解析函数的孤立奇点与留数

)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[f
(z), z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
（5）若z0为 f (z)的本性奇点，用展开式计算C1.
例2 求下列函数的有限奇点并计算留数： 3z 2
(1) f (z) z2 (z 2)
(2)
f
(z)
1
e2z z4
(3) cos 1 1 z
(4) z sin z
注：留数为0的点不一定是可去奇点。
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析
L为R z 内任一条逆时针方向的简单闭曲线，
则f (z)在处的留数定义为
Ñ Re s[ f (z),]
1
2 i L
f (z)dz
C1
其中C1为f (z)在R z 内的Laurent展式
dz iei d izd ,
cos 1 (ei ei ) 1 (z z1) z2 1 ,
2
2
2z
sin 1 (ei ei ) 1 (z z1) z2 1 ,
2i
2i
2iz
Ñ 2
R(cos ,sin )d
z2 1 z2 1 dz R( , )
0
z 1 2z 2iz iz
(k 0,1, 2, 3, 4), 奇点z 3在L外.
由留数定理1，2，得
4
I 2 i Re s[ f (z), zk ] k0
2 i( Re s[ f (z), 3] Re s[ f (z), ])
其中 Res[ f (z), 3] lim(z 3) f (z) 1 ,
z3
242
3
n
lim f (z)不存在且不为 z
例如
sin z z3
1 z2
1 3!
1 z2 5!
0 z
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
11 1 sin z z 3!z3 0 z
z 0为f (z)的本性奇点, z 为f (z)的可去奇点
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况
条逆时针方向简单闭曲线，那么
n
Ñ f (z)dz 2 i Re s[ f (z), zk ]
L
k 1
利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，
转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数的和。
定理2 如果函数f (z) 在扩充的复平面内除有限个
孤立奇点外解析，那么 f (z) 在所有各奇点（包括
点）的留数的总和必等于零,即
n
Re s[ f (z), ] Re s[ f (z), zk ] 0 k 1
例3 计算下列积分：
Ñ (1) L
ez z(z 1)2 dz, L :
z
2, 逆时针。
(2)I
1 L (z 3)(z5 1) dz
L:
z
5 ,逆时针。 2
解在L内f (z)奇点为z5 1 0的五个根zk
（3）z0为 f (z) 的本性奇点：
若 Cn (z z0 )n 中负幂项有无穷多项. n
(1)若z0是f (z)的可去奇点，则
Cn ( z
n0
z0 )n
f (z) C0
0
z z0
z z0
重新定义 f (z0 ) C0,则f (z)在z0解析，且
f (z) Cn(z z0 )n , z z0 n0
称z 为f (z)的可去奇点, m级极点,本性奇点
z 为可去奇点
f (z) Cn z（n R z )不含正幂项
n
lim f (z)存在
z
z 为极点
f (z) Cn z（n R z )只含有限个正幂项
n
lim f (z)
z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（n R z )含无穷多个正幂项
Cn z n中z 1的系数
n
注：
(1)为可去奇点，留数未必为0.
11 (2) Res[f (z), ] Res[f ( z ) z2 , 0]
三.留数定理 由复合闭路定理,得 定理1 设函数 f (z) 在区域D内除有限个孤立奇点
z1, z2 , , zn 外处处解析，L是D内包围诸奇点的一
=Re( R( x)eiaxdx);
R( x)sin axdx=Im(
R( x)eiaxdx).
例6 计算
x sin axdx 0 （x2 b2 )2
(a
0,
b
0)
.
解
ze iaz f (z) （z2 b2 )2
ze iaz (z bi)2 (z bi)2
I
x sin axdx 0 （x2 b2 )2
例5 计算 I
（x2
x2dx a2 )（x2
b2
(a )
0, b
0,
a
b)
(3) R( x)eiaxdx(a 0) 型, 其中
R( x)
Pm ( x) Qn( x)
a0 a1 x L b0 b1 x L

am xm bn xn
(am
0, bn
0)满足：
(1)n m 1, (2)在实轴上Q(z) 0,即R(z)在实轴上无奇点,
例4
计算
2
dx
0 1 2a cos x a2 .
解
0 a 1
2
dx
0 1 2a cos x a2
1
dz
z
1
1
2a
z2
1
a2
iz
2z
dz z 1 i（z a)(1 az)
2i(Res[ f (z), a])
(2) R( x)dx 型,
如：计算 + dx - (1 x2 )2
内 ，f (z) 的Laurent 展式为: f (z) Cn(z z0 )n n
(1)z0为f (z)的可去奇点：若 Cn (z z0 )n中无负幂项， n
即： Cn (z z0 )n n0
（2）z0是f (z)的（m级）极点：
若 Cn (z z0)n 中负幂项只有 有限项(m项) n f (z) Cn(z z0 )n nm Cm (z z0 )m L C1(z z0 )1 C0 C1(z z0 ) L (Cm 0), 0 z z0 ,
其中R( x)
Pm ( x) Qn ( x)
a0 a1 x L b0 b1 x L
am xm bn xn
(am
0, bn
0),
满足： (1)n m 2,
(2)在实轴上Qn(z) 0,即R(z)在实轴上无奇点，
则：
R( x)dx 2 i
Re s[R(z), zk ]
其中zk为R( z )在上半平面内的所有有限远奇点。
性质2
z0为f
(z)的m级极点
z0为
1 的m级零点. f (z)
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1)
f
(z)
1 sin z2
(4) f (z) z cos 1 z
(2)
f
(z)
(z 1)2 sin z z 2 (z 2 1)2
(3) f (z) 1 z 2 (ez 1)
以上讨论了当 z 0为有限奇点时，孤立奇点的分类。
则： R( x)eiaxdx 2 i
Re s[R(z)eiaz , zk ]
其中zk 为R( z )在上半平面内的所有有限远奇点。
注：也可用来计算
R( x)cos axdx与
R( x)sin axdx.
R( x)cos axdx
=Re( R( x)cos axdx i R( x)sin axdx)
因为这样得不到想要的展式。
Ñ (3)
L
(
z
i
)10
(
1 z
1)(
z
3)
dz
,
L为圆周
z
2, 逆时针方向。
四.利用留数计算某些实积分
(1) 2 R(cos ,sin )d 型, 其中R(cos ,sin )为 0 sin ，cos的有理函数，在[0,2 ]上连续.
令 z ei , : 0 2 , 则
z z0
定义2 若f (z0 ) 0,则称z0为f (z)的零点。
若解析函数f (z)能表示成f (z) (z z0 )m (z), 其中 (z)在z0解析且 (z0 ) 0，m为一正整数,
则称z0为f (z)的m级零点。
性质1 若f (z)在z0解析,则z0为f (z)的m级零点 f (n)(z0 ) 0 (n 0,1,L ,m 1), f (m)(z0 ) 0.
第4节 解析函数的孤立奇点与留数
一.孤立奇点及其分类 定义1：若f (z)在z0不解析，但在z0的去心邻域
0 | z z0 | 内解析，则称z0是f (z)的孤立奇点。
孤立奇点可按以下两种方式分类：
根据Laurent级数的形式分类：
设z0为f (z)的孤立奇点，在z0的去心邻域0 | z z0 |
或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式 必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。
二.留数
设z0为 f (z)的孤立奇点,在 z0的去心邻域0 z z0
内,f (z)的Laurent展式为 : f (z) Cn(z z0 )n n L为0 z z0 内包含z0的任一条逆时针方向的
1 2
x sin axdx （x2 b2 )2
1 2
Im(
xeiax （x2 b2 )2
dx)
Im(i
Re
s[
f
(z),bi])