高数 第十一章 第二节
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11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
高等代数第11章双线性函数与辛空间
高等代数第11章双线性函数与辛空间<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
对于大学更好地学习数学很有帮助,对于考研复习数学也很有帮助。
大学学习主要针对非数学专业同学;考研复习针对数一的学生。
</i> §1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
对于大学更好地学习数学很有帮助,对于考研复习数学也很有帮助。
大学学习主要针对非数学专业同学;考研复习针对数一的学生。
</i> 第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
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大学学习主要针对非数学专业同学;考研复习针对数一的学生。
</i> 例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
《高等数学》 各章知识点总结——第11章
1 第11章 曲线积分与曲面积分总结一、曲线曲面积分的计算1、L 的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰. 2、有向曲线L : x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 参数t 单调地由α变到β时,: ⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),( 3、设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y Px Q)(, 其中L 是D 的取正向的边界曲线. 特别要注意曲线不封闭但Q Px y ∂∂-∂∂比较简单时补一曲线使其封闭的情况。
4、曲面∑由方程z =z (x , y )给出, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(225、曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(,其中当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”.6、空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Qx P)(,其中∑取外侧。
特别要注意曲面不封闭面三重积分易计算时补一曲面的情况。
高等数学第十一章
(收敛半径不变)
解
两边积分得
解
收敛区间(-1,1),
常用已知和函数的幂级数
1.定义
2.收敛性
定理1（Abel定理）
证明
这与假设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
推论
定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径 . 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 .
规定
问题 如何求幂级数的收敛半径?
证明
由比值审敛法,
例2
求下列幂级数的收敛区间:
解 该级数收敛; 该级数发散.
第三节
幂级数
一、函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义
2.收敛点与收敛域
ห้องสมุดไป่ตู้
3.和函数
注意 函数项级数在某点x 的收敛问题,实质上是数 项级数的收敛问题.
解 由达朗贝尔判别法
原级数绝对收敛.
原级数发散.
收敛; 发散; 故级数的收敛域为
二、幂级数及其收敛性
发散;
收敛. 故收敛区间为 (0,1].
解
缺少偶次幂的项.
级数收敛.
级数发散, 级数发散, 级数发散,
原级数的收敛区间为
三、幂级数的运算
1.代数运算性质
(1) 加减法
(2) 乘法
柯 西 乘 积
(3) 除法 (相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质
(收敛半径不变)
大一高数课件第十一章11-2
二、用 比较 审 敛 法或 极 限审 敛法 判别 下列 级 数的 收 敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
uN m r m1uN 1,
而级数
r
u m1 N
1收敛,
m1
uNm un收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim n
un 2 un
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
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2
第十一章 线性代数
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设 、 为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .
高数 第十一章 无穷级数12.2
n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数 均为正数 的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
高数11-2
an x n bn x n cn x n ,
n 0 n 0 n 0
n 0
n 0
n 0
其中
- 17 -
以上结论可用部分和 的极限证明 .
第二节
幂级数
2.和函数的分析运算性质: (1)幂级数
an x n 0
n
的和函数 S ( x ) 在收敛区间 ( R, R )
收敛半径 R ,
x0 一定是该幂级数收敛区间的端点， 即该幂级数的收敛 半径R | x0 | .
-9-
第二节
幂级数
n a x 如果幂级数 n 如果在 x x0 处收敛，而在
x x0 处发散, 则 x0一定是该幂级数收敛区间的端点，
第 十 一 章
n 0
即该幂级数的收敛半径 R | x0 | . 问题 如何求幂级数的收敛半径? 的系数满足
s( x ) ( an x n )
n 0
n 1 na x (a n x ) n .
nБайду номын сангаас
n 0
n 1
(收敛半径不变)
- 19 -
第二节
幂级数
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发
第 散, 十 一 章 无 穷 级 数
n x ( x ) x x n n1 n 1
发散区域
x
收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确 无 定的正数 R 存在, 它具有下列性质: 穷
级 数
当 x R 时,幂级数绝对收敛; 当 x R 时,幂级数发散;
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
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2
y2 x
O
A(1,1)
xydx xy cos ds L
L
2 xy
L 2
2
4y 1
ds
13/15
. 解 | F ( x , y ) | k x y , 其中k 0，为常数 B(0, b) F ( x , y ) 的方向为MO ( x , y ), M ( x, y) MO F ( x, y) F | F | k ( x , y ), | MO | O A(a ,0) k ( x, y ) ( dx, dy) 所求功 W F ds
L
z dz
ds
L
L
dy
y
L
L
0
0
L
L
L
12/15
例4 将
L
xydx（ L 为 y x 上 A(1,1) 到
2
B(1,1)
B(1,1)）化 为 对 弧 长 的 曲 线 积 分 .
解 L : x y , t ( 2 y, 1) 0 1 1 ( 2 y , 1) t ( 2 y , 1) 2 |t | 4y 1
9/15
L33: x 0, y[ 0,1] L
y dx
L3
2
y
2
或
y dx 2 / 3.
2 L
y dx
2
2
L3 x轴dx 0
0 2 dx y d 0 0, 1
y
0;
L2 : x 2 y 2 1
( 2)
或
x dy y dx L y dx L L 2 / 3.
两类曲线积分微分元之间的联系
L 第 Qdy Q cos ds, 第 O 一 二 类 dx Rdz R cos ds, 类 x F d s F (t ds) ( F t )ds.
L
Pdx P cos ds,
第二节
1. 2. 3. 4. 5.
对坐标的曲线积分
问题的提出 概念与性质 计算 两类曲线积分的联系 小结、作业
1/15
一、问题的提出
y
i
实例: 变力沿曲线所作的功 ( i , i ) M M L : A B, L M y x F ( x , y ) P ( x , y )i ( x , y ) j Q M M 常力所作的功 W F AB A x 如何计算 变力所作的功？ o 分割 A M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( x n1 , y n1 ), M n B . M i 1 M i ( x i )i ( y i ) j . 求和．近似值 作积 F ( i , i ) M i 1 M i P ( i , i )x i Q( i , i )yi .
2
L
xydx
上下对称
／ 2 x dx 4 5.
3/ 2
2
1
0
A(1,1)
OB: y x , x[ 0,1]
xydx
7/15
例2 求
L
y dx 及 x dy，L : x y 1,
2 2 2 2 L
x 0，y 0 的边界，逆时针方向（ 默认） .
解 (1)
n
Pdx Qdy Rdz
L
lim i 1 F ( i , i , i ) M i 1 M i 0 —— F ( x, y, z ) 沿有向曲线弧L的积分.
n
4/15
性质
( (1) 线性；2) 关于积分弧的可加性；
(3) 有向曲线弧反向 ，第二类曲线积分反号 ：
2
2
0
2
或
L2 : x 1 y , y[ 0 ,1]
2
y dx
L3
2
L2 : x y 1
或
1 2 yd 0
2 sin2 d cos 0
L2 : x cos , y sin , [ 0 , ] 2
2, 1 y 3
2
O
y dx
2
L1
x
2; 3
到 O(0,0,0) 的有向线段AO . 解 L 的方向向量 OA ( 3,2,1),
1
O
A( 3,2,1)
2
y
3
( 3t ) d ( 3t ) 3t ( 2t ) d ( 2t ) ( 3t ) ( 2t )dt
3 2 3
87 4. ／
11/15
四、两类曲线积分的联系
L正方向上的单位切向量 0 ds t ds (cos , cos , cos )ds (dx, dy, dz)
i
n 1
i
0
i 1
i 1
Q( x, y )对坐标 y 的曲线积分
A
M2 M1
i
L
Q( x , y )dy lim i 1 Q( i , i )yi .
n
o
x
0
同样方式定义沿 空间有向曲线弧的积分：
L
P ( x , y , z )dx,
L
Q ( x , y , z )dy,
xydx, L : 沿 y x L 从 A(1,1) 到 B(1,1).
例1 计 算
2
B(1,1)
. 解1 化为对x 的定积分
y2 x
O
L
xydx
0
AO: y x , x[ 0,1]
OB: y x , x[ 0,1]
xydx
xydx
1
0
A(1,1)
x( x )dx x xdx 4 5. ／
n 1
B
i
i 1
i
2
1
求和 、取极限
精确值
n i 1
W lim
0
[ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]
2/15
二、概念与性质
P ( x , y )沿光滑有向曲线弧 L 对 x 的曲线积分 y B ) (第二类曲线积分 P ( x , y )dx ( i , i ) M M L n y lim P ( i , i )x i . L M x
L
R( x , y , z )dz.
3/15
记 F ( P , Q , R), ds (dx, dy, dz), 则 F ds ( P , Q, R) (dx, dy, dz)
L
L
lim i 1 [ P ( i , i , i )x i Q( i , i , i )yi 0 R( i , i , i )z i ]
Q( x, y )dy Q( x, y )dy L L f ds f ds .
L L
5/15
L
P( x, y )dx P( x, y )dx
L
即：对坐标的曲线积分与曲线的定向有关.
三、计算
基本方法 —— 找到L 的(单)参数方程，将第二类 曲线积分化为从起点参数到终点参数的定积分．
15/15
作
第十一章
业
习题一
一、2；二、3；三、3~5.
思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给 定之后（例如 L： x a cos t ， y a sin t ， t [0, 2 ]，a 是正常数），试问如何表示 L 的 方向（如 L 表示为顺时针方向、逆时针方 向）？
思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 例如L ： x a cos t ， y a sin t ，t [0,2 ] 中 t 当 L 取逆时针方向时， 从 0 变到2 ; t 反之，当L 取顺时针方向时， 从2 变到 0.
L
y dx ( ) y dx
2
2
L1
L2
L3
y
L1
y dx
2
L1 : y 0 , x[ 0 ,1]
0,
1 0dx 0
L2 : x 2 y 2 1
L3
或
L1
y dx
2
L1方程
L1
0dx 0;
O
L1
x
8/15
2, y dx 2Ly2 1 x2 , x[0,1] y dx 1 (1y x )dx 3 L : 2 2
x y
L 2
x dy 2 / 3.
同理
L3
O
L1
x
2
2
10/15
例3 求
L
x dx 3 zy dy x ydz, L : A( 3,2,1) z
3 2 2
原式 0
1
x x 3t , x 3z, z [0,1]. L : y 2 t , t [0,1]. 即 y 2z, z t,
2 2
*例5 设质点在M ( x , y ) 处受到力F 作用． | 与 M 到原 |F 点的距离成正比，方向 指向原点．此质点由 (a ,0) 沿 A x2 y2 2 1 按逆时针方向移到 (0, b)，求 F 所作的功 B . 2 a b
k
AB
x a cos t t[ 0 , ] AB: y b siபைடு நூலகம் t 2
y2 x
O
A(1,1)
xydx xy cos ds L
L
2 xy
L 2
2
4y 1
ds
13/15
. 解 | F ( x , y ) | k x y , 其中k 0，为常数 B(0, b) F ( x , y ) 的方向为MO ( x , y ), M ( x, y) MO F ( x, y) F | F | k ( x , y ), | MO | O A(a ,0) k ( x, y ) ( dx, dy) 所求功 W F ds
L
z dz
ds
L
L
dy
y
L
L
0
0
L
L
L
12/15
例4 将
L
xydx（ L 为 y x 上 A(1,1) 到
2
B(1,1)
B(1,1)）化 为 对 弧 长 的 曲 线 积 分 .
解 L : x y , t ( 2 y, 1) 0 1 1 ( 2 y , 1) t ( 2 y , 1) 2 |t | 4y 1
9/15
L33: x 0, y[ 0,1] L
y dx
L3
2
y
2
或
y dx 2 / 3.
2 L
y dx
2
2
L3 x轴dx 0
0 2 dx y d 0 0, 1
y
0;
L2 : x 2 y 2 1
( 2)
或
x dy y dx L y dx L L 2 / 3.
两类曲线积分微分元之间的联系
L 第 Qdy Q cos ds, 第 O 一 二 类 dx Rdz R cos ds, 类 x F d s F (t ds) ( F t )ds.
L
Pdx P cos ds,
第二节
1. 2. 3. 4. 5.
对坐标的曲线积分
问题的提出 概念与性质 计算 两类曲线积分的联系 小结、作业
1/15
一、问题的提出
y
i
实例: 变力沿曲线所作的功 ( i , i ) M M L : A B, L M y x F ( x , y ) P ( x , y )i ( x , y ) j Q M M 常力所作的功 W F AB A x 如何计算 变力所作的功？ o 分割 A M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( x n1 , y n1 ), M n B . M i 1 M i ( x i )i ( y i ) j . 求和．近似值 作积 F ( i , i ) M i 1 M i P ( i , i )x i Q( i , i )yi .
2
L
xydx
上下对称
／ 2 x dx 4 5.
3/ 2
2
1
0
A(1,1)
OB: y x , x[ 0,1]
xydx
7/15
例2 求
L
y dx 及 x dy，L : x y 1,
2 2 2 2 L
x 0，y 0 的边界，逆时针方向（ 默认） .
解 (1)
n
Pdx Qdy Rdz
L
lim i 1 F ( i , i , i ) M i 1 M i 0 —— F ( x, y, z ) 沿有向曲线弧L的积分.
n
4/15
性质
( (1) 线性；2) 关于积分弧的可加性；
(3) 有向曲线弧反向 ，第二类曲线积分反号 ：
2
2
0
2
或
L2 : x 1 y , y[ 0 ,1]
2
y dx
L3
2
L2 : x y 1
或
1 2 yd 0
2 sin2 d cos 0
L2 : x cos , y sin , [ 0 , ] 2
2, 1 y 3
2
O
y dx
2
L1
x
2; 3
到 O(0,0,0) 的有向线段AO . 解 L 的方向向量 OA ( 3,2,1),
1
O
A( 3,2,1)
2
y
3
( 3t ) d ( 3t ) 3t ( 2t ) d ( 2t ) ( 3t ) ( 2t )dt
3 2 3
87 4. ／
11/15
四、两类曲线积分的联系
L正方向上的单位切向量 0 ds t ds (cos , cos , cos )ds (dx, dy, dz)
i
n 1
i
0
i 1
i 1
Q( x, y )对坐标 y 的曲线积分
A
M2 M1
i
L
Q( x , y )dy lim i 1 Q( i , i )yi .
n
o
x
0
同样方式定义沿 空间有向曲线弧的积分：
L
P ( x , y , z )dx,
L
Q ( x , y , z )dy,
xydx, L : 沿 y x L 从 A(1,1) 到 B(1,1).
例1 计 算
2
B(1,1)
. 解1 化为对x 的定积分
y2 x
O
L
xydx
0
AO: y x , x[ 0,1]
OB: y x , x[ 0,1]
xydx
xydx
1
0
A(1,1)
x( x )dx x xdx 4 5. ／
n 1
B
i
i 1
i
2
1
求和 、取极限
精确值
n i 1
W lim
0
[ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]
2/15
二、概念与性质
P ( x , y )沿光滑有向曲线弧 L 对 x 的曲线积分 y B ) (第二类曲线积分 P ( x , y )dx ( i , i ) M M L n y lim P ( i , i )x i . L M x
L
R( x , y , z )dz.
3/15
记 F ( P , Q , R), ds (dx, dy, dz), 则 F ds ( P , Q, R) (dx, dy, dz)
L
L
lim i 1 [ P ( i , i , i )x i Q( i , i , i )yi 0 R( i , i , i )z i ]
Q( x, y )dy Q( x, y )dy L L f ds f ds .
L L
5/15
L
P( x, y )dx P( x, y )dx
L
即：对坐标的曲线积分与曲线的定向有关.
三、计算
基本方法 —— 找到L 的(单)参数方程，将第二类 曲线积分化为从起点参数到终点参数的定积分．
15/15
作
第十一章
业
习题一
一、2；二、3；三、3~5.
思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给 定之后（例如 L： x a cos t ， y a sin t ， t [0, 2 ]，a 是正常数），试问如何表示 L 的 方向（如 L 表示为顺时针方向、逆时针方 向）？
思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 例如L ： x a cos t ， y a sin t ，t [0,2 ] 中 t 当 L 取逆时针方向时， 从 0 变到2 ; t 反之，当L 取顺时针方向时， 从2 变到 0.
L
y dx ( ) y dx
2
2
L1
L2
L3
y
L1
y dx
2
L1 : y 0 , x[ 0 ,1]
0,
1 0dx 0
L2 : x 2 y 2 1
L3
或
L1
y dx
2
L1方程
L1
0dx 0;
O
L1
x
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2, y dx 2Ly2 1 x2 , x[0,1] y dx 1 (1y x )dx 3 L : 2 2
x y
L 2
x dy 2 / 3.
同理
L3
O
L1
x
2
2
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例3 求
L
x dx 3 zy dy x ydz, L : A( 3,2,1) z
3 2 2
原式 0
1
x x 3t , x 3z, z [0,1]. L : y 2 t , t [0,1]. 即 y 2z, z t,
2 2
*例5 设质点在M ( x , y ) 处受到力F 作用． | 与 M 到原 |F 点的距离成正比，方向 指向原点．此质点由 (a ,0) 沿 A x2 y2 2 1 按逆时针方向移到 (0, b)，求 F 所作的功 B . 2 a b
k
AB
x a cos t t[ 0 , ] AB: y b siபைடு நூலகம் t 2