浅谈中学数学解题方法(论文)[1]

琼州学院浅谈中学数学解题研究学院理工学院专业数学与应用数学班级 12级学生王永确学号 ******** 指导教师陈德钦目录中文摘要、关键词 (2)引言 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (3)三、待定系数法 (3)四、定义法 (3)五、数学归纳法 (3)六、参数法 (3)参考文献…………………………………………………………（）英文摘要、关键词………………………………………………（）附录………………………………………………………………（）摘要：随着素质教育的推进,在学习中学数学方法时,常会遇到一些比较复杂的问题,如果用直接求解的方式来解答,往往会使问题变得更加复杂,于是我们提出了数学常用解题方法和技巧,，同时也证实了掌握数学解题方法和技巧是十分必要的。

数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。

数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了让读者能够更系统地了解中学数学常用的解题方法和技巧，本文通过理论阐述和例题分析就中学数学常用的解题方法和技巧进行详细的以下介绍:本文浅陋介绍高考中常用的数学基本解题方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法等等。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以例题的形式出现进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范，每个例中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

关键词:解题方法和技巧数学解题思想配方法换元法待定系数法数学归纳法1、配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2；a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；…… 等等。

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23B. 14C. 5D. 6【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。

长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5 所以选B 。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。

【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 ,(p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。

又 ∵p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根， ∴ △＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22 综合起来，k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或者 22≤k ≤10。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p ＋q 与pq 的组合式。

假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

2、换元法解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

例1． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A C -2的值。

【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A ＋C ＝120°，设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22,解得：cos α＝22， 即：cos A C-2＝22。

【注】 本题解法由“A ＋C ＝120°”、“1cos A ＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°例2. 已知sin θx ＝cos θy ，且cos 22θx ＋sin 22θy ＝10322()x y +(②式)，求x y 的值。

【解】 设sin θx ＝cos θy＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2)＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y 222＝10322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y22＝103 设x y 22＝t ，则t ＋1t ＝103, 解得：t ＝3或13 ∴x y ＝±3或±33【注】 第一种解法由sin θx ＝cos θy而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。

在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

3、待定系数法待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

例1. 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(an 2＋bn＋c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。

【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝12(4a＋2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c 。

整理得：a b c a b c a b C ++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2442449370,解得a b c ===⎧⎨⎪⎩⎪31110， 于是对n ＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n ＋1)2＝n n ()+112(3n 2＋11n ＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n ，该等式都成立：假设对n ＝k 时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10)； 当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ()+112(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)2＝()()k k ++1212（3k 2＋5k ＋12k ＋24）＝()()k k ++1212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]，也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立。

综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。

此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。

对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。

4、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。

简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。

用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

例1. 已知z ＝1＋ｉ， ① 设w ＝z 2＋3z －4，求w 的三角形式； ② 如果z az b z z 221++-+＝1－ｉ，求实数a 、b 的值。

【分析】代入z 进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。

【解】由z ＝1＋ｉ，有w ＝z 2＋3z －4＝(1＋ｉ)2＋3()1+i －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w 的三角形式是2（cos54π＋ｉsin 54π）； 由z ＝1＋ｉ，有z az b z z 221++-+＝()()()()1111122+++++-++i a i b i i ＝()()a b a ii +++2＝(a ＋2)－(a ＋b)ｉ。

由题设条件知：(a ＋2)－(a ＋b)ｉ＝1＋ｉ；根据复数相等的定义，得：a a b +=-+=-⎧⎨⎩211()，解得a b =-=⎧⎨⎩12。