06_03分布函数和玻耳兹曼方程
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式是一种描述理想气体分子速度分布的数学公式。
该公式由奥地利物理学家鲁道夫·玻尔兹曼在19世纪末提出，被广泛应用于热力学和统计物理学领域。
根据热力学玻尔兹曼分布公式，理想气体分子的速度分布可用以下公式描述：
f(v) = 4π( m / 2πkT )^(3/2) * v^2 * exp( -m*v^2 /
2kT )
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
可以看出，该公式与温度和分子质量有关，速度越高的分子出现的概率越小，速度越低的分子出现的概率越大。
热力学玻尔兹曼分布公式的推导过程比较复杂，需要运用到分布函数、分子动力学等概念和方法。
该公式的应用也十分广泛，例如在热力学中用于计算气体的内能、熵等物理量，在化学中用于描述反应速率、碰撞频率等重要参数。
- 1 -。
分布函数.ppt
)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它.
x
0dx,
x a,
F( x) P( X x)
a
0dx
a
0dx
x 1 dx, a ba b 1 dx a ba
a x b,
x
0dx, x b.
b
即
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
x a, a x b,
x b.
(2) 0 F(x) 1, x (,)并且
F () lim F ( x) 0, F() lim F( x) 1;
x
x
(3) xl即imx任0 F一( x分) 布 F函(数x0 处), 处(右连 续x0. ).
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a),
(2) P{X a} 1 F(a). (3)设 X 是离散型随机变量，其分布律为
f
(
x)
(1
1 x)2
,
x 0,
0,
x 0.
P{X 3} P{X 3} F(3) 3 / 4,
P{2 X 5} P{2 X 5} F (5) F (2) 5 / 6,
P{ X 1} 1 P{ X 1} 1 F (1) 1 1 / 2 1 / 2.
PX xk pk , k 1,2, 则
10 F( x) P{ X x} pk
xk x
20 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} 30 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} P{X b} 40 P{a X b} F(b) F(a) P{X b}.
(4) 设X为连续型随机变量, 则
麦克斯韦—玻尔兹曼分布的简单推导与应用
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用来解决各种物理学问题，例如计算分子的平均速度、平均能量、热容等。它也可以用来解决化学问题，例如计算分子的碰撞率、反应速率等。
在统计物理学中，麦克斯韦-玻尔兹曼分布也被广泛应用，例如用来描述粒子的能谱、分子的能谱等。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）是经典物理学中用来描述热力学系统中分子的运动分布的分布函பைடு நூலகம்。它是由美国物理学家约翰·麦克斯韦和奥地利物理学家爱因斯坦·玻尔兹曼共同提出的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布的公式为：
f(v)=4πnv^2e^(-mv^2/2kT)
总的来说，麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一种重要的物理学分布，它在许多方面都有广泛的应用。
第五章 金属的电导理论
r f 0 [ E ( K ), T ] 表示费米函数（T表示温度），那么在体 r dK 内的电子数就等于：
r 2VC r dN = f 0 [ E ( K ), T ] ⋅ dK 3 (2π )
(5-1)
• 如果考虑单位体积内的电子数，即设单位体积内的电 子数为： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到：
•
r r 由于电子的速度为 v (K )
，因此它们对于电流密度的贡
献可以写为：
r r r r r r − 2ef ( K )v ( K ) r dj = −ev ( K )dn* = dK 3 (2π ) •
（5-5）
• 积分上式可得到总的电流密度为： •
r r r r f ( K )v ( K ) r j = −2e ∫ dK 3 (2π )
§5·2金属的电导率
• 在恒温以及恒定外电场的条件下，金属晶体中能够形成稳 r 定的电流密度 j 。这时玻耳茲曼方程可以写成（5-21）的 形式，经简单的变化可写为： •
f − f0
τ
e r = E ⋅∇K f h
(5-22)
• 这个方程的解就是电场存在时定态的分布函数f，显然f将 r r 是电场 E 的函数，因此可以把f按 E 的幂级数展开为： • •
第五章 金属的电导理论
§5·1 分布函数和玻耳兹曼方程 §5·1·1分布函数法的概念 费米函数表述的是在统计平衡状态下，固体中的 电子的分布规律。如果我们以波矢标志电子的运动状 态，那么根据关系式（4-11），在波矢空间的体积元 r r dK dK 内状态数目为： 2VC 3
(2π )
如果用 积元
r f − f0 1 ∂f e r r r [∇ K Ε( K ) ⋅ ∇ r T ] − ( E + v × B) ⋅ ∇ K f = − h ∂T h τ （5-20）
玻尔兹曼方程PPT课件
5.4.4 (k)的物理意义
如果在上式中忽略掉(1-cos)因子，积分将表示在 k 状态
的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子
的自由碰撞时间。
式中(1-cos )因子的作用可作如下分析：
' ' 1 1 ( k , k )1 cos dk 3 ( 2 π)
e ( k ) k m
将上面式子比较得
如果 沿x轴方向，则
' ' ( k ) ' 1 1 dk ( k , k )1 3 ( 2π) (k )
' k 'x ' 1 ( k , k )1 dk 3 ( 2π) kx 1
， B
温度梯度
k
变化
f变化 f变化
r 变化
电子分布函数f是波矢 k 、空间坐标
r 和时间t的函数。
1.相空间
以波矢 k 坐标 r 为变量组成的空间称为相空间。 在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。
f (r , k , t ) 描述t时刻电子在晶体内 r 处波矢为 k 的概率。
1 r k E
f r f rT T
e k ( v B )
玻尔兹曼方程为：
f f0 1 f e ( k E T ) ( v B ) k f T (k )
§5.4-2 弛豫时间的统计理论
碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原
' 因，电子不断发生从 k k态的跃迁，电子态的这种变化常称
为散射。 只考虑相同自旋态之间的跃迁。
对统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导
统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导简介统计力学是研究宏观系统的行为和性质，通过考虑微观粒子的统计规律来解释宏观现象。
玻尔兹曼分布定律是统计力学中最基本的概念之一，描述了粒子在能级上的分布情况。
本文将详细介绍玻尔兹曼分布定律的推导过程。
系统与能级考虑一个由N个相同、无相互作用的粒子组成的系统，这些粒子可以在若干个能级上存在。
我们假设这些能级之间存在一定的间隔，即每个能级对应一个确定的能量值。
首先，我们定义系统中第i个能级上粒子数为ni。
因为所有粒子都是无差别且不可辨认的，所以不同能级上粒子数之和等于总粒子数N：∑n ii=N状态数与微观态对于一个给定的系统和给定的宏观状态（例如总粒子数N、总能量E等），可以有多种微观态（也称为状态），即不同排列方式下的粒子分布情况。
设第i个能级上共有gi个状态可供粒子占据。
根据组合学的知识，第i个能级上粒子数为ni的状态数为：Ωi=g i!n i!(g i−n i)!系统的总状态数等于所有能级上状态数的乘积：Ω=∏Ωii =∏g i!n i!(g i−n i)!i经典统计与玻尔兹曼分布根据经典统计物理学，我们假设在一个封闭系统中，每个微观态出现的概率是相等的。
因此，系统处于某一特定宏观状态的概率可以用该宏观状态对应的微观态数来表示。
假设系统处于某一特定宏观状态（即总粒子数N、总能量E等确定），而第i个能级上粒子数为ni，则该宏观状态对应的微观态数为：Ω({n i})=N!∏n i i!根据玻尔兹曼熵公式，系统处于某一特定宏观状态的熵可以表示为：S({n i})=k B ln(Ω({n i}))=k B ln(N!∏n i i ! )其中，k_B是玻尔兹曼常数。
最大熵原理最大熵原理是统计力学中的基本原理之一，它表明当我们对系统的知识最少时，应选择使熵最大的分布。
在推导玻尔兹曼分布定律时，我们将使用最大熵原理。
假设我们只知道系统的宏观性质，例如总粒子数N和总能量E。
由于我们对系统的微观细节一无所知，我们可以认为任何满足宏观性质条件（即总粒子数N和总能量E）的微观态都是等概率出现的。
波尔兹曼方程
波尔兹曼方程
玻尔兹曼方程或玻尔兹曼输运方程（Boltzmann transport equation，BTE）是一个描述非热力学平衡状态的热力学系统统计行为的偏微分方程，由路德维希·玻尔兹曼于1872年提出。
关于此方程描述的系统，一个经典的例子是空间中一具有温度梯度的流体。
构成此流体的微粒通过随机而具有偏向性的流动使得热量从较热的区域流向较冷的区域。
在现今的论文中，“玻尔兹曼方程“这个术语常被用于更一般的意义上，它可以是任何涉及描述热力学系统中宏观量（如能量，电荷或粒子数）的变化的动力学方程。
玻尔兹曼方程并不对流体中每个粒子的位置和动量做统计分析，而只考虑一群同时占据着空间中任意小区域，且以位置矢量末端为中心的粒子。
这群粒子的动量在一段极短的时间内，相对于动量矢量只有几乎同样小的变化（因此这些粒子在动量空间中也占据着任意小区域）。
玻尔兹曼方程可用于确定物理量是如何变化的，例如流体在输运过程中的热能和动量。
我们还可以由此推导出其他的流体特征性质，例如粘度，导热性，以及导电率（将材料中的载流子视为气体）。
详见对流扩散方程。
玻尔兹曼方程是一个非线性积微分方程。
方程中的未知函数是一个包含了粒子空间位置和动量的六维概率密度函数。
此方程的解的存在性和唯一性问题仍然没有完全解决，但最近发表的一些结果还是能够让人看到解决此问题的希望。
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，它的表
达式如下：
f(v) = 4π (m / (2πkT))^(3/2) v^2 exp(-m v^2 /
(2kT))。
其中，f(v)是速度为v的分子的速度分布函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，exp是自然指数函数。
这个公式可以解释理想气体中不同速度的分子数的分布情况。
公式中的指数项exp(-m v^2 / (2kT))表示速度v对应的分子数与
温度T有关，速度越大，指数项越小，分子数越少。
公式中的前面
的系数部分是归一化因子，用来确保整个速度分布函数在所有速度
范围内的积分为1，即表示所有分子的总数。
这个公式的推导基于统计力学和热力学的理论，它可以用来计
算理想气体中分子的速度分布，从而研究气体的性质和行为。
在实
际应用中，玻尔兹曼公式可以用来计算气体的速度分布、平均速度、平均动能等相关参数，对于理解和描述气体的热力学性质具有重要
意义。
总结起来，玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，通过考虑温度和分子质量的影响，可以计算不同速度的分子数的分布情况。
它是统计力学和热力学的基础之一，对于研究气体的性质和行为具有重要意义。
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
玻尔兹曼方程
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移项= 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
f ∂ ɺ ɺ r r =− ∇ f −k k f ∇ t ∂漂
f − f0 ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a = −
τ
1 r = ∇ ℏ
⋅
k
E
∂e (ε + v × B ) k ℏ
玻尔兹曼方程为： 玻尔兹曼方程为：
f −f0 1 f ∂ e ε ( kE ∇ ) − ( +v× )⋅∇ f =− ∇ ⋅ T B k ℏ T ) ∂ ℏ τ(k
2 j = ∫ − ev ( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
不同状态电子的分布函数不同， 不同状态电子的分布函数不同， f (k ) 是在外场下的非平衡 分布函数。 分布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂， 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
f ∂ t ∂ f ∂ 0 ＋ ＝ t 碰 ∂ 漂
f ∂ ɺ ɺ f −k f ∇ k t = r r ∂ 漂 −∇
f ∂ b a ＝− t ∂ 碰
ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解， 它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 --积分方程 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
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—— 电子分布平衡状态 到非平衡状态的偏离长度
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
2 电子输运过程中的玻耳兹曼方程
—— 分布函数的变化来自两个方面
外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移
电子的状态变化
v dk dt
1 h
v {qE
q[
1 h
k
E
v (k )
v B]}
—— 将k空间电子分布函数看作是一种流体的分布
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 流体力学连续性原理
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
外加电磁场引起分布函数的变化
—— 从分布函数在k空间漂移的角度来看 —— t+t 时刻电子的状态分布函数
是从t时刻电子的状态分布函数
对比同一时刻的分布函数
变化来的
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
dk内电子数
的变化
v
[ f
(k t
,
t
)
]collision
b
a
—— 碰撞项
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
玻耳兹曼方程
f
v (k , t) t
vv(kv) r
f
v (k ,
rv,
t)
v dk dt
k
f
v (k ,
rv,
t)
b
a
定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时
—— dk内电子数
的变化
1) t时间内，dk’的空出的状态数 t时间内，dk内发生跃迁的数目 t时间, dk内电子跃迁到dk’的数目
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目
2) t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目
dk内电子数
的变化 n nin nout
所有状态的电子对电流的贡献 —— 非平衡分布函数
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
分布函数的物理意义 —— 欧姆定律的物理基础 金属中的电子在外场作用下加速运动 电子由于碰撞失去定向运动
分布函数的物理意义 —— 金属能带理论 外场中电子状态变化基本公式
在k空间电子状态移动的速度
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
[ f
v (k , t) t ]drifting
v
dk dt
k
f
v (k , t)
—— 漂移项
—— 外加电磁场引起分布函数的变化
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 金属中存在温度梯度时 在k和r构成的相空间，分布函数
漂移项 ——
[ f
v (k ,
rv,
t
t) ]drifting
在无外场时 —— k 空间导带中的电子对称分布 —— 对电流的贡献为零
在有外场时 —— k 空间导带中的电子的分布发生变化 —— 形成电流
服从欧姆定律
—— 稳恒电流的形成意味着在k空间电子的分布达到 一个新的定态统计分布
—— 用 分布函数描写
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
单位体积在dk内的电子数 对电流的贡献
—— 定态玻耳兹曼方程
v
vv(kv) r
f
(kv,rv, t )
dk dt
k
f
(kv,rv, t )
b
a
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 定态玻耳兹曼方程
vv(kv)
r
f
(kv,rv, t )
v dk dt
k
f
(kv,rv, t )
b
a
定态导电情况 —— 分布函数与位置无关
q h
vv(kv) r
f
(kv,rv, t )
v
dk dt
k
f
(kv,rv, t )
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
碰撞项
电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射
单位时间电子状态 从变化到
—— 用跃迁几率函数
描写
—— 3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
§6-3 分布函数和玻耳兹曼方程
1 电子输运过程中的分布函数 平衡态下电子的费密分布函数 —— 相当于经典统计中的麦克斯韦－玻耳兹曼分布 内的粒子数
在电子能带情况中，dk内的状态数
平衡态下电子的费密分布函数
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
dk内的电子数 对于单位体积
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
v E
k
f
v (k )
b
a
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 外场的作用使得原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡
—— 假定电子有一定的碰撞自由时间
—— 在碰撞自由时间里所有的电子一同遭遇碰撞
v ( qE )
h
—— k空间电子的分布从非平衡 状态 (2) 回到平衡状态 (1)
—— 在外场作用下又偏离平衡 状态，这样一直循环下去
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论