5.1空间直角坐标变换
常用的七参数转换法和四参数转换法以及涉及到的基本测量学知识
常⽤的七参数转换法和四参数转换法以及涉及到的基本测量学知识原⽂:1.背景在了解这两种转换⽅法时，我们有必要先了解⼀些与此相关的基本知识。
我们有三种常⽤的⽅式来表⽰空间坐标，分别是：经纬度和⾼层、平⾯坐标和⾼层以及空间直⾓坐标。
2.经纬度坐标系（⼤地坐标系）这⾥我⾸先要强调：天⽂坐标表⽰的经纬度和⼤地坐标系表⽰的经纬度是不同的。
所以，同⼀个经纬度数值，在BJ54和WGS84下表⽰的是不同的位置，⽽以下我说的经纬度均指⼤地坐标系下的经纬度。
⼤地坐标系是⼤地测量中以参考椭球⾯为基准⾯建⽴起来的坐标系。
下⾯我跟⼤家⼤致谈谈其中涉及到的两个重要概念。
2.1⼤地⽔准⾯和⼤地球体地球表⾯本⾝是⼀个起伏不平、⼗分不规则的表⾯，这些⾼低不平的表⾯⽆法⽤数学公式表达，也⽆法进⾏运算，所以在量测和制图时，我们必须找⼀个规则的曲⾯来代替地球的⾃然表⾯。
当海洋静⽌时，它的⾃由⽔⾯必定与该⾯上各点的重⼒⽅向（铅垂直⽅向）成正交，我们把这个⾯叫做⽔准⾯。
但是，地球上的⽔准⾯有⽆数个，我们把其中与静⽌的平均海⽔⾯相重合的⽔准⾯设想成⼀个可以将地球进⾏包裹的闭合曲⾯，这个⽔准⾯就是⼤地⽔准⾯。
⽽被⼤地⽔准⾯包裹所形成的球体即为⼤地球体。
2.2地球椭球体由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重⼒⽅向的变化，这个处处与重⼒⽅向成正交的⼤地⽔准⾯边成为了⼀个⼗分不规则的也不能⽤数学来表⽰的曲⾯。
不过虽然⼤地⽔准⾯的形状⼗分的不规则，但它已经是⼀个很接近于绕⾃转轴（短轴）旋转的椭球体了。
所以在测量和制图中就⽤旋转椭球来代替⼤地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。
2.3常⽤⼤地坐标系不同坐标系，其椭球体的长半径，短半径和扁率是不同的。
⽐如我们常⽤的四种坐标系所对应的椭球体，它们的椭球体参数就各不相同：BJ54坐标系：属参⼼坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3。
XIAN80坐标系：属参⼼坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101。
空间数据的坐标变换
空间数据的坐标变换空间数据坐标变换的实质是建立两个平面点之间的一一对应关系，包括几何纠正和投影转换，它们是空间数据处理的基本内容之一。
对于数字化地图数据，由于设备坐标系与用户确定的坐标系不一致，以及由于数字化原图图纸发生变形等原因，需要对数字化原图的数据进行坐标系转换和变形误差的消除。
有时，不同来源的地图还存在地图投影与地图比例尺的差异，因此，还需要进行地图投影的转换和地图比例尺的统一（图3一1）。
1.1几何纠正几何纠正是为了实现对数字化数据的坐标系转换和图纸变形误差的改正。
现有的几种商业GIS软件一般都具有仿射变换、相似变换、二次变换等几何纠正功能。
仿射变换与相似变换相比较，前者是假设地图因变形而引起的实际比例尺在／和Y方向上都不相同，因此，具有图纸变形的纠正功能。
(X＝ao＋a,x＋a2Y、VI‘（3一2）’TlY＝b,＋b，x＋b2Y．Y,式（3一2）含有6个参数a。
、a，、a。
、b。
、b．、｝＼ｂＺ，要实现仿射变换，需要知道不在同一直I＼／／‘线上的3对控制点的数字化坐标及其理论ｌ入／《值，才能求得上述6个待定参数。
但在实际！叫应用中，通常利用4个以上的点来进行几何口匕一一一一一一匕‘一一一一一一今ｘ纠正。
下面按最小二乘法原理来求解待定参数：图3一2坐标变换原理设Qs、Q，表示转换坐标与理论坐标之差，则有f 0_＝X一（a-＋a，x＋a.,，）t ((，＝r一} Do＋。
,x＋b2Y）按照〔口几」＝min和「ｅ互」＝min的条件，可得到两组法方程：ra-n＋a，又x＋a,又，二又x、a-,.x十a, J x十a., }, x．v＝Lx．A (i＿4）Ｌ～、、．，．～、，．，．‘，＿灰，2＿又，＿。
v“ao山y十a,山x‘y＋a2山y＝山y’入和f bo n＋b, E x＋b2zy＝}Y（boLx＋b．Z; x`＋b2Zx·y＝Z x·Y（3一5）‘b,艺y＋b,名x"y＋b2艺厂二习Y- Y式中：n为控制点个数；二,y为控制点的数字化坐标；x、Y为控制点的理论坐标。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类之相礼和热创作正如后面所提及的,所谓坐标系指的是描绘空间地位的表达方式,即采取什么方法来暗示空间地位.人们为了描绘空间地位，采取了多种方法，从而也发生了分歧的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等.在丈量中经常运用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角.某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来暗示.空间直角坐标系可用图2-3来暗示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采取大地经、纬度和大地高来描绘空间地位的.纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离.空间大地坐标系可用图2-4来暗示：图2-4空间大地坐标系三、立体直角坐标系立体直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标经过某种数学变换映射到立体上，这种变换又称为投影变换.投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等.在我国采取的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影.UTM投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数分歧而已.高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影.从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影.如图左侧所示，想象有一个椭圆柱面横套在椭球里面，并与某一子午线相切（此子午线称为地方子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC’经过椭球中心而与地轴垂直.高斯投影满足以下两个条件：1、它是正形投影；2、地方子午线投影后应为x轴，且长度坚持不变.将地方子午线东西各肯定经差（一样平常为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯立体直角坐标系，如下图２－５右侧所示.图2-5 高斯投影x 方向指北，y 方向指东.可见，高斯投影存在长度变形，为使其在测图和用图时影响很小，应相隔肯定的地区，另立地方子午线，采纳分带投影的法子.我国国家丈量规定采取六度带和三度带两种分带方法.六度带和三度带与地方子午线存在如下关系：366-N L ＝中； n L 33＝中其中，N 、n 分别为6度带和3度带的带号.另外，为了防止y 出现负号，规定y 值以为地加上500000m ；又为了区别分歧投影带，后面还要冠以带号，如第20号六度带中，y=-200.25m ，则成果表中写为y 假定＝20499799.75m.x 值在北半球总显正值，就无需改变其观测值了.1、空间直角坐标系与空间大地坐标系间的转换图２－６暗示了空间直角坐标系与空间大地坐标系之间的关系.图2-6 地球空间直角坐标系与大地坐标系在相反的基准下空间大地坐标系向空间直角坐标系的转换公式为：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2 (2-1)式中，W aN =，a 为椭球的长半轴，N 为椭球的卯酉圈曲率半径 a =6378.137km2222a b a e -=，e 为椭球的第一偏爱率，b 为椭球的短半轴 在相反的基准下空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换公式为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=N B R H X Y arctg L W B Z ae tg arctg B cos cos sin 12(2-2) 式中2、空间坐标系与立体直角坐标系间的转换空间坐标系与立体直角坐标系间的转换采取的是投影变换的方法.在我国一样平常采取的是高斯投影.由于高斯投影和UTM 投影都是横轴墨卡托的特例，因此，高斯投影和UTM 投影都可以套用横轴墨卡托投影的投影公式.横轴墨卡托投影的投影的正反算公式可拜见有关材料，它们的区别在于轴子午线投影到立体上后，其长度的系数，对于高斯投影，系数为1，对于UTM 投影，其系数为.3、变动高程回化面的影响用户在建立地方独立坐标系时，偶然变动高程回化面，这将发生一个新椭球，这就必须计算新常数，新椭球常数按下列方法和步调进行：1) 新椭球是在国家坐标系的参考椭球上扩大构成的，它的扁率应与国家坐标系参考椭球的扁率相称，即a a ='. 2) 计算该坐标系地方地区的新椭球均匀曲率半径和新椭球长半轴.新椭球均匀曲率半径为：m mm m m m H B e e a H W a W e a H MN H R R +--=+-=+=+=22232sin 11)1('(2.10) 式中m H ───该地区均匀大地高；m B ───该地区的均匀纬度.新椭球的长半轴按下式计算：2221sin 1''e B e R a m--=(2.11)将新的椭球参数代入，就可以进行投影的正反计算了.二、坐标零碎的转换方法分歧坐标零碎的转换本质上是分歧基准间的转换，分歧基准间的转换方法有很多，其中最为经常运用的有布尔沙模型，又称为七参数转换法.七参数转换法是：设两空间直角坐标系间有七个转换参数：3 个平移参数()z y x ∆∆∆、3 个旋转参数()z y x εεε和 1 个尺度参数k .比方，由空间直角坐标系A 转换到空间直角坐标系B 可采取上面的公式：§2.3.4 GPS 丈量中经常运用的坐标零碎一、世界大地坐标系WGS-84WGS-84 坐标系是如今GPS 所采取的坐标零碎，GPS 所发布的星历参数和历书参数等都是基于此坐标零碎的.WGS-84 坐标零碎的全称是World Geodical System-84 (世界大地坐标系-84), 它是一个地心肠固坐标零碎.WGS-84 坐标零碎由美国国防部制图局建立，于1987 年取代了当时GPS 所采取的坐标零碎WGS-72 坐标零碎而成为如今GPS 所运用的坐标零碎.WGS-84 坐标系的坐标原点位于地球的质心，Z 轴指向BIH1984.0 定义的协议地球极方向，X 轴指向BIH1984.0 的启始子午面和赤道的交点，Y 轴与X 轴和Z 轴构成右手系.WGS-84 系所采取椭球参数为见表2.1.二、1954 年北京坐标系1954 年北京坐标系是我国如今广泛采取的大地丈量坐标系.该坐标系源自于原苏联采取过的1942 年普尔科夫坐标系.该坐标系采取的参考椭球是克拉索夫斯基椭球.该椭球的参数见表2.1.遗憾的是该椭球并未根据当时我国的地理观测材料进行重新定位，而是由前苏联西伯利亚地区的一等锁经我国的东北地区传算过来的，该坐标系的高程异常是从前苏联1955 年大地水准面重新平差的结果为起算值，按我国地理水准路线推算出来的，而高程又是以1956 年青岛验潮站的黄海均匀海水面为基准.由于当时条件的限定1954 年北京坐标系存在着很多缺陷次要表示在以下几个方面：1. 克拉索夫斯基椭球参数同当代精确的椭球参数的差别较大，而且不包含暗示地球物理特性的参数，因此给理论和实践工作带来了许多方便.2. 椭球定向不非常明白，椭球的短半轴既不指向国际通用的CIO 极，也不指向如今我国运用的JYD极.参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的零碎性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达67 米.3. 该坐标零碎的大地点坐标是经过局部分区平差得到的.因此天下的地理大地操纵点实践上不克不及构成一个团体，区与区之间有较大的隙距，如在有的接合部中同一点在分歧区的坐标值相差1-2 米，分歧分区的尺度差别也很大，而且坐标传递是从东北到东南和东北，后一区是从前一区的最弱部作为坐标起算点，因此一等锁具有分明的坐标积存偏差.三、1980 年西安大地坐标系1978 年我国决定重新对天下地理大地网实施团体平差，而且建立新的国家大地坐标零碎.团体平差在新大地坐标零碎中进行，这个坐标零碎就是1980 年西安大地坐标零碎.1980 年西安大地坐标零碎所采取的地球椭球参数的四个几何和物理参数采取了IAG 1975 年的引荐值，见表2.1中的西安80.椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0 JYD 地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治均匀地理子午面，椭球面同似大地水准面在我国境内符合最好，高程零碎以1956 年黄海均匀海水面为高程起算基准.四、几种经常运用的坐标零碎的几何和物理参数下表列出了几种经常运用的坐标零碎的几何和物理参数，用户必要时可以查阅：表 2.1 GPS 丈量中经常运用的坐标零碎的几何和物理参数§2.4 GPS高程零碎在丈量中经常运用的高程零碎有大地高零碎、正高零碎和正常高零碎.§2.4.1 大地高零碎大地高零碎是以参考椭球面为基准面的高程零碎，某点的大地高是该点到经过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离.大地高也称为椭球高.大地高一样平常用符号H 暗示.大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同一个点在分歧的基准下具有分歧的大地高.通常，GPS接收机单点定位得到的高程为WGS-84下的大地高.§2.4.2 正高零碎正高零碎是以大地水准面为基准面的高程零碎，某点的正高是该点到经过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离.正高用符号 H g暗示.§2.4.3 正常高正常高零碎是以似大地水准面为基准的高程零碎，某点的正常高是该点到经过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用 H γ 暗示.§2.4.4高程零碎之间的转换关系大地水准面到参考椭球面的距离称为大地水准面差距，记为 h g ，大地高与正高之间的关系可以暗示为：正 高：g g h H H -=似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为ζ.大地高与正常高之间的关系可以暗示为：正常高：ζγ-=H H高程之间的互相关系可以用下图2-7来暗示：图2-7 高程零碎间的互相关系。
测量学-第五章 坐标测量
1/3
F1：数据采集
F2：放样
F3：存储管理 P↓
选择一个文件
数据采集
1/2
FN：
F1：输入测站点
F2：输入后视点
输入 调用 - - - 回车 F3：测量
P↓
数据采集
2/2
F1：选择文件
F2：输入编码
F3：设置
P↓
F1 F2 F3 F4
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4高斯投ຫໍສະໝຸດ 的关系式高斯平面直角坐标系
500km
第X带
国家统一高斯通用直角坐标
（1）为了避免横坐标出现负值，故规定将坐标纵轴向西平移500km。 即将自然值的横坐标Y加上500000米； （2）为了根据横坐标能确定该点位于哪一个六度带内，再在新的横 坐标Y之前标以带号。
X
X'
o
O'
500km
Y 图2-13
高斯平面直角坐标系的建立 是采用横轴椭圆柱等角投影 方法。
中央子午线 N
o
高斯(Gauss,1777-1855)， 德国数学家，天文学 家，物理学家。
高斯投影
1.中央子午线和地球赤道投影成为直线 且为投影对称轴； 2.等角投影，经纬线投影后保持相互垂 直关系； 3.中央子午线上没有长度变形。
分带投影：将地球按一定的经差值分割成若干带,按一 定的投影方法进行投影。 一般采用按经差6°和3°进行投影分带。
地面点的坐标是它沿铅垂线在大地 水准面上投影点的经度和纬度
（ , ）
正高是地面点沿铅垂线到大地水准 面的距离
N
P
首
子 午
O
线
赤道
大地水准面 S
坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面
T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z
则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
高等数学教材下册目录
高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。
第五章 坐标测量
12
arctan
y2 x2
y1 x1
arctan
525.72 3814.29 2404.50 4342.99
239
28'56''
§5.3 全站仪及其使用
一、概述
全站仪（Total Station），是全站型电子速测仪的简称。 它由电子测角、光电测距、微处理机及其软件组成，在测 站上能完成测量水平角、竖直角、斜距等，并能自动计算 平距、高差、方位角和坐标等全部基本测量工作，还可以 将测量数据传输给计算机实现测图的自动化。
x (N H ) cos B cos L
y
(N
H ) cos B sin L
；
z [N (1 e2 )＋H ]sin B
式中，N—P点的卯酉圈曲率半径；
—第e 一偏心率。
a N
1 e2 sin2 B
e2
a2 b2 a2
；
（X,Y,Z） （B,L,H）
B
arctan[tan
(1
ae2
F3
F4
图5-2 角度测量模式菜单
页数
第1页 （P1）
第2页 （P2）
第3页 （P3）
软键 F1 F2
F3 F4 F1 F2
F3 F4 F1
F2 F3 F4
表5－2 角度测量模式各键和显示符号的功能表
显示符号
功能
置零 锁定
将当前视线方向的水平度盘读数设置为0 将当前视线方向的水平度盘读数锁定
退出键
返回上一级状态或返回测量模式
电源开关键
电源开关
软键（功能键） 对应于显示的软键信息
数字键
输入数字和字母、小数点、负号
坐标系转换专题
换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法
首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 )，按高斯投影坐标反算公式求得其大地
坐标（B,L）；然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差
，按高斯
投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2）。
特点;
（1）是综合GDZ80和BJ54旧 建立起来的参心坐标系。 （2）采用多点定位。但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合。 （4）定向明确。 （5）大地原点与GDZ80相同，但大地起算数据不同。 （6）与BJ54旧 相比，所采用的椭球参数相同，其定位相近，但定向不同。 （7） BJ54旧 与BJ54新 无全国统一的转换参数，只能进行局部转换。
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影之后的长度无变形；其余子午
线的投影均为凹向中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴，离对称轴越 远，其长度变形也就越大，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
(2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为凸向赤道的曲线，并以赤道为 对称轴；
(3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系，即投影后无角度变形；
2000国家大地坐标系
2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现 ，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心.
a．属地心大地坐标系； c ．原点为地球的质心； b．CGCS2000与WGS84采用的参考椭球非常接近.
目前利用空间技术所得到的定位和影像等成果，都是 以地心坐标系为参照系。
特点: （1）椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位。 （2）定向明确。
新1954年北京坐标系
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5.1.1 移轴变换 (Axis transformation)
设坐标系O-xyz与O' -x'y' z'的原点O与O'不同, O'在旧坐标 系下的坐标为(x0,y0,z0),但是坐标向量相同i' = i, j' = j, k' = k,(图 5-1)这时新坐标系可以看成由O-xyz平移到使O与O' 重合而得 来,这种情况下的坐标变换称为移轴.
现在推导移轴变换公式. 设P为空间任意一点,它在O-xyz与O' -x'y' z'下的坐标分别是(x,y,z)
与(x', y', z'),
OP OO OP
OP xi yj zk
OP xi yj zk xi yj zk
OO x0i y0 j z0k
设两个右手坐标系O-xyz与O' -x' y' z'的原点相同,但坐标 向量i,j,k与i',j',k'不同,这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原 点旋转,使得i,j,k分别与i',j',k'重合得到的,这种情况下的坐标 变换称为转轴.
下面推导转轴变换公式.
具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴 之间的夹角来决定,列表如下：
x x
cos1 cos 1
y y
cos2 cos 2
z z
cos cos
3 3
, ,
x xcos1 ycos 2 zcos 3.
这就是空间直角坐标变换的转轴公式.转轴的逆变换公式为：
x y
x cos1 x cos2
将i',j',k'代入得
xi yj zk xcos1 ycos2 z cos3 i x cos 1 y cos 2 z cos 3 j xcos1 ycos 2 zcos 3 .
于是有
x y
xi yj zk (x x0)i (y y0) j (z z0)k
利用向量相等则对应坐标相等
所以有
x y
x y
x0 , y0（, 5.1-1）
z z z0.
这就是空间直角坐标系的移轴公式. 从(5.1-1)解出(x', y', z')，就得到移轴的逆变换公式
k i cos3 j cos3 k cos 3
设空间任意一点P,它的旧坐标为(x,y,z),在新坐标系内的 坐标为(x', y', z'),那么有
OP xi yj zk,
OP xi yj zk.
由于O= O',由上面两式得:
xi yj zk xi y j zk.
设在空间给出了两个右手直角坐标系O-xyz与O'-x'y'z', i,j,k和i',j',k'是两组坐标基向量,它们是空间中的两组标准正交 基.前一个称为旧坐标系,后一个坐标系称为新坐标系.它们之 间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标, 以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定. 下面 先讨论直角坐标系的移轴和转轴(也称为平移和旋转),然后通 过移轴和转轴给出直角坐标变换的一般公式.
x y
x y
x0 , y0 ,
(5.1
2)
z z z0.
例1 利用移轴化简曲面方程9x2 4y2 36z2 36x 8y 4 0从而判别该 方程代表的曲面.
解 利用配方,将方程左边变为
9(x2 4x 4) 4(y2 2y 1) 36z2 36 = 9(x 2)2 4(y 1)2 36z2 36,
表5-1 新、旧坐标系之间的夹角
x轴(i)
y轴(j)
x' 轴(i')
1
β1
y' 轴(j')
2
β2
z' 轴(k')
3
β3
z轴(k)
γ1 γ2 γ3
由于i',j',k'都是单位向量,其坐标为它的3个方向余弦.故
从表5-1可知
i j
i i
c os1 c os 2
j cos1 k cos1 j cos2 k cos 2
5.1 空间直角坐标变换
(Rectangular coordinate transformation in
space)
在用坐标法讨论变形的时候,首要的问题常常是选取一个 适当的坐标系来化简问题,并且常常需要把一个坐标系中的结 果转化到另一个坐标系中去.要解决这个问题,最基本的是求 出同一个点在两个不同的坐标系中的坐标变换式.
y y
cos cos
1 2
z cos 1, z cos 2 ,
z x cos3 y cos 3 z cos 3.
例2 试求空间直角坐标系O-xyz绕z轴旋转的直角坐标变换公式. 解 设新的坐标向量为i',j',k',显然k'= k.另外绕z轴旋转时,应符合
5 空间直角坐标变换与点变换
（Rectangular coordinate transformation in space and point transformation）
一切事物都在不停地运动和变化着,因此,了解图形在运
动与变化中的情况是很重要的.在日常生活和生产实践中,经 常遇到物体改变位置和形状的现象.开门、搬凳子就是改变物 体的位置.阳光通过长方形窗格射到地上,其影像是平行四边 形.弹性体在外力作用下的主要表现是变形.在本章中,主要讨 论图形变位和变形这两种比较简单的情况.在变形的讨论中, 坐标法也是基本的方法,首先是如何用数量关系来表示变形; 其次是区别图形的性质,有哪些在变形中是不变的,有哪些是 要改变的.
化简,得
作移轴
x
y
x 2, y 1,
z z.
(x 2)2 (y 1)2 z2 1. 49
即将坐标原点移到点O'(2,-1,0),曲面方程为
可见它是椭球面.
x2 y2 z2 1. 49
5.1.2 转轴变换 (Rotation transformation)