21.1 二次根式定义与性质
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。
以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。
•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。
•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。
2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。
下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。
•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。
•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。
•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。
3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。
以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。
•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。
•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。
•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。
4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。
以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。
•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。
5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。
以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。
二次根式的概念及性质
二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。
在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。
一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。
例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。
二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。
二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。
对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。
2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。
3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。
二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。
乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。
这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。
简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。
找到它的平方根就是简单的数学操作。
举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。
直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。
化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。
例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。
我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式在数学中是一个十分重要的概念，涉及到数学中的代数、方程、函数等多个知识领域。
本文将介绍二次根式的定义、性质、运算法则以及实际问题中的应用，并且通过实例帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义在数学中，二次根式是指形如$\\sqrt{a}$的表达式，其中a是一个实数且$a\\geq0$。
该表达式表示的是一个非负实数，使得它的平方等于a，即$(\\sqrt{a})^2 = a$。
二、二次根式的性质1.二次根式的值一定是非负实数，即$\\sqrt{a} \\geq 0$。
2.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} =\\sqrt{ab}$。
3.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$不一定等于$\\sqrt{a+b}$。
三、二次根式的运算法则1.加减法：二次根式只有在被加减数相同时才能相加或相减，即$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。
2.乘法：二次根式的乘法可按照分配律进行展开，即$(\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b})(\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b}) = a + 2\\sqrt{ab} + b$。
3.除法：二次根式的除法需要进行有理化处理，即将分母中的二次根式消去。
四、二次根式的应用二次根式常常在实际问题中得到应用，比如在几何中计算斜边长、梯形面积等问题中经常会出现。
下面通过一个实际问题来展示二次根式的应用：例题：一个正方形的对角线长为$\\sqrt{2}$米，求正方形的边长。
解答：设正方形的边长为x米，则根据勾股定理可得：x2+x2=2。
化简得到2x2=2，解方程得x=1。
因此，正方形的边长为1米。
结语通过本文的介绍，相信读者对二次根式有了更深入的了解。
二次根式作为数学中的一个基础知识点，在代数、几何、概率等各个领域都有着重要的应用价值。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的.平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即 ;3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如: 。
6. 当a≥0时， ; 与中a取值范围是整个复平面。
7. [任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ， (a<0)，﹙a≥0﹚， (a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)21.1 二次根式知识点一二次根式的概念(1)一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。
其中“”叫做二次根号。
(2)正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：①二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。
如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。
②被开方数a必须是非负数，即a≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。
③“”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。
知识点二二次根式的性质(1)a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
(2)(a)2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。
(3)a2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。
知识点三代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。
知识点三 二次根式的除法法则 一般地，对二次根式的除法规定：b a =b a (a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
21.1二次根式定义_取值范围_性质
5.如果（3a -1）2 1-3a,求a的取值范围
6.若（2 - x）2 (1 x)2 3,则x
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
把下列各式写成平方差的形式，再 分解因式
(1)x2 2;(2)9x2 5 (3)3m2 2n2
练习1
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
3.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
4.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
1.计算 （1）（ 1）2 ；（2）（- 3 3）2 ；（4）（- 3 3）2
化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
3.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
4.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
2
（4）6 2；27 （）2
（5）（ 3）2 ；（6）（1 7）2 ； 7
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
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22.1 二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2
，用式子表示为 =__________；
正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题
1、式子a 表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？
3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？
4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3，16-，34)0(3≥a a ，12+x
2、计算 ：
(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3
1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
2
)3(________
)(2=a 4
3、当a 为正数时指a
的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只
有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式
中，字母a 必须满足
, 才有意义。
（四）合作探究
1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？
①43-x ③ 2、（1a 的值为___________．
（2在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（五）展示反馈 (学生归纳总结)
1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。
（六）精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
（七）拓展延伸
1、(1)在式子x
x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.
(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
x
--21
2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数
写成一个数的平方的形式。
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
5 0.35
(2)在实数范围内因式分解
72-x 4a-11
（八）达标测试
A 组
(一)填空题： 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解：
（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____
）(x-____)
（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
（二）选择题： 1、计算 （ ） A. 169 B.-13 C±13 D.13
2的值不能确定
3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0(
C .2)3.0(=0.3
D 2)75(=35
B 组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。
A. = B C D
2、 如果等式2)(x -= x 成立，那么x 为（ ）。
A x ≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x ≥0
253⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛的值为2)13(-0,x =则为（ ）
4
949+=+4994⨯=⨯2424-=-653625=
（二）填空题:
1、若20
a-=，则2a b
-= 。
2、分解因式：x4- 4X2 + 4= ________.
3、当x= 时，代数式
其最小值是。
22.1二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：a a =2
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）提出问题
1、式子a a =2表示什么意义?
2、如何用a
a =2来化简二次根式?
3、在化简过程中运用了哪些数学思想?
（三）自主学习
自学课本第3页的内容，完成下面的题目： 1、计算：=24 =22.0 =2)54( =220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=>a a ,0时
2、计算：=-2)4( =-2
)2.0( =-2)54( =-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时
3、计算：
=20 当==a a ,0时
（四）合作交流
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a
2、化简下列各式：
______=
______
=_______
= _____a 0=（<）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
（五）展示反馈
1、化简下列各式 （1）)0(42≥x x (2) 4x
2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）
()232+x （x ＜-2）
（六）精讲点拨 利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
（七）拓展延伸
(1)a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.
(2) 把(2-x)2
1-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x
(3) x-4│-│7-x │。
（八）达标测试：
A 组
1、填空：（1）、2)12(-x
-2)32(-x )2(≥x =_________.
（2）、2)4(-π=
2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x
B 组
1、 已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x
x
2、 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为
3
a 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
二次根式(一)
（五）拓展延伸
1、 (1)1,12
x x ≤≠-且 (2)6± (3)8-
2、(1)22((
(2)((2x x a a + +-
（六）达标测试
(A 组)(一)填空题：
1、35
2、（1）x 2 - 9= x 2 -（3）2=（x+ 3）(x-3);
（2）x 2 - 3 = x 2) 2（二）选择题：
1、D
2、C
3、D
(B 组)（一）选择题：
1、 B
2、A
（二）填空题:
1、 1
2、2(2)(x x x +
3、45-
，0。
二次根式(二)
（五）展示反馈
1、（1）2x (2) 2x
2、（1）3-a （2）32--x
（七）拓展延伸
(1)2a (2)D (3) 3-
（八）达标测试：
A 组 1、（1）、2 （2）、π-4 2、1
B 组 1、2x 2、
a 322。