二次函数与最大利润问题
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
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综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
二次函数--利润最大值问题-顶点不在范围内
22.3（3.2）--利润最大值问题-顶点不在范围内
一．【知识要点】
1.利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值。
2.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】
1.某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
三．【题库】
【A】
1．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【B】【C】【D】。
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
二次函数最大利润问题
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
做一做P35 2
何时橙子总产量最大
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树 平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接 受的阳光就会减少.根据经验估计, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产 量最大? 如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
y x800 10x 30 10 x 2 1100 x 2 10x 55 30250.
数学专页P146
商贩何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销 售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来 增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天 的销售量就会减少10件.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函 2 2 数关系式; 10 x 140 x 40000 10x 70 9000. (2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利 润;500 1055 502 450. 50 10 450 6750. (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得 月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
y x 2.5500 20013.5 x 2 200 x 3700 x 8000 2 200x 9.25 9112.5.
随堂练习P604
日用品何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售 经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每 提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能 在半个月内获得最大利润?
二次函数利润最大问题
1. （2011湖南怀化，16，3）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．【答案】4【思路分析】总利润＝单件产品利润×销售数量，因此y ＝x (8－x )＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，总利润y 有最大值16．【方法规律】①了解总利润的计算方法；②运用配方法求二次三项式的最值是解本题的难点；③解实际问题，要考虑所求的解是否符合实际意义．【易错点分析】配方过程易出现错误．【关键词】二次函数，二次函数与实际问题．【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题1. （2011广东佛山，24，10）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下:①销售成本p (元/千克)与销售月份x 的关系如图所示：②销售收入q （元/千克)与销售月份x 满足q=-32x+15 ③销售量m (千克）与销售月份x 满足m=100x+200.试解决以下问题：(1)根据图形，求与p 与x 之间的函数关系式：(2)求该种商品每月的销售利润y (元)与销售月份X 的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？【答案】解：(1)根据图形可知；p 与x 之间的关系符合一次函数.故可设为p=kx+b ，并有946k b k b =+⎧⎨=+⎩解得110k b =-⎧⎨=⎩故p 与x 的函数关系式为p=-x +10.（2）根据题意，月销售利润y=(q-p)m=[（-32x+15）-（-x+10）](100x+200)，化简得y=-50x²+400x+10000，所以4月份销售利润最大。
【思路分析】（1）观察图象，可以判断p 与x 之间的关系符合一次函数，于是设出其解析式，选取其中两组点坐标，利用待定系数法求解.（2）依题意，有月销售利润y=(q-p)m ，进而可以得到二次函数，并利用二次函数的性质求解.【方法规律】利用对问题的转化和待定系数法，结合函数性质求解.【易错点分析】对于（2）容易错误地认为销售利润y=pm.【关键词】一次函数、二次函数的应用 【难度】★★★★☆ 【题型】好题、综合题.3. （2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.16p (元/千克)x (月份) 49o型 号金 额Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额x （万元）x 5 x 2 4 补贴金额y （万元） y 1=kx(k≠0)2 y 2=ax 2+bx(a≠0) 2.4 3.2 （1）分别求出1y 和2y 的函数解析式；（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.【答案】解：（1）由题意得：①5k =2，k =52 ∴x y 521= ②⎩⎨⎧=+=+2.34164.224b a b a ，解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5851b a ，∴x x y 585122+-= （2）设购Ⅱ型设备投资t 万元，购Ⅰ型设备投资（10-t ）万元，共获补贴Q 万元 ∴t t y 524)10(521-=-=，t t y 585122+-= 529)3(5158515242221+--=+--=+=t t t t y y Q ∴当t =3时，Q 有最大值为529，此时10-t =7(万元) 即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.【思路分析】第（1）小题考查学生求函数解析式的能力，坡度设置合理，学生上手容易，只需根据函数的解析式，直接代入就可求出，对于（2）主要考查了学生自己用函数关系表示题目中的数量关系，并进一步求二次函数的极值的方法．【方法规律】掌握待定系数法求解析式的基本方法，以及求二次函数最值的方法，即当ab x 2-=时，y 有最大（小）值a b ac 442-． 【易错点分析】对于第（2）不能正确列出函数关系式【关键词】待定系数法求函数解析式 二次函数的极值【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题 好题4. （2011湖北随州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()216041100P x =--+（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()299294101001601005Q x x =--+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？【答案】解：⑴当x ＝60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5＝205万元． ⑵前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80万元．后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x ，则外地投资额为100－x ，所以y ＝P ＋Q ＝()216041100x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦＋2992941601005x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦＝260165x x -++＝()2301065x --+，表明x ＝30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3495万元，故五年获利最大值为80＋3495－50×2＝3475万元．⑶有极大的实施价值．【思路分析】（1）由代数式()216041100P x =--+可知当x ＝60时，可获得利润最大值，即可求出5年所获利润的最大值；3495万元．所以有实施价值．（2）前两年得利润加上后三年的利润再除去前两年每年拨出的利润50万元即可．（3）不开发5年所获利润的最大值是205万元；若按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值是3475元，有极大的实施价值．【方法规律】二次函数的实际应用问题的解题关键是理解题意，找到合适函数；取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法，要考虑其它的费用．【易错点分析】配方时易出现计算错误．6. （2011江苏常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售，这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销售量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销售量1y （千克）与x 的关系为2140y x x =-+；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销售量2y （千克）与t 的关系为22y at bt =+，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t 1 2 32y21 44 69 （1）求a 、b 的值．（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润为多少元?（3）此人第几天起乙级干果每天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克?（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计．）【答案】（1）选取表中两组数据，如当t=1时，y 2=21当t=2时，y 2=44；分别代入22y at bt =+，得⎩⎨⎧+=+=ba b a 244421，解得a=1，b=20． （2）设甲级干果与乙级干果n 天销完这批货．则1140204022=+++-n n n n ，即60n=1140，解之得n=19，当n=19时，1399y =，2y =741．毛利润=399×8+741×6-1140×6=798（元）．（3）第n 天甲级干果的销售量为-2n+41，第n 天乙级干果的销售量为2n+19．（2n+19）-（-2n+41）≥6解之得n≥7．【思路分析】（1）选取表中两组数据，求得a=1，b=20．（2）设n 天消完这批货，根据“甲级干果销售量+乙级干果销售量=总量”可求出n ，计算出销售量，从而可求出毛利润．（3）用前n 天的销售量减去前（n-1）天的销售量，即可求出甲、乙两种干果第n 天的的销售量，从而可列出不等式求解．【方法规律】本题第（1）问考查利用待定系数法，求二次函数关系式；（2）、（3）需要根据题目中提供的有关信息建立数学模型，进而解决问题．【易错点分析】第n 天的销售量会直接用总的销售量除以天数，从而导致错误．【关键词】待定系数法、二次函数【推荐指数】★★★☆☆【题型】应用题7. （2011江苏徐州，25,8分）某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.（1）请写出每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）y=（x －60）［300－10（x －80）］=（x －60）（300－10x+800）=（x －60）（1100－10x ）=210170066000x x -+-即y=210170066000x x -+-（2）y=210170066000x x -+-=210(85)6250x --+.因为－10＜0，所以当x =85时，y 有最大值，y 最大值=6250.即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为6250元.【思路分析】（1）上涨x 元后，所销售的件数是［300－10（x －80）］；每件的销售利润为（x －60）所以y=（x －60）［300－10（x －80）］，整理得y=210170066000x x -+-；（2）根据二次函数的配方法可以求得最大利润.【方法规律】本题是综合考查二次函数的最值问题，需要熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题．要注意解题过程的完整性.【易错点分析】每件销售利润=每件销售收入－每件购进成本，这里销售利润只与进价 60元，不要把利润与定价80直接联系起来误把利润写成(x －80)元.【关键词】二次函数的应用.【推荐指数】★★★★★9. （2011山东菏泽，20，9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．(1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2) 写出该专卖店当一次销售x (只)时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？【答案】解：(1)设一次购买x 只，才能以最低价购买，则有：0.1(x －10)=20－16，解这个方程得x =50；答：一次至少买50只，才能以最低价购买．(2) 220137(001[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)x x x x y x x x x x x x x -=⎧⎪⎪=---=-+⎨⎪⎪-⎩＜≤1）＜＜≥． （说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）(3)将21810y x x =-+配方得21(40)16010y x =--+，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．（也可用公式法求得）【思路分析】（1）由题意知最低价是16元，则可优惠4元，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，可设一次购买x 只，才能以最低价购买，则可列方程0.1(x －10)=20－16求解；（2）由题意可知分3种情况，当0＜x ≤10时不优惠，当10＜x ＜50时，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，当x ≥50时，每只都是最低价16元；（3）当只数在10至50只之间时，y 是x 的二次函数，求出最大值即可．【方法规律】本题是考查学生用方程，函数的思想解决实际问题，本题关键要想到由自变量的取值不同分情况讨论．【易错点分析】学生不易想到分类讨论的思想【关键词】一元一次方程，函数，分类讨论【推荐指数】★★★★☆【题型】、新题，好题，难题10．（2011山东泰安，28 ，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元.（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当倍价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]＝800（元）（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元由题意，得：y ＝(x －20)[105－5（30－25）]＝－5x 2＋330x －4600＝－5(x －33)2＋845当x ＝33时，y 的最大值是845故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.【思路分析】（1）可根据题意列出算术，并进行计算；（2）根据题意列出二次函数关系式，用配方法求得最值．【方法规律】考查了有理数的运算，二次函数最值的求法，运用了配方法求二次函数的最大值．【易错点分析】 最值时，凭直觉求得；列错算式.【关键词】二次函数的最值【推荐指数】★☆☆【题型】常规题．11. （2011山东潍坊，22，10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.（1）分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时，y 关于x 的函数关系式；（2）2010年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+，将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得8,726.k m k m +=⎧⎨+=⎩解之，得5,3.m k =⎧⎨=⎩ ∴函数解析式为35y x =+.当712x ≤≤时，设2y ax bx c =++，将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2y ax bx c =++，得： 49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之，得1,22,131.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴函数解析式为222131y x x =-+.（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大，∴当1x =最小值时，3158y =⨯+=最小值.当712x ≤≤时，()22221311110y x x x =-+=-+， ∴当11x =时，10y =最小值.所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克.（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.将8x =，10x =和11x =分别代入222131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∴年平均价格为17719141110114615.3123y ⨯+++++==≈（元/千克）. 当3x =时，1415.3y =<，∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.【思路分析】（1）当1≤x ≤7时，y 与x 间成一次函数关系，当7≤x ≤12时，y 与x 间成二次函数关系，运用待定系数法可求出相应的函数关系式.（2）分别结合一次函数与二次函数的性质，可确定在（1）中所求得的两个函数解析式中y 的最小值，由此可以进行分析判断.（3）要求年平均价格，需要知道该年月平均价格的和，由于1月份至7月份月平均价格呈一次函数，所以可取4x =时的月平均价格作为前7个月的平均值，在后5个月中，9月和12月的月平均价格一直，而其余3个月（8月，10月，11 月）的月平均价格可利用（1）中所求得的函数解析式求得.求出年平均价格后，把每月的平均价格与之相比即可作出判断.【规律总结】对于分段函数，在确定函数解析式时，要根据自变量的取值范围确定相对应的函数值，运用待定系数法确定函数解析式，利用函数解析式确定函数的最值时，要充分利用相应函数的性质.【易错点分析】计算量较大，在具体计算时易出现数据错误.【关键词】待定系数法，一次函数，二次函数，最值问题，平均数【推荐指数】★★★★☆【题型】新题，易错题13. （2011重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1(元)与月份x (1≤x ≤9，且x 取整数)之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 45 6 7 8 9 价格y 1(元/件) 560 580 600620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2(元)与月份x (10≤x ≤12，且x 取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025) 【解】(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)＝(0.1x＋1.1)(1000−50−30−20x−540)＝(0.1x＋1.1)(380−20x)＝－2x2＋160x＋418＝－2( x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝( x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．(3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），今年原材料的价格为：750+60=810（元），今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，设t= a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=99940120，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴9401=97．∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．∵1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∴a 2≈980舍去，∴a ≈10．答：a 的整数值为10．【思路分析】(1)用待定系数法求一次函数关系式；(2)分时间段求出销售该配件的利润w 关于的函数，再求出各自的最大值，最后通过比较求出去年12个月中利润的最大值；(3) 根据1至5月的总利润1700万元列一元二次方程，通过一元二次方程的解找出符合条件的答案．【方法规律】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、列代数式求二次函数的解析式，列一元二次方程求符合条件的解、二次函数的最值、合理估算等代数知识，采用了先局部后整体的思维策略解决问题，用到了待定系数法、方程思想、函数思想等数学思想方法，是一道综合性较强的题目．【易错点分析】不会分析分时间段列出二次函数的解析式，不会求分段函数的最值，不会根据题意列一元二次方程．【关键词】一次函数，二次函数及最值，一元二次方程 【难度】★★★★★ 【题型】常规题，易错题，难题，新题，综合题15. （2011湖北黄冈，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()216041100P x =--+（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()299294101001601005Q x x =--+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？【答案】解：⑴当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元． ⑵前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ，所以y=P ＋Q =()216041100x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦+2992941601005x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=260165x x -++=()2301065x --+，表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．⑶有极大的实施价值．【思路分析】（1）根据题意把x ＝ 60代入解析式就可以计算求出最大值；（2）根据二次函数的性质，利用其性质求解；（3）通过比较利润即可明晰何种方案的实施价值较大。
18二次函数与最大利润问题教案
二次函数与最大利润问题一、教学目标(一)知识与技能：1.会列出实际问题中变量之间的二次函数关系，并感受数学的应用价值；2.运用配方法或公式法求出实际问题的最大值、最小值，发展解决问题的能力.(二)过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.(三)情感态度与价值观：1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.二、教学重点、难点重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题.三、教学过程教材导学1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____.2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=-x2+100x.(1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____；(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人.利润问题一.几个量之间的关系.1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？探究2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？没调整价格之前的利润是_____元.解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每星期少卖_____件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付___________元.因此，所得利润y=___________________________，即y=_______________，其中，0≤x≤30.方法2：设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期少卖____件，实际卖出________件，因此，所得利润y=_____________即y=___________，其中，0≤x≤30.解：(1)设每件商品涨价x元，每星期售出的利润为y元.y=-10x2+100x+6000，其中，0≤x≤30.根据上面的函数，填空：当x=____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.解：(2)设每件商品降价x元，每星期售出的利润为y元.则每件利润是___________元，每星期多卖_____件，实际卖出_________件，因此，所得利润y =_____________________，即y =_______________，其中，_________.解：(2)设每件商品降价x 元，每星期售出的利润为y 元.y =-20x 2+100x +6000，其中，0≤x ≤20.根据上面的函数，填空：当x =____时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_____元时，利润最大，最大利润是______元.(1)涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元；(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？当定价为65元时，能使利润最大，最大利润是6250元.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？解：设果园增种x 棵橙子树，总产量为y 个.则果园共有_______棵橙子树，这时平均每棵树结_________个橙子.y =(100+x )(600-5x ) 即 y =-5x 2+100x +60000 (0≤x ≤120)∵ a =-5＜0∴ 当x ==10，y 最大=60500即果园增种10棵橙子树，总数为110棵时，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个.归纳总结此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数关系式的顶点坐标，从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.练习某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查，销售量与单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？解：设每件商品降价x 元，总获利为y 元.依题意得y =(13.5-2.5-x )(500+200x ) 即 y =-200x 2+1700x +5500 (0≤x ≤11)∵ a =-200＜0，∴ 当x =4.25，y 最大=9112.5即每件商品降价4.25元，销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.)5(2100-⨯-。
二次函数与最大利润问题 教学案例
二次函数与最大利润问题教学案例＝－0.6(x－180)2＋19440。
因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高，最高收入为 19440 元。
(续表)五：变式拓展（2010•武汉）某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价增加 x 元（x 为 10的正整数倍）。
（1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑自变量 x 的取值范围，直接求顶点坐标。
（1）理解每个房间的房价每增加 x 元，则减少房间x间，则可以得到 y 与x 之间的关系；10(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去 20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；(3)求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及 x 的范围即可求解。
解题过程:解:(1)由题意得: y = 50 -x，且(0≤x≤160，且 x10为 10 的正整数倍)(2) w =(180 - 20 +x)(3) w =-1x2 + 34x +8000 =-1 (x -170)2 +1089010 10抛物线的对称轴是: x =-b= 170 ，抛物线的开口向2a下，当 x＜170 时，w 随x 的增大而增大，但0≤x≤160，因而当 x=160 时，即房价是 340 元时，利润最本题是对上一题的变式，其易错点在于没能充分考虑自变量x 的取值范围（x为 10 的正整数倍）。
分析题目中的每个问题，理清思路，整理出解题过程。
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试题分析：(1)根据表格的数据，直接写出解析式即可；（2）根据一次函数和二次函数的性质，求得最大值即可；（3）根据（2）的结果，分三种情况解答即可.
试题解析：（1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；
（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．
（3）①当1≤x≤20时，由y=﹣ x2+15x+500=- （x-15）2+ .∵a= ＜0，∴当x=15时，y最大值= ，②当21≤x≤30时，由 ，可知y随x的增大而减小，∴当x=21时，y最大值=580元.∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
考点：1二次函数；2反比例函数；3一次函数.
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21（天）；
当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，
解得：50＜x≤53 ，
∵x为整数，
∴50＜x≤53，
53﹣50=3（天）．
综上可知：21+3=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
考点：二次函数的应用;一次函数的应用.
5．(1)10或28天;(2) ;(3)15天时，最大利润为612.5元.
时间x（天）
1
30
60
90
每天销售量p（件）
198
140
80
20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
2．(2016山东潍坊第23题)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）
乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴ ，解得： ，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当0≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
当1≤x≤20时，m=20+ x
当21≤x≤30时， m=10+
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1．（1）w= ；（2）销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元；（3）该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
当x＞100时，
y2=（50﹣ ）x﹣1100
=﹣ x2+70x﹣1100
=﹣ （x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
考点：二次函数的应用．
3．定价为6.5元最大日均毛利润250元
【解析】
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
5．（2016年福建龙岩第23题）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
绝密★启用前
2016-2017学年度???学校10月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
4．（2016湖北武汉第22题）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w= ．
（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
试题解析：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），
∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），
∴ ，解得： ，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；数关系式为y= ．
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用．
2．（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
【解析】
试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解析】
试题分析：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
3．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元.经市场调查表明，当售价在5元到8元之间（含5元，8元）浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶为6元时，日均销售量为120瓶.问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？
评卷人
得分
一、解答题（题型注释）
1．（2016湖北随州第23题）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
x=－ =6.5y=
∴销售价格为6.5元时，日均毛利润最大，为250元.
考点：二次函数的实际应用.
4．（1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2）产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品.
【解析】
试题分析：（1）分别把m=25代入m=20+ x、 求的x值即可；（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．（3）分别计算两种情况下最大值问题即可．
试题解析：（1）①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10；②当21≤x≤30时， ，解得x=28.经检验x=28是方程的解.答：第10天或第28天时该商品为25元/件．（2）①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣ x2+15x+500，②当21≤x≤30时， .综上所述： .