第七章 弯曲 最新

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FA= FB= 2
l FB
FA
2) 列剪力方程和弯矩方程。
取图中的A点为坐标原点，由坐标为x的横截面 以左梁上的外力列出剪力方程和弯矩方程如下：
如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面 内，则梁的轴线将在此对称面内弯成一条曲线，这样 的弯曲变形称为平面弯曲。
3. 梁的计算简图
1)梁本身的简化。通常用梁的轴线来代表梁。 2)荷载的简化。一般简化为集中力、集中力偶或分布荷载。 3)支座的简化。梁的支座有固定铰、活动铰和固定端支座
F1 F2
剪力V：左下右上为正
2) 弯矩正负号。梁截面上Fra bibliotek弯矩使梁段产生上部 受压、下部受拉时为正，反之为负。
弯矩M:箭头向上为正，下为负
1) 剪力正负号。 剪力对所取梁段内任一点 的矩为顺时针方向转动时 为正，反之为负。
2) 弯矩正负号。梁截面上的弯矩使梁段产生上部 受压、下部受拉时为正，反之为负。
【例7.13】 简支梁如图（a）所示。求横截面 1—1、2—2、3—3上的剪力和弯矩。
楼板梁
公路桥梁
单位长度的挡水墙
2.平面弯曲的概念
平面弯曲是工程中最常见的情况，也是最基本的 弯曲问题，掌握了它的计算对于工程应用以及进一步 研究复杂的弯曲问题具有十分重要的意义。本课程主 要研究平面弯曲问题。
工程中常用梁的横截面都具有一个竖向对称轴。
梁的轴线与梁的横截面的竖向对称轴构成的平面， 称为梁的纵向对称面。
绘出剪力方程和弯矩方程的图线，这种图线称为剪力 图或弯矩图。
绘图时将正剪力绘在x轴上方，负剪力绘在x轴下方， 并标明正负号；正弯矩绘在x轴下方，负弯矩绘在x轴上方， 即将弯矩图M绘在梁的受拉侧，而不须标明正负号。
【例7.14】 绘制图（a）所示简支梁的剪力图和弯 矩图。
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【解】 1) 求支座反力。 取梁整体为研究对象，由平衡方程∑MA=0， ∑MB=0 ， 得
第七章 弯曲
7.1 工程实例和计算简图 1.弯曲的工程实例
工程中有很多的构件，它们所承受的荷载是作用线 垂直于杆件轴线的横向力，或者是通过杆轴平面内的 外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生 相对的转动，杆件的轴线将弯成曲线，这种变形称为 弯曲变形。
以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 弯曲的工程实例
的内力FS。由平衡方程
∑Y=0 FA FS = 0 得
FS = FA
FS称为剪力。 因剪力FS与支座反力FA组成一力偶，故在横
截面m—m上必然还存在一个内力偶与之平衡。设 此内力偶的矩为M，则由平衡方程
∑MO=0 M FAx = 0 得
M = FAx
这里的矩心O是横截面m—m的形心。这个内力偶矩 M称为弯矩，它的矩矢垂直于梁的纵向对称面。
如果取右段梁为研究对象，则同样可求得横截面 m—m上的剪力FS和弯矩M。
为了使无论取左段梁还是取右段梁得到的同一横 截面上的FS和M不仅大小相等，而且正负号一致，
为使左段、右段梁同一横截面的FS和M不仅 大小相等，正负号一致，规定FS、M的正负号：
1) 剪力正负号。梁截面上的剪力对所取梁段内任一 点的矩为顺时针方向转动时为正，反之为负。
2. 剪力图和弯矩图
（1）用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
1）剪力方程和弯矩方程
若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的
位置，则梁横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的
函数，即
FS FS(x)
M M (x)
以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
2）剪力图V和弯矩图M
用与梁轴线平行的x轴表示横截面的位置，以横截 面上的剪力V值或弯矩M值为纵坐标，按适当的比例
2）梁任一横截面上的弯矩M，在数值上等于该截 面左边（或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的 代数和。截面左边梁上的外力对该截面形心之矩为顺 时针转向，或右边梁上的外力对该截面形心之矩为逆 时针转向为正，反之为负。
（左顺右逆为正，反之为负。）
●利用上述规律，可以直接根据横截面左边或 右边梁上的外力来求该截面上的剪力V和弯矩M，而 不必列出平衡方程。
∑Y=0 FA F1 FS2 = 0
得 FS2= FA F1 = 10kN10 kN =0
∑MO=0 M2 FA（4 m） +F1（2 m） =0 得
M2= FA（4 m） F1（2 m） =10 kN（4 m）10 kN （2 m）=20 kNm M2为正弯矩。
4) 求横截面3—3上的剪力和弯矩。
得
∑MO=0 M 1FA× 1m= 0
M1=FA1 m =（10 kN） （1 m） =10 kNm
计算结果FS1与M1为正，表明两者的实际方向与假设 相同，即FS1为正剪力，M1为正弯矩。
3) 求横截面2—2上的剪力和弯矩。
假想地沿截面2—2把梁截开，仍取左段梁为研究 对象，设截面上的剪力FS2和弯矩M2均为正。由平衡 方程
假想地沿截面3—3把梁截开，取右段梁为研究对 象，设截面上的剪力FS3和弯矩M3均为正。由平衡方 程
∑Y=0 FB FS3 = 0 得
FS3 = FB= 10 kN
∑MO=0 M3 +FB1 m =0 得
M3= FB1 m =10 kN1m=10 kNm
FS3为负剪力，M3为正弯矩。
●内力计算规律 从上面例题的计算过程，可以总结出内力计算 的如下规律： 1）梁任一横截面上的剪力V，在数值上等于该 截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方向投影 的代数和。截面左边梁上向上的外力或右边梁上向下 的外力在该截面方向的投影为正，反之为负。 （左上右下力为正，反之为负。）
【解】 1) 求支座反力。
由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力 为
FA =FB =10kN
2) 求横截面1—1上的剪力和弯矩。
假想地沿截面1—1把梁截开成两段，因左段梁受 力较简单，故取它为研究对象，并设截面上的剪力 FS1和弯矩M1均为正。列出平衡方程
∑Y=0 FA FS1 = 0
得 FA = FS1=10kN
●静定梁有三种型式：悬臂梁、简支梁和外伸梁。 这三种梁的支座反力都可由静力平衡方程求出。
●梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称 为跨长或跨度。
7.2 梁的内力图 1. 剪力和弯矩
求简支梁任意横截面m—m上的内力。
假想地沿横截面m—m把梁截开成两段，取左段为
研究对象，在横截面m—m上必然存在一个沿截面方向