金融计算与建模：收益波动率计算
不同股票风险度量方法的比较研究——以安徽海螺水泥股票为例
黄山学院学报Vo1.23,NO.1Feb.2021第23卷第1期2021年2月Journal of Huangshan University一、引言中国银行研究院在《2020年度经济金融展望报告》中提到2019年中国经济发展面临复杂的内外部环境，经济下行压力增大。
中国经济金融面临了诸多风险，过去十年来的全球银行业总体上都处于一个金融高约束、高风险、高成本的发展环境之中。
[1]因此在金融行业中，如何做好风险管理是一项重要的战略性活动，即通过对风险进行识别、评估，并实施有效的控制来减少损失以获得最大安全保障。
弗兰克·奈特在《风险，不确定性和利润》一书中将“风险”定义为可度量的不确定性，通常用数学上的概率来表示，即发生概率不等于0也不等于1，而是存在于0和1之间。
[2]霍利则认为风险是企业家的基本属性，企业家是所有实际财富的所有者，而所有权包含着风险。
[2]30市场风险是金融风险的一种，是指因市场价格（利率、汇率、股票价格和商品价格）的不利变动而造成损失的风险。
而风险评估作为风险管理的一个关键步骤，需要使用合适的数学模型对风险进行量化，计算出适当的准备金，从而使金融机构在面临经济周期或者日常经济活动中的困难时能够安全度过。
[3]度量技术方法也一直在演进，由早期的名义值法、敏感性分析法、波动性分析法，发展到现在比较流行的VaR 方法以及压力测试方法。
为探究各种不同风险度量方法在股票市场的运用，选取了近几年来收益率一直稳步增长的一只股票，对它进行风险评估。
从评估结果的差异对不同的度量方法进行简单比较，从而给投资者或者金融机构在进行投资或风险管理等经济活动时提供参考。
二、文献综述Wei Jiang 等[4]等运用GARCH 模型对标准普尔500指数期货收益波动率进行建模，得到了未来波动性与目前的风险损失有很强相关关系的结论。
Gupta 等[5]运用了几种波动率模型计算了不同时间范围内铜、大豆等七种大宗商品的风险价值，总结出这些商品的VaR 异常值与价格的季节性有关，在农产品上更显著。
随机建模及应用
随机建模及应用随机建模是一种将随机性考虑在内的数学建模方法。
在实际问题中，很多因素都存在随机性，这些随机因素会对问题的求解结果产生影响。
因此，随机建模不仅可以更准确地描述问题的现实情况，还能够提供对随机因素产生的不确定性进行分析和预测的能力。
随机建模的应用广泛，可以在各个领域中找到它的身影。
下面以金融风险分析为例，介绍随机建模的具体应用过程。
在金融领域中，随机建模可以用来分析和预测风险，帮助投资者做出更明智的决策。
金融市场的波动性是一个典型的随机现象，可以使用随机建模的方法来描述其特征和规律。
首先，我们需要根据历史数据来确定金融市场的随机性参数。
一般来说，我们可以使用统计学中的参数估计方法来计算均值、方差等参数。
通过对历史数据进行统计分析，我们可以得到金融市场的平均收益率、波动率等参数。
然后，我们可以建立随机过程模型来描述金融市场的价格变动。
常用的随机过程模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型等。
这些模型可以反映价格的随机性和不确定性，从而提供对市场波动的预测能力。
接下来，我们可以使用模型进行数值模拟和预测。
通过对随机过程的数值模拟，我们可以得到不同时间点上价格的分布情况。
同时，我们还可以根据模型的输出结果，计算金融产品的风险价值、价值-at-风险和条件价值-at-风险等指标，从而进行风险管理和决策。
最后，我们可以使用随机建模的结果来进行风险分析和风险控制。
通过对模型的结果进行统计分析，我们可以得到金融产品的价值变动情况和风险分布情况。
基于这些分析，我们可以制定合理的风险控制策略，降低投资风险。
总结起来，随机建模是一种有效的数学建模方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题中的随机因素。
在金融风险分析中，随机建模可以提供对金融市场波动性进行建模和预测的能力，帮助投资者做出更明智的投资决策。
在实际应用中，我们还可以将随机建模与其他数学方法相结合，进一步提高模型的准确性和预测能力。
收益波动率计算
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市场走势分析
总结词
市场走势分析是收益波动率计算的一个重要应用，通过分析历史波动率，可以预测市场 的未来走势。
详细描述
在市场走势分析中，历史波动率是一个重要的参考指标。通过对历史波动率的分析，可 以了解市场的走势和未来可能的走势。同时，结合其他技术指标和市场信息，可以对市
场走势进行更加准确的预测。
06
收益波• 历史波动率计算 • 隐含波动率计算 • 预测波动率计算 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
收益波动率概述
定义与意义
定义
收益波动率是衡量资产收益率变 动幅度的指标，表示资产收益率 的不确定性或风险。
意义
收益波动率对于投资者来说具有 重要的参考价值，能够帮助他们 评估投资风险、制定投资策略和 进行资产配置。
01
利用历史数据计算收益率的标准差或方差，以此作为历史波动
率的度量。
计算隐含波动率
02
通过期权定价公式反解出隐含波动率，基于市场价格和无套利
原则。
计算预期波动率
03
基于预测模型对未来波动率进行预测，结合市场信息和历史数
据。
预测波动率的优缺点
优点
能够为投资者提供未来市场走势的参考，有助于制定投资策略和风险管理。
将得到的理论价格与市场价格进行比较，调整波动率参数，使得理论 价格与市场价格一致。
迭代计算
重复上述步骤，直到波动率参数收敛。
隐含波动率的优缺点
优点
能够反映市场参与者对未来波动率的预期，有助于评估期权的合理价格。
缺点
依赖于期权定价模型的准确性，对于非线性衍生品定价可能存在局限性；同时，隐含波动率受到市场供需关系的 影响，可能存在套利机会。
金融市场的资产定价模型
金融市场的资产定价模型一、引言金融市场中的资产定价模型是理解和分析资产价值的重要工具。
它们通过对资产价格的决定因素进行建模和分析，帮助投资者和分析师进行投资决策。
本文将介绍几种常见的金融市场资产定价模型，包括CAPM模型、APT模型和Black-Scholes期权定价模型。
二、CAPM模型CAPM（Capital Asset Pricing Model）模型是一种广泛使用的资产定价模型。
该模型基于市场组合的收益率与风险溢价之间的关系，通过计算个别资产的预期收益率，确定资产的合理价格。
CAPM模型的核心公式为：E(Ri) = Rf + βi (Rm - Rf)其中，E(Ri)为资产i的预期收益率，Rf为无风险收益率，βi为资产i与市场组合的相关系数，Rm为市场组合的预期收益率。
根据CAPM模型，投资者可以通过比较资产的预期收益率与风险来判断其价值。
三、APT模型APT（Arbitrage Pricing Theory）模型是另一种常用的资产定价模型。
与CAPM模型不同，APT模型认为资产价格受到多个因素的共同影响。
APT模型的核心思想是通过建立一个多元线性回归模型，将资产收益率与一系列因子（如市场风险、利率水平和宏观经济指标等）相关联。
通过寻找最佳回归系数，可以确定资产的预期收益率和价格。
四、Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是用于衡量和定价期权合约的工具。
该模型基于一系列假设，包括市场无摩擦、无风险利率恒定、资产价格服从几何布朗运动等。
根据Black-Scholes模型，期权的价格由五个主要因素决定：标的资产价格、行权价格、时间剩余期限、无风险利率和波动率。
通过计算这些因素之间的关系，可以得出期权的合理价格。
五、总结金融市场的资产定价模型是投资决策不可或缺的工具。
CAPM模型通过对市场组合的收益率和风险溢价进行建模，确定资产的预期收益率。
APT模型则将资产收益率与多个因素相关联，以寻求最佳回归系数来确定资产价格。
金融数学模型
04
金融数学模型的典型案 例
股票价格预测模型
总结词
股票价格预测模型是用于预测股票价格走势的数学模型。
详细描述
该模型基于历史数据和相关因素，通过统计分析、时间序列 分析等方法，预测股票价格的未来走势。常见的股票价格预 测模型包括线性回归模型、神经网络模型和支持向量机模型 等。
债券定价模型
总结词
债券定价模型是用于确定债券公平价值的数学模型。
模型泛化能力问题
过拟合与欠拟合
在训练模型时，过拟合和欠拟合是常见 的问题。过拟合是指模型过于复杂，导 致在训练数据上表现良好但在测试数据 上表现较差；欠拟合则是指模型过于简 单，无法捕捉到数据的复杂模式，导致 预测精度较低。
VS
泛化能力
金融数学模型的泛化能力是指模型在未知 数据上的表现，如何提高模型的泛化能力 是当前研究的重点之一。通过调整模型参 数、选择合适的模型结构等方法，可以提 高模型的泛化能力。
03
金融数学模型的建立与 实现
数据收集与处理
1 2
数据来源
从金融机构、市场交易平台等获取金融数据，确 保数据的真实性和准确性。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值处理、 数据格式统一等。
3
数据转换
将原始数据转换为适合建模的格式，如时间序列 数据、特征工程等。
模型选择与参数估计
模型评估
数据来源
金融数学模型依赖于大量的数据输入，但数据的来源可能 存在不准确、不完整或过时的问题，影响模型的预测精度。
数据清洗
数据中可能存在异常值、缺失值或重复值，需要进行数据 清洗和预处理，以确保数据的质量和准确性。
数据处理方法
对于不同类型的数据，需要采用不同的数据处理方法，如 时间序列分析、回归分析、聚类分析等，以提高模型的预 测能力。
金融市场的股票定价模型
金融市场的股票定价模型股票定价是金融市场中的重要问题之一，它涉及到投资者对股票的价值评估和决策。
为了能够合理地估计股票的真实价值，并做出相应的投资决策，金融学家们提出了各种股票定价模型，其中包括常见的CAPM模型和DCF模型。
一、CAPM模型CAPM（Capital Asset Pricing Model，资本性资产定价模型）是股票定价中最为常见的模型之一，它基于投资者在风险与收益之间的权衡选择，并利用市场上的风险无差异原则来估计股票的合理价格。
根据CAPM模型，股票的期望收益率等于无风险利率加上股票的市场风险溢价，即：E(Ri) = Rf + βi * (E(Rm) - Rf)其中，E(Ri)表示股票的期望收益率，Rf表示无风险利率，βi代表股票的贝塔系数，表示股票与整个市场的相关性，E(Rm)表示市场的期望收益率。
通过CAPM模型，投资者可以基于市场风险溢价来评估股票的合理价格，并根据市场的风险水平做出相应的投资决策。
二、DCF模型DCF（Discounted Cash Flow，贴现现金流）模型是另一种常见的股票定价模型，它侧重于评估股票的现金流量，并利用贴现率来计算股票的合理价格。
根据DCF模型，股票的合理价格等于其未来现金流量的折现值之和，即：P = Σ (CFt / (1 + r)t)其中，P表示股票的合理价格，CFt表示第t期的现金流量，r表示贴现率，t表示时间。
通过DCF模型，投资者可以通过对未来现金流量进行估计，结合适当的贴现率，来评估股票的真实价值，并据此做出投资决策。
三、其他股票定价模型除了CAPM模型和DCF模型外，还有许多其他的股票定价模型，如Fama-French三因子模型、Black-Scholes期权定价模型等。
Fama-French三因子模型通过考量股票的市场风险溢价、规模因子和账面市值比因子，对股票的定价进行了更细致的分析。
Black-Scholes期权定价模型则是针对股票期权的定价进行了建模，通过考虑期权的行权价格、到期时间、无风险利率、股票价格和波动率等因素，计算期权的合理价格。
《金融数据分析》第4章 GARCH模型
的acf检验及可视化
> Box.test(r,lag=5,type='Ljung') #对收益率进行Box-Ljung白噪声检验
> Box.test(r,lag=10,type='Ljung')
> Box.test(abs(r),lag=5,type='Ljung')
> Box.test(abs(r),lag=10,type='Ljung')
➢ 从式（4.4）可几个大的“扰动”后会接着另一个大的“扰动”。同样，几个小的“扰动”后会接着另
一个小的“扰动”。
4.2.2 ARCH模型的性质
ARCH(1)模型的表达式为：
（4.5）
其中0 >0, 1 ≥0。
1. 的无条件方差
的无条件均值为0是显然的。 的无条件方差为：
2
➢ 因为 平稳并且( ) = 0，所以Var( ) = Var(−1 ) = (−1
计和运行规律，有助于全面把握我国外汇市场总体运行状况，增强我国金融服务实
体经济的信心。同时，人民币汇率的稳定波动对于维护国家经济安全、促进国际贸
易平衡发展具有重要意义，进一步提升了我国在国际金融市场中的地位和影响力。
4.1波动率模型的特征及结构
4.2 ARCH模型
4.3 GARCH模型
目录
4.4 IGARCH模型
检验ARCH效应的方法主要有拉格朗日乘数检验和残差分析法两种。
1.拉格朗日乘数检验（LM检验）
拉格朗日乘数检验的原假设为0 :1 = ⋯ = = 0，备择假设为1 : ≠ 0 ，当拒绝原假设
时就表示存在ARCH效应。该检验等价于下面的线性回归中检验 = 0( = 1， … ，)的F统
基于VaR模型的股票组合投资风险管理研究
３ Ｇ Ｒ Ｈ模型及其对股票收益波动率的预测方法 ＡＣ
对 金 融 时 间 序列 收 益 波 动率 的研 究 一 直是 金 融 研 究 的重 点 问
关于 Ｖ Ｒ模型在金融风险计量和管理 中的应 用 我国学者也 题 之一 ８ 年 Ｅ ｇｅ 出了 Ａ Ｃ ａ １ ２ ９ ｎ ｌ提 Ｒ Ｈ模型 ， 即自回归条件异方差模 作了一些研究 。例如 ，戴国强 ．徐龙炳 陆蓉 （０ ０ 探讨了 Ｖ Ｒ 型 １８ 年Ｂ ｌｒ￣ 在此基础上提 出了Ｇ Ｒ Ｈ ２０ ） ａ ９６ ｏｌ ｓ ｖ ｅ ｅ Ａ Ｃ 模型 即广义 自回 用以对金融时 间序列 收益波动率进行 建模 。 模型对我 国金融风险管理 的借鉴意义及其应 用方法。宁云才、王 归条件 异方差模型 ， 对股票收益波动率 的建模经常采用 Ｇ Ｒ Ｈ（ ． ） Ａ Ｃ １ １ 模型 例如 宋逢 红卫 （０ ２ 探讨了 Ｍａ ｏ ｔ投资组合有效边 界的程序化解法。 ２０ ） ｒ ｗｉ ｋ ｚ
二、模型与方法
１Ｖ Ｒ的定 义 ａ
根据Ｊｒ ｎ ｏｉ 的定义Ｖ Ｒ ｏ ａ指给定置信区间下金融 资产或资产组合 在持有期内的最坏预期损失。若 用Ｖ表示资产组合在持有期末 的
，
其中 ｒ 股 票 在 第 ｔ 的收 益率 ｕ 示 股 票 收益 率 的均 值 ． 表示 期 表
表示第ｔ 期股票收益率偏离均值 的残差
＝
（ 一 ）
或
（） １
ｄ ＝ｃ ｖ （） ２
其 中， Ｖ 满足 （ ） ２ 式所示的条件 。
Ｐ ＶＶ （ Ｉ＞
（） ６ 可计算得到 ８ ， ￡和 Ｏ代入 公式 （ ）可对 Ｏ 进行预测 依 将 － ７． － 次类推 。预测使用的第一期的收益 波动率通常由历史波动率法计
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指数加权
ˆ (1 ) t 1 (rt r ) 2
t 1 M
注：近似公式
j 1
T
j 1
1 1 。 1
j 1
T
简单移动平均（Simple Moving Average, SMA）模
型是动态模型中最为简单的一种。它是以过去M天收益 的样本方差来估计当前的波动率，即：
图4.2为深发展日收益时序图。
rstk000001 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07 -0.08 -0.09 -0.10 -0.11 2005-01-01 2005-03-01 2005-05-01 2005-07-01 日期|Date 2005-09-01 2005-11-01 2006-01-01
图4.2 深发展日收益时序图
三种模型求得的波动率时序图，图4.3——图4.6。
t 2 [1 /( M 1)] (rt i
i 1
M
r
j 1
M
t j
M
)2
这样每天通过增加前一天的信息和去掉第前M＋1天 的信息来更新预测。
图4.1 波动率的时间曲线
指数加权移动平均模型依赖参数 ,称 为衰减因子
(decay factor)，该参数决定估计波动率时各观察数据的相对 权重。 形式上，对t时间波动率的预测为：
t2 t21 (1 )[rt 1 E(rt 1 )]2
其中，衰减因子λ必须小于1。 E (rt 1 ) 与 E (rt ) 几乎相等。事实上，一般假 当时间足够长时， 设 E (rt ) 约等于0，于是得到t时刻波动率的如下预测：
t2 t21 (1 )rt2 1
data sma; merge sma b; by Date; if sma&x=. then delete; %mend a; %a(Stk000001); run;
输出结果数据集SMA，包括变量有： DATE：日期； SMAStk000001：股票深发展收益日波动率。
指数加权(EWMA) 以及GARCH(1,1)计算的波动率留作练习 （分别创建数据集ewma和garch)
三种模型结果比较
画出2005年，股票Stk000001（深发展）的对数收益 图，图4.2。
%macro a(x); proc gplot data=log_ret; plot r&x*Date=1 ; symbol1 v=none i=join r=1 c=black line=1; %mend a; %a(Stk000001); run;
options nodate nonotes nosource; data idxdate(keep=date); set ResDat.idx000001; where year(date)=2005; /*其他时间区间可修改此处*/ %macro a(x); data a(keep=date r_1); set ResDat.&x; where year(date)=2005; r_1=log(mcfacpr*clpr)-log(lag(mcfacpr*clpr)); /*Mcfacpr为累积 股价调整乘子 */
波动率计算
计算环境
计算数据集：ResDat目录下的全部股票数据集，共30 只。 需要宏文本文件：Stk.TXT。 时间区间： 2005年。 计算日波动率；计算周、月或年波动率，可以用相应的 收益率计算或直接由日波动率乘以一个相关因子。 对涨跌停板不作处理。
单个股票波动率计算
分别选择股票深发展（Stk000001）进行计算。时间区间为2005年。 日对数收益率计算：
data log_ret(rename=(r_1=r&x)); merge idxdate a; by date; if r_1=. then r_1=0; rr&x=r_1**2; /*日对数收益率的平方*/ %mend a; %a(stk000001); run;
简单加权移动平均(SMA)计算的波动率：
收益波动率计算
波动率估计法
收益波动率计算是金融计算与建模的基础，如风险度 量、资产定价等。 最简单的收益波动率计算模型是静态波动率估计模型。 实际中用的最成功、最常用的方法是移动平均、指数 平滑和GARCH模型。
移动平均模型
表4.1 移动平均法估计波动率
等权重
ˆ 1 M (rt r ) 2 M 1 t 1
GARCH模型假定收益的方差服从一个可预测的过程，它 依赖于最新的收益，也依赖于先前的方差。
GARCH（1，1）是这类模型中最简单的，用公式表示有：
rt ht et ht 0 1rt 2 1 1ht 1 et ~ iidN (0,1)
其中 0 , 1和1 均为待估的参数，可以用历史数据估计出。
衰减因子λ小于1。
对于日收益率数据，最优衰减因子λ为 0.94；对于月度收益率数据，最优衰减 因子λ为0.97。
GARCH模型
GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型称广义自回归条件异方差 模型，或称为广义ARCH模型，
proc sort data=log_ret; by Date; data sma(keep=Date); set log_ret; %macro a(x); data a; set log_ret; sum+rr&x; data b(keep=Date sma&x); merge a a (firstobs=21 rename=(sum=sum_1)); sma&x=(sum_1-sum)/(20-1); /* 这里计算的是20天移动平均 */ sma&x=sqrt(sma&x); proc sort data=b; by Date;