(完整版)最大和最小问题
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
压轴题
1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
2、如图，一元二次方程 的二根 ， （ ＜ ）是抛物线 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．
(完整版)一年级数学思维年龄问题
例1：小亮今年10岁，他比爸爸小28岁。
去年，小亮比爸爸小几岁？1、今年妈妈比小佳大30岁，10年后，妈妈比小佳大多少岁？2、小亮今年7岁，爸爸比他大30岁，3年前，小亮比爸爸小多少岁？例2：小亮的表哥今年18岁，小亮今年6岁。
5年后，表哥比小亮大几岁？2、小红今年8岁，姐姐今年12岁。
5年后，姐姐比小红大多少岁？例3：小芳今年10岁，妈妈比他大28岁，当小芳15岁时，妈妈多少岁？1、小东今年5岁，小东的阿姨比他20岁。
那么小东15岁时，小东的阿姨多少岁？2、爷爷今年75岁，爸爸比爷爷小30岁。
当爷爷60岁时，爸爸多少岁？例4：李华今年10岁，爸爸今年40岁，当李华15岁时，爸爸多少岁？1、小红今年6岁，妈妈今年32岁，当小红20岁时，妈妈多少岁？2、小王今年20岁，小邓今年29岁，当小王15岁时，小邓应该多少岁？例5：弟弟今年4岁，哥哥12岁，合起来是几岁？当弟弟和哥哥两人的岁数合起来是18岁时，哥哥几岁？弟弟几岁？1、爸爸今年40岁，妈妈今年38岁，当爸爸妈妈两人的岁数合起来是82岁时，爸爸多少岁？妈妈多少岁？2、奶奶57岁，妈妈33岁，我7岁，再过几年我们三个人的岁数合起来正好是100岁？练习：1、小虎今年15岁，爷爷今年65岁。
5年后爷爷比小虎大多少岁？2、小明再过3年12岁，小军比小明大4岁。
小军再过3年多少岁？3、爸爸今年36岁，爸爸说，当晨晨15岁的时候他就45岁了。
晨晨今年多少岁？4、小芬说：“我比明明大3岁。
”明明说：“我比欢欢小2岁。
”小光说：“我比欢欢大4岁。
”5年后，谁的年龄最大，谁的年龄最小？5、小平比爸爸小31岁，比妈妈小25岁，爸爸比妈妈大几岁？6、程程今年6岁，程程5年后的年龄与洋洋今年的年龄相等，洋洋今年几岁？7、小花今年6岁，爸爸对小花说：“你长到10岁的时候，我正好40岁。
”爸爸今年多少岁？8、小强今年13岁，小军今年9岁。
当两人的年龄和是28岁时，两人各是多少岁？拓展例6：爸爸妈妈的年龄和是65岁，5年后爸爸比妈妈大3岁。
《高等数学基础》应用题大集中(完整版)
《高等数学基础》应用题实际问题的最大值和最小值——应用题（16分）例1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体高h ，，底半径r因为222h r l +=，有222r l h =-圆柱体的体积公式为2V r h π=()()2223l h h l h h ππ=-=- ()223V l h π'=-令0V '=得3h =（唯一驻点），由实际问题知，底半径为3r =，高3h =时，圆柱体得体积最大。
例2：设一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。
解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为2222222V V S r r r r rππππ=+=+ 224V S r rπ'=-，令0S '=得r =例3：设一体积为V 的开口圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。
解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为22222V V S r r r r rππππ=+=+ 222V S r rπ'=-，令0S '=得r =时，表面积最小例4：欲做一个底为正方形，容积为108立方米的开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为2108h x=表面积222210843244y x xh x xx x x =+=+=+ 令243220y x x'=-=，解得6x =（唯一驻点） 由实际问题知道，当底边长为6，高210836h ==用料最省 例5：求曲线2y x =上的点，使其到点()3,0的距离最短解：曲线2y x =上的点(),x y 到点A （3，0）的距离公式为d == 令()()222359D x d x x x x ==-+=-+()25D x x '=- 令()0D x '=得52x =（唯一驻点）解出y = 因为d 与2d 在同一点上同时取到最小值，所以由实际问题知曲线2y x =上的点5,22⎛±⎝⎭到点A （3，0）的距离最短。
最小费用最大流问题.
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
最大值最小与最小值最大问题（二分）
最⼤值最⼩与最⼩值最⼤问题（⼆分）⼆分逼近思想·对于难以直接确定解的问题,采取⼆分枚举+检验的思想.·已知解为x,验证x是否满⾜要求.·如果答案具有特定的范围，并且验证答案是否成⽴的函数具有单调性。
则可以在范围内对答案进⾏⼆分验证，从⽽快速确定答案。
对于答案判断：在⼆分答案的时候需要判断，从⽽确定下⼀个范围。
可以⽤⼀个bool Check(x)函数来判断，返回true表⽰满⾜,返回false表⽰不满⾜.可以类⽐数学函数f(x)>=0和f(x)<0来理解.根据具体问题写出相应的Check函数往往就是解决问题的关键点。
具体总结如下：/*//⼆分查找总结：由于本⼈⼆分常年写成死循环简介：⼆分查找 == 折半查找要求：线性表，有序表（注意升序与降序）思想：设查找区间[L,R]取中点 mid = （L+R）/2判定mid是否符合要求：（如何判断：bool check(int mid); ）是：缩短区间求边界；直接返回；否：缩短区间最终结果val = R 或者val = L；*///典型线性表查找数据int er_search(int a[],int n, int key){const int inf = 0x3f3f3f3f;int L=0,R=n;while(L<R){int mid = (L+R)/2;if(key==a[mid]){return mid;}else if(key<a[mid]){R=mid-1;}else if(k>a[mid]){L=mid+1;}}return inf;}//CSDN某博客对⼆分的64种分类/**取整⽅式向下取整(最⼩值) 向上取整（最⼤值）*区间开闭闭区间左闭右开区间左开右闭区间开区间*问题类型单增对于不下降序列a，求最⼩的i，使得a[i] = key对于不下降序列a，求最⼤的i，使得a[i] = key对于不下降序列a，求最⼩的i，使得a[i] > key对于不下降序列a，求最⼤的i，使得a[i] < key单减对于不上升序列a，求最⼩的i，使得a[i] = key对于不上升序列a，求最⼤的i，使得a[i] = key对于不上升序列a，求最⼩的i，使得a[i] < key对于不上升序列a，求最⼤的i，使得a[i] > key*///下⾯四个不下降的例⼦//a[] = 1 2 3 4 5 6 6 6 7 9//min i,a[i] = key; =>a[5]while(s < e){mid = (e+s)/2;// 向下取整if(key <= a[mid])e = mid;elses = mid + 1;}//max i,a[i] = key =>a[7]while(s < e){mid = (e+s+1)/2;// 向上取整if(key >= a[mid])s = mid;elsee = mid - 1;}//min i, a[i] > key =>=>a[8]while(s < e){mid = (e+s)/2;//向下取整if(key < a[mid])e = mid;elses = mid + 1;}// max i, a[i] < key =>a[4]while(s < e){mid = (e+s+1)/2;//向上取整if(key > a[mid])s = mid;elsee = mid - 1;}/*巧记，但不是完全正确循环：L<R求mid时：求max :L+R+1 求min: L+R;if():真实值与猜测值的关系作为条件：max-真实⼤于猜测 min-真实⼩于猜测防死循环：调整if下的L或者R 另⼀个边界在else下注意+-1;总结：循环L<R mid注意1 else下防死循环*///另⼀种简单分类:第⼀个⼤于v，第⼀个⼤于等于v，最后⼀个⼩于v，最后⼀个⼩于等于v/*内容来⾃：/xiaowuga/p/8604750.html第⼀个⼤于等于v:lower_bound(ForwardIterator first, ForwardIterator last,const T& val, Compare comp)我们假设L为当前区间的答案，R为当前区间的实际答案（因为R是第⼀个⼤于等于v的下标），我们每次⼆分的实际上是为了让L和R不断靠近，所以当L==R的时候，我们假设的答案等于实际的答案，那么就结束循环了，返回答案L。
(完整版)解三角形中的最值问题
5、在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （1）求A的大小；（2）求sinsinBC的最大值. 解： 6、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，且满足(2)acBABCcCBCAuuuruuuruuuruuur。（1）求角B的大小；（2）若||6BABCuuuruuur，求ABC面积的最大值。 答案：（1）(2)coscosacBbC，由正弦定理得(2sinsin)cossincos,ACBBC
(完整版)矩形中的最值问题
(完整版)矩形中的最值问题矩形中的最值问题(完整版)
概述
在数学中，矩形是一个常见的几何形状，它有两对平行而相等的边。
研究矩形中的最值问题是数学中的一个经典问题。
本文将介绍矩形中最大值和最小值的一些基本性质和求解方法。
最大值问题
矩形中的最大值问题是指如何找到一个矩形中具有最大数值的量。
举例来说，我们可以考虑一个矩形内部的温度分布，我们希望找到矩形中温度最高的位置。
为了解决这个问题，我们需要找到温度在整个矩形区域范围内的分布规律。
在解决矩形中的最大值问题时，我们可以使用不同的方法。
一种常见的方法是使用导数，通过找到函数的驻点来确定最大值。
例如，如果我们有一个描述矩形中温度分布的函数，可以使用导数来找到温度的局部最大值。
最小值问题
矩形中的最小值问题是指如何找到一个矩形中具有最小数值的量。
与最大值问题类似，我们可以考虑矩形中的温度分布。
在这种情况下，我们希望找到矩形中温度最低的位置。
解决矩形中的最小值问题也可以使用不同的方法。
与最大值问题类似，我们可以使用导数来找到温度的局部最小值。
通过计算函数的导数值，并找到驻点或者拐点，可以确定最小值所在的位置。
总结
矩形中的最值问题是数学中常见的一个问题，可以应用于各种领域。
当我们面对一个矩形区域，并需要找到最大值或最小值时，我们可以使用导数等方法解决问题。
使用这些方法，我们可以分析矩形中的分布规律，找到数值的最大或最小值。
有足够的数学知识和技巧，我们可以更好地理解和解决矩形中的最值问题。
对于理论和实际应用都能提供一定的指导和帮助。
(完整版)球体中的最值问题
(完整版)球体中的最值问题球体中的最值问题是数学中经常遇到的一种问题，它要求在给定球体内寻找某个函数的最大值或最小值。
这个问题在不同领域中都有广泛的应用，比如物理、经济学和工程学等。
问题描述给定一个球体，球心位于原点，半径为r。
我们需要寻找一个函数f(x,y,z)在球体内的最大值或最小值。
函数f的定义域是球体内的点，即(x,y,z)满足x^2+y^2+z^2<=r^2。
求解过程对于求解球体中的最值问题，我们可以运用数学分析中的优化理论。
首先，我们需要找到函数f在球体边界上的极值点。
这些极值点通常是函数在球体内的最大值或最小值。
为了找到极值点，我们可以使用拉格朗日乘数法。
该方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件考虑进优化问题中，从而得到更为准确的极值点。
具体求解过程如下：1. 定义目标函数f和约束条件g，其中g表示球体的约束条件（即x^2+y^2+z^2-r^2=0）。
2. 使用拉格朗日乘数法，构建拉格朗日函数L=f+λg，其中λ为拉格朗日乘子。
3. 对拉格朗日函数L求偏导数，并令其等于0，得到一系列方程。
4. 解方程组，求得相应的变量值，包括函数的最值和约束条件的满足情况。
应用举例球体中的最值问题在实际应用中有很多例子。
以下是一些常见的例子：1. 最小化材料成本：假设有一个球形，我们需要将其体积最大化，同时使用最少的材料。
根据题设，我们可以设定目标函数为体积，约束条件为容积为固定值的球体。
通过求解该最值问题，我们可以找到最有效的设计方案。
2. 最大化电磁波接收：在无线通信中，天线的放置位置对信号接收质量起着至关重要的作用。
假设我们需要在球体内部放置一个天线，要求天线能够接收最强的信号。
通过将信号接收强度作为目标函数，约束条件为天线位置在球体内，我们可以求解出最佳的天线放置位置。
结论通过数学分析中的优化理论，我们可以解决球体中的最值问题。
这种问题的求解过程需要使用拉格朗日乘数法，并找到函数在球体边界上的极值点。
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华西英语培训学校——四年级奥数
第三讲最大和最小问题
1、最短的时间内完成作业，有更多时间去发展自己的业余爱好
2、怎样乘车路程最短，话费时间最少
3、怎样做可以使原材料最省
4、大桥在什么位置，才能方便附件可能多数居民
例1：幼儿园老师要把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。
那么，最多能分给几个小朋友？
例2：把自然数1、2、3……19依次排列，1234567891011……1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？
练习：
1、先从0、1、
2、4、6、8、9这七个数字中，选出5个数字组成
一个能被5整除并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？
2、小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中
最少看3页，那么小明看完这本说最多需要几天？
3、把自然数1、2、3……39、40依次排列，1234567891011……3940，划去65个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？
观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律
10=1+9 1×9=9
10=2+8 2×8=16
10=3+7 3×7=21
10=4+6 4×6=24
10=5+5 5×5=25
规律1：两个数的，这两个数和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大；当两个数相等时，它们的乘积最大。
例3：周长为36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？
观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律?
16=1×16 1+16=17
16=2×8 2+8=10
16=4×4 4+4=8
规律2：两数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小；当两个数相等时，它们的和最小。
例4：用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。
这个长方形的长、宽各是多少米时，最省材料？
练习：
1、a,b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？
2、a,b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？
3、用40厘米长的铁丝围成的长方形（不计接头长度）中，最大一
个的面积是多少平方米？
4、教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和
尺寸最省材料？
5、把14拆成两个数的和。
再求出这两个数的乘积。
如何拆成可以
使乘积最大？最大积是多少？
例5：把14拆成几个数的和。
再求出这两个数的乘积。
如何拆成可以使乘积最大？最大积是多少？
分析：(1)拆成的自然数个数应尽可能多
（2）拆分出的每个数尽量小，
（3）拆分出的自然数中没有1
（4）拆分出的数中3多2少，且数2最多两个
规律3:把一个自然数拆成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，那么拆出的数中3的个数尽量多，2的个数不多于两个。
例6：比较12489×12356与12359×12486的大小
规律4：两个数的和一定，差越小，积越大。
练习：
1、把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能地大，最大的积是多少？
2、把1、2、
3、
4、
5、9，填入下面方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？
3、比较下面两个积的大小。
A=987654321×123456789
B=687654321×423456789。