小菜鸟数学每周十题2017.6

小菜鸟数学每周十题2017.6
1．问题提出
把多边形的任一边向两方延长，如果其它各边都在延长线的同一旁，则这样的多边形为凸多边形．如平行四边形、梯形等都是凸多边形．我们教材中所说的多边形如没作特别说明，一般都是指凸多边形．
把多边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凹多边形．凹多边形会有哪些性质呢？
初步认识
如图（1），四边形ABCD中，延长BC到M，则边AB、CD分别在直线BM的两旁，所以四边形ABCD就是一个凹四边形．请你画一个凹五边形．（不要说明）
性质探究
请你完成凹四边形一个性质的证明：
如图（2），在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD=∠A+∠B+∠D．
类比学习
我们以前曾研究过凸四边形的中点四边形问题，如图（3），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形．当四边形ABCD 满足一定条件时，四边形EFGH还可能是矩形、菱形或正方形．
如图（4），在凹四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
拓展延伸
如图（5），在凹四边形ABCD的边上求作一点P，使得∠BPD=∠A+∠B+∠D．（不写作法、证明，保留作图痕迹）
2．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为3，AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求的值．
3．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
4．如图，抛物线C1：y=﹣（x+m）2+m2（m＞0）的顶点为A，抛物线C2：y=﹣（x﹣n）2+n2（n＞m）的顶点为B，抛物线C
的对称轴与抛物线C1相交于点C，抛物线C1的对称
2
轴与抛物线C2相交于点D．
（1）请你用含有m、n的代数式表示线段AD、BC的长度；
（2）若抛物线C1是y=﹣（x+1）2+1，OM=3，求抛物线C2的解析式和的值；
（3）若在抛物线C1上存在点N，使得△AND∽△BMC，求m、n所满足的关系．
5．在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点H 作OP的垂线交弧AB于点C，射线PC交弧AB于点D，联结OD．
（1）如图，当弧AC=弧CD时，求弦CD的长；
（2）如图，当点C在弧AD上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线HE与射线OD交于点F，当DF=时，请直接写出∠P的余切值．
6．如图，第一象限内半径为4的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+6．
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在△AMN的面积等于？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ORPT≌矩形OGHK，已知R（2a，0），T（0，2b），函数（x＞0）的图象分别与KH、HG、TP、PR交于点D、F、E、C，且已知点E是TP的中点．
（1）试问点C是PR的中点吗？请证明你的结论，并分别直接写出点D、F的坐标（可含a、b）．
（2）如图2，若直线DC交x轴于点A（10，0），交y轴于点B（0，10），且S△ODC=8S△OAC，
试求函数y=（x＞0）的解析式．
（3）在（2）的条件下，将△OCD和函数y=（x＞0）的图象同时以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分的面积为S．
①试求直线CD平移3秒后对应的解析式；
②求出S与运动时间t（秒）之间的函数关系式．（0＜t＜10）
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且AO=5、OC=10．
（1）在坐标平面内将此矩形绕原点O逆时针旋转m（0＜m＜360）度后，如果点C恰好落在直线AB上，那么m=．
（2）在图（2）中，Rt△DEF，∠D=90°，DE=DF=6，DE边在x轴上且E点与原点重合，将Rt△DEF沿x轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，当点E与点C重合时停止运动，设平移的时间为t，Rt△DEF与矩形OABC重叠部分的面积为y，求在平移过程中y与t的函数关系式．
（3）如图（3）把△OAC沿直线AC折叠后点O落在点O′处，延长AO′与线段CB的延长线交于点E，再把△ABC沿直线AC折叠后点B落在点B′处，连接B′E，
①求△AB′E的面积；
②过点A任作直线l交线段EB′于点P，E、B′到直线l的距离分别为d1、d2，试求d1+d2的最大值．
9．已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC 在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）设过点E、D、C的抛物线与x轴负半轴交于点G，F（﹣，0）矩形FGMN位置如图2所示，NF=OF，将矩形FGMN以1个单位/秒的速度从图2所示位置沿x轴正方向匀速平移，同时点P也以同样的速度从点G出发沿射线GM的方向匀速运动，记点G经过原点O后的运动时间为t（0≤t≤3），射线GM交抛物线于点Q，设点N、F、P、Q为顶点的多边形的面积为S，①试求出S与t的函数关系；②S是否存在最大值，若存在，求出此时点G 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）设点R（3，1）记过点E、D、C的抛物线为C1，将抛物线C1绕着点R旋转180°得抛物线C2，设C2交x轴于点S、T（S在T的左侧），在抛物线C1的对称轴上是否存在点K，使得△DSK的面积不大于6，若存在，请求出点K的纵坐标的取值范围．
10．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．。