四川省棠湖中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题 及答案

2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试理科数学第I 卷 选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C A （ ）A.{}是菱形x x |B.{}形是内角都不是直角的菱x x |C.{}是正方形x x | D.{}是邻边都不相等的矩形x x | 2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ） AB． C．2D．2- 3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为（ ）A ．B ．C ． D.4．设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③④ D ．②③5. 41(2)x x-的展开式中的常数项为 （ ）A.24-B.6-C.6D.24 6. 函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 （ ） A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3),A B ,A B BC 50BC m =105,45ABC BCA ∠=∠= ,ABmmm 2m BAC7．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ． 8．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯ （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 49．若是等差数列，首项公差，，且,则使数列的前n 项和成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4027B ．4026C ．4025D ．402410.已知函数在R 上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ． B C ． D ．11. 定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠-=2,12,2lg )(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰好有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则=++++)(54321x x x x x f （ ） A.2lg B.4lg C. 8lg D.112．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是 （ ） A ．(4.5)(7)(6.5)f f f << B ．(7)(4.5)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<OABC P P 41516171{}n a 0d <10a >201320122013()0a a a +>{}n a 0n S >23)(23+-+=x x ax x f )3,(--∞]3,(--∞)0,3(-)0,3[-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.点(,)P x y 在不等式组2,,2,y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.14．当函数取得最大值时， . 15．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有 个．16．对于三次函数（），定义：设是函数y ＝f (x )的导数y ＝的导数，若方程＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为 ； 计算= 三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．sin (02)y x x x π=≤<x =d cx bx ax x f +++=23)(0≠a )(x f '')(x f ')(x f ''3231()324f x x x x =-+-1232012()()()()2013201320132013f f f f +++⋅⋅⋅+某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。

（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为等腰梯形，1//2AD BC =，1,60,AD AE ABC ==∠=o 1//2EF AC =． （Ⅰ）证明：AB CF ⊥；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值．32如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ，且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ⋅= （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）直线DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标； 若不过某定点，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间； （Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。

R a ex ax e x f x∈-+=,)(2)(x f y =))1(,1(f x )(x f a )(x f y =PP（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分. 22. （本小题满分10分）已知直线2cos :4sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩， (t 为参数，α为倾斜角).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. （Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为(2,4)，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求MA MB +的取值范围.23.（本小题满分10分） 已知函数4()||f x x m m x=+-+. （Ⅰ）当0m =时求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()5f x ≤在[1,4]x ∈上恒成立求实数m 的取值范围.2018年秋期四川省棠湖中学高三第一学月考试理科数学答案1-5：BCABD 6-10：CCBBD 11-12：DA 13. 6 14．65π； 15．1132336636C C A =⨯=⋅⋅． 16 (21,1), 2012 17.解：（Ⅰ）x x x x f 4cos 6sin 4cos6cos4sin)(πππππ--===. ………………4分 故)(x f 的最小正周期为842==ππT ………………6分（Ⅱ）解法一： 在)(x g y =的图象上任取一点))(,(x g x ，它关于1=x 的对称点))(,2x g x -（ …………………………8分由题设条件，点))(,2x g x -（在)(x f y =的图象上，从而==…………………………………………10分 当430≤≤x 时，32343ππππ≤+≤x ， ………………………11分因此)(x g y =在区间]34,0[上的最大值为233cos3max ==πg ………………12分 解法二：因区间]34,0[关于x = 1的对称区间为]2,32[，且)(x g y =与)(x f y =的图象关于x = 1对称，故)(x g y =在]34,0[上的最大值就是)(x f y =在]2,32[上的最大值………10分3cos 424x x ππ-sin()43x ππ-()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--)43x ππ+由（Ⅰ）知)34sin(3)(ππ-=x x f ,当232≤≤x 时，6346ππππ≤-≤-x ………11分因此)(x g y =在]34,0[上的最大值为236sin3max ==πg . ……………12分 18.解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：1 2 3P………………5分因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：0 1 2 3 P………………8分（Ⅱ）因为 所以 ………………10分从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。

………………12分 19.解：（Ⅰ）由题知EA ⊥平面ABCD ，BA ⊥平面ABCD ，.BA AE ∴⊥ 过点A 作AH BC ⊥于H ，在RT ABH V 中，160,,12ABH BH AB ∠==∴=o ,在ABC V 中，2222cos603,AC AB BC AB BC =+-⋅=o 222,,AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥且,AC EA A AB =∴⊥I 平面.ACFE 又CF ⊂Q 平面,ACFE .AB CF ∴⊥ ------------6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB,AC,AE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，ξηξη122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P P P C C C ξξξ=========ξ153515131()1232555E ξ=⋅+⋅+⋅=2~(3,)3B ηη127627122782716128()0123227272727E η=⋅+⋅+⋅+⋅=31412820(2),(2)555272727P P ξη≥=+=≥=+=(2)(2)P P ξη≥>≥则1(1,0,0),(0,0,),),(2B E a F a D -11(1,0,1),(1(,),(,0,1)22BE BF DE a DF ∴=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r设(,,)n x y z =r 为平面BEF的一个法向量，则0,0,n BE x z n BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1,x =得(1,0,1)n =r ， 同理可求平面DEF 的一个法向量(2,0,1)m =-u r，cos ,||||m n m n m n ⋅∴<>==u r ru r r u r r ------------12分20.解：⑴设抛物线方程为C ：22(0)y px p =>，……………………………2分由其定义知12pAF =+，又2AF =， 所以2p =，24y x =……………4分 ⑵易知(1,2)A ，设1122(,),(,)D x y E x y ， DE 方程为x my n =+(0)m ≠…6分把DE 方程代入C ，并整理得2440y my n --=，2121216()0,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-………………………………8分由121222211AD AE y y k k x x --⋅=⋅=--及2211224,4y x y x ==得 12122()4y y y y ++=，所以21n m =-，代入DE 方程得：21x my m =+-，即(2)1y m x +=+………………………………………10分故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………12分21.解：（Ⅰ） ------1分由题意得： ------2分得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ------4分2()()2x xf x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()01xf x e e x f x x ''=->⇔><⇔<()f x (1,)+∞(,1)-∞（Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为 ------5分令；则切线与曲线只有一个公共点只有一个根，且-----6分（1）当时， 得：当且仅当时，由的任意性，不符合条件 ------7分 （2）当时，令①当时，当且仅当时，在上单调递增 只有一个根------8分②当时， 得：，又 存在两个数使，得：又存在使，与条件不符。