a 1 ,b 1, c 6 2
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的复习 课件(共20张PPT)
(写出定义域）
例2：求函数 y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数
y 1 1 x2 1 x2 1 y
怎样求函数的反函数？ y x 中任一意般一地个，值对于，函在数Dy中 总f (有x)，唯设一它确的定定的义值域与为它D 对，应值，域使为这A样，得如到果的对yA关
x 于 x 的函数叫做的 y f (x)反函数，记作x f 1( y) 。在习惯上自变量常用
表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为 y f 1(x) (x A)
1 x2 1 y2 x2 1 1 y2
Q x 0
x 1 1 y2
将x, y互换
y 1 1 x2
x 0,1
已知函数 y f (x)的图像，如何画出 它的反函数y f 1(x) 的图像？
原函数的图像与反函数的图像关于y x 对称。
例1
若函数有反函数，它是否是单调函数？ 单调函数是否有反函数？
y f 1(x) y x
(b ', a ')
(b, a) (a ',b ') y f (x)
(a, b)
例1：若函数y f (x) ，是函数y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数，则 y f (x)的图象大致是（ ）
yx
例2：若函数y f (x) ，是函数y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数，则 y f (x)的图象大致是（ ）
( A)
(B)
(C )
对于函数 y f (x) (设其定义域为D,值域为A) 反函 如果对 A 中任意一个值 y ，在 D 中总有唯一确
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件(3)
x
加 密 y =x 3 x R
y
y=x 3
O
x
x=a
古罗马 Julius Caesar 发明的加密方法: x 1 2 3 4 5 6 7 …… 24 25 26 10?6.5 19?98
y 4 5 6 7 8 9 10 …… 27 28 29 109.5 2001
x加 密 y =x 3x y 3 一个解函密数? y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
加密
y=x 3
明码x 互为反函数 密码y
8 、经理人员应该具有尝试失败的勇气，力求改进;而不应畏惧风险而停滞不前。 16、你自身中潜在的统治意识上任何事都有可能实现。你能完成任何自己认为可以做到的事情。这种才能是上帝赋予的，它可以帮你解决任 何问题，也可以使你变得无比乐观。
9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
思考:如何改写函数 y x2，使其存在反函数?
三、求反函数的步骤 求值域:原来函数的值域 反解：用y表示x
改写：互换字母,注明定义域
例4.已知 f x x2 1 x 0 ，求 f 1 5 . 解：设 f 1 x x 1 , x 1,
f 1 5 2
例4.已知 f x x2 1 x 0 ，求 f 1 5 . 解：设 f 1 5 a ,
y=x 3
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件(3)
y
图1
y
图2
0
x
0
x
y
图3
图4
y
0
x
0
x
y
图5
图6
y
0
x
0
x
问题
对于函数y=f(x) x∈D，换一 个角度思考：能否将x表示成 y的函数？
y
图1
y
图2
0
x
0
x
y
图3
图4
y
0
x
y
图5
0
x
0
x
反函数的概念
定义：一般地，对于函数y=f(x) x∈D，值 域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中 总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)， 这样得到x关于y的函数叫做y=f(x) x∈D的
(A就是原函数的定义域)
课堂练习：Page 19 1 思考（1）猜测原函数与反函数
图象 间的关系 （2）对反函数性质作进一
步研究
作业
1、求下列函数的反函数
(1)y4x3 (2)yx2(x0) (3)y4x1(x3,x R ) (4)y2x4(x2)
5x3 5
2、 y 1 x b 与 y a x 3 互 为 反 函 数 ， 求 a 、 b
反函数，记作 x f 1( y) y∈A，习惯上自变
量用x表示，而函数用y表示，所以将它改写
为 y f 1(x) x∈A
y f 1(x) x∈A的反函数是 yf(x)xD
函数 自变量 定义域 值域
x y f (x)
y x f 1( y)
y f 1(x)
x
D
A
A
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浦江高级中学高一年级数学作业
班级__________姓名_______________学号__________成绩________________
课题：4.5（2）反函数 ______年______月_____日
一、填空题：
1、如果函数()y f x =的图像过点(0,1)，那么函数1()2y f x -=+的反函数的图像过点______________.
二、判断题：
2、（1）存在反函数的函数一定是单调函数…………………………………………（ ）
（2）偶函数存在反函数……………………………………………………………（ ）
（3）奇函数必存在反函数…………………………………………………………（ ）
三、解答题：
3、试写出两个函数，使它们的图像与其反函数的图像重合.
4、已知2()1(1)f x x x =-<-，求1(3)f
--的值.
5、已知函数1a y x =
+的反函数的图像经过点1(,1)2，求实数a 的值.
6、已知函数()y f x =的图像与函数11x y x -=
+的图像关于直线y x =对称，求函数()y f x =的解析式.
7、若函数()f x =
(2,5)点，求()y f x =的解析式.
4.5（2）反函数 参考答案
一、填空题：
1、（2，1）；
二、判断题：
2、⨯；⨯；⨯；
三、解答题
3、1,y y x x
==-等； 4、-2；
5、1；
6、11(),(1)1x f x x x
-+=≠-；
7、()f x =。