新课程2021高考数学一轮复习第三章第5讲第1课时两角和差及倍角公式课件

□05 1t－anαta＋nαttaannββ
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
□ tanα－tanβ
T(α－β)：tan(α－β)＝ 06 1＋tanαtanβ
α，β，α＋β≠2π＋kπ，k∈Z. α，β，α－β≠2π＋kБайду номын сангаас，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
□ (1)S2α：sin2α＝ 01 2sinαcosα . □ □ □ (2)C2α：cos2α＝ 02 cos2α－sin2α ＝ 03 2cos2α－1 ＝ 04 1－2sin2α .
3.若 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则ttaannαβ等于(
)
A.5
B．－1
C．6
1 D.6
答案 A
解析 由题意可得 sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，解 得 sinαcosβ＝152，cosαsinβ＝112，∴ttaannαβ＝5.
7 3.已知 sinα＋cosα＝ 25，则 cos4α＝___8_____.
解析 由 sinα＋cosα＝ 25，得 sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝54， 所以 sin2α＝14，从而 cos4α＝1－2sin22α＝1－2×142＝78.
1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1， 23， 3等这些数值时，一 定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.
1.若 x∈[0，π]，sin3xsin23x＝cos3xcos23x，则 x 的值是( ) ππππ
A.6 B.4 C.3 D.2
答案 D
解析 由已知得，cos3xcos23x－sin3xsin23x＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝2π.
2.已知 α，β，γ∈0，π2，且 sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，那么
所以 sinβ－π4＝23 2，cos(α＋β)＝－35，
所以 cosα＋π4＝cosα＋β－β－4π＝cos(α＋β)·cosβ－π4＋sin(α＋
β)sinβ－π4＝－35×13＋45×2 3 2＝8
)
A．－
2 10
2 B. 10
C．－7102
72 D. 10
答案 C
解析 因为 cosα＝－45，α 是第三象限的角，所以 sinα＝－ 1－cos2α＝ －35，所以 sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－35× 22＋－45× 22＝－7102.
(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝( ) A．sin(α＋2β) B．sinα C．cos(α＋2β) D．cosα
第三章 三角函数、解三角形
第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式
[考纲解读] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导 出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点) 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(难点)
关于 y 轴对称．若 tanα＝35，则 tan(α－β)的值为( )
A．0
30 B.34
9 C.16
15 D. 8
答案 D
解析 由角 α 与角 β 的始边相同，终边关于 y 轴对称可知 tanα＝－tanβ. 又 tanα＝35，所以 tanβ＝－35，所以 tan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋35－35×－－3535＝185， 故选 D.
3
2＝－4
9
2 .
2.(2019·武威模拟)已知角 α 在第二象限，若 sinα＝35，则 tan2α＝( )
2
24
A.3
B. 7
C．－274
D．－34
答案 C
解析 因为 α 是第二象限角，且 sinα＝35，所以 cosα＝－ 1－sin2α＝－ 45.所以 tanα＝csoinsαα＝－34.所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×－－34342＝－274.
1.(2019·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且2π≤α≤π，则 sin2α 的值为(
)
A.－49 2
B．－29 2
22 C. 9
42 D. 9
答案 A
解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sinα＝13，又π2≤α≤π，∴cosα＝－ 1－sin2α＝
－2
3
2，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－2
β－α＝( )
π A.6
B．－π3
π C.3
D．±3π
答案 C
解析 由已知得 sinα－sinβ＝－sinγ，① cosα－cosβ＝cosγ，② 由①2＋②2 得 2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1， 所以 cos(β－α)＝12. 因为 α，β∈0，2π，所以 β－α∈－π2，π2， 因为 γ∈0，π2，所以 sinα－sinβ＝－sinγ<0， 所以 α<β，所以 β－α∈0，π2，所以 β－α＝π3.
所以 cos2θ＋π3＝cos2θcosπ3－sin2θsinπ3＝－12×12－ 23× 23＝－1.
3－4 3 3．已知 α∈π2，π，sinα＝ 55，则 sin56π－2α的值为___1_0____．
解析
因为
α∈π2，π，sinα＝
5 5.
所以 cosα＝－
1－sin2α＝－2
5
5 .
所以 sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝cos2α－sin2α＝35，所以 sin56π－2α
＝sin56πcos2α－cos56πsin2α＝12×35－－ 23×－45＝3－140
3 .
应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变 化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例 说明 2. (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合 应用．如举例说明 1,3. (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
题型三 两角和、差及倍角公式的灵活应用
角度 1 角的变换 1.(2019·南开区模拟)已知 0<α＜π2<β<π，cosβ－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求 sin2β 的值； 解 (1)sin2β＝cosπ2－2β＝2cos2β－π4－1＝－79.
(2)求 cosα＋π4的值.
解 (2)因为 0<α<2π<β<π，所以π2<α＋β<32π， 所以 sinβ－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为 cosβ－π4＝13，sin(α＋β)＝45，
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
□ (1)C(α－β)：cos(α－β)＝ 01 cosαcosβ＋sinαsinβ. □ C(α＋β)：cos(α＋β)＝ 02 cosαcosβ－sinαsinβ . □ (2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝ 03 sinαcosβ＋cosαsinβ .
□ S(α－β)：sin(α－β)＝ 04 sinαcosβ－cosαsinβ .
题型二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
1
3
2
3
A.2 B. 3 C. 2 D. 2
答案 A
解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－ cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.
2.熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形 sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ， cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ， tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．如举例说明 2. (2)倍角公式变形 降幂公式 cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α， 配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.
3.已知 atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且 α＋π6与 β 的终边相同，则ba的值为
()
2
3 22
3
A. 3 B. 3 C. 3 D. 4
答案 B
解析 已知等式可化为 atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，即 b(1＋tanαtanβ) ＝a(tanβ－tanα)，∴ba＝1t＋anβta－nαtatannαβ＝tan(β－α)，又 α＋π6与 β 的终边相同， 即 β＝2kπ＋α＋π6(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan2kπ＋π6＝tan6π＝ 33，即ba＝ 33，故 选 B.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用
1．(2019·山西大学附中模拟)已知 cosπ2＋α＝2cos(π－α)，则 tanπ4－α＝
()
A．－4
B．4
C．－13
1 D.3
答案 C
解析 因为 cosπ2＋α＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，所以 tanα＝2， 所以 tanπ4－α＝11－ ＋ttaannαα＝－13.
(4)asinα＋bcosα＝ □04 a2＋b2sin(α＋φ) ，其中 cosφ＝