1-20自然数开平方
精品课程平方根(1-3)课件
5 1 2 1 . 2 2
5． 19 ≈4.358 9.
活动六 归纳小结 深化新知
小结与提升：
本节课你学习了哪些知识？在探
索知识的过程中，你用了哪些方
法？对你今后的学习有什么帮助 ？
活动七 分层作业 提高能力
作业(必做题）：
1.运用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01). (1) 867 ，(2) 2 408. 2.估计与 40 最接近的两个整数是多少? 3.已知 1.720 1 1.311, 17.201 4.147 ,那么 0.001 720 1 的平方根 是 . 4.已知 2.36 1.536, 23.6 4.858, 若 x 0.485 8 ,则 x= . 5.(1)若 a 是 30 的整数部分， b 是 30 的小数部分，试确定 a 、 b 的值. （2）若 5 11 的小数部分为 a， 5 11 的小数部分为 b，求 a+b 的值． 6.一个长方形的长为 5 cm，宽为 3 cm，一个与它的面积相等的正方形 的边长是多少?
×
0 和 1 2.算术平方根等于本身的数有＿＿＿.
活动4
巩固练习 反馈检测
练习:
9 . 3.若 x 3 ，则x=＿＿＿
4.要使代数式 x 2 有意义，则 x的取值范围
是（ B
A. x 2
）
3
B. x 2
49 81
C. x 2 D. x 2
5.求下列各数的算术平方根.
① 25 ② 5
活动七 分层作业 提高能力
作业（选做题）：
∵1 1 12ຫໍສະໝຸດ 7.请你观察思考下列计算过程．
∵11 121 ,
2
∴ 121 11.
第 9 讲 完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
平方的求和方法
平方的求和方法宝子，今天咱们来唠唠平方求和的方法呀。
咱先说说自然数的平方和。
有个超酷的公式哦，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
你看这个公式，就像一个魔法咒语一样。
比如说，要求1到5的平方和。
那n就是5啦，把5代到公式里，5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 5×6×11÷6 = 55。
是不是很神奇呀 。
那这个公式是咋来的呢？其实有好几种推导方法呢。
有一种比较有趣的是用数学归纳法。
先验证当n = 1的时候，公式成立。
1² = 1，而1×(1 + 1)×(2×1 + 1)÷6 = 1，对啦。
然后假设当n = k的时候公式成立，再去证明n = k + 1的时候也成立。
这就像是搭积木，一块一块稳稳地搭起来呢。
要是遇到不是从1开始的连续自然数的平方和呢？比如说3² + 4² + 5²。
咱可以先求出1² + 2² + 3² + 4² + 5²的和，再减去1²+2²。
按照前面的公式，1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 55，1²+2² = 1+4 = 5，那3² + 4² + 5² = 55 - 5 = 50啦。
还有哦，如果是一些有规律的数的平方和，比如说奇数的平方和或者偶数的平方和。
奇数的平方和公式是n(2n - 1)(2n + 1)/3，偶数的平方和公式是2n(n + 1)(2n + 1)/3。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法
自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)《自然数平方和公式推导及其应用》（/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。
其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。
如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。
1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+N n(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。
怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。
当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =N n+N n+N n+...+N n加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N n减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n=2N n+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=[N n+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。
【5套打包】大连市小学五年级数学下期末考试单元综合练习题(含答案)(1)
人教版五年级数学下册期末测试卷一、填空。
(每空1分,共36分)1.在下面的○里填上“>”、“<”或“=”。
○○○2.把3m长的铁丝平均分成8段,每段是全长的,每段铁线长m。
3.在2,3,17,21这几个数中,()是()的因数,()是()的倍数,既是奇数又是合数的是(),既是偶数又是质数的是()。
4.一个密码按从左到右的顺序,第一个数字是最小的质数;第二个数字是一位数中最大的合数;第三个数字既不是质数,也不是合数;第四个数字是最小的偶然。
这个密码是()。
5.在括号里填上合适的数。
8.003dm3=()L=()mL 1.2dm3=()cm3258cm3=()dm3(填分数)6.一个用小正方体搭成的几何体,从正面看、左面看、上面看如下图,搭成这个几何体需要用()个完全相同的小正方体。
7.9÷()====()(填小数)8.五年级(1)班有男生24人,女生18人。
现在要把男生和女生各分成若干小组,并且每个小组的人数要相同,每组最多有()人。
9.公交公司的3路公交车每6分钟发一次车,201路公交车每8分钟发一次车。
这两路公交车第一次同时发车后,过()分钟会第二次同时发车。
10.把2,2.35,按从小到大的顺序排列起来是()。
11.分母是8的真分数有()个,其中,最简分数有()个,分母是8的假分数有()个。
12.一根长方体木料,长5m,横截面的面积是0.06m3。
这根木料的体积是()m3。
13.一个数既是91的因数,又是91的倍数,这个数是(),它的因数有()。
14.一个立体图形从上面看是,从左面看是。
要搭成这样的立体图形,至少要用()个小正方体,最多可以用()个小正方体。
15.下图是由5个棱长为1cm的正方体搭成的,将这个立体图形的表面涂上红色。
其中只有三面涂色的正方体有()个,只有四面涂色的正方体有()个,五面涂色的正方体有()个。
16.金帆管乐团共有54人,寒假期间有一个紧急的演出,韩老师需要尽快通知每一个人。
小学数学知识点汇总(数的运算及应用篇)
5.6÷0.04=
1.8÷12=
4.08÷0.8=
0.54÷0.6=
6.3÷0.14=
14.21÷7=
0.6363÷0.63=
773.5÷0.91=
79.54÷8.2=
22.08÷2.4=
6÷2= 54÷6= 27÷9=
19÷3＝ 18÷4＝ 80÷7＝
65÷5= 378÷7= 992÷8= 861÷7=
328-243= 321+919= 955-113= 771-540= 825-106= 128+165= 688+980=
467-64= 64+608= 183+969=
1.4 分数的加减法 1.4.1 同分母分数的加减法
99
99 2
99 9
96 3
1.4.2 异分母分数的加减法
6
66 9
1.5 小数的加减法
22÷3＝
14÷3＝
7÷2＝
20÷3＝
29÷5＝
37÷5＝
12÷5＝
55÷3＝
73÷3＝
2.2.3 两、三位数除以一位数
93 ÷ 3 =
44 ÷ 4=
84 ÷ 7=
72 ÷ 6=
876÷6=
995÷5=
732÷4=
387÷9=
975÷3=
292÷4=
126÷6=
736÷4=
552÷6=
369÷9=
235÷5=
18×18=
3
4
64×3＝ 123×6= 406×3= 690×6=
52×60= 15×15= 25×25=
鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章2第1课时平方根(鲁教版七年级上·五四制)
2 易错提醒： （ 3 ） 3.
25 5 = 即________ 64 8 .………………………………………………4分
36 =__ 62 ，所以(-4)×(-9)的算术平方根是 (3)因为(-4)×(-9)=___ 6 ，即____________ 4 9 6 .………………………………………6分 __ 9 =__ 32 ，所以(-3)2的算术平方根为__ 3， (4)因为(-3)2=__
2 即.……………………………………………… 8分 3 3
(5)13的算术平方根是.………………………………… 10分 13
【互动探究】一个数a(a≥0)的算术平方根有什么特点？ 提示：如果a是有理数的平方，a的算术平方根的结果就不带根
2不是有理数的平方， a的算术平方根 号，如；如果 a 4 2 2
0 ，即=__. 特别地，我们规定0的算术平方根是__ 0 0
(4)如图中x，y，z，w可以分别表示为：
x=__ 5 3，z=__ 4，w=__. 2，y=__
【点拨】用算术平方根可以表示某些无理数. 【预习思考】带根号的数一定是无理数，对吗？请说明理由. 提示：不对. 理由：如=39 ，它是有理数.
知识点1求一个非负数的算术平方根 【例1】(10分)求下列各数的算术平方根：
(1)0.81；(2)；(3)(-4)×(-9)；
(4)(-3)2；(5)13.
25 64
0.92 =0.81，所以0.81的算术平方根是 【规范解答】(1)因为____
0.9 ，即=____ 0.9 ____ 2分 0.81 .………………………………………