连续与离散控制系统(刘长英)第十一章线性离散控制系统数学描述与分析(修改版)
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连续和离散系统分析
连续和离散系统分析连续系统分析：连续系统的数学描述通常使用微分方程。
对于一个线性时不变（LTI）系统，其数学模型可以表示为：y(t)=x(t)*h(t)其中，y(t)是系统的输出，x(t)是输入，h(t)是系统的冲激响应（即单位冲激函数对系统的响应）。
该式可以进一步表示为积分形式：y(t)=∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ这是一种卷积形式的表达。
对连续系统进行频域分析时，通常使用拉普拉斯变换。
假设输入信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，输出信号y(t)的拉普拉斯变换为Y(s)，系统的传递函数（频域特性）为H(s)，则系统的频域响应可以表示为：Y(s)=X(s)*H(s)其中，*表示拉普拉斯变换中的乘法运算。
离散系统分析：离散系统的数学描述通常使用差分方程。
对于一个线性时不变系统，其数学模型可以表示为：y[n]=x[n]*h[n]其中，y[n]是系统的输出，x[n]是输入，h[n]是系统的冲激响应。
离散系统的频域分析通常使用傅里叶变换或者z变换。
在离散系统中，傅里叶变换将离散信号转换到周期连续频域上。
假设输入信号x[n]的傅里叶变换为X(e^jω)，输出信号y[n]的傅里叶变换为Y(e^jω)，系统的传递函数为H(e^jω)，则系统的频域响应可以表示为：Y(e^jω)=X(e^jω)*H(e^jω)其中，*表示傅里叶变换中的卷积运算。
另一种广泛应用的离散系统分析方法是z变换。
z变换将离散信号转换到z平面上，相当于傅里叶变换的离散形式。
假设输入信号x[n]的z变换为X(z)，输出信号y[n]的z变换为Y(z)，系统的传递函数为H(z)，则系统的频域响应可以表示为：Y(z)=X(z)*H(z)其中，*表示z变换中的乘法运算。
对于离散系统，还需要考虑采样定理以及采样频率对系统分析的影响。
采样定理指出，如果连续信号的最高频率成分小于采样频率的一半，那么可以通过离散信号获得连续信号的信息。
总之，连续和离散系统分析是信号与系统理论中的基础内容。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
线性定常离散控制系统
扰动量
输入量 +
_
控制环节
输出量 被控对象
反馈量
反馈环节
1、举例：电枢控制的直流电动机闭环控制系统
假设ui不变，n希 1500r / min
n实 u2 u u ui u2 ua n
2、优点： （1）可有效地抑制扰动对系统的影响 （2）可提高系统的稳态精度 （3）加快系统的过渡过程
若线性系统中，系数不是常数，而是时间的函数， 如：
••
•
yt at yt btyt ctrt
称该系统为线性时变系统。
七、确定系统和不确定系统：
1、确定系统：系统结构参数确定，输入输出信号都 为时间的确定函数。
2、不确定系统：若有一个不满足， 则为不确定系统。
第五节 对控制系统的要求
1、系统是稳定的----------“稳”； 2、稳态误差要小-----------“准”； 3、相对稳定性好，动态品质好------------“好”。
4、缺点：
可能引起超调，造成系统振荡，甚至使得系统不稳定。
三、复合控制系统
开环控制和闭环控制相结合的控制方式。分为按输 入信号补偿和按扰动信号补偿两种方式。
补偿装置
输入量
控制器
被控对象
输出量
按输入作用补偿
输入量
补偿
扰动量
装置
控制 装置
被控 对象
输出量
按扰动作用补偿
第三节 控制系统的分类
按参考输入的类型来分： 一、随动系统：
1t
发送机
2 t
接收机
前相校
u 置敏正 放检装 大波置
直功
u 流 率
放放
a SM
大大
2m
离散控制系统PPT课件
[e(i) 2e(i
e(i 1)] 1) e(i
2)]
中心
e(t
e(t )
)
1 T2
1 [e(i 2T [e(i 1)
1) e(i 1)] 2e(i) e(i
1)]
例7-3 试将PID控制器离散化
u(t
)
K
p
e(t
)
1 Ti
展开式
或② 或③
n
n
y(k) ai y(k i) bi x(k i)
i 1
i 1
n
n
y(k) bi x(k i) ai y(k i)
i0
i0
级数和式 计算机算式
2、与脉冲传递函数的关系
对②两边Z变换：
Y (z)(1 a1z1 a2 z2 an zn ) X (z)(b0 b1z1 b2 z2 bn zn )
1 0.2s
1
解：代入 s 2 z 1
T z 1
G(z)
2
z
12
1 0.2
2
z
1
1
T z 1
u(k)
u(k
1)
K
p e(k)
e(k
1)
T Ti
e(k )
Td e(k) 2e(k 1) e(k 2)
T
或整理为
u(k) u(k 1) b0e(k) b1e(k 1) b2e(k 2)
b0
K
p
线性离散系统的数学模型和分析方法
§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。
对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。
离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。
对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。
一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。
如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。
方程右端又被称为驱动项。
方程的阶数和系数反映系统的结构特征。
用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。
如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。
线性离散控制系统及其与连续系统间的关系
1 s
-
1 e -Ts s
1 - e -Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位 幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即 单位理想脉冲，其拉氏变换为1。
13
零阶保持器的频率特性：
传递函数 频率特性
Gh( s )
1 s
-
1 e -Ts s
1 - e -Ts s
Gh( j )
1 - e - jT
第一个表达式对应蓝色线的 Z变换；zkF(z)对应全部蓝色
实线的Z变换，所以只有当
-kT 0
kT
t 虚线部分=0时才有第二个表
超前定理的直观解释 达式
21
4. 终值定理（掌握）
设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上 及圆外的的极点（除 z＝１外的单根），则 f(t) 的终值为
n0
Z反变换为 Z -1 [ F ( z )] f ( t )
17
关于Z变换的几点说明：
Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对
应。
F ( z ) f ( nT )z-n
n0
z-1 又称为延迟算子
f ( 0 ) f ( T )z-1 f ( 2T )z- 2 f ( 3T )z- 3
0
z-k f ( nT )z-n z-k F ( z )
k0
19
f(t)
f(t-kT)
0 kT
t
延迟定理的直观表示
注：连续系统的迟后环节 e-kTs 在离散系统中只 是 z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有 迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设 计通常较连续时间系统更方便。
计算机控制技术11线性离散时间系统精品PPT课件
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项 y ( k n ) a n 1 y ( k n 1 ) a 1 y ( k 1 ) a 0 y ( k ) b 0 u ( k )
选择状态变量： x 1 ( k ) y ( k )
x x
2 3
(k (k
) )
y(k y(k
第七章 线性离散时间系统状态空 间分析
1. 线性离散时间系统的状态空间描述 2. 线性离散时间系统状态方程的解 3. 线性离散时间系的能控(观测)性及稳定性分析
2020/10/9
1
第一节 线性离散时间系统 的状态空间描述
1. Z变换及相关理论知识 2. 离散时间系统的状态方程 3. 连续时间系统的离散化
x1 (k ) y(k ) h0u(k )
选择状态变量：
x x
2 3
( (
k k
) )
x1 ( k x2(k
1) 1)
h1u(k ) h2u(k )
xn (k ) xn1 (k 1) hn1u(k )
上式中：
h0 bn
hh12
bn1 bn2
an1h0 an1h1
an2h0
Z域解
4
二、离散系统的状态空间描述
1、线性定常离散系统的状态空间描述为：
x1(k1)T g11 g12 g1nx1(kT ) h1
输出方程：x2(k1)Tg21
g22
g2nx2(kT )h2u(kT )
xn(k1)T gn1 gn2 gnn xn(kT ) hn
x1(kT)
状态方程：y(kT)c1 c2 cnx2(kT)Du(kT)
2020/10/9
13
写成矩阵形式，得到状态空间描述为：
现代控制理论基础2线性系统的运动分析修改课件
*
3、可逆性 总是非奇异的，必有逆存在，且：
[证明]：
4、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：
*
故上式成立。
5．倍时性
由于
6、微分性和交换性：对 有：
*
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 ，即A为对角阵且具有互异元素时，有
x(k)的Z变换为：
将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式有:
*
整理得：
上式Z反变换有：
*
2.2 状态转移矩阵
*
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件：
2）状态转移矩阵满足状态方程本身：
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
*
1） A的特征值 两两相异时，
注意求逆
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
注意：
推导时可以看到：
*
注意求逆
2）A的特征值为 (n重根）
推导：此时只有一个方程：
缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程
输入引起的响应,零状态响应
说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。
2.3 线性系统运动分析
*
[证]：
1）先把状态方程 写成
3）对上式在 区间内进行积分，得:
2）两边左乘 ，利用 的性质
即：
将此式代入 的定义中：
其中： 为t的标量函数，可按A的特征值确定。
3、可逆性 总是非奇异的，必有逆存在，且：
[证明]：
4、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：
*
故上式成立。
5．倍时性
由于
6、微分性和交换性：对 有：
*
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 ，即A为对角阵且具有互异元素时，有
x(k)的Z变换为：
将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式有:
*
整理得：
上式Z反变换有：
*
2.2 状态转移矩阵
*
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件：
2）状态转移矩阵满足状态方程本身：
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
*
1） A的特征值 两两相异时，
注意求逆
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
注意：
推导时可以看到：
*
注意求逆
2）A的特征值为 (n重根）
推导：此时只有一个方程：
缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程
输入引起的响应,零状态响应
说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。
2.3 线性系统运动分析
*
[证]：
1）先把状态方程 写成
3）对上式在 区间内进行积分，得:
2）两边左乘 ，利用 的性质
即：
将此式代入 的定义中：
其中： 为t的标量函数，可按A的特征值确定。
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T s Gs () Gs () Y ( z ) 1 e p T s P G ( z ) Z [ Gs () ] Z [ ] Z [ e ] p X ( z ) s s s Gs () p 1 ( 1 z) Z [ ] s
k
k
k 0
例 已知差分方程为y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k) (x(k)≠0
1 k 0 为非齐次方程)，假定初始条件为零，且 x(k) 0 k 0
求解 y(k)的值(当k 0时)。
解：对已给差分方程两端求Z变换
z Y ( z )5( z Y z )6 Y ( z ) X ( z )
第十一章 线性离散控制系统数学 描述与分析
仪器科学与电气工程学院 刘长英
连续控制系统与离散控制系统在结构上是不 同的，连续系统各个环节都是连续的，离散系统 既有离散环节又有连续环节(被控对象)，在进行 离散系统分析时将其连续环节离散化处理后，整 个系统按离散时间系统处理。 连续控制系统通常借助用到微分方程、传递 函数和状态方程等表达形式来描述。与连续系统 对应的离散控制系统分析通常借助于差分方程、 脉冲传递函数和离散状态方程等数学工具。
1 2 n 1 m Y ( z ) b z Y ( z ) b z Y ( z ) . . b z Y ( z )( a U z ) a z U ( za ) . . . z U ( z ) 1 2 n 0 1 m
1 m a a z . . . az Y ( z ) 1 m i 0 G ( z ) 0 n 1 2 n U ( z ) 1 b z b z . . . b z i 1 2 n 1 b z i i 1
r 5 r 6 0
2
求解此代数方程，解得特征方程的根为
r 2 ,r 3 1 2
y ( k ) a r a r a ( 2 ) a ( 3 ) 1 2
k k 1 1 2 2 k k
由初始条件可得
0 0 1 1
a ( 2 ) a ( 3 )0 ,( a 2 ) a ( 3 )1 1 2 1 2 a 1 ,a 1 1 2
差分方程求解方法
Z 变换法
递推法
解析法 若初始条件不为零且存在外部输入则完全解由两部 分组成即齐次解和非齐次解。
Z 变换法求解差分方程
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0(齐次方程)， 初始条件为y(0)=0， y(1)=1，试求该方程解(齐次解)。
k 0 解： 由Z变换实数左移定理，对已知差分方程两边求Z变换 k Z [ ft ( m T ) ] z[ F () z fk ( T ) z ] m m 1
线性差分方程
y ( k Tb ) y [ ( k 1 )] T b y [ ( k n )] T 1 n a x ( k Ta ) x [ ( k 1 )] T a x [ ( k n )] T 0 1 n
k — 离散时间变量 n — 差分方程的阶数
b1、b2、…、bn、a0、a1、…、an — 差分方程的系数, 描述系统的动态特性
递推法求解差分方程
为递推方便将方程写成如下形式：
y () k a u () k a u ( k 1 ). . .a u ( km ) b y ( k 1 )b y ( k 2 ) . . .b y ( kn ) 0 1 m 1 2 n a u ( ki ) b ( ki ) i iy
r b r b r . . . b 0 n
n
n 1 1
n 2 2
该特征方程有n个特征根，分成两种情况： 1. n个单根 r1 , r2 ,..., rn,则方程的解为特征根的线性组合：
y ( ka ) r a r . . . a r
k 1 1 k 2 2
k n n
环节间无采样开关的开环脉冲传递函数
Y ( z ) 1 1 z z G ( z ) Z [( G s )( G s ) ] Z [ ] 1 2 T X ( z ) s s 1z 1 z e
5. 插入零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数
1 eTs G0 (s) s
k y(k) hnuk ( ) ( n ) 系统的响应可表示为系统单位脉 冲响应与系统输入序列的卷积和。 n 0
例 已知离散系统单位脉冲响应h(k)，输入为单位阶跃序 列u(k)，求离散系统的输出y(k)。 解： 先将线性卷积公式变形，令k-j=n则有： 0 k y ( k ) h ( k ju )() j h ( k ju )() j j k j 0 由该式可以递推下列各式：
2
1 1 1 Y () z2 z 5 z 6( z 2 ) ( z 3 )
对上边部分分式分别求Z反变换，得时域解：
y () k 2 3
k 1
k 1
k 0
解析法求解差分方程
设齐次线性差分方程 写成n阶特征方程的形式
y ( k n ) b y ( k n 1 ) b y ( k 1 )( b y k ) 0 1 n 1 n
3. 星号的运算 若采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换乘积 之后再采样，则采样信号的拉氏变换可以由星号运 算中提出来
* [ X * ( s ) G ( s ) ] ** X ( s ) [ G ( s ) ] X * ( s ) G * ( s )
4. 串联环节的脉冲传递函数 环节串联且环节之间具有采样开关的开环系统的脉冲 传递函数
2. n个根中，既有单根又有重根(设r为三重根)则解的形 式为： k k 2 k k k
y ( k ) a r a k r a k r a r . . . a r 1 1 2 1 31 4 2 n n 2
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0,初始条件 为：y(0)=0,y(1)=1,试求齐次解。 解：差分方程的特征方程为
y ( 0 ) hu ( 0 )( 0 ) h ( 0 ) y ( 1 ) uh ( 0 ) ( 1 ) uh ( 1 ) ( 0 ) h ( 1 ) h ( 0 ) y ( 2 ) uh ( 0 ) ( 2 ) uh ( 1 ) ( 1 ) uh ( 2 ) ( 0 ) h ( 2 ) h ( 1 ) h ( 0 ) k k yk () h ( k juj ) ( ) h ( n ) j 0 n 0
yk ( ) by ( 0 ) b
k i 0
k 1
k i1
a u () i
齐次解,初条 件引起的响应
特解,输入 引起的响应
脉冲响应与线性卷积
单位冲激响应是线性离散系统时域描述的重要形式。 该响应对应的系统的输入为单位脉冲序列： 1 k 0 (k ) 0 k 0
i 0 i 1 m n
例 y(k+1)=by(k)+au(k)，假定y(0)已知，试用递推法 求解差分方程。
解：
y ( 1 ) b y ( 0 ) a u ( 0 )
2
y ( 2 ) b y ( 1 ) a ub ( 1 ) y ( 0 ) a b u ( 0 ) a u ( 1 )
2 1 z [ Y ( z )( yy 0 )( 1 ) z ] 5 z [ Y ( z )( y 0 ) ] 6 Y ( z ) 0
z Y(z) 2 z 5z 6
求Z反变换得时域解
解出Y(z)可得
对左式进行部分分式展开
z z Y(z) z 2 z 3
y () k (2 ) (3 )
开环系统求Z传递函数
1. 脉冲采样信号的拉氏变换(带星号信号的拉氏变换)
X * ( s )
1 s l n z T
k xk ( Tz ) k 0
时域采样的拉氏变换就是Z变换
2. 采样信号的拉普拉斯变换具有周期性
L [ x * ( t ) ] X * ( sX ) , 则 * ( s j k ) X * ( s ) s
y () k (2 ) (3 )
k k
例 求下面差分方程的完全解 y(k)+3y(k-1)=x (k)-x (k-1)， 其中输入函数x(k)= k2,且已知 y(-1)=-1。 ① 齐次解为
r 3 0 r 3 y ( ka ) 1 ( 3 ) 齐
k
② 求特解
i a z i
m
1 b z 0 1 b z b z . . . b z 0 i
i i 1 1 1 2 2 n n
n
例 已知差分方程
1 yk () yk ( 1 ) u ( k 1 ) 2
求Z传递函数。 对上边方程取Z变换，利用实数位移定理，并考虑 初始条件有如下结果：
1 Yz () zYz () zU ( z ) 2 Y(z) z G(z) U(z) 11 z 2
1 1
1
1
例 已知连续系统的传递函数
1 G( s) s( s 2)
求对应的离散系统的Z传递函数。 解： 1 1 /2 1 /2 G ( s ) ss ( 2 ) s s 2 1 1 1 1 2T z z z(z e ) z(z 1) 2 G(z) 2 2 2T 2 z 1 z e (z 1)(z e2T ) 1 z(1 e2T ) 2 (z 1)(z e2T )
k
k
k 0
例 已知差分方程为y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=x(k) (x(k)≠0
1 k 0 为非齐次方程)，假定初始条件为零，且 x(k) 0 k 0
求解 y(k)的值(当k 0时)。
解：对已给差分方程两端求Z变换
z Y ( z )5( z Y z )6 Y ( z ) X ( z )
第十一章 线性离散控制系统数学 描述与分析
仪器科学与电气工程学院 刘长英
连续控制系统与离散控制系统在结构上是不 同的，连续系统各个环节都是连续的，离散系统 既有离散环节又有连续环节(被控对象)，在进行 离散系统分析时将其连续环节离散化处理后，整 个系统按离散时间系统处理。 连续控制系统通常借助用到微分方程、传递 函数和状态方程等表达形式来描述。与连续系统 对应的离散控制系统分析通常借助于差分方程、 脉冲传递函数和离散状态方程等数学工具。
1 2 n 1 m Y ( z ) b z Y ( z ) b z Y ( z ) . . b z Y ( z )( a U z ) a z U ( za ) . . . z U ( z ) 1 2 n 0 1 m
1 m a a z . . . az Y ( z ) 1 m i 0 G ( z ) 0 n 1 2 n U ( z ) 1 b z b z . . . b z i 1 2 n 1 b z i i 1
r 5 r 6 0
2
求解此代数方程，解得特征方程的根为
r 2 ,r 3 1 2
y ( k ) a r a r a ( 2 ) a ( 3 ) 1 2
k k 1 1 2 2 k k
由初始条件可得
0 0 1 1
a ( 2 ) a ( 3 )0 ,( a 2 ) a ( 3 )1 1 2 1 2 a 1 ,a 1 1 2
差分方程求解方法
Z 变换法
递推法
解析法 若初始条件不为零且存在外部输入则完全解由两部 分组成即齐次解和非齐次解。
Z 变换法求解差分方程
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0(齐次方程)， 初始条件为y(0)=0， y(1)=1，试求该方程解(齐次解)。
k 0 解： 由Z变换实数左移定理，对已知差分方程两边求Z变换 k Z [ ft ( m T ) ] z[ F () z fk ( T ) z ] m m 1
线性差分方程
y ( k Tb ) y [ ( k 1 )] T b y [ ( k n )] T 1 n a x ( k Ta ) x [ ( k 1 )] T a x [ ( k n )] T 0 1 n
k — 离散时间变量 n — 差分方程的阶数
b1、b2、…、bn、a0、a1、…、an — 差分方程的系数, 描述系统的动态特性
递推法求解差分方程
为递推方便将方程写成如下形式：
y () k a u () k a u ( k 1 ). . .a u ( km ) b y ( k 1 )b y ( k 2 ) . . .b y ( kn ) 0 1 m 1 2 n a u ( ki ) b ( ki ) i iy
r b r b r . . . b 0 n
n
n 1 1
n 2 2
该特征方程有n个特征根，分成两种情况： 1. n个单根 r1 , r2 ,..., rn,则方程的解为特征根的线性组合：
y ( ka ) r a r . . . a r
k 1 1 k 2 2
k n n
环节间无采样开关的开环脉冲传递函数
Y ( z ) 1 1 z z G ( z ) Z [( G s )( G s ) ] Z [ ] 1 2 T X ( z ) s s 1z 1 z e
5. 插入零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数
1 eTs G0 (s) s
k y(k) hnuk ( ) ( n ) 系统的响应可表示为系统单位脉 冲响应与系统输入序列的卷积和。 n 0
例 已知离散系统单位脉冲响应h(k)，输入为单位阶跃序 列u(k)，求离散系统的输出y(k)。 解： 先将线性卷积公式变形，令k-j=n则有： 0 k y ( k ) h ( k ju )() j h ( k ju )() j j k j 0 由该式可以递推下列各式：
2
1 1 1 Y () z2 z 5 z 6( z 2 ) ( z 3 )
对上边部分分式分别求Z反变换，得时域解：
y () k 2 3
k 1
k 1
k 0
解析法求解差分方程
设齐次线性差分方程 写成n阶特征方程的形式
y ( k n ) b y ( k n 1 ) b y ( k 1 )( b y k ) 0 1 n 1 n
3. 星号的运算 若采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换乘积 之后再采样，则采样信号的拉氏变换可以由星号运 算中提出来
* [ X * ( s ) G ( s ) ] ** X ( s ) [ G ( s ) ] X * ( s ) G * ( s )
4. 串联环节的脉冲传递函数 环节串联且环节之间具有采样开关的开环系统的脉冲 传递函数
2. n个根中，既有单根又有重根(设r为三重根)则解的形 式为： k k 2 k k k
y ( k ) a r a k r a k r a r . . . a r 1 1 2 1 31 4 2 n n 2
例 已知差分方程y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=0,初始条件 为：y(0)=0,y(1)=1,试求齐次解。 解：差分方程的特征方程为
y ( 0 ) hu ( 0 )( 0 ) h ( 0 ) y ( 1 ) uh ( 0 ) ( 1 ) uh ( 1 ) ( 0 ) h ( 1 ) h ( 0 ) y ( 2 ) uh ( 0 ) ( 2 ) uh ( 1 ) ( 1 ) uh ( 2 ) ( 0 ) h ( 2 ) h ( 1 ) h ( 0 ) k k yk () h ( k juj ) ( ) h ( n ) j 0 n 0
yk ( ) by ( 0 ) b
k i 0
k 1
k i1
a u () i
齐次解,初条 件引起的响应
特解,输入 引起的响应
脉冲响应与线性卷积
单位冲激响应是线性离散系统时域描述的重要形式。 该响应对应的系统的输入为单位脉冲序列： 1 k 0 (k ) 0 k 0
i 0 i 1 m n
例 y(k+1)=by(k)+au(k)，假定y(0)已知，试用递推法 求解差分方程。
解：
y ( 1 ) b y ( 0 ) a u ( 0 )
2
y ( 2 ) b y ( 1 ) a ub ( 1 ) y ( 0 ) a b u ( 0 ) a u ( 1 )
2 1 z [ Y ( z )( yy 0 )( 1 ) z ] 5 z [ Y ( z )( y 0 ) ] 6 Y ( z ) 0
z Y(z) 2 z 5z 6
求Z反变换得时域解
解出Y(z)可得
对左式进行部分分式展开
z z Y(z) z 2 z 3
y () k (2 ) (3 )
开环系统求Z传递函数
1. 脉冲采样信号的拉氏变换(带星号信号的拉氏变换)
X * ( s )
1 s l n z T
k xk ( Tz ) k 0
时域采样的拉氏变换就是Z变换
2. 采样信号的拉普拉斯变换具有周期性
L [ x * ( t ) ] X * ( sX ) , 则 * ( s j k ) X * ( s ) s
y () k (2 ) (3 )
k k
例 求下面差分方程的完全解 y(k)+3y(k-1)=x (k)-x (k-1)， 其中输入函数x(k)= k2,且已知 y(-1)=-1。 ① 齐次解为
r 3 0 r 3 y ( ka ) 1 ( 3 ) 齐
k
② 求特解
i a z i
m
1 b z 0 1 b z b z . . . b z 0 i
i i 1 1 1 2 2 n n
n
例 已知差分方程
1 yk () yk ( 1 ) u ( k 1 ) 2
求Z传递函数。 对上边方程取Z变换，利用实数位移定理，并考虑 初始条件有如下结果：
1 Yz () zYz () zU ( z ) 2 Y(z) z G(z) U(z) 11 z 2
1 1
1
1
例 已知连续系统的传递函数
1 G( s) s( s 2)
求对应的离散系统的Z传递函数。 解： 1 1 /2 1 /2 G ( s ) ss ( 2 ) s s 2 1 1 1 1 2T z z z(z e ) z(z 1) 2 G(z) 2 2 2T 2 z 1 z e (z 1)(z e2T ) 1 z(1 e2T ) 2 (z 1)(z e2T )