全国卷三角函数综合测试题
三角函数综合测试题(含答案)
三角函数综合测试题(含答案)三角函数综合测试题一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）函数y=(sinx-cosx)-1的最小正周期为π的奇函数。
2.（08全国一9）为得到函数y=cos(x+π/3)的图象，只需将函数y=sinx的图像向左平移π/3个长度单位。
3.（08全国二1）若sinα0，则α是第二象限角。
4.（08全国二10）函数f(x)=sinx-cosx的最大值为2.5.（08安徽卷8）函数y=sin(2x+π/3)图像的对称轴方程可能是x=-π/6.6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移π/2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为-sinx。
7.（08广东卷5）已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx，则f(x)是以π为最小正周期的奇函数。
8.（08海南卷11）函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值为-2，最大值为3/3π。
9.（08湖北卷7）将函数y=sin(x-θ)的图象F向右平移π/3个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x=5π/12，则θ=π/4.10.（08江西卷6）函数f(x)=(sinx+2sin2x)/x的最小正周期为2π的偶函数。
11.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的斜率为tan(a-π/4)。
19.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1,-2)$，则$\tan2\alpha$ 的值为 ________。
20.函数 $f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{5}$，其中 $\omega>0$，则 $\omega=$ ________。
21.设 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则函数$y=\frac{2\sin2x+1}{\cos x}$ 的最小值为 ________。
第四章《三角函数》题目汇编及详解
普通高等学校招生全国统一测试数学 第四章?三角函数?题目汇编及详解一、选择题〔共21题〕1.〔安徽卷〕将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象如下图,那么平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知,73()1262πππω+=,所以2ω=,因此选C. 2.〔安徽卷〕设0a >,对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<,以下结论正确的选项是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈,那么函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<的值域为函数1,(0,1]a y t t =+∈的值域,又0a >,所以1,(0,1]ay t t=+∈是一个减函减,应选B.3.〔北京卷〕函数y =1+cos x 的图象 〔A 〕关于x 轴对称 〔B 〕关于y 轴对称 〔C 〕关于原点对称〔D 〕关于直线x =2π对称 解：函数y =1+cos 是偶函数,应选B 4.〔福建卷〕α∈(2π,π),sin α=53,那么tan(4πα+)等于A.71 B.7 C.－ 71D.－7 解：由3(,),sin ,25παπα∈=那么3tan 4α=-,tan()4πα+=1tan 11tan 7αα+=-,选A.5.〔福建卷〕函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2,那么ϖ的最小值等于A.32B.23C.2D.3 解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32,选B. 6.〔湖北卷〕假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =,那么sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0,可知A这锐角,所以sinA ＋cosA >0,又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=,应选A7.〔湖南卷〕设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π,那么)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.2π D . 4π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π,∴ 最小正周期为π,选B. 8.〔江苏卷〕R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,那么a ＝〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕±1【思路点拨】此题考查函数的奇偶性,三角函数sin x 的奇偶性的判断,此题是一道送分的概念题 【正确解答】解法1由题意可知,()()f x f x =--得a=0解法2：函数的定义域为R ,又f (x )为奇函数,故其图象必过原点即f (0)=0,所以得a =0, 解法3由f (x )是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.假设函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 假设函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.9〔江苏卷〕为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点〔A 〕向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕〔B 〕向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕〔C 〕向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 〔D 〕向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕【思路点拨】此题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时练习的比拟多的一种类型. 【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度, 得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,选择C. 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ 〔1〕．y=Asinx,x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的〔2〕函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍〔纵坐标不变〕 〔3〕函数y ＝sin(x ＋ϕ),x ∈R (其中ϕ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左〞“减右〞),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意：先伸缩时,平移的单位把x 前面的系数提取出来.10.〔江西卷〕函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为〔 〕 Ａ．π2 Ｂ．πＣ．2πＤ．4π解：T ＝22ππ＝,应选B11.〔辽宁卷〕函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,那么()f x 的值域是 (A)[]1,1-(B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦【解析】cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩即等价于min {sin ,cos }x x ,应选择答案C.【点评】此题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识,同时考查了简单的转化和估算水平.12.〔辽宁卷〕函数1sin 32y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是〔 〕 Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2πＤ．4π解：2412T ππ==,选D13.〔全国卷I 〕函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭解：函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间满足242k x k πππππ-<+<+,∴ 单调增区间为3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,选C. 14.〔全国II 〕函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是〔A 〕2π 〔B 〕4π 〔C 〕π4 〔D 〕π2解析: 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,应选D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 此题比拟容易. 15.〔全国II 〕假设f (sin x )＝3－cos2x ,那么f (cos x )＝〔A 〕3－cos2x 〔B 〕3－sin2x 〔C 〕3＋cos2x 〔D 〕3＋sin2x 解析:22(sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+所以2()22f x x =+,因此22(cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+应选C 此题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般 16.(陕西卷)"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 解析：假设等式sin(α+γ)=sin2β成立,那么α+γ=k π+(－1)k ·2β,此时α、β、γ不一定成等差数列,假设α、β、γ成等差数列,那么2β=α+γ,等式sin(α+γ)=sin2β成立,所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立〞是“α、β、γ成等差数列〞的．必要而不充分条件.选A ． 17.〔四川卷〕以下函数中,图象的一局部如右图所示的是 〔A 〕sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭〔B 〕sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭〔C 〕cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔D 〕cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭解析：从图象看出,41T=1264πππ+=,所以函数的最小正周期为π,函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位,即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-,选D. 18.〔天津卷〕函数x b x a x f cos sin )(-=〔a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈〕在4π=x 处取得最小值,那么函数)43(x f y -=π是〔 〕A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称解析：函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈,∴ ())f x x ϕ-的周期为2π,假设函数在4π=x 处取得最小值,不妨设3()sin()4f x x π=-,那么函数3()4y f x π=-=33sin()sin 44x x ππ-+=,所以3()4y f x π=-是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称,选D.19.〔天津卷〕设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，,那么“αβ<〞是“tan tan αβ<〞的〔 〕 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：在开区间(,)22ππ-中,函数tan y x =为单调增函数,所以设,(,),22ππαβ∈-那么""αβ<是"tan tan "αβ<的充分必要条件,选C. 20.〔浙江卷〕函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 【考点分析】此题考查三角函数的性质,根底题. 解析：2142sin 22212cos 212sin 21sin 2sin 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+=πx x x x x y ,应选择C. 【名师点拔】此题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为()b x A y ++=ϕωsin 或()b x A y ++=ϕωcos 的模式.21.(重庆卷)假设,(0,)2παβ∈,cos()2βα-=1sin()22αβ-=-,那么cos()αβ+的值等于〔A 〕2-〔B 〕12- 〔C 〕12〔D 〕2解：由,(0,)2παβ∈,那么242βππα∈－（－，）,224αππβ∈－（－，）,又cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-,所以26βπα±－＝,26απβ－＝－ 解得3παβ＝＝,所以 cos()αβ+＝12-,应选B 二、填空题〔共10题〕22.〔福建卷〕函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ω的最小值是＿＿＿＿.解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32. 23.〔湖南卷〕假设()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数,那么有序实数对(,a b )可以是 .(注:只要填满足0a b +=的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).解析．ab ≠0,()sin()sin()(cos )()442222f x a x b x a x x b x x ππ=++-=++-是偶函数,只要a +b =0即可,可以取a =1,b =－1.24.〔湖南卷〕假设)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数,那么a = .解析：()sin()3sin()()3(cos )442222f x a x x a x x x x ππ=++-=++-是偶函数,取a =－3,可得()f x x =-为偶函数.25.〔江苏卷〕︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 【思路点拨】此题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 【正确解答】：cot20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝︒︒︒︒+︒︒︒40cos 2cos70sin7010sin 320sin 1020cos －＝︒︒︒︒︒︒2cos40sin20cos10sin103cos1020cos －＋＝︒︒︒︒︒2cos40sin20sin103cos1020cos －）＋（＝︒︒︒︒︒︒︒2cos40sin2030cos sin1030sin cos1020cos 2－）＋（︒︒︒︒︒sin2040cos 2sin20sin4020cos 2－＝2【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看〞即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.26.〔全国卷I 〕设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<.假设()()/f x f x +是奇函数,那么ϕ=__________.解析：'())f x ϕ=+,那么()()/f x f x +=))2sin()6πϕϕϕ++=--为奇函数,∴ φ=6π.27.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin 43sin77cos120︒︒-︒︒=︒=－21． 28.(上海卷)如果αcos ＝51,且α是第四象限的角,那么)2cos(πα+＝ 解：cos()sin (2παα⇒+=-=-29.(上海卷)函数sin cos y x x =的最小正周期是_________. 解：函数sin cos y x x ==21sin2x,它的最小正周期是π.30.(重庆卷)βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43,sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=,3(,2)2παβπ+∈,3(,)424πππβ-∈,∴ 4cos()5αβ+=,5cos()413πβ-=-, 那么cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++- =4531256()()51351365⋅-+-⋅=- 31.(重庆卷)sin α=2παπ≤≤,那么tan α= .解：由sin α=,2παπ≤≤⇒cos α所以tan α=－2 三、解做题〔共16题〕 32.〔安徽卷〕310,tan cot 43παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；〔Ⅱ〕求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=,即1tan 3tan 3αα=-=-或,又34παπ<<,所以1tan 3α=-为所求.〔Ⅱ〕225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-.33.〔安徽卷〕40,sin 25παα<<=〔Ⅰ〕求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； 〔Ⅱ〕求5tan()4πα-的值. 解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=,得3cos 5α=,所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-. 〔Ⅱ〕∵sin 4tan cos 3ααα==,∴5tan 11tan()41tan 7πααα--==+. 34.〔北京卷〕函数1)4()cos x f x xπ-=, 〔Ⅰ〕求()f x 的定义域；〔Ⅱ〕设α是第四象限的角,且4tan 3α=-,求()f α的值. 解：〔1〕依题意,有cosx ≠0,解得x ≠k π＋2π, 即()f x 的定义域为｛x|x ∈R,且x ≠k π＋2π,k ∈Z ｝〔2〕1)4()cos x f x xπ-=＝－2sinx ＋2cosx ∴()f α＝－2sin α＋2cos α 由α是第四象限的角,且4tan 3α=-可得sin α＝－45,cos α＝35∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝14535.〔北京卷〕函数f (x )=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角,且tan α=34-,求f (α)的值. 解：(Ⅰ)由cos x ≠0得x ≠k π+2π〔k ∈Z ), 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2π,k ∈Z ｝.(Ⅱ)由于tan α=34-,且α是第四象限的角, 所以sin α=54-,cos α=53, 故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα- =43125535⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭ =1549.36.〔福建卷〕函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R. 〔I 〕求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；〔Ⅱ〕函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的根本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等根本知识,以及推理和运算水平.总分值12分.解：〔I〕1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ==由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦〔II 〕方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度,得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象.方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移,就得到3sin(2)62y x π=++的图象.37.〔广东卷〕函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)假设3()4f α=,求sin2α的值. 解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f〔Ⅰ〕)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; 〔Ⅱ〕)(x f 的最大值为2和最小值2-；〔Ⅲ〕由于43)(=αf ,即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α 38.〔湖南卷〕),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值. 解析： 由条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 23sin ==θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =θ,从而323πθπθ==或. 39.〔辽宁卷〕函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.解法二:2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22f x x x x x x x x x x x =+++=++=++2)4x π=++∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+∈.(II)解: ()2)4f x x π=++由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及三角函数值求角等根底知识,考查综合运用三角有关知识的水平.40.〔山东卷〕函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2π函数,且y =f (x )的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点〔1,2〕. 〔1〕求ϕ;〔2〕计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).解：〔I 〕2sin ()cos(22).22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+ ()y f x =的最大值为2,0A >.2, 2.22A AA ∴+==又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0ω>,12()2,.224ππωω∴==22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ∴=-+=-+.()y f x =过(1,2)点,cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z πϕπ∴=+∈,,4k k Z πϕπ∴=+∈又0,2πϕ<<4πϕ∴=.〔II 〕解法一：4πϕ=,1cos()1sin .222y x x πππ∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.又()y f x =的周期为4,20084502=⨯,(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=解法二：2()2sin ()4f x x πϕ=+223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44f f ππϕϕ∴+=+++=22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2f f πϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又()y f x =的周期为4,20084502=⨯,(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯= 41(陕西卷)函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合. 解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T =2π2=π(Ⅱ)当f (x )取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x =k π+5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π12, (k ∈Z )}． 42.(上海卷)求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．[解]2cos()cos()44y x x x ππ=+-22112(cos sin )22cos22sin(2)6x x xx x x π=-==+∴函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π； 43.(上海卷)α是第一象限的角,且5cos 13α=,求()sin 4cos 24πααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值.解：)42cos()4sin(παπα++=αααααααααsin cos 122sin cos )sin (cos 222cos )sin (cos 2222-⋅=-+=+ 由可得sin 1312=α, ∴原式=142131312135122-=-⨯. 44. 〔天津卷〕5tan cot 2αα+=,ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos2α和πsin(2)4α+的值． 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等根底知识,考查根本运算水平. 解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=那么254,sin 2.sin 25αα==由于(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈ 23cos 21sin 2,5αα=--=sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+ 4232255== 解法二：由5tan cot ,2αα+=得15tan ,tan 2αα+=解得tan 2α=或1tan .2α=由(,),42ππα∈故舍去1tan ,2α=得tan 2.α=因此,255sin αα==那么223cos 2cos sin ,5ααα=-=-且4sin 22sin cos ,5ααα==故sin(2)sin 2.coscos 2.sin444πππααα+=+42322525210=⨯-⨯=45.〔浙江卷〕如图,函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π) 的图象与y 轴交于点〔0,1〕.(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象与x 轴的交点,求.的夹角与PN PM此题主要考查三角函数的图像,三角函数求角,向量夹角的计算等根底知识和根本的运算水平.解：〔I 〕由于函数图像过点(0,1),所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=由于02πϕ≤≤,所以6πϕ=. 〔II 〕由函数2sin()6y x ππ=+及其图像,得115(,0),(,2),(,0),636M P N --所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅ 1517=, 故,PM PN <>=15arccos17. 46.(重庆卷)设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6x . 〔Ⅰ〕求ω的值； 〔Ⅱ〕如果f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3,求a的值.1()cos 2sin 22sin 23 2,6321.2f x x x x ωωαπωαπππωω=+++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⋅+==解：（I ）依题意得解之得)57 ,0,,36361 sin()1,2351 (),36212x x x f x παπππππππαα++⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-≤+≤⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦-++=（II)由（I）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知α=47.〔上海春〕函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .〔1〕假设54sin =x ,求函数)(x f 的值； 〔2〕求函数)(x f 的值域. 19. 解：〔1〕53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ , ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ……4分x x cos sin 3-=53354+=. ……8分 〔2〕⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f , ……10分ππ≤≤x 2, 6563πππ≤-≤∴x , 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ,∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分。
三角函数综合测试题（含答案）
三角函数综合测试题（含答案）三角函数综合测试题一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
）1、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（） A ．)3,1(B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(- 2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（） A ．47 B ．169- C ．329- D ．329 3、下列函数中，最小正周期为2π的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y 4、等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（）A ．924-B ．924C ．97-D ．97 5、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 6、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-7．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.ABC ?中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（） A ．33sin 34+??? ??+πB B ．36sin 34+??? ?+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ?+πB 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）9.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为； 10.在ABC ?中，若120A ∠= ，5AB =，7BC =，则ABC ?的面积S ＝_________11.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．12.ΔABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p ac b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为 _______． 13.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为__________．14.关于三角函数的图像，有下列命题：①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称；②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。
全国卷三角函数综合测试题
三角函数综合测试题学生：用时： 分数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共18小题，每小题3分，共54分）1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ）A.512πB.512π-C.1112πD.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是 （ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）A ．1BC．．2 12.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A．B． C ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin330︒等于 （ ） A．-．12- C ．12D14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，16.（08天津卷9）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 1-18题答案：1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题3分，共 15分）.19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案一、选择题1. 已知角A的正弦值为\( \sin A = \frac{1}{2} \)，则角A的余弦值\( \cos A \)是：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( -\frac{1}{2} \)D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)2. 函数\( y = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \pi/2 \)D. \( 4\pi \)3. 已知\( \cos x = \frac{1}{3} \)，且\( x \)在第一象限，求\( \sin x \)的值：A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)B. \( \frac{2\sqrt{5}}{3} \)C. \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \)D. \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \)二、填空题4. 根据正弦定理，如果三角形ABC的边a和角A相对，且\( a = 5 \)，\( \sin A = \frac{3}{5} \)，则边b的长度为______（假设\( \sin B = \frac{4}{5} \)）。
5. 已知\( \tan x = -1 \)，求\( \sin 2x \)的值。
三、解答题6. 求以下列三角方程的解：\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)7. 证明：\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。
四、应用题8. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB = 10，AC = 6，求BC 的长度。
答案：一、选择题1. C2. B3. B二、填空题4. 45. 1 或 -1三、解答题6. 该方程对所有\( x \)都成立，因为它是三角恒等式。
全国卷数学专题一三角函数与解三角形专题测试
三角函数与解三角形 专题测试（限时120min ）一、单选题1．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g = AB ．2C ．D ．02．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．19-CD ．19 3．已知角A 、B 、C 为ABC 的三个内角，若sin sin 22A B C A B C +--+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．设函数()sin()cos()f x x x x ϕϕ=⋅+++，若()f x 的导函数()'f x 是偶函数，则ϕ可以是（ ） A ．2π- B ．3π- C ．π D ．6π 5．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12 B C ．23 D 6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若23c b a +=，2sin 3sin C A =，则cos B =（ ）A ．13B ．23 C ．4348 D ．5487．若tan 2θ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=-（ ） A ．25 B ．25- C ．65 D ．65- 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且acosA ＝bcosB ，则A ．△ABC 为等腰三角形B ．△ABC 为等腰三角形或直角三角形 C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 为直角三角形9．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于AB C 1 D －110．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(2cos 2g x x =．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A ．BC ．D 11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若11,a x y ，22,b x y ，则1221a b x y x y ⊗=-12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣二、填空题13．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．14．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC △DG ，垂足为C ，tan△ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．16．已知A ，B 为x ，y 正半轴上的动点，且||4AB =，O 为坐标原点，现以||AB 为边长在第一象限做正方形ABCD ，则OC OD ⋅的最大值为___________.三、解答题17．已知a 、b 、c 是△ABC 中△A 、△B 、△C 的对边，a ＝b ＝6，cos A ＝﹣13． （1）求c ；（2）求cos2B 的值．18．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积1tan 4S ac B =⋅. （△）求B ；（△）若a ，b ，c 成等差数列，△ABC b .19．在△6a =，△8a =，△12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，且2224,a b c S c +-==_____________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，()f x 图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，______；（1）△()f x 的一条对称轴3x π=-且()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭； △()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； △()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f >从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （2）在（1）的情况下，令()()1cos 22h x f x x =-，()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦，若存在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()()2230g g x a x a +-+-≤成立，求实数a 的取值范围.。
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三角函数综合测试题
学生： 用时： 分数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共18小题，每小题3分，共54分）
1.（08全国一6）2
(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）
A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2
5.（08安徽卷8）函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ） A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移
2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( )
7.（08广东卷5）已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32 D. －2，32 9.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3
π
个单位长度得到图象F ′，若
F ′的一条对称轴是直线,1
x π
=
则θ的一个可能取值是 （ ）
A.512π
B.512π-
C.1112π
D.1112
π-
10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为 （ ）
A ．1
B
C
D ．2
12.（08山东卷10
）已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值是（ ） A
． B
C ．45
-
D ．45
13.（08陕西卷1）sin330︒等于 （ ） A
．-
B ．12
-
C ．12
D
14.（08四川卷4）()2
tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x
15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所
有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ． B ． C ．
D ．
16.（08天津卷9）设，，，则 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是 （ ） A. B . C. D.
18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是 （ ）
1-18题答案：
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题3分，共 15分）.
19.（08北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π，其中0ω>，则ω= ． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
22.（08浙江卷12）若，则_________。
23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(2+x )的最大值是
19-23题答案： 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共8小题，共81分） 24. （08四川卷17）求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
25. （08北京卷15）已知函数2
π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
26. （08天津卷17）已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域
28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 29. 在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.
(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；
(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 30. 函数()sin()16
f x A x π
ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴
之间的距离为
2
π, (1)求函数()f x 的解析式;
(2)设(0,
)2πα∈,则()22
f α
=,求α的值 31.已知函数21()cos sin cos 2222
x x x f x =--.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若()10
f α=
,求sin 2α的值.。