考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题8概率与统计第38练含答案
2022高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮文档：专题8 概率与统计 第38练 Word版含答案
第38练 随机变量及其分布列[题型分析·高考展望] 随机变量及其分布列是高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望，二项分布及其应用．对本部分学问的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立大事概率的求解；三是考查二项分布．常考题型精析题型一 条件概率与相互独立大事的概率例1 (1)(2022·课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可依据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.(2)(2022·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他状况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ②两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解 ①记A i 为大事“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为大事“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为大事“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由大事的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋ P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.②由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由大事的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 6 P13016152151130110所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.点评 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求大事A 包含的基本大事数n (A )，再在大事A 发生的条件下求大事B 包含的基本大事数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). (3)相互独立大事的概率通常和互斥大事的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经消灭一些概率值，解题时先要推断大事的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．变式训练1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，大事A ＝“取到的2个数之和为偶数”，大事B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12 答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. (2)(2022·陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：①设X 表示在这块地上种植1②若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解 ①设A 表示大事“作物产量为300 kg ”，B 表示大事“作物市场价格为6 元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本． ∴X 全部可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为②设C i 表示大事“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由①知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3) ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 题型二 离散型随机变量的期望例2 (2021·山东)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参与者需从全部的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规章如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参与者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出全部个位数字是5的“三位递增数” ；(2)若甲参与活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1， 因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142，所以X的分布列为X 0－1 1P 231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.点评离散型随机变量的期望的求解，一般分两步：一是定型，即先推断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，留意离散型随机变量的取值与概率间的对应．变式训练2(2022·辽宁)一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)．解(1)设A1表示大事“日销售量不低于100个”，A2表示大事“日销售量低于50个”，B表示大事“在将来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为X 012 3P 0.0640.2880.4320.216由于X～B(3,0.6)，所以期望E(题型三二项分布问题例3(2022·湖北)方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入．．流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求将来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站期望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数12 3800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，得p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.由二项分布，得在将来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝(910)4＋4×(910)3×(110)＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评 应用公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件： (1)在一次试验中某大事A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的状况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中大事A 恰好发生了k 次的概率．变式训练3 甲、乙两支排球队进行竞赛，商定先胜3局者获得竞赛的成功，竞赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局竞赛甲队获胜的概率都是23.假设各局竞赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率；(2)若竞赛结果为3∶0或3∶1，则成功方得3分，对方得0分；若竞赛结果为3∶2，则成功方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功”分别为大事A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.高考题型精练1．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析 设甲命中目标为大事A ，乙命中目标为大事B ，丙命中目标为大事C ，则目标被击中的大事可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示大事A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.2．在4次独立重复试验中大事A 发生的概率相同，若大事A 至少发生1次的概率是6581，则大事A 在一次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25C.56 D ．以上全不对答案 A解析 设大事A 在一次试验中发生的概率为p ，∵大事A 全不发生为大事A 至少发生一次的对立大事，∴1－(1－p )4＝6581，即(1－p )4＝1681.故1－p ＝23或1－p ＝－23(舍去)，即p ＝13.3．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设大事A 为“x ＋y 为偶数”，大事B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.25答案 B解析 正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有C 16·C 16＝36(种)．大事A ：“x ＋y 为偶数”包含大事A 1：“x ，y 都为偶数”与大事A 2：“x ，y 都为奇数”两个互斥大事，其中P (A 1)＝C 13·C 1336＝14，P (A 2)＝C 13·C 1336＝14，所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝14＋14＝12.大事B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，所以大事AB 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝C 13·C 13－336＝16.P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.4．小王参与了2021年春季聘请会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案712解析 由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P121＋p313p 由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.5．某次学问竞赛规章如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案 0.128解析 由题设，分两类状况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；②第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥大事概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最终落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．答案 34解析 记“小球落入A 袋中”为大事A ，“小球落入B 袋中”为大事B ，则大事A 的对立大事为B ，若小球落入B 袋中，则小球必需始终向左落下或始终向右落下， 故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.7．(2022·安徽)甲乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接赢得竞赛，若赛完5局仍未消灭连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局竞赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；(2)记X 为竞赛决出胜败时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.8．已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区分)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球． (1)记取出的3个颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E (ξ)． 解 (1)由题意知P ＝C 1x ·C 1yC 26C 14＝xy 60≤160⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时，x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的全部可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310，P (ξ＝3)＝C 12C 26C 14＝130， 所以，红球个数ξ的分布列为于是E (ξ)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.9．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及均值E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为大事A ，“该射手射击甲靶命中”为大事B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为大事C ，“该射手其次次射击乙靶命中”为大事D . 由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ∪B C D ∪B C D ， 依据大事的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C D ∪B C D ∪B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝736. (2)依据题意知，X 的全部可能取值为0,1,2,3,4,5. 依据大事的独立性和互斥性，得 P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ∪B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ∪B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.10．(2021·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为大事A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用,理科)知识·方法篇 专题8 概率与统计专题8 第39练
15秒才出现绿灯的概率为( )
7 A.10
√B.58
3 C.8
3 D.10
解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为404－015＝58，故选 B.
解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，10]
内的概率为( )
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的 A、B 两处，两人同
时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、
西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和 p，乙向东、西、南、北 四个方向行走的概率均为 q.
点评
解析答案
变式训练1 (2016·北京)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选 中的概率为( )
1 A.5
√B.25
8 C.25
9 D.25
解析 从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，
甲被选中有4种情况，
则甲被选中的概率为140＝25.
解析
题型二 几何概型问题
例 2 (1)设不等式组00≤ ≤xy≤ ≤22， 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机
1 2
x＋12≤1”
发生的概率为( )
√A.34
2 B.3
1 C.3
1 D.4
解析
由－1≤log
1 2
x＋12≤1，得12≤x＋12≤2，
∴0≤x≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P＝232－ －00＝34.
解析
12345
3.(2015·福建)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1，0)，
2018版考前三个月高考数学理科总复习中档大题规范练4：概率与统计(含解析)
喜欢游泳 40 20
不喜欢游泳 10 30
合计 50 50
合计
60
40
100
因为
K2＝ 100
40×30－ 20×10
2
≈16.67>10.828.
60× 40× 50× 50
所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关 .
(2)喜欢游泳的共 60 人，按分层抽样抽取 6 人，则每个个体被抽到的概率均为
从而需抽取男生 4 人，女生 2 人 .
故 X 的所有可能取值为 0， 1， 2.
P(X＝0)＝ CC2226＝ 115，
P
(X
＝
1)
＝
C14C2 12＝ C6
8 15
，
P(X＝2)＝ CC2426＝ 165＝ 25，
110，
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 15
8 15
2 5
E(X)＝0×
115＋
4.概率与统计
1.某学校甲、乙两个班各派 10 名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示
的茎叶图 .现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”
.
(1)记甲班“口语王”人数为 m，乙班“口语王”人数为 n，比较 m，n 的大小；
(2)随机从“口语王”中选取 2 人，记 X 为来自甲班“口语王”的人数， 求 X 的分布列和期望 .
E(ξ)＝
12×
1＋ 4
18×1＋ 3
24× 5 18
＋
30×
1＋36× 9
1＝ 36
20.
所以 “如花姐 ”最后得分的期望为 20× 3＋ E(ξ)＝ 80.
2022届高考数学(理)热点题型概率与统计(含答案解析)
2022届高考数学（理）热点题型概率与统计（含答案解析）概率与统计热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用某，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|某－Y|，求随机变量ξ的分布列.解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为3，去参加乙游戏的概率2为3.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4).则1P(Ai)＝Ci43i24－i.3(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率1P(A2)＝C2432228＝.273(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，313∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C441241某3＋C43＝9.3(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.且A1与A3互斥，A0与A4互斥.8则P(ξ＝0)＝P(A2)＝27，P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)11＝C4332402331·3＋C43某3＝81，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)02＝C43441＋C4317＝81.4所以ξ的分布列是ξP08272408141781【类题通法】(1)本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参加甲游戏的概率1P＝Ci43i24－i，这是本题求解的关键.3(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件Ai 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已3212知甲队3人每人答对的概率分别为4，3，2，乙队每人答对的概率都是3，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.解(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，132132111321－1－1－故P(ξ＝2)＝4某3某某某＝；2＋4某3某2＋43224(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分2为η，则η～B3，3.。
2023全国高考数学统计与概率专题
2023全国高考数学统计与概率专题
引言
本文档旨在提供2023全国高考数学统计与概率专题的概述和重点内容。
通过对该专题的了解，学生可以更好地准备和应对高考数学考试。
一、概率计算
1. 确定事件的概率：介绍如何计算事件的概率，包括基本事件和复合事件。
2. 概率分布函数：讲解离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布函数。
3. 期望值的计算：介绍如何计算离散型和连续型随机变量的期望值，包括线性期望值的性质。
二、统计推断
1. 抽样方法：介绍简单随机抽样、整群抽样和分层抽样等常用的抽样方法。
2. 参数估计：讨论点估计和区间估计的概念和计算方法，包括样本均值和样本方差的估计。
3. 假设检验：介绍如何进行假设检验，包括设立假设、选择显著性水平和计算检验统计量。
三、相关性和回归分析
1. 相关系数：介绍相关系数的概念和计算方法，包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
2. 线性回归分析：讲解线性回归的原理和应用，包括最小二乘法的计算和回归方程的确定。
结论
本文档简要介绍了2023全国高考数学统计与概率专题的主要内容，包括概率计算、统计推断和相关性回归分析。
学生们可以结合此文档进行针对性的复习和备考，以提高数学成绩。
祝各位同学取得优异的成绩！。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题8 概率与统计 第39练
第39练 概率的两类模型[题型分析·高考展望] 概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120 答案 C解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2.(2015·山东)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 21⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤log 21⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.3.(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1，2)，D (－2，2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.4.(2016·课标全国乙)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.5.(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25C.16D.13 答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 高考必会题型题型一 古典概型问题例1 (1)(2016·课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130 答案 C解析 第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： ①选取的2位学生都是男生；②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.解 ①设4位男生的编号分别为1，2，3，4，2位女生的编号分别为5，6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4). 所以选取的2位学生全是男生的概率为P 1＝615＝25.②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种. 所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P 2＝815.点评 求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A .(2)分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m .(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝mn 求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.变式训练1 (2016·北京)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 答案 B解析 从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.题型二 几何概型问题例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4(2)在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.14 答案 (1)D (2)B 解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，所以选D.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则Δ＝4a 2＋4b 2－4π≥0⇒a 2＋b 2≥π得所求概率为 1－14π2π2＝34.点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A 的概率P (A )只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.变式训练2 (1)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.12(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.答案 (1)D (2)2e2解析 (1)由PB →＋PC →＋2P A →＝0， 可得PB →＋PC →＝－2P A →，由向量加法的几何意义可知点P 在△ABC 的中线AD 上，且PB →＋PC →＝PE →， 如图所示，由共线向量定理知PE →＝2PD →＝－2P A →，所以PD →＝－P A →，所以P 为AD 的中点， 所以△PBC 的面积是△ABC 面积的12，根据几何概型可知黄豆落在△PBC 内的概率是P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选D.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2⎠⎛01(e －e x)d x ＝2(e x －e x)⎪⎪⎪10 ＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.高考题型精练1.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 答案 B解析 从1，2，3，4中任取2个不同的数共有6(种)不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，故所求概率为26＝13，选B.2.(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.521 B.1021 C.1121 D.1 答案 B解析 从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.3.(2016·课标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 答案 B解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.4.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，10]内的概率为( ) A.π40 B.1010 C.110 D.π4 答案 A解析 设这两个数为x ，y ， 则0≤x ≤10，0≤y ≤10， 构成一个正方形，面积为102， 这两个数的平方和x 2＋y 2∈[0，10]， 在正方形中形成的阴影面积为10π4，因此所求概率为10π4102＝π40，选A.5.设a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，现随机地抽出一对有序实数对(a ，b )使得函数f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点的概率为( ) A.527 B.516 C.554 D.19 答案 A解析 因为a ∈[1，4]，b ∈[1，4]， 所以(a ，b )所在区域面积为9，f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点， 等价于4x 2＋4bx ＋a 2＝0有解， 即是b ≥a 2，此时(a ，b )所在区域如图阴影部分 ，其面积为3－⎠⎛12(a 2－1)d a ＝3－(13a 3－a )⎪⎪⎪21＝53， 由几何概型概率公式得到函数f (x )＝4x 2＋a 2与函数g (x )＝－4bx 的图象有交点的概率为539＝527， 故选A.6.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为( ) A.6－π2 B.6－π12 C.1－π12 D.2－π12答案 C解析 因为三角形的面积为12×3×4＝6，离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为12×π×12＝π2，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝6－π26＝1－π12，故选C.7.(2016·四川)从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________. 答案 16解析 从2、3、8、9任取两个数分别为记为(a ，b )，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 3 9和log 2 8两种情况，所以P ＝212＝16.8.若袋中5个外形相同的小球，其中红球2个，白球3个，现从中任取2个球，则取出的球中有红球的概率为________. 答案710解析 5个外形相同的小球，记其中的2个红球为1，2，3个白球为a ，b ，c .从中任取2个球，共有10种可能的结果，其中没有红球有3种可能的结果.所以有红球的概率为1－310＝710.9.(2016·上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________. 答案 16解析 甲同学从四种水果中选两种，选法有C 24种，乙同学的选法有C 24种.两同学相同的选法有C 24种，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为C 24C 24C 24＝16. 10.一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b 且c >b 时称为“凹数”.若a ，b ，c ∈{4，5，6，7，8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是________. 答案 13解析 根据题意，当且仅当a >b 且c >b 是称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A 35＝60(种)取法，在{4，5，6，7，8}中任取3个不同的数组成“凹数”有以下3种取法，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 24＝12(种)；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 23＝6(种)；将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 22＝2(种)；根据分类加法计数原理，可得共有12＋6＋2＝20(种)，所以构成“凹数”的概率为2060＝13.11.甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙闯关成功的概率为15，每人闯关成功得2分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求团体总分为4分的概率；(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率.解 记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A 、B 、C ，则由已知条件得P (A )＝13，P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝15.(1)∵P (A ·B )＝P (A )·P (B )，∴P (B )＝12.同理，P (C )＝25.(2)∵每人闯关成功记2分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功，∴两人都闯关成功的概率 P 1＝23·12·25＋13·12·25＋13·12·35＝310，即团体总分为4分的概率P 1＝310.(3)团体总分不小于4分，则团体总分可能为4分，可能为6分，团体总分为6分，需要三人都闯关成功，三人闯关都成功的概率P 2＝13·12·25＝115.由(2)知团体总分为4分的概率P 1＝310，∴团体总分不小于4分的概率P ＝P 1＋P 2＝310＋115＝1130.12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p ，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q .(1)求p 和q 的值；(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.解 (1)∵14＋14＋13＋p ＝1，∴p ＝16，又∵4q ＝1，∴q ＝14.(2)最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在C 、D 、E 三处相遇).设在C 、D 、E 三处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E ， 则p C ＝(16×16)×(14×14)＝136×16，p D ＝2(16×14)×2(14×14)＝16×16，p E ＝(14×14)×(14×14)＝116×16，∴p C ＋p D ＋p E ＝132(118＋13＋18)＝372 304，即所求的概率为372 304.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题8 概率与统计 第36练 Word版含答案
第36练“排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望]该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.体验高考1.(2015·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.2.(2016·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案 B解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B.3.(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案 D解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C 13，再将剩下的4个数字排列得到A 44，则满足条件的五位数有C 13·A 44＝72(个).选D.4.(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).答案 1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560(条)毕业留言.高考必会题型题型一 排列问题例1 (1)在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )A.150B.200C.600D.1 200(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.答案 (1)D (2)480解析 (1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25(种)放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4×4＝16(种)放法，第三颗棋子有3×3＝9(种)放法，第四颗棋子有2×2＝4(种)放法，第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子分别相同，所以不同的排列方法种数为25×16×9×4×13×2×1×2×1＝1 200，选D. (2)方法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A 25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A 44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A 25A 44＝480(种)不同的站法.方法二 (元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).点评求解排列问题的常用方法(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24(2)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：①5位同学站成一排，有________种不同的方法；②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有________种不同的方法.答案(1)D(2)①120②24解析(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.(2)①A55＝120.②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有A22A22A23＝24种不同的排法. 题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员.解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法；②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至多有3名外籍搜救队队员共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2(1)从不同号码的三双靴子中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为()A.12B.24C.36D.72(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答)答案(1)A(2)590解析(1)恰好有一双的取法种数为C13C12C12＝12.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种).③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种).∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.题型三 排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.(1)恰有1个盒子不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，共有几种放法？解 (1)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13A 22＝144(种).(2)“恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种). 点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)把A 、B 、C 、D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A 、B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有( )A.36种B.30种C.24种D.18种答案 (1)480 (2)B解析 (1)分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有2(A 22A 33＋C 13A 33A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480(种).(2)由题意A 、B 两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C 13(C 24－1)A 22＝3×5×2＝30(种).高考题型精练1.A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A.24种B.60种C.90种D.120种答案 B解析 五人并排站成一排，有A 55种情况，而其中B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的，则B 站在A 的右边的排法共有12A 55＝60(种). 2.A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种答案 B解析 由题知，不同的座次有A 22A 44＝48(种).3.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.10种B.8种C.9种D.12种答案 D解析 第一步，为甲地选一名老师，有C 12＝2(种)选法；第二步，为甲地选两个学生，有C 24＝6(种)选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种).4.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为( )A.144B.132C.96D.48答案 B解析分类讨论：甲选花卷，其余4人中有2人选同一种主食，方法有C24C13＝18(种)，剩下2人选其余主食，方法有A22＝2(种)，共有方法18×2＝36(种)；甲不选花卷，其余4人中有1人选花卷，方法有4种，甲选包子或面条，方法有2种，其余3人若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法有3A22＝6(种)，若没有人选甲选的主食，方法有C23A22＝6(种)，共有4×2×(6＋6)＝96(种)，故共有36＋96＝132(种)，故选B.5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484答案 C解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种).6.如图，用6种不同的颜色把图A，B，C，D，4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种(用数字作答).答案480解析从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法，由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法.7.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数是________.答案66解析从城市的西南角A到城市的东北角B，最近的走法种数共有C49＝126(种)走法，从城市的西南角A经过十字道口维修处C，最近的走法有C25＝10(种)，从C到城市的东北角B，最近的走法有C24＝6(种)，所以从城市西南角A到城市的东北角B，经过十字道路维修处C最近的走法有10×6＝60(种)，所以从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法有126－60＝66(种).8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这个三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析可根据中间数进行分类，中间数依次可为2，3，4，5，6，7，8，9，然后确定百位和个位，共有1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝240(个).9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.答案72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.10.一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第8秒末到达点P(4，2)的跳法共有________种.答案448解析分两类情况讨论：第一类：向右跳4次，向上跳3次，向下跳1次，有C48C34＝280(种)；第二类，向右跳5次，向上跳2次，向左跳1次，有C58C23＝168(种)；根据分类加法计数原理得，共有280＋168＝448(种)方法.11.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题8 概率与统计 第37练 Word版含答案
第37练 二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和[题型分析·高考展望] 二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解.(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.2.(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4 D.20i x 4 答案 A解析 由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.选A.3.(2015·安徽)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________(用数字填写答案). 答案 35解析 ⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 7(x 3)7－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 7·x 21－4k，令21－4k ＝5，得k ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5.4.(2016·上海)在(3x －2x )n 的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________. 答案 112解析 2n ＝256，n ＝8，通项T k ＋1＝C k 8·83-k x ·(－2x)k ＝C k 8(－2)k·843-kx .取k ＝2，常数项为C 28(－2)2＝112.高考必会题型题型一 求展开项例1 (1)(x 2＋1x 2－2)3展开式中的常数项为( )A.－8B.－12C.－20D.20(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)－2解析 (1)二项式(x 2＋1x 2－2)3可化为(x －1x )6，展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6·(－1)k ·x 6－2k.令x 的幂指数6－2k ＝0，解得k ＝3， 故展开式中的常数项为－C 36＝－20， 故选C.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102-k x ，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 点评 应用通项公式要注意四点(1)T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；(2)公式中a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1 (1)(9x －13x )n (n ∈N *)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )A.252B.－252C.84D.－84(2)(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为________.答案 (1)C (2)60解析 (1)第3项的二项式系数为C 2n＝n ·(n －1)2＝36，n ＝9， 其通项公式为T k ＋1＝(－13)k C k 9(9x )9－k 12-k x ＝(－13)k 99－k C k 9392-k x ，当9－32k ＝0，k ＝6时，为常数项，常数项为(－13)699－6C 69＝84. (2)因为(1＋2x )5展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·2k·2kx ，所以(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为1×C 45×24－12×C 25×22＝60. 题型二 赋值法求系数之和例2 (1)对任意的实数x ，有(2x －3)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6等于( ) A.－12 B.－6 C.6 D.12(2)若(2x －1)2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则12＋a 222a 1＋a 323a 1＋…＋a 2 01322 013a 1等于( ) A.－12 013 B.12 013 C.－14 026 D.14 026答案 (1)A (2)D解析 (1)由(2x －3)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，两侧求导，得a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4＋6a 6x 5＝12(2x －3)5， 令x ＝1，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6 ＝12(2×1－3)5＝－12，故选A.(2)因为(2x －1)2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，令x ＝0，则a 0＝－1，a 1＝2C 2 0122 013(－1)2 012＝2C 2 0122 013；令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以12＋a 222a 1＋a 323a 1＋…＋a 2 01322 013a 1＝1a 1(12a 1＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01322 013) ＝1a 1(a 0＋12a 1＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01322 013)－a 0a 1 ＝12C 2 0122 013(2×12－1)2 013＋12C 2 0122 013＝14 026.点评 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.变式训练2 (1)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，那么(x －1x)n的展开式中的常数项为( ) A.－15 B.15 C.20 D.－20(2)若(1－5x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值是( ) A.1 B.49 C.59 D.69 答案 (1)D (2)D解析 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋ (2)＝2×2n －12－1＝2n ＋1－2＝126⇒2n ＋1＝128⇒2n ＋1＝27⇒n ＝6，又T k ＋1＝C k 6(x )6－k(－1x)k ＝C k 6(－1)k x 3－k ， 所以由3－k ＝0得k ＝3，则常数项为－C 36＝－20.(2)(1－5x )9展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 9(－5x )k ＝(－5)k C k 9x k ，所以当x 的指数为奇数时，其系数为负，所以在(1－5x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9中令x ＝－1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝69，故选D.高考题型精练1.若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A.1 B.－1 C.0 D.2 答案 A解析 令x ＝1，得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 又令x ＝－1，得(2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3) ＝(2＋3)4(2－3)4＝14＝1.2.设n ∈N *，则5C 1n ＋52C 2n ＋53C 3n ＋…＋5n C n n 除以7的余数为( )A.0或5B.1或3C.4或6D.0或2 答案 A解析 5C 1n ＋52C 2n ＋53C 3n ＋…＋5n C nn ＝C 0n ＋5C 1n ＋52C 2n ＋53C 3n ＋…＋5n C n n －C 0n＝(1＋5)n －1＝(7－1)n －1＝7M ＋(－1)n －1，M ∈Z ， 当n 为奇数时，余数为5， 当n 为偶数时，余数为0.3.设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ，若(1－kx )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8等于( )A.－1B.0C.1D.256 答案 B解析 k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2， 所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0，故选B. 4.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B解析 (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6.5.(3y ＋x )5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象大致为( )答案 D解析 由题意得，展开式的第三项为T 3＝C 25(3y )3(x )2＝10xy ， 所以10xy ＝10，所以y ＝1x，且x >0，故选D.6.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a 的值为( ) A.0 B.1 C.11 D.12 答案 D解析 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016×522 016－C 12 016×522 015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.7.设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，5)B.(－∞，5]C.(5，＋∞)D.[5，＋∞) 答案 D解析 由于T k ＋1＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k x 12－3k ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5. 8.(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________. 答案 －210解析 (x 2－x ＋1)10＝[1＋(x 2－x )]10的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x 2－x )k，对于(x 2－x )k 通项公式为T m ＋1＝C m k x2k－2m(－x )m ＝(－1)m C m k x2k－m，令2k －m ＝3且m ≤k ≤10，m ∈N ，k ∈N ，得k ＝2，m ＝1或k ＝3，m ＝3，(x 2－x ＋1)10的展开式x 3系数为C 210C 12·(－1)＋C 310C 33·(－1)3＝－210.9.已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且n 是偶数，则a 0＋12a 1＋13a 2＋14a 3＋…＋1n ＋1an ＝__________. 答案1n ＋1解析 由a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＝(2x －1)n ， 在区间[0，1]上，两边取积分可得： a 0＋12a 1x 2⎪⎪⎪10＋13a 2x 3⎪⎪⎪10＋…＋1n ＋1a n x n ＋1⎪⎪⎪10 ＝⎠⎛01(2x －1)nd x ＝12(n ＋1)(2x －1)n ＋1⎪⎪⎪10＝1n ＋1，即a 0＋12a 1＋13a 2＋14a 3＋…＋1n ＋1a n ＝1n ＋1.10.设a n (n ＝2，3，4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝________. 答案 17 解析 令T k ＋1＝C k n 3n －k(－x )k＝C k n (－1)k ·3n －k2kx ，令k2＝1，得k ＝2， ∴(3－x )n 的展开式中x 的一次项的系数为a n ＝C 2n (－1)2·3n －2＝C 2n ·3n －2， 又C 2n＝n (n －1)2， 则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝32×(1C 22＋1C 23＋…＋1C 218) ＝9×(22×1＋23×2＋…＋218×17)＝18×[(1－12)＋(12－13)＋…＋(117－118)]＝18×(1－118)＝17.11.已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项.(1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)根据题意，可得(3x －123x)n的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x 31)n －k(－12x 31-)k＝(－12)k C kn23-n k x ，又由第6项为常数项，则当k ＝5时，n －2k3＝0，即n －103＝0，解可得n ＝10.(2)由(1)可得，T k ＋1＝(－12)k C k101023-k x ，令10－2k 3＝2，可得k ＝2，所以含x 2项的系数为(－12)2C 210＝454. (3)由(1)可得，T k ＋1＝(－12)k C k101023-k x ，若T k ＋1为有理项，则有10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，分析可得当k ＝2，5，8时，10－2k3为整数， 则展开式中的有理项分别为454x 2，－638，45256x －2. 12.已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去). 设T k ＋1项的系数最大.因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11. T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.。
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第38练用样本估计总体[题型分析·高考展望]用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是选择题、填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目.体验高考1.(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：13003456688891411122233445556678 15012233 3若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案 B解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.选B.2.(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误.故选D.3.(2016·课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个答案 D解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有六月，七月，八月，故选D.4.(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图知，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案 D解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140，故选D.5.(2015·湖北)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.答案 (1)3 (2)6 000解析 (1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.高考必会题型题型一 频率分布直方图的应用例1 (2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x ＝0.007 5， 所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户).点评 利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标.变式训练1 (2016·课标全国乙)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解 (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700. 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x >19(x ∈N ). (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000， 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 题型二 茎叶图的应用例2 (1)为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4(2)在“某市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.5和1.6B.85和1.6C.85和0.4D.5和0.4 答案 (1)C (2)B解析 (1)平均数为x ＝54.8，中位数为12(53＋56)＝54.5，∴这10位学生体重的平均数与中位数之差为： 54.8－54.5＝0.3.故选C.(2)x ＝15(4＋4＋4＋6＋7)＋80＝85，所以s 2＝15[3(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选B.点评 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.变式训练2 (1)某公司将职员每月的工作业绩用1～30的自然数表示，甲、乙两职员在2010年1～8月份的工作业绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A.两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定B.两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定C.两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定D.两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定(2)如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A.56B.57C.58D.59 答案 (1)C (2)B解析 (1)由茎叶图可得：x 甲＝18(12＋15＋18＋20＋20＋22＋25＋28)＝20，x 乙＝18(14＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋26)＝20，s 2甲＝18(82＋52＋22＋0＋0＋22＋52＋82)＝934， s 2甲＝18(62＋52＋32＋1＋1＋32＋52＋62)＝714， 由平均数和方差可知，两职员的平均业绩相同， 乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定.(2)由茎叶图知，甲共13个数据，中间的一个是32，乙共11个数据，中间的一个是25，所以甲和乙得分的中位数的和为57，故选B. 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 (1)一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2，3.6 B.57.2，56.4 C.62.8，63.6 D.62.8，3.6(2)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下列结论中错误的是________.(填序号)①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲罚球命中率比乙高；④甲的中位数是24. 答案 (1)D (2)④解析 (1)设这组数据分别为x 1，x 2，…，x n ， 则x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，方差为s 2＝1n[(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]，每一组数据都加60后，x ′＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n ＋60n )＝x ＋60＝62.8，方差s ′2＝1n[(x 1＋60－62.8)2＋…＋(x n ＋60－62.8)2]＝s 2＝3.6.(2)由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故①对；乙的数据中出现次数最多的是21，所以②对；甲的命中个数集中在20，而乙的命中个数集中在10和20，所以甲罚球命中率大，故③对；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为22＋242＝23，故④不对. 故答案应填④.点评 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.变式训练3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价. 解 (1)由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分. x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.高考题型精练1.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A.45B.50C.55D.60 答案 B解析 低于60分的人数的频率为0.015×20＝0.3， 所以该班人数15÷0.3＝50(人).2.某赛季，甲，乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲，乙两名运动员得分的中位数分别为( )A.20，18B.13，19C.19，13D.18，20 答案 C解析 中位数为一组数据由小到大排列后位于中间的一个数或两个数的平均数，所以中位数为19，13.3.如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中月收入在[1.5，2)千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为( )A.1 000B.2 000C.3 000D.4 000 答案 A解析 由频率分布直方图，得月收入在[1.5，2)千元的频率为P ＝0.6×0.5＝0.3， 所以此次抽样的样本容量为3000.3＝1 000，故选A. 4.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )A.0B.3C.6D.9 答案 A解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0，故选A.5.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为( )A.11B.11.5C.12D.12.5 答案 C解析 由频率分布直方图，可估计样本重量的中位数在第二组，设中位数比10大x ，由题意可得，0.06×5＋x ×0.1＝0.5，得x ＝2， 所以中位数为12，故选C.6.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( ) A.h ＋k 2 B.nh ＋mk m ＋n C.mh ＋nk m ＋n D.h ＋k m ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ， {y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B.7.从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图的工作人员粗心大意，位置t 处未标明数据，你认为t 等于( )A.0.004 1B.0.004 2C.0.004 3D.0.004 4 答案 D解析 由题意得，50×(0.006＋t ＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)＝1， t ＝0.004 4.8.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别为15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >a >b D.c >b >a 答案 D解析 易得a ＝14.7，b ＝15，c ＝17，故选D.9.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________.(填a 1>a 2，a 2>a 1，a 1＝a 2).答案 a 2>a 1解析 由题意可知，a 1＝81＋85×3＋845＝84，a 2＝84×3＋86＋875＝85， 所以a 2>a 1.10.已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________.答案 4解析 由题意4x 2＝16，x ＝2，所以(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋(x 3＋2)＋(x 4＋2)4＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44＋2＝4. 11.(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.解 (1)由频率分布直方图可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ，解得a ＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04.12.(2016·北京)某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)如题图所示，用水量在[0.5，2)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45＜0.8，用水量在[0.5，3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。