时空离散FitzHugh—Nagumo方程解的渐近行为
经颅磁声电激励下Fitzhugh-Nagumo神经元模型放电特性分析
640 引言近年来，神经类精神疾病已经成为人类社会中非常突出的公共卫生问题。
根据当前我国总人口数据统计分析可知，在中国十四亿人口中大约有五分之一的人都存在神经障碍或慢性精神疾病，重症精神疾病患者近千万[1-3]。
因此，在实践发展中需要进一步完善神经精神类疾病的诊断干预手段。
已有研究发现，神经精神类疾病的发生与神经系统病变、神经元功能障碍有着密切关联，针对特定脑区的神经调控可以有效调节神经活动状态[4]。
神经元之间的信息传递通过发放电模式、神经元的耦合、同步等形式实现[5]。
耦合神经元同步反映神经元个体间放电活动的相关性，在神经元信息传递过程中起重要作用。
其中，神经信号同步与帕金森、癫痫等神经精神类疾病的发生密切相关[6]。
经颅磁声电刺激作为一种新型的神经调控步控制，为进一步了解磁通神经元放电活动及其膜电压迁移提供了有益探讨[15]。
影响计算神经科学发展的关键因素在于提供完全的神经元计算模型[16,17]。
1952年，Hodgkin 和Huxley通过分析巨型鱿鱼轴突表明神经元膜电位变化与离子跃迁有关[18]。
1962年，Fitzhugh 和Nagumo提出二维常微分方程作为神经元模型，易于激发单个神经元放电模式并降低计算复杂度[19]。
该模型可以通过线性和非线性反馈获取单个神经的再生式自激行为。
2013年，Yilmaz等人研究了FHN模型在无标度网络中的随机共振，有利于深入理解复杂神经元系统中的信息处理[20]。
2018年，贾亚等人研究了电磁感应及耦合场作用下神经元集群放电反应[21-22]；同年，马军等人提出一种电磁场作用下的新型神经元模型，通过磁通量和电荷变化描述电磁场对神经元的作用机制[23]，后考虑电场变化，改进FHN神经元模型为三维微分[24]66经颅磁声电刺激原理如图1.1所示。
Y（a）负离子静磁场++（b）图1.1 经颅磁声电刺激原理（a）磁场、声场、电场分布；（b）原理示意图Fig.1.1 Principle of Transcranial Magnetic AcousticElectrical Stimulation.(a) Magnetic field、 acoustic field、 electric fielddistribution；(b)Schematic diagram of principle生物组织中带电离子受到超声波作用产生振动，假设超声为沿z轴传播的简谐平面波，则正负带电离子的瞬时振动速度vz为：0sin()z v v t ωϕ=− (1)其中，v0为离子速度的最大值，ω为简谐运动的角频率。
二维空间离散化的FitzHugh-Nagumo 格点系统的解的存在与唯一性
二维空间离散化的FitzHugh-Nagumo 格点系统的解的存在与唯一性作者：姜红来源：《中国储运》 2018年第6期无穷维动力系统兴起于20 世纪80 年代，主要是研究具有耗散性的动力系统当时间趋于无穷大时的渐近行为。
一般都是通过全局吸引子来描述，因而全局吸引子成为研究的重点。
研究全局吸引子又要通过研究动力系统解的结构来体现。
本文证明了FitzHugh-Nagumo 方程在加权空间中解的存在与唯一性，从而为研究全局吸引子做铺垫。
大自然中许多系统的演化可以通过偏微分方程来描述，比如天气的变化是通过对大气运行的描述来刻画的。
然而，到目前为止，由于偏微分方程在数学领域上研究的复杂性，在这方面取得的成果有限，比如只是找到了某些简单的解并研究它们的一些性质或者估计吸引子的维数。
事实上，可以用格点系统近似模拟无界区域上具有初值的偏微分方程，除此之外，格点系统在图像处理、分子反应、模式识别、神经原分子间的作用传输、电子工程设计等方面均有广泛的应用。
我们研究二维空间离散化的动力学系统是很有必要的。
又根据具体情况，有些问题必须要使用加权空间，于是研究加权空间上的高维空间离散化格点系统已经受到许多学者的关注。
FitzHugh-Nagumo 方程在分子生物学上有着重要地位，它是描述分子间信号传输的一个数学模型，例如，它可以用来描述髓磷脂神经元中分子间作用的传输。
由于FitzHugh-Nagumo 方程在分子生物学上的广泛应用，受到很多学者的关注，这方面的工作已经有很多，例如2005年王碧祥在PhysicaD:NonlinearPhenomena(2005，212(3):317-336，见文献[1]) 中研究了在一维离散化空间中FitzHugh-Nagumo 系统全局吸引子的存在性着及上半连续性。
但是至今在二维离散化的加权空间FitzHugh-Nagumo 系统相关吸引子的研究较少。
一、主要工作（一）准备工作在本章中，我们研究如下二维空间离散化的FitzHugh-Nagumo 格点系统：。
离散FitzHugh-Nagumo系统的倍周期分支
模型经简化后得 到的 ， 固体物理 学，化 学反应动 力 在 学和神经动力学等领域都有着广泛的应用 。 因此 它在
过去 ３ ０年 中一 直 被 深 入 研 究 【］ 【 通 过 Ｅ ｌ 方 法 ｌ。文 ３ － ２ 】 ｕｒ ｅ
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中 图分 类 号 ：Ｏ１ ５１ ７． ３ 文献 标 识 码 ：Ａ
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几个针对FitzHugh-Nagumo方程的有限差分解法
摘要： 采 用 隐式 差 分 格 式 和 Ｃ ｒ ａ ｎ ｋ — Ｎｉ ｃ ｏ ｌ ｓ ｏ ｎ格 式 求 解 Ｆ ｉ ｔ ｚ Ｈｕ ｇ ｈ ～ Ｎａ ｇ ｕ ｍｏ方 程 。通 过 对 Ｆ ｉ ｔ ｚ Ｈｕ ｇ ｈ — Ｎａ ｇ ｕ ｍｏ方 程 的非线 性 反 应 项 的 线 性 化 处 理 ， 在 两 种 格 式 下 各 自给 出 了 三种 算 法， 并对 各种 算 法 的误 差 和收 敛 阶进行 了分 析 比较 。数值 实验 验证 了算 法 的有效 性 。
其中， Ｕ是 关 于空 间变量 ｚ 及 时间变 量 ｔ的函数 ， 具有 以下 初 边值条 件 的定解 问题
（ ｚ， Ｏ ）一 Ｕ ｏ （ ｚ － ） ， ｖ （ ｘ， Ｏ ）一 ０ ．“ （ ‘ ｚ Ｌ ， ）一 ｎ ｏ （ ｚ ） ， “ （ ｚＲ ， ）一 日 １ （ ）
ｇ （ “ ）一 ｕ （ ｕ一 １ ） （ 口～ ）的三个 根 “一 ０ ， 口 ， １分别对 应 着细胞 壁 的平衡 状 态 、 阀值 以及兴 奋状 态 。 为引
几个针对 Ｆ ｉ ｔ ｚ Ｈｕ ｇ ｈ — Ｎａ ｇ ｕ ｍｏ方程 的 有 限 差 分 解法
冯 洪 松 ， 赵 维 加 ， 林 润昶
（ １ ． 青 岛 大学数 学科 学 学院 ， 青岛２ ６ ６ ０ ７ １
２ ． 德 克 萨斯 农 工 国 际 大 学 数 学 物 理 系 ， 拉 雷多 ７ ８ ０ ４ １ — １ ９ ０ ０ ， 美 国）
起 波 的传 输 ， ａ需 要 满足 ａ Ｅ（ Ｏ ， ０ ． ５ ） 。 初始 条件 可 以表 示 ｕ （ ｘ， ０ ）一 “ 。 （ ） ， ｖ （ ｘ， ｏ ）一 ０ ， 其分 布具 有空 间局 性， 即当 ｌ ｚ ｌ 一。 。 ， Ｕ ｏ （ ｚ ） 一０ 。 对 于不 同参 数 ， Ｆ ｉ ｔ ｚ Ｈｕ ｇ ｈ — Ｎａ ｇ ｕ ｍｏ方 程 解 会 形 成 不 同 的波 形 ， 如单波 、 多波 、 以及 周 期 波 等 （ Ｃ ｏ ｎ ｌ ｅ ｙ ， Ｃ ａ ｒ ｐ ｅ ｎ ｔ ｅ ， Ｈａ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｓ ［ ｃ ） 。 对 Ｆ ＨＮ 方 程 单 波 解 的 存 在 性ｌ ６ ］ Ｃ ｏ ｎ ｌ ｅ ｙ和 Ｃ ａ ｒ ｐ ｅ ｎ ｔ ｅ使 用 ｉ ｓ ｏ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｂ ｌ ｏ ｃ ｋ方 法 、
基于FitzHugh-Nagumo反应扩散方程组的木材纹理图像处理
基于FitzHugh-Nagumo反应扩散方程组的木材纹理图像处理牛蕾;隋振璋;张春蕊【摘要】木材纹理具有树木生长的信息,是人类了解树木的直接途径.针对这种自然现象,提出了利用一类反应扩散方程组的数值解法实现对木材纹理灰度图像进行处理的算法,并分别给出了对木材缺陷图像进行算法处理后的图像实例.实验表明:FitzHugh-Nagumo离散模型算法在一定程度上了拉伸了图像对比度,使图像在视觉上得到增强;改进的附带扩散项的离散模型算法对图像的边缘检测结果在一定程度上要比先前的边缘检测算法更完整和清晰,并提高了木材缺陷检测的可靠性.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】5页(P45-49)【关键词】木材纹理;边缘检测;反应扩散方程组;数值解【作者】牛蕾;隋振璋;张春蕊【作者单位】东北林业大学;东北林业大学;东北林业大学【正文语种】中文【中图分类】O1930 引言因为各种木材的成长环境不同，分子结构不同，以及伤害的侵袭方式不同，其不同的切面总是呈现出不同的纹理模式.这种纹理模式与木材自身的结构属性息息相关，为了从有缺陷的图像中获得更多关于木材纹理的信息，对木材纹理的图像处理是非常必要的.木材纹理的边缘检测帮助我们了解树木成长信息，判断树木的缺陷类型和它的成长趋势.反应扩散系统是经典的非线性动力学行为，被广泛的用来描述化学、地震、气象等中周期性变化的现象.随着人们对反应扩散系统深入的探索和学习，发现反应扩散系统可以实现对图像的处理，这就为我们研究木材纹理提供了便利和工具.该文提供的图像处理算法是建立在FitzHugh-Nagumo反应扩散方程组上的，与以往的边缘检测算法不同的是，它具有灵活的自组织时空反应［1］.Kuhnert 等用光敏Belousov-Zhabotinsky反应扩散系统实现了图像增强和图像分割［2-3］;Kurata 等用常微分的思想分析了FitzHugh-Nagumo反应扩散方程及其稳定条件［4］，为边缘检测和图像分割奠定了理论基础;Atsushi Nomura等分析了固定值的FitzHugh-Nagumo反应扩散方程对二值图像的边缘检测［5］.该文是在文献［4-5］的基础上，改变扩散系数使得图像梯度越大扩散系数越小，来完整的保留木材纹理边缘.1 FitzHugh-Nagumo反应扩散系统的木材纹理图像处理基础1.1 FitzHugh-Nagumo方程的动力学性质扩散方程描述的是在一定时间内有多少物质或者热量在空间中进行了传播，方程可以表示为其中，u(x，t)代表物质或者热量的分布，并且u的分布是由空间向量x∈Rn和时间t定义的;D是扩散系数，它代表物质或者热量的扩散能力大小，其正负代表扩散方向;Δ2u是Laplacian算子.设u0(x)是u(x，t)的初始值，其通过与方程(1)所生成的掩膜做卷积操作可以滤除噪声增强图像［6］;经过一定的时间，空间分布U0(x)在扩散系数D的作用下，生成了输出分布:FitzHugh-Nagumo反应扩散方程组由如下方程表示:式中变量u和v随空间向量x∈Rn和时间t变化而变化，具有初始状态分别为u(x，t=0)=U0(x)，v(x，t=0)=V0(x).Du和 Dv是扩散系数.而方程组反应项分别为:式中a和b分别为常数，0＜ε≪1是一个极小的正常数.当扩散系数为0时，得到如下的常微分方程组(3):利用动力系统理论，可以得到变量u和v的变化趋势(如图1所示):图1 变量u和v的变化趋势图1中，du/dt=0用实线表示，dv/dt=0用虚线表示，随着时间的推移，用箭头表示解(u，v)的趋近方向;其中，区域Ⅰ:du/dt＞0且dv/dt＞0;区域Ⅱ:du/dt＜0且dv/dt＞0;区域Ⅲ:du/dt＜0且dv/dt＜0;区域Ⅳ:du/dt＞0且dv/dt＜0.在微分动力学［7］中，这两条线的交点(0，0)是一个稳定平衡点，对于解(u，v)，从平衡点的某一邻域的任意初值出发，解(u，v)最终都会收敛到此平衡点.把u具有较大值的区域称为兴奋区域;而把起点及其邻域区域称为休眠区域.从图1可以看到，反应项中的参数a是初始条件的临界值.设解(u，v)的初始值为(u0，v0)，则当u0＞a且v0≤0时，根据图像中解(u，v)的走向，解(u，v)进入兴奋区域;而当u0＜a且v0≥0时，解(u，v)快速进入休眠区域.利用系统的这个性质，当一幅需要处理的图像作为初始值输入时，该反应扩散系统遍历这幅图像的所有像素点，在适当的临界值a和足够的时间作用下，图像像素点的灰度值划分到图1所示的两个区域，这样就扩大了不同像素点的灰度值.1.2 FitzHugh-Nagumo反应扩散方程的数值处理对反应扩散方程(2)，采用九点差分中的显示格式进行求解［6，8］.空间变量(x，y)和时间变量t用有限差分进行离散，空间步长和时间步长分别为δh，δt，其中:i= ［x/δh］，j= ［y/δh］，k=［t/δt］，i，j和k是离散空间和时间的指数，那么变量u(x，y，t)的离散格式是uki，j，且定义∂u/∂t，∂u/∂x，∂u/∂y的离散格式分别为Δtu，Δxu，Δyu，且由(4)和(5)，方程组(2)的第一个方程变为:式中，r=Duδt/δh2.方程组(2)的Neumann边界条件的离散式为:在图像处理中，一幅图像离散化后的数字图像大小为M×N，即其有M行和N列，取i=0，1，…，M-1，j=0，1，…，N-1，那么在初值(U0，V0)和离散边界条件(7)基础上，通过用式(6)的迭代运算，最终获得随时间演化的解(u，v)，即处理后的图像.2 对木材纹理图像处理算法的实现和结果2.1 FitzHugh-Nagumo离散模型图像增强算法的实现按照以上的理论分析，对于一个不带扩散项的常微系统(3)，或者r=0的离散系统(6)模型来说，该模型可以用来增强图像，拉伸模糊图像的对比度.当a为一个固定值时，该模型可以用来处理二值图像;那么当一幅图像为灰度图像时，可以借鉴文献［9］的思想，利用扩散项在时间上的迭代，引入变量利用a(x)取代固定的a值.得到改进的图像增强算法.该算法步骤如下:步骤1:取亮度图像u(x，t=0)并归一化到［0，1］;步骤2:准备好初始条件U0(x)=u(x，t=0)和V0(x)=0;步骤3:计算a(x);步骤4:把a(x)代入r=0的离散系统(6)中，通过迭代运算，最后得到边缘检测图. 2.2 FitzHugh-Nagumo离散模型图像增强算法的处理结果及分析按照2.1算法步骤，对不清晰的有活节的木材亮度图像(图2(a)，181×188)用Matlab7.0软件进行增强处理，这里选择b=1，ε=10-3，Du=0.01，Dv=0.25，δh=1/6，δt=10-3，a(x)=A(U0;1，2，0.3).截取不同演化次数即在时域上的演化图像及其对应的灰度直方图，结果如图2所示.图2 不同时刻得到的木材纹理图像以及对应的灰度直方图由图2可知该算法在演化过程中对原活节木材纹理图像进行了有效的增强，其对应的灰度直方图也从原来呈现的尖锐状变化到平滑、均匀状.该文利用Michelson对比度公式来计算图2中对应图像的对比度式中，Ⅰmax和Ⅰmin分别表示图像中最亮的亮度和最暗的亮度.相应的图像对比度为(a)CM=1，(b)CM=1.0043，(c)CM=1.0147，(d)CM=1.0250.这个结果表明，图像对比度得到拉伸，纹理图像得到增强.演化结果与我们在1.2中的理论分析相一致:纹理图像在很短的时间内得到增强以后，图像灰度值向稳定值0趋近，在图像亮度上呈暗亮度.2.3 FitzHugh-Nagumo反应扩散系统对木材纹理图像的边缘检测算法对于带有扩散项的FitzHugh-Nagumo反应扩散系统模型，参数a的取法，对检测一幅图像的边缘检测同样重要;当a为固定常数时，该模型可以实现二值图像的边缘检测［5］;当参数a取a(x)=A(U0;D，T)［9］来代替固定的 a 值，该模型可以实现亮度图像的边缘检测;但是这种做法也不尽完美，在该模型作用下图像产生真假双边缘［10］，且随着反应扩散系数的增加，双边缘之间的距离拉长，甚至会产生覆盖边缘的现象，使图像边缘模糊.针对这一缺陷，该文通过添加一个调整项［11］来改进该算法.这个调整项是一个关于梯度的单调递减的非负函数，取值范围为(0，1］，它能灵活的调整扩散系数，进而调整双边缘的距离，该调整项为:式中，p为常数，它主要用来控制h的下降速率，其中，借用Sobel算子的两组3×3的矩阵，分别将之与图像U0作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值Gx及Gy:同时，为了得到边缘的稳定的稳态解，该反应扩散系统必须是在强抑制Du≪Dv作用下.该文算法如下:Δ Δ具体步骤为:步骤1:取亮度图像u(x，t=0)并归一化到［0，1］;步骤2:准备好初始图像U0(x)=u(x，t=0)和V0(x)=0;步骤3:用式(8)和(9)计算得到a(x);步骤4:把a(x)代入到反应扩散离散系统(10)中，通过式(10)和(11)的离散形式的迭代运算，最后得到边缘检测图.2.4 FitzHugh-Nagumo反应扩散系统对木材纹理边缘检测结果及分析按照2.3分析的算法步骤，对有死节的木材亮度图像(图3(a)，183×190)用Matlab 7.0软件进行纹理边缘检测得到图3.图3(a)为原图像;(b)Sobel算子边缘检测;(c)先前算法的边缘检测，其中 b=1，ε=10-3，N=170，Du=0.01，Dv=0.25，δh=1/6，δt=10-3，a(x)=A(U0;0.25，0.3);(d)该文算法边缘检测，其中b=1，ε =10-3，Du=0.01，Dv=0.25，δh=1/6，δt=10-3，a(x)=A(U0;D(| Δu|)，0.3)，N=170，p=0.05.对比图3(a)(b)(c)三幅纹理图像，图3(b)是对图(a)用经典的Sobel算子得到的边缘检测图，很明显，其纹理边缘的线条连续，但是漏检线条太多;图3(c)是用先前的算法得到的边缘检测图，很明显突出了死节内部纹理，周围的部分纹理走势模糊，死节外部纹理线条呈间断、点状;图3(d)是用在先前算法基础上得到的本文算法得到的边缘检测图，与图3(c)比较，死节内部纹理更完整，外部纹理走势更清晰，线条连续性有提高;而与图3(b)比较，死节内部纹理清晰，得到的边缘覆盖较大，缺点就是线条不连续.总体而言，该文边缘检测算法对木材纹理的边缘检测在一定程度上提高了完整性和清晰性，方便对木材纹理缺陷进行检测;但是在连续性上还有待提高.参考文献［1］ Zaikin A N，Zhabotinsky A M.Concentration wave propagation intwo-dimensional liquid-phase self-oscillating system［J］.Nature，1970(225):535–537.［2］ Kuhnert L.A new optical photochemical memory device in a light sensitive chemical active medium ［J］.Nature，1986(319):393-394.［3］ Kuhnert L，Agladze K I，Krinsky V I.Image processing using light-sensitive chemical 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福建师范大学2015届优秀本科毕业论文(设计)推荐汇总表
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序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 学院 教育学院 教育学院 教育学院 教育学院 教育学院 教育学院 经济学院 经济学院 经济学院 经济学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 文学院 传播学院 传播学院 传播学院 传播学院 学生姓名 余雅清 张秋琼 姚晶晶 娄嘉佩 吴小燕 白雪 何奇学 燕楚 吴丹 陈书涵 陶赟 连燕婷 潘悦婷 柯小玲 王小梅 孙文慧 陈馨 蔡盈盈 洪明超 江舟 许华集 郎若禹 孙昊 杨柳 杨周炜 毕业论文(设计)题目 小学数学课堂错误资源有效利用研究 小学高年级“男生危机”现象及其教育对策研究——以福州仓山区S 小学为例 小学语文教学渗透生命教育现状调查研究——以福州市为例 提取干扰对内隐记忆与外显记忆的影响研究 分配情境对成年男性罪犯公平决策行为的影响 小学信息技术教师教育语言研究 三大电信运营商高管团队薪酬差距对公司绩效影响的实证研究 基于内容分析法的企业新媒体形象塑造研究 非活跃市场环境下我国公允价值应用存在的问题与对策 基于博弈论视角的P2P网络借贷风险监管对策探析 从《三言》妓女形象看冯梦龙情教观的矛盾性 《说文解字》“古”族字研究 无法进入的他者世界—库切《等待野蛮人》后殖民解读 唐临《冥报记》游冥复生类故事的空间叙事结构 项小米小说的叙述艺术——以《英雄无语》为例 李清照词的自叙色彩 “亲密关系”在社会变革中的不/可能 英语世界鲁迅《野草》的译介与研究 先秦儒家修身方法探究 论余华新历史主义小说文本《一个地主的死》的生成 李碧华“霸王别姬”中的不同生态文化面向探微 LAMY Safari 福州区域营销策划案 《关注—山谷里的回响》、《走台湾-飘洋过海的学子》 《大陆新娘在台湾》《宵夜地图》 观井 指导教师 邱枫蓝 张俊峰 邱心玫 孟迎芳 高华 杨宁 林孔团 唐杰 秦晓东 祝健 涂秀虹 李春晓 余岱宗 李小荣 吕若涵 于英丽 周云龙 葛桂录 翁玉强 郭洪雷 李诠林 张培枫 彭曙光 许一婷 毛丹武
Fitzhugh-Nagumo方程的孤立波解
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式 （ ） Ａ是任 意常数 ， 负整数 ｔ由式 （ ） ６中 非 ｔ ４ 中的最 高 阶 偏 导 数 想 与 非 线 性 项 之 间 通 过 其 次 平 衡 法
确定。
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第 １ ０卷 第 ６期 ２ １ ２月 ００年 １７ —１１ （０ ０ ６ １８ －３ ６ １ ８５ ２ １ ） －４ ６０
科
学
技
术
与
工
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科研热词 螺旋波 fitzhugh-nagumo模型 频率敏感性 随机共振 重联概率 神经元模型 湍流 时变系统 小世界网络 失稳 噪声
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2014年 科研热词 推荐指数 非自治方程 1 随机吸引子 1 随机动力系统 1 随机fitzhugh-nagumo方程 1 谱放大因子 1 神经元网络 1 渐近紧 1 时滞 1 拉回吸引子 1 异质性 1 共振 1
科研热词 非周期随机共振 随机共振 语音复lter fitzhugh-nagumo神经元 fitzhugh-nagumo fhn神经元模型 fhn神经元
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 推荐指数 自适应 1 混沌同步 1 收敛区域和速度 1 微分变换法 1 尖峰解 1 动态滑模控制 1 synchronization 1 pad6逼近 1 fitzhugh–nagumo neuron 1 fitzhugh-nagumo神经元 1 fitzhugh-nagumo方程 1 adaptive control 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 推荐指数 相干共振 2 fitzhugh-nagumo神经元 2 随机共振 1 行波解 1 色噪声 1 耦合 1 简谐噪声 1 神经模型 1 神经元 1 峰峰间隔 1 峰值信噪比 1 定性分析 1 图像复原 1 同步 1 变差系数 1 分数阶 1 ls解法 1 huxley方程 1 hopf分岔 1 fitzhugh-nagumo模型 1
Nagumo方程行波系统的定性分析及其有界行波解
Nagumo方程行波系统的定性分析及其有界行波解
李向正;张卫国;原三领
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2011(24)2
【摘要】本文对Nagumo方程的行波系统进行了定性分析,该系统存在一端连接鞍点的有界异宿轨,进而选择奇点为鞍点的平面线性自治系统,利用该平面自治系统轨线向径的斜率,根据齐次平衡原则,构造出了Nagumo方程行波系统的行波解.其次Nagumo方程的行波系统还存在着对应中心周围闭轨的周期解,因而提出新的CPP解法,求出了对应的周期解.
【总页数】6页(P290-295)
【关键词】Nagumo方程;行波解;定性分析;LS解法;CPP解法
【作者】李向正;张卫国;原三领
【作者单位】上海理工大学理学院;河南科技大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.Fitzhugh-Nagumo方程行波解及孤立波解 [J], 陈自高;张金辉
2.变系数辅助方程法与Fitzhugh-Nagumo方程行波解 [J], 陈自高;梁芳
3.(G′/G)展开法的简化及Nagumo方程的有界行波解 [J], 李向正;张卫国;原三领
4.Cutoff对FitzHugh-Nagumo方程行波解最小波速的影响 [J], 吴琼;潘超红
5.预李群分类法的应用和Fitzhugh-Nagumo方程的行波解 [J], 林府标;张千宏;张俊;龙文
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新型FitzHugh-Nagumo_神经元电路动力学分析
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ïｄｕ ＝ －ｎ( ｆ ＋ｇｚ) ｘ.
ï ｄｔ
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(３)
为方便后续分析ꎬ电路参数及其典型数值设定如表 １ 所示ꎬ初值设置为(０ꎬ０ꎬ０ꎬ０) . 此时ꎬ数值仿真得
到的 ｘ －ｚ、ｙ －ｕ 平面混沌吸引子相图如图 ２( ａ) 、图 ２( ｂ) 所示ꎬ对应的李氏指数为 Ｌ １ ＝ ０.１１０ １ꎬＬ ２ ＝ － ０.００２
引子的存在.
１ 新型 ＦＨＮ 神经元电路
基于文献[ ２１] 所提的忆阻 ＦＨＮ 电路ꎬ将电容以
二次型荷控忆容器进行替代ꎬ构建了如图 １ 所示的含
有两类记忆元件的新型 ＦＨＮ 神经元电路. 其中ꎬｉ ｅｘｔ ＝
Ａｃｏｓ( ωｔ) 表示神经元电路的外部电源激励ꎬＡꎬω 分别
为其幅值与角频率. Ｌ 表示电感ꎬＷ、ＭＣ 表示双曲正
ｍｅｍｃａｐａｃｉｔｏｒ. Ｂｙ ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｏｏｌｓ ｌｉｋｅ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍꎬ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｓｐｅｃｔｒｕｍꎬ ａｎｄ
ｔｗｏ￣ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｍａｐｐｉｎｇꎬ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｍｒｉｓｔｖｅ ＦｉｔｚＨｕｇｈ￣Ｎａｇｕｍｏ ｎｅｕｒｏｎ ｃｉｒｃｕｉｔ ｃａｎ ｄｉｓｐｌａｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ
单调性也进一步揭示了电路的多稳态即多种运动状态吸引子共存的现象. 此外ꎬ通过电路软件仿真ꎬ该多稳态行
为的正确性得到了验证.
[ 关键词] ＦｉｔｚＨｕｇｈ￣Ｎａｇｕｍｏ 神经元电路ꎬ记忆元件ꎬ超级多稳态ꎬ峰放电
[ 中图分类号] Ｏ４１５.５ [ 文献标志码] Ａ [ 文章编号]１６７２－１２９２(２０２３)０４－０００１－０９
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电 势 能 ，。 示 第 ｉ 细胞 的 恢 复 变 量 ， 明 了 当 ｄ充 分 大 时 （ ） 离 散 行 波 解 存 在 ； 当 ｄ 表 个 证 １的 但
－ －
ｂ ０时 行 波 解 传 播 停 止 ， 微 分 方 程 （ ） 视 为 Ｆ ｔＨｕ ｈ Ｎａ ｕ 格 １可 ｉ ｚ ｇ — ｇ ｍｏ方 程 用 有 限 差 分 格 式 离
型 的 密切 联 系 ， ［ ］ 究 了 Ｓ ｈ ｏ ｉｇ ｒ方程 和 Ｓｎ — ｒ ｏ 如 １研 ｃ ｒ ｄｎ ｅ ｉｅＧｏ ｄ ｎ方 程 在 周 期 边 值 条 件 下 离 散 后 解 的 渐 近 性 态 ；２ 研 究 了 Ｓｎ — ｒｏ ［］ ｉｅＧｏ ｄ ｎ方 程 在 Ｎｅ ｍａ ｕ ｎ边 值 条 件 下 离 散 后 的 性 态 ．３ 研 ［］ 究 了空 间 离 散 哈 密 顿 结 构 的 反 应 扩 散 方 程 组 的 整 体 吸 引 子 的 存 在 性 ； ４ 研 究 了 方 程 Ｕ一 ［］ ，
０
０
；
０
．
２
Ｍ Ｒ（ ０ ０ 主 题 分 类 号 ： ４ ２ ；２ Ｋ５ ２０ ） ３Ｃ ３ ５ ７ 文献标 识 码 ： Ａ 中图 法分 类号 ： ７ ．６ Ｏ１ ５ ２ 文 章 编 号 ： ０ ５ — ７ ７ ２ ０ ） ３０ ５ — ５ ２ ５７ ９ （０ ２ ０ —３ ４ ０
１ 引 言
散 空 间 变 量 而 得 到 的．
本 文 用 有 限 差 分 格 式 离 散 Ｄｉ ｃ ｌｔ边 值 条 件 下 的 “ ｒ ｈｅ ｉ 一△” Ｅｕｅ 用 ｌｒ差 分 格 式 离 散 时 间 变 量 ， ｈ为 时 间 步 长 ， 为 Ｅ ， ］ 分 的 数 目 ， 一 “ ， ｈ ， （ ＾ 一 （ ， ｈ ， 中 记 ０ １等 “（ ＾） （ ｎ ） ） ｎ ）其
７ ｕ— ｆ（ ） 空 间 变 量 及 时 空 变 量 离 散 后 解 的 性 态 等 等 ． 于 耦 合 神 经 细 胞 传 导 的 Ａ “ 的 对 Ｆ ｔＨｕ ｈ Ｎａ ｕ ｉ ｚ ｇ — ｇ ｍｏ方程 在 初 值 条 件 和 Ｄｉｉ ｌ ｒ ｈｅ 值 条 件 模 型 ： ｃ ｔ边
Ｕ 一 Ａｕ ＋ Ｕ（ ， １一 “） “ 一 口）一 （
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Ｖｏ． ２ ２ ０ １ ２ （ ０ ２）
Ｎ Ｏ．３
数 学 杂 志
Ｊ ｏ ａ ｈ． Ｐ ． ｆＭ ｔ （ ＲＣ）
时 空 离 散 Ｆｉ Ｈｕ ｈ Ｎａ ｕ 程 ｔ ｚ ｇ — ｇ ｍｏ方 解的渐近行为。
黄 建 华 路 钢
对偏 微 分 方 程 空 间 变 量 离 散 后 解 的 性 态 研 究 近 期 已 引 起 人 们 极 大 的 兴 趣 ， 相 应 离 散 对 模 型 的 研 究 有 助 于数 值 计 算 和 数 值 分 析 ， 可 得 到 无 穷 维 动 力 系 统 和 相 应 的 有 限 维 离 散 模 并
“ ，。 意 义 同 （ ） 述 ． ： 的 １所 记
２ ． ０ ； ０
一 ２ 一 ； ¨ ¨ １ Ｕ 一 （ （ ２ １ ，＾）， ， … ｍ一１ ，＾） 丁， （２ ） Ｖ 一 （ （ １ … ， 一１ ，＾） 丁， １ ｎ ｈ）， ｍ （２ ）
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０≤ ｚ≤ １， ｔ＞ ０
口 ＞ ０， ＞ ０， ＜ 口 ＜ ０． ０ ５
Ｕ（ ， ０ ｚ）一 Ｕ （ ｏ ｚ）， ０， （ ｚ） 一 ｏ ｚ） （ Ｕ（ ， ）一 Ｕ（ ， ） 一 ０ （ ， ）一 （ ， ）一 ０ ｆ０ ｆ１ ， ｆ０ ｆ１
（ 中师 范 大 学数 学 系， 汉 ４ ０ ７ ） 华 武 ３ ０ ９
摘 要 ： 文 用 有 限 差 分 格 式 对 ＦｔＨｕ ｈＮａ ｕ 本 ｉ ｚ ｇ — ｇ ｍｏ方 程 的 时 间 变 量 和 空 间 变 量 同 时 离 散 ， 给
出了离散模 型 整体 吸引 子存 在 的条件 ． 关 键 词 ：离 散 Ｇｒｎ ａｌ 等 式 ；整 体 吸 引 子 ｏ ｗ ｌ不
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Ｎｏ ３ ．
黄 建 华 等 时 空 离 散 ＦｔＨｕ ｈＮａ ｕ ｉ ｚ ｇ — ｇ ｍｏ方 程 解 的 渐 近 行 为
３５ ５
其 中 ｄ是 耦 合 系 数 ， 表 示 细 胞 链 上 的第 ｉ 细 胞 ， （ａ Ｏ ５ 卢 ０ “ 表 示 第 ｉ 细胞 的 ｉ 个 Ｏ （ ． ，． ＞ ， 个
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接 收 日期 ：２ ０ 一 １ Ｏ ． ０ ０ ｌ一 ６
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基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （９ ７ ０ ２ ． （ （ “１ ０）， ， 一１ ０） ， 。一 （ （ … “ （ ） Ｖ １ ０）， ， … 一 １ ０） ， （ ）
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