江苏省淮安市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4}，则A∩B=．2．函数的最小正周期为．3．函数y=的定义域为．4．计算log324﹣log38的值为．5．已知集合A={x|x＜1}，B={x|x＞3}，则∁R（A∪B）=．6．已知向量=（﹣1，3），=（2，y），若，则实数y的值为．7．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x，则f（﹣9）=．8．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，所在图象对应的函数解析式为．9．已知a=（），b=（），c=ln，则这三个数从大到小的顺序是．10．已知α∈（0，π），tan（）=，则sin（）=．11．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lgx），则x的取值范围为．12．如图，在△ABC中，已知=，P是BN上一点，若，则实数m的值是．13．函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为．14．已知两个函数f（x）=log4（a）（a≠0），g（x）=log4（4x+1）﹣的图象有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在平面之间坐标系中，角α的终边经过点P（1，2）．（1）求tanα的值；（2）求的值．16．（14分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：（1）2+的模；（2）cos∠BAC．17．（14分）已知函数f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣，]．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在x∈[﹣，]上是单调增函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．18．（16分）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f （t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．（1）求函数f（t）的解析式；（2）点P第二次到达最高点要多长时间？19．（16分）已知函数f（x）=x+是奇函数．（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP 的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=2x．（1）解方程f（log4x）=3；（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4}，则A∩B={3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，5，7}，B={2，3，4}，∴A∩B={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，准确找出ω的值，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．函数y=的定义域为（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＞﹣1．∴函数y=的定义域为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4．计算log324﹣log38的值为1．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：原式=log3（24÷8）=log33=1，故答案为：1【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题．5．已知集合A={x|x＜1}，B={x|x＞3}，则∁R（A∪B）={x|1≤x≤3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合并集和补集的定义进行运算即可．【解答】解：∵A={x|x＜1}，B={x|x＞3}，∴A∪B={x|x＞3或x＜1}，则∁R（A∪B）={x|1≤x≤3}，故答案为：{x|1≤x≤3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．6．已知向量=（﹣1，3），=（2，y），若，则实数y的值为﹣6．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程求出实数y的值．【解答】解：向量=（﹣1，3），=（2，y），且，所以﹣1•y﹣3×2=0，解得y=﹣6，所以实数y的值为﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题目．7．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x，则f（﹣9）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】先由x＞0时，f（x）=x，求出f（9），再根据f（x）是R上的奇函数，得到答案．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x，∴f（9）=3，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣9）=﹣f（9）=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．8．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，所在图象对应的函数解析式为y=3sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=3sin[2（x+）﹣]=3sin（2x+），故答案为：y=3sin（2x+）．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基础题．9．已知a=（），b=（），c=ln，则这三个数从大到小的顺序是a＞b＞c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数单调性即可判断出结论．【解答】解：a=（），＞1，b=（）∈（0，1），c=ln＜0，则这三个数从大到小的顺序是a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．【点评】本题考查了指数函数与对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知α∈（0，π），tan（）=，则sin（）=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α∈（0，π），tan（）==，解得：tanα=2，∴可得：α∈（0，），∴cosα==，sinα=，∴sin（）=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lgx），则x的取值范围为＜x＜10．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性和单调性，根据f（1）＜f（lgx）建立不等式组求得x的范围．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，f（1）＜f（lgx），∴1＞|lgx|，解得＜x＜10，故答案为＜x＜10．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．如图，在△ABC中，已知=，P是BN上一点，若，则实数m的值是．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由于B，P，N三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=λ+，又，利用共面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵B，P，N三点共线，∴存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=λ+，又，∴，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．13．函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为﹣4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意函数y=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的零点，即sin（πx）=的根；作出函数y=sin（πx）与y=的图象结合函数的对称性，可得答案．【解答】解：函数y=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的零点，即sin（πx）=的根；作出函数y=2sin（πx）与y=在x∈[﹣4，2]上的图象，如下图所示：由图可得：两个函数的图象有4个不同的交点，且两两关于点（﹣1，0）对称，故四个点横坐标之和为﹣4，即函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．已知两个函数f（x）=log4（a）（a≠0），g（x）=log4（4x+1）﹣的图象有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，化简得出即可得到结论【解答】g（x）=log4（a•2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），∴log4（）=log4（a•2x﹣a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣at﹣1=0有一解若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a﹣1=0，即a=1时，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不满足题意若a﹣1＜0，即a＜1时，由△=（﹣）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）=0，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．故答案为：{a|a＞1或a=﹣3}．【点评】本题主要考查函数与方程的运用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强，做难题的意志能力．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•淮安期末）在平面之间坐标系中，角α的终边经过点P （1，2）．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）根据角α的终边经过点P（1，2），可得x=1，y=2，再根据tanα=计算即可；（2）由角α的终边经过点P（1，2），利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得答案．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（1，2），∴x=1，y=2，则tanα==2；（2）∵角α的终边经过点P（1，2），∴sinα=，cosα=，则==．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题．16．（14分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B （0，1），C（2，5），求：（1）2+的模；（2）cos∠BAC．【考点】平面向量的综合题．【分析】（1）作出图象，从而可得=（﹣1，1）=（1，5）；2+=（﹣2，2）+（1，5）=（﹣1，7）；求模即可；（2）cos∠BAC=，代入计算即可．【解答】解：（1）如图，=（﹣1，1）=（1，5）；故2+=（﹣2，2）+（1，5）=（﹣1，7）；故|2+|==5；（2）cos∠BAC====．【点评】本题考查了平面向量的应用，同时考查了平面向量的坐标运算，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣，]．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若函数f（x）在x∈[﹣，]上是单调增函数，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当θ=时，f（x）=x2+x﹣1=（x+）2+，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值．（2）利用f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ，由题意可得﹣sinθ≤﹣，或﹣sinθ≥，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围．【解答】解：（1）当θ=时，f（x）=x2+x﹣1=（x+）2﹣，由于x∈[﹣，]，故当x=﹣时，f（x）有最小值﹣；当x=时，f（x）有最大值﹣．（2）因为f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ，又欲使f（x）在区间[﹣，]上是单调函数，则﹣sinθ≤﹣，或﹣sinθ≥，即sinθ≥或sinθ≤﹣因为θ∈[0，2π]，故所求θ的范围是[，]∪[，]．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的思想方法，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．18．（16分）（2016秋•淮安期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t （秒）满足函数：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）．（1）求函数f（t）的解析式；（2）点P第二次到达最高点要多长时间？【考点】二次函数的性质；已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）⇒sin（）=1，=解得t．【解答】解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，∴，，∴f（t）=4sin（φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=﹣，φ=﹣，故所求的函数关系式为f（t）=4sin（）+2，（2）令f（t）=4sin（）+2=6，）⇒sin（）=1，=得t=16，故点P第二次到达最高点大约需要16s．【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．19．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=x+是奇函数．（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP 的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；对勾函数．【分析】（1）f（x）+f（﹣x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函数f（x）的图象上，可得a=2即可．（2）由对勾函数图象可得；（3）在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2⇔在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，即f（x）min＜4，2＜4，解得a．【解答】解：（1）函数f（x）=x+是奇函数，则f（x）+f（﹣x）=0恒成立，即x+⇒b=0．∴f（x）=x+（a＞0）．∵Q（1，3）在函数f（x）的图象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+．（x≠0）．（2）f（x）=x+（a＞0）．的增区间为：（﹣∞，﹣），（，+∞）；减区间为：（﹣，0），（0，）．（3）∵点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在横轴上，且AB=1，∴在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2⇔在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，如图所示，函数f（x）的图象与y=4，y=﹣4各有两个交点，即f（x）min＜4，2＜4，解得0＜a＜4．∴实数a的取值范围为：（0，4）．【点评】本题考查了对勾函数的图象及性质，数形结合是解题关键，属于中档题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=2x．（1）解方程f（log4x）=3；（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）依题意，f（log4x）=3⇔=3，即==3，从而可解得x=9；（2）利用指数函数y=2x的单调性可得：f（x+1）≤f[（2x+a）2]⇒x+1≤（2x+a）2，依题意，整理可得a≥（﹣2x+）max，x∈[0，15]．利用换元法可解得a 的取值范围；（3）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，即存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，分离参数a，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣）max 或a＞（t+）min，解之即可；【解答】解：（1）∵f（x）=2x，∴f（log4x）=3⇔===3，解得：x=9，即方程f（log4x）=3的解为：x=9；（2）∵f（x）=2x，为R上的增函数，∴由f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，得x+1≤（2x+a）2（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为≤2x+a恒成立∴a≥（﹣2x+）max，x∈[0，15]．设m（x）=﹣2x+，令=t（1≤t≤4），则x=t2﹣1，t∈[1，4]，∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣）2+，所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1．（3）令2x=t，∵x∈（﹣∞，0]，∴t∈（0，1），∴存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立⇔存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1，即存在t∈（0，1）使得a＜（t﹣）max或a＞（t+）min，∴a≤0或a≥2；【点评】本题考查函数恒成立问题，突出考查指数函数的单调性，闭区间上的最值的求法，考查函数方程思想、等价转化思想、考查换元法、构造法、配方法的综合运用，属于难题．。