浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)
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福建师范大学
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题 目: 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法
学习中心: 灌 云 奥 鹏 专 业: 数学及应用数学 年 级(入学批次): 201103 学 号: ************ 学生姓名: * * 导师姓名: 严 晓 明
2013 年 3月 15 日
装 订 线
浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法
201103896627 刘明 指导老师:严晓明
摘要: 最值问题是中学数学的重要题型之一。以最值问题为载体,可以考查中学数学的几乎所有知识点,可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。解决最值问题,从方法上来说,它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。本文就高中数学的要求,结合一些典型试题进行分析和探讨,说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。 关键词:高中数学 最值 解题方法
1、引言
在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题,也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题,其题型多样,解法灵活,在高中数学中,最值问题涉及面广,像函数(三角函数,二次函数,指对函数,幂函数),不等式,向量,解析几何,立体几何,圆锥曲线中都能找到最值问题,在高考中,常以一些基础题,小综合的中档题或一些难题的形式出现,是历年高考重点考查的知识点之一,几乎每年的高考试题中都有出现。
2、最大(小)值及其几何意义
一般地,设)(x f y =的定义域为A ,如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈,都有
)()(0x f x f ≤,那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值,记为)(0max x f y =;如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈,都有)()(0x f x f ≥,那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值,记为)(0min x f y =.其几何意
义是:函数图象上最高(低)点的纵坐标。
3、求最值的常用方法
求解最值问题的方法很多,下面对求最值问题的常用方法进行总结并举例说明,它们是:二次函数的性质法、均值不等式法、导数法、三角函数的有界性法、函数的单调性法、几何法、换元法,利用各类型的典型例题,分析求最值问题的解题思路,以揭示其中的特征和规律。
3.1、利用“二次函数的图象和性质”求最值
其对称轴是直线=x a
b
2-
,其性质是:①若a >0,则二次函数所表示的图象开口向上,顶点是最低点,此二次函数的一般表达式是c bx ax y ++=2),0(为常数、、c b a a ≠,化为顶点式即为
a b ac a b x a y 44)2(22-++=时函数具有最小值,即当=x a b 2-时,a
b a
c y 442