矩阵特征值 开题报告
特征值——矩阵的本质属性(horn编写的矩阵分析学习心得)
特征值——矩阵的本质属性——《矩阵分析》课程报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：说明本文并没有按照要求使用手写版，而是采用打印版，特此作如下说明：1.笔者采用手写版在第一部分画知识结构图时，发现由于知识点较多，框图须不停地修改；2.在进行正文书写的过程中，笔者发现课本上的前后知识点有串联，在进行后面书写的时候往往需要添加或修改前面的内容；显然，显然手写版难以满足不断修改的需要，笔者此前已写过两份手写版，但都由于无法修改不得已中途放弃，故最终采用了打印版的形式。
同时，笔者也保证，本课程教材为本文的唯一参考资料，本文无任何拷贝其他资料的内容，仅是笔者对课本知识点的整合梳理并加以自己的部分理解，望老师理解。
摘要本文以矩阵的特征值为主线，分别阐述了特征值、特征向量、相似性、酉等价、正规矩阵、Hermite矩阵和对称矩阵等矩阵的重要概念及其与矩阵特征值的关系。
关键字：特征值，矩阵的重要概念【目录】1 矩阵分析知识点框图 (3)2 特征值与特征向量 (4)2.1 特征值与特征向量 (4)2.2 谱与谱半径 (6)2.3 特征多项式 (6)2.4 小结 (7)3 相似性 (7)3.1 定义 (7)3.2 相似与特征值的关系 (7)3.3 矩阵的可对角化 (8)4 酉等价和正规矩阵 (9)4.1 酉矩阵 (9)4.2 酉等价 (9)4.3 SCHUR酉三角化定理 (10)4.4 可交换矩阵与矩阵的特征值之间的关系 (11)4.5 正规矩阵 (12)5 标准形 (13)5.1 JORDAN矩阵 (13)5.2 JORDAN标准形与矩阵特征值的关系 (13)5.3 由JORDAN表现出来的矩阵的基本性质 (14)6 HERMITE矩阵和对称矩阵 (15)6.1 HERMITE矩阵 (15)6.2 HERMITE矩阵、对称矩阵的相合与同时对角化 (16)6.3 合相似与合对角化 (17)7 总结 (18)1 矩阵分析知识点框图根据矩阵分析中出现的部分知识点的相互联系情况，作以上框图，笔者发现其几何中心为特征值，即特征值与绝大多数知识点都有直接或间接的关系，故本文中采用矩阵特征值为主线串联各知识点，以上的各种联系在下文中都会有体现。
矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
矩阵特征值与特征向量求解及其应用-本科数学论文开题报告
安徽建筑大学毕业设计（论文）开题报告题目矩阵特征值与特征向量求解及其应用专业信息与计算科学姓名张浩班级10信息（2）班学号10207010233指导教师宫珊珊提交时间2014年3月4号一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义矩阵的特征值与特征向量是线性代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，有助于我们更好地认识线性代数，同时也有利于我们利用矩阵特征值与特征向量来解决实际问题。
随着社会的发展和科技的进步，特征值与特征向量的重要性得以显现，越来越被人们所重视。
物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。
因此对于矩阵特征值与特征向量的理论分析及求解方法探索是很有必要的，本课题深入研究矩阵特征值与特征向量的定义和性质，对于矩阵特征值与特征向量的两种求解方法的原理进行了思考和分析,重点研究特征值与特征向量的应用探索，在应用方面主要分析了矩阵特征值与特征向量在Google搜索引擎上的应用并提出了自己的想法，进一步将自己的想法进行推广应用。
二．课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题研究的主要内容：特征值与特征向量的相关理论及其应用主要问题和难点问题：1、在矩阵特征值与特征向量基本性质的基础上，了解矩阵特征值与特征向量的理论及其应用。
2、在搜集有关矩阵特征值与特征向量应用实例上对矩阵特征值与特征向量相关问题进行思考推广。
3、矩阵特征值与特征向量的性质推广来解决生活中的实际问题。
三、研究步骤、方法及措施：1、介绍矩阵特征值与特征向量的研究现状，以及研究矩阵特征值与特征向量的实际意义。
2、介绍矩阵特征值与特征向量的定义及其基本性质，并对矩阵特征值与特征向量的理论及应用进行分析。
3、阅读大量文献资料，找出与该课题有关的问题及结论，对问题加以分析和总结。
4、在熟悉有关性质和定义的基础上对特征值与特征向量的应用进行深入研究和探索，加以整理，从而形成自己的研究成果。
数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14班级 学号 姓名 成绩一、实验概述： 【实验目的】学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用 了.命令 GramSchmidt[A]给出与矩阵 A 的行向量组等价的且已正交化 的单位向量组.【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求方阵的特征值与特征向量1用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.例 14.11 2求方阵M 2 31 333 6 的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]例 14.21 31 31 2 M1 511 3 求方阵 612 的特征值和特征向量.(*Example14.2*)G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]例 14.33 0 0A 1t3 已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求t.(*Example14.3*)Clear[Aq]；A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；2q=Det[A]；，t] 2 1 2 例 14.4已知x(1,1,1)是方阵A= 5 1a b32 的一个特征向量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)设特征值为t，输入Clear[A，B，v，a，b，t]；A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；v={1，1，-1}；B=A.v；，，，{a，b，t}]2.矩阵的相似变换若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m 的命令.例 14.54 1 22设方阵 A= 2 212 2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.Clear[A，p]；A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；3Eigenvalues[A]；p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证 P-1AP 为对角阵，输入Inverse[p].A.p解法二 直接用 JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[1]]jor[[2]]例 14.6方阵A 1 201 是否与对角阵相似?Clear[A]；A={{1，0}，{2，1}}；Eigensystem[A] 2 0 0 1 0 0 例 14.7A 2已知方阵 3x 12 1 与B 0 02 00 y 相似，求ｘ，ｙ.Clear[x，v]；v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；，x]40 1 1 0A 1010 1 1 0 0例 14.8 对实对称矩阵 0002 ，求一个正交阵P，使P-1AP 为对角阵.<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mClear[a，p]；A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例 14.9 求一个正交变换，化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 2x42 为标准型 二次型的矩阵为0 1 1 0A 1010 1 1 0 0 0002 f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify【实验结论】（结果）根据程序的编辑,实验很成功。
论矩阵的对角化问题论文开题报告
[4]张禾瑞．高等代数．北京：高等教育出版社，
[5]吉林大学数学系．数学分析(中册)．
[6]郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化．河南机电高等专科学校学报．
[7]金佑来．矩阵对角化的一个新方法．合肥学院学报．
[8]周立仁．矩阵同时对角化的条件讨论．湖南理工学院学报．
二，几种常用矩阵对角化的讨论
三，可对角化矩阵的应用
重点：几种常见矩阵对角化的讨论
难点：可对角化矩阵的应用
预期目标：通过对易理解的矩阵的对角化问题的具体分析以及相对复杂先行变换的对角化问题的探讨，使我们更轻松的理解并掌握线性变化的对角化问题
三、拟采用的研究方法、步骤
研究方法：文献参考法，研究法，计算法，定性分析法
[9]岳嵘．利用矩阵对角化求数列通项．高等数学研究．
[10]杨胜良．三对角行列式与Chebyshev多项式．大学数学．．
六、指导教师意见
签字：
年
月
日
八、分管院长意见及签字
（办公室盖章）
年
月
日
研究步骤：第一步从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件
第二步几种常用矩阵对角化的讨论
第三步可对角化矩阵的应用
四、研究的总体安排与进度
五、参考文献（不少于10篇）
[1]李世余．代数学的发展和展望．广西大学学报．
[2]北京大学数学系与代数教研室前代数小组编．王萼芳,石生明修订．高等代数（第三版）．北京:高等教育出版社,
数学与统计学院
院
数学与应用数学
专业
学生姓名
XXXX
学号
XXXXX
一、选题的背景、研究现状与意义
矩阵特征值开题报告
05 时间安排与进度计划
CHAPTER
时间安排
01
02
03
04
05
第一阶段（1-2周 第二阶段（3-4周 第三阶段（5-6周 第四阶段（7-8周 第五阶段（9-10
）
）
）
）
周）
文献调研与综述。主要任 务是收集和阅读关于矩阵 特征值研究的最新文献， 了解研究现状和前沿动态 ，为后续研究打下基础。
理论推导与算法设计。基 于第一阶段的研究成果， 进行矩阵特征值相关理论 的深入学习和推导，设计 出有效的算法框架。
02
研究方法
随着计算技术的发展，矩阵特征值的 计算方法和算法将更加高效和精确， 为实际应用提供更为可靠的理论支持 。
03
应用领域
矩阵特征值的应用领域将进一步拓展 ，不仅局限于数学和工程学科，还将 应用于金融、经济、社会学等领域， 为解决实际问题提供更为全面的解决 方案。
03 研究内容与方法
CHAPTER
随着科学技术的不断发展，矩阵特征 值问题在实际应用中的重要性日益凸 显，对矩阵特征值的研究具有重要的 理论价值和实际意义。
研究意义
1
通过对矩阵特征值的研究，可以深入了解矩阵的 性质和结构，进一步丰富和发展矩阵理论。
2
解决矩阵特征值问题可以为实际应用提供重要的 理论支撑和技术支持，推动相关领域的发展和进 步。
3
通过对矩阵特征值的研究，可以培养和提升研究 者的数学素养和科研能力，为未来的科研工作打 下坚实的基础。
02 国内外研究现状及发展趋势
CHAPTER
国内研究现状
研究进展
近年来，国内在矩阵特征值方面的研究取得了显著进展。研究 者们针对不同类型的矩阵，如实对称矩阵、复Hermitian矩阵
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
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比较研究法：通过比较分析矩阵特征值计算在各方面 的应用，进一步的进行归纳总结，概括出适合不同矩阵的 更简洁易行的求解方法。
10
5
收
集 的
[1] 王萼芳，石生明，高等代数[M]，高等教育出版社，2003.2.
资 [2] 李世群，矩阵的列相似问题[J], 吉首大学学报，1997.12.
5
研究方向研的究动创态及新本点文创新点：
创新点
通过总结概括一小部分特殊矩阵特征值的计算方法， 并且通过比较分析矩阵特征值在各方面的应用， 进一步的进行 归纳总结，概括出适合不同矩阵的更简洁易行的求解方法，是 矩阵计算在其他领域获得更广泛的应用。矩阵的形式千变 万化，其对应解法也是纷多繁杂。要想进一步完善，还需要 我们今后不断的探索。
6
目录
研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段：
应收集的资料及主要参考文献：
7
主要研究内容及提纲：
第一章 前言 第二章：
矩阵特征值的计算方法
2.1利用求特征多项式后的行列式变换来化简计算特征 2.2利用矩阵的初等变换来求解方阵的特征值 2.3利用矩阵的分解降阶求特征值 2.4 利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解 2.5利用简便求矩阵特征多项式的递推法间接求特征值
3
目录
研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段：
应收集的资料及主要参考文献：
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研究方向的动态及本文创新点：
• 研究动态：
本文主要研究矩阵计算中的三大基本问题之一——特征 值问题。而矩阵计算是科学和工程计算的核心 ，大部分 科学与工程问题都要归结为矩阵计算的问题，比如在数学 物理 、地球物理 、光学 、力学 、结构设计和优化等领域 就具有重要的应用，那么就是说特征值问题占有举足轻重 的地位，具有很好的科学发展前景。
： [7]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，中央民族大学出版社，
2002.8.
11
T欢h迎e专家e老n师d
批评指正！
12
第三章：
3.1已知特征值或特征向量，反求参数 3.2已知特征值或某部分特征值条件，求行列式 3.3已知矩阵，利用特征值求矩阵的幂方
8
目录
主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段： 应收集的资料及主要参考文献：
9
研究方法：
观察法：通过在资料书本上了解矩阵特征值的相关知 识，进行仔细观、反复研究；
经验总结法：通过以前对矩阵特征值的相关知识的掌 握以及现在对它的进一步了解，从而进行总结；
料 [3] 李世群，高等代数续论，内部资料，2010.
及 主
[4]刘亚亚，程国，一种改进的求方阵特征值的方法[J]，商洛学院
要
报，2008.4矩阵的特征值与特
考 文
征向量同步求解[J]，数学通报，1996.2.
献 [6]陈兴龙，矩阵特征多项式的一种求法[J]，数学通报，1998.9.
计算矩阵特征值的几种方法
1
目录
选题的理论意义与实践意义：
研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段：
应收集的资料及主要参考文献：
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目录
选题的理论意义与实践意义：
随着科学的发展，矩阵理论已被广泛地运用到应用数学、计算机科 学、经济学、工程学、系统科学等诸多方面，成为现代科技领域处 理大量有限维形式与数量关系的强有力的工具。对矩阵理论的现代 研究与系统工程、优化方法及稳定理论、群论、图论等有着密切的 相互关系。作为数学中的一个分支，包含了丰富的内容，成为一门 最有实用价值的数学理论。特征值问题是矩阵理论的一个主要研究 领域，对它的研究具有重要的理论意义和实践意义。许多科学和工 程问题如结构力学中的固有频率分析以及控制系统中的稳定性问题 ，最终都转化为特征值问题。因此理论与实践意义并存，掌握求解 好特征值问题具有很好的发展前景。