数学说题稿

数学说题稿说题稿问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于B A 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： 0)(0'<="">说题目立意（1）考查求导公式（包括形如)(b ax f +的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。

说解法（Ⅰ）解：)(x f 的定义域为),0(+∞，（解决函数问题，定义域优先的原则）1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （常见函数的导数公式及导数的四则运算）（ⅰ）若,0≤a 则0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞单调递增；（ⅱ）若,0>a 则由0)('=x f 得a x 1=，当)1,0(a x ∈时，0)('>x f ，当),1(+∞∈a x 时，0)('<="">想）∴1()(0,)f x a 在单调递增，在1(,)a+∞单调递减. 综上，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0>a 时，1()(0,)f x a 在单调递增，在1(,)a+∞单调递减. 归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：（II ）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。

形如“)1()1(x af x a f ->+”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。

解析：方法一：构建以x 为主元的函数设函数11()()(),g x f x f x a a=+-- （构造函数体现划归的思想）则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+=，（这是本题的难点，很多学生不知要吧)(x g 朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握)(b ax f +型。

）2223'12211)(x a x a a ax a ax a x g -=--++= （)(b a x f +型的复合函数求导）当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- 方法二：构建以a 为主元的函数设函数)1()1()(x af x a f ag --+=，则 ax ax ax a g 2)1ln()1ln()(---+= 2223'12211)(x a a x x ax x ax x a g -=--++= 由a x 10<<，解得xa 10<< 当xa 10<<时，0)('>a g ，而0)0(=g ，所以0)(>a g 故当x a 10<<，11()().f x f x a a +>- 归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。

（Ⅲ）分析：判断)(0'x f 的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定221x x +与a1的大小关系，又可等效成判断12x a -与2x 的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定)2(1x af -与)(2x f 的大小关系，结合（Ⅰ）中)(x f 单调性，问题迎刃而解。

解：由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a >且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a <<<<<则（结合图象分析更方便）由（II ）得)()()11()2(2111x f x f x aa f x a f =>-+=- （注意前后两问的衔接）又)(x f 在1(,)a+∞单调递减所以1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是（利用函数性质脱掉函数符号）由（I ）知，0()0.f x '< 法二：解法分析:若该问没有其所在题的第2问的铺设,如何给出更一般的证明?一般证明如下:首先a ≤0时,f (x )在(0,+∞)单减,不符合f (x )有两个零点的条件,故a >0设f (x )的两个零点为x 1,x 2,且0<="" 1+x="" 1联立lnx 1–ax 12+(2–a )x 1=0lnx 2–ax 22+(2–a )x 2=0作差(两边同除以x 1–x 2)?a (x 1+x 2)+a –2=lnx 1–lnx 2x 1–x 2?2ax 0+a –2=lnx 1–lnx 2x 1–x 2f ′(x 0)=1x 0–2ax 0–a +2=1x 0–lnx 1–lnx 2x 1–x 2=2x 1+x 2–lnx 1–lnx 2x 1–x 2=2x 1–x 2(x 1–x 2x 1+x 2–12ln x 1x 2 )= 12111222121ln )x x 21x x x x x x ---+（(0<="" 1--+ (00,问题得证.归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II ）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。

完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。

说数学思想方法数学思想：（1）分类讨论思想（2）转化划归思想（3）数形结合思想数学方法：（1）导数法确定函数单调性（2）构造函数法证明不等式说试题背景来源我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于09、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析：2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。

首先从题干上分析：09年辽宁省理科21题题干：21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+-> 10年辽宁省理科21题题干： 1ln )1()(2+++=ax x a x f 11年辽宁省理科21题题干：x a ax x x f )2(ln )(2-+-=这三年都以)()()(x h x g x f +=型出现，其中)(x g 为对数x ln 的形式，)(x h 为二次函数型。

略有不同的的是参数a 出现的位置稍有不同。

另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。

从这三年的最后一问来看，09年（II ）证明：若5a <，则对于任意1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠有1212()()1f x f x x x ->-- 10年（II ）设1-<="">09年与10年问题本质相同，都是割线斜率或斜率的绝对值大于或大于等于某一常数(就是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等式恒成立问题。

11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于0，其实0)(0'<="">另外，我们再来研究10年天津高考数学理科21题已知函数()()xf x xe x R -=∈．(Ⅰ) 求函数)(x f 的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称．证明当1>x 时，)()(x g x f >；(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>．与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。

一般来说，高考试题来源可能有四个方面：一教材试题，二经典试题的改编，三往年高考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。

通过以上两个方面对试题来源的分析，我们有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。

说问题变式与拓展对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。

基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。

问题变式一：已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（III ）若函数)(x f y =的图像与直线m y =交于B A 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明： 0)(0'<="">编题意图：将特殊直线0=y （或x 轴）变成一般的直线m y =，体现从特殊到一般。

问题变式二：已知函数)0(ln )(2≠--=a bx ax x x f ，（III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <．编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。