齐次线性方程组有非零解
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点;但是同学们学得时候要系统;要全面;要完整..下面是解线性方程组各种情况的标准格式;请同学们以此为准;进行练习..一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：1 若齐次线性方程组()=;则只有零解；r A n2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.注：当r A n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式m nA=.注：1、基础解系不唯一;但是它们所含解向量的个数相同;且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组..由上面的定理可知;若m是系数矩阵的行数也即方程的个数;n是未知量的个数;则有：1当m n<时;()≤<;此时齐次线性方程组一r A m n定有非零解;即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；3当m nA≠;故齐次线性=且()r A n=时;此时系数矩阵的行列式0方程组只有零解；4当m n >时;此时()r A n ≤;故存在齐次线性方程组的同解方程组;使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==;则方程组仅有零解;即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠;不可以用行列式的方法来判断;从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---;知方程组仅有零解;即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ;4x ;5x 为自由未知量令31x =;40x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;41x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;40x =;51x =;得125,6x x ==-;于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以;原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++1k ;2k ;3k R ∈.例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系;并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩其中2x ;3x 为自由未知量令21x =;30x =;得142,0x x ==；令20x =;31x =;得141,0x x =-=;于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以;原方程组的通解为1122X k k ξξ=+其中1k ;2k 为任意实数.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==;则方程组有唯一解;所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠;则原方程组无解例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;可见()3()2r A r A =≠=;所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ;4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ;4x 为自由未知量令31x =;40x =;得121,2x x =-=；令30x =;41x =;得125,7x x ==-;于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦..所以;原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++1k ;2k R ∈.例 求线性方程组 的全部解.解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可见()()34r A r A ==<;所以方程组有无穷多解;其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =;可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数;得;1233,3,1x x x ==-=;于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以;原方程组的通解为X k ηξ=+ k R ∈.。
齐次线性方程组有非零解的几何应用
齐次线性方程组有非零解的几何应用
潘杰;苏化明
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2013(016)001
【摘要】含有n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零.利用这个结论可以解很多解析几何问题,这里所给实例的解法不同于有关教材或参考书.
【总页数】3页(P34-35,110)
【作者】潘杰;苏化明
【作者单位】合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009;合肥工业大学数学学院,安徽合肥 230009
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.齐次线性方程组有非零解充要条件的应用 [J], 余丹
2.从“牛吃草问题”说起——浅谈齐次线性方程组有非零解判定定理的应用 [J], 陈晶磊
3.有非零解的齐次线性方程组的应用 [J], 刘祖望
4.齐次线性方程组有非零解条件的应用 [J], 慕晓凯;
5.齐次线性方程组有非零解条件的应用 [J], 潘杰;汪泉
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齐次线性方程组有非零解条件的应用
2032013年第9期总第131期No.9.2013Sum 131高等教育齐次线性方程组有非零解条件的应用慕晓凯（广东培正学院人文系广东广州510830）摘 要：讨论了齐次线性方程组有非零解的条件定理在求解代数、解析几何、数学分析等数学分支中的某些问题时的应用，并着重指出了在解决这些问题时利用题中所给的一些条件巧妙地构造齐次线性方程组的方法和技巧。
关键词：齐次线性方程组；非零解；应用中图分类号：O13文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2013）09-0203-02收稿日期：2013-08-14作者简介：慕晓凯（1985-），男，河南平顶山人，从事微分流形向的研究。
一、齐次线性方程组有非零解的两个定理线性代数中关于齐次线性方程组有如下两个定理[1]：定理1：齐次线性方程组有非零解的充要条件是.定理2：如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩，那么它有非零解.相比之下，定理1的应用更为广泛，它最直接的应用就是解决一些线性方程组的问题。
除此之外，它在代数以外的其它数学分支中也有着举足轻重的作用。
本文也将重点讨论定理1的应用。
二、定理1的应用举例2.1在代数学中的应用2.1.1运用定理求解具有一些等式关系的问题例1设不全为零，且其中任意两个不相等，又知，求所满足的关系式.解：由已知得，即(1)因为不全为零，且其中任意两个不相等，所以关于的齐次线性方程组(1)有非零解，故系数矩阵行列式为零，即将上式展开并整理得.这就是所满足的关系式.在上面的例题中，直接求解比较麻烦。
但题设中已知不全为零，且其中任意两个不相等，由此去构造以为未知量的齐次线性方程组去化简问题的求解，便使问题一目了然。
2.1.2运用定理求解三角函数问题现在来看三角函数中的一个特殊的结论：例2在中，求证：.解：因为，所以有.即有.同理可得,.上面三式可以组成以为未知量的齐次线性方程组。
因为不同时为零，因此所组成的方程有非零解。
故其系数矩阵行列式为零，即展开行列式并整理，可得结论：.在例2中并没给出等式关系，但在中由三个角的余弦便可得到三个关系式，从而再像例1那样去构造齐次线性方程组去解题。
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
齐次线性方程组解的结构
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的 方解 程， 组 则该 方 程 组 有 非 所 零 以 解 。 该 方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线 的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线 解 .性 都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定 理4. 4: m n型 齐 设次线 AX 性 0的 方 系 程 数 组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初 等行 变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与 于 都是 A 方 x 0 的 程 ,而 解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn
3.4 齐次线性方程组
解:对矩阵 A 作初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
1 2 1 1 1 1 2 4 3 1 1 0 A= → → 1 2 1 3 3 0 0 0 2 4 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 0 0 0 0 2 0 0
x1 = 2 x2 2 x5 得 x3 = x5 ( x2 , x5为自由未知量) x = 0 4
xr +1 1 0 0 xr + 2 0 1 , , ,0 = 1 xn 0 0
共n r个
代入上述一般解公式,即求得AX = O 的基础解系.
3. 齐次线性方程组的结构式通解 定理 设 A 是一个 m × n 矩阵,若秩( A) = r < n ,
而有 b1 = b2 = = bm = 0 ,故有 AX 0 = O ,即 X 0 也是 方程组 AX = O 的解.因此,方程组 AT AX = O 的基 础解系可由方程组 AX = O 的基础解系线性表示, 从而有 n r ( AT A) ≤ n r ( A) ,所以 r ( AT A) ≥ r ( A) . 综上述可得 r ( AT A) = r ( A) .再用 AT代替 A 就可得
复习
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构
齐次线性方程组的三种形式: 齐次线性方程组的三种形式: 一般形式 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
程组 AT AX = O的解都是齐次线性方程组AX = O的解. 事实上,设 X 0 ∈ n 是方程组 AT AX = O 的一个解, 令 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T,则 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T ∈ m.
第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ，原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ，代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2：如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解， 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解， 且非齐次线性方程组的全部解可表示为：
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 ， 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ，原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 ， 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 ：
线性代数基本定理
线性代数基本定理行列式1、对于线性方程组，若系数行列式的值D≠0，则方程组有唯一解。
2、若线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。
3、若线性方程组无解或有无穷多个解，则它的系数行列式必为零。
4、若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有0解，没有非零解。
5、若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零，即D=0。
矩阵1、方阵为满秩矩阵的充分必要条件是|A|≠0；（方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵）。
2、设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组A x=0有非零解得充分必要条件为R（A）＜n。
向量组的线性相关性1、一个向量线性相关的充分必要条件是α=0；α是线性无关的充分必要条件是α≠0。
两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。
2、向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示的充分必要条件是：线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=b有解。
3、向量组α1，α2，…，αn线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有（无）非零解。
阐述：根据向量线性相关的定义，若向量组α1，α2，…，αn线性相关，则存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λn，使λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0,即齐次线性方程组x1α1+ x2α2+…+ x nαn=0有非零解。
反之，若齐次方程组有非零解，则向量组线性相关。
向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解。
4、n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们排成的n阶行列式的值等于零。
5、当m＞n时，m个n维向量一定线性相关。
6、向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的秩小于该向量所含向量的个数。
7、向量组与它的任意一个极大无关组等价。
8、一个向量组的任意两个极大无关组等价。
9、若向量组A能由向量组B线性表示，则R(A)≤R(B)，即“秩小的可以表示秩大的”。
齐次线性方程组有非零解
an1 an 2
a1i (1)
1i 1
(M 1) 1i 1Di
i 1
a1n (1)
1 n1
n 1 M (1) Dn 1n1
即
b D D a b11 D a11 aD D a1n D na1 0n 1n 1 1D 1 121 2a 12 D2 nD
这是范德蒙德行 列式，按例1.10 （P20）的结果
12
由定理1.4， D 0 有非零解. 解得 D1 36, D2 18, D3 24, D4 6 3 1 据克莱默法则，得唯一解 a0 3, a1 , a2 2, a3 , 2 2
所求曲线方程即为
1 3
于是 D2 D1 x 4, x1 3, 2 D D
D3 D4 x3 1, x4 1 D D
1 5 7 0
由此例可体会到该法则并不实用，因为要计算n +1 个 n 阶行列式. 但它仍具有极为重要的理论价值. —— 根的存在性和唯一性 定理 1.4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0 ,则（1）一定 有解，且解是唯一的. 互逆
非零解？
定理1.5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0 ,则它仅有零解.
定理1.5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式 D 0
在第四章将证明
(5 ) x 2y 例1.12 (6 ) y 2x （P27） 2x
5 D 2 2 2 6 0 2 0 4
1 1 c2 cb b2 ac ab d 2 db b2 ad ab
(b a)(c a)(d a)(c b)(d b) [(d 2 c 2 ) b(d c) a(d c)]
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证 1）即 x D j ( j 1, n)是 解 ； 只需证明 j D
D1 D2 ai1 ai 2 D D
i 1, 上式等价于
Dn ain bi (i 1, 2, , n) 等 n 个式子成立. D 这是 n 1 个 n 阶行列式的代数和
b1 D a11 D1 a12 D2
b1 a11b2 a21b1 b2
考虑
n 元方程组
a11 D2 a21
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn ,
0 7 5 13 3 5 3 7 5 13 1 3 0 6 r 2r 1 3 0 6 c1 2c 2 1 2 D 0 1 0 2 1 2 0 2 1 2 r4 r2 0 2 1 2 c3 2c2 7 7 2 7 7 12 1 4 7 6 0 7 7 12
第
ain xn bi
, n)
a1naxn 1n a2 n xn
j 列乘 x j
Dxj
xj j D x
a11x a 111 a21x an1x
1 a 21
xj a1, j 1 j 1 a1 j b ax 1, j 1 1 a2, j 1 x j 1 a2 j x j
a2, j 1
为此，构造 n 1 阶行列式
a1n Dn 0
Dn1
b1 a11 b1 a11
a12 a12
a1n a1n ann
两行相同
Dn1 0
bn an1 an 2
Dn1
b1 b1 bn
a11 a11
a12 a12
第 i 1列
a1n a1n ann
将其按第一行展开
0 Dn1 b1 (1) M M M D D 2 11 a11 ( 1) 11 2 a12 ( 1) 13 D
b2
a 1, j 1 x j 1 a 1, j 1 a2, j 1 x j 1
a2, j 1
a2 n
an, j 1 x anj x an, j 1 x ann x n j 1 j j 1 1 a a b a a n 1 n , j 1 n n , j 1 nn j 将第 i(i j ) 列乘 x i ，加到第 列 a11 a1, j 1 a11 x1 a1 j x j a1n x n a1, j 1 a1n
a11 x1 二元一次方程组 a21 x1 a11 系数行列式 D a21
b1 a12 a22b1 a12b2 , D1 b2 a22
1.4 克莱姆（Cramer）法则
a12 x2
a12 a22
b1
(1)
a22 x2 b2 (2)
D1 D2 x1 , x2 ,D 0 D D
1 3
于是 D2 D1 x 4, x1 3, 2 D D
D3 D4 x3 1, x4 1 D D
其中 D j
Dn , xn D
( j 1,2, , n)
an1 an, j 1 bn an , j 1 ann
这是 n 阶行列式 第j列 分析：要证明这一定理, 需证明两点: 1) 方程组(1)有解(存在性); 即 x j D j ( j 1, n)是 解 ； D ~ D j ( j 1, , n) . 2) 解惟一(唯一性); 即 解 是 x j D
即 D x D j j xj an1 an, j 1 an1 x1 a21 a2, j 1 a21 x1 a x j 2 j D
j
Dj
anj x j
D
( j 1, 2,
a2 n x n a2, j 1
, n)
a2 n ann
ann x n an, j 1
Dn D1 D2 a12 a1n b1 D 0 a11 D D D Dj ( j 1, 2, , n) 是第一个方程的解， 类似证 i 2, , n D
证 2）解的惟一性. 即，若 ai1 x1 aij x j Dj ~ ~ D 则 xj , (i 1,2, 即 D x j j D
11 1 2 13
an1 an 2
a1i (1)
1i 1
(M 1) 1i 1Di
i 1
a1n (1)
1 n1
n 1 M (1) Dn 1n1
即
b D D a b11 D a11 aD D a1n D na1 0n 1n 1 1D 1 121 2a 12 D2 nD
x2 3x2 2 x2 4 x2
5 x3 x3 7 x3
x4 6 x4 2 x4 6 x4
8 9 5 0
3
3
7 2
27
2 1 D3 0 1
1 3 2 4
8 9 54
5 0
8 9 27,
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 81, 5 2 1 2 0 4 7 6
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 108, 0 5 1 2 1 0 7 6
2 x1 例1.11 (P25) 解线性方程组 x 1 解 x1 2 1 5 1
(1)
与二元方程组类似, n 元方程组的解也可用行列式表示
定理1.3（克莱姆法则）(P23)
若方程组（1）的系数行列式
a11 a1n D 0 a n1 a nn
D1 D2 那末，方程组（1）有唯一解 x1 , x2 , D D a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n