人教版A版高中数学选修1-1：椭圆的定义和离心率 图文
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3.1.2椭圆的简单几何性质(离心率、焦半径公式)+课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
3 c 1 , 1 e 1
a3 3
课堂练习：
2、已知椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别是F1, F2,
P是椭圆上一点.若 | PF1 | 2 | PF2 |,求椭圆的离心率的取值范围。
法二：解：| PF1 | | PF2 | 2a,| PF1 | 2 | PF2 |
求 | PF2 | • | PF1 | 范围
H
y
P
分析：| PF2 | a ex,| PF1 | a ex
F1 O
x F2
| PF2 | • | PF1 | (a ex)(a ex)
x a2
c
a2 (ex)2, x [a, a]
当x 0时，| PF2 | • | PF1 |max a2 当x a时，| PF2 | • | PF1 |min a2 c2 b2
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
课前练习：
已知椭圆
x2
my 2
1的离心率
c
a
解：设d是点M到直线l : x a2 的距离，M (x, y). c
y
M
H
则动点M满足 | MF | c d a
oF
x
(x c)2 y2 c | a2 x | ac
整理得 x2 a2
y2 a2 c2
1
动点M的轨迹是椭圆。
a3 3
课堂练习：
2、已知椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别是F1, F2,
P是椭圆上一点.若 | PF1 | 2 | PF2 |,求椭圆的离心率的取值范围。
法二：解：| PF1 | | PF2 | 2a,| PF1 | 2 | PF2 |
求 | PF2 | • | PF1 | 范围
H
y
P
分析：| PF2 | a ex,| PF1 | a ex
F1 O
x F2
| PF2 | • | PF1 | (a ex)(a ex)
x a2
c
a2 (ex)2, x [a, a]
当x 0时，| PF2 | • | PF1 |max a2 当x a时，| PF2 | • | PF1 |min a2 c2 b2
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
课前练习：
已知椭圆
x2
my 2
1的离心率
c
a
解：设d是点M到直线l : x a2 的距离，M (x, y). c
y
M
H
则动点M满足 | MF | c d a
oF
x
(x c)2 y2 c | a2 x | ac
整理得 x2 a2
y2 a2 c2
1
动点M的轨迹是椭圆。
人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2椭圆的简单几何性质新.pptx
a
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
空白演示
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
空白演示
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
新课标人教A版选修1-1第二章第1节《椭圆的简单几何性质(一)》课件(共15张PPT)
（2）长轴长等于20 ,离心率等于
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
3 5
．
解:（1）由题意， a 3 b 2,又∵长轴在 x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1
．
94
（2）由已知，2a 20 ，e c 3
a5
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
短轴长是： 2
。
焦距是： 2 5
.离心率等于：
30 6
。
焦点坐标是： (0, 5) 。
顶点坐标是： (0, 6) (1, 0) 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,0) 、Q(0, 2) ；
2.对称性：关于x轴，y轴，原点都对称 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3.椭圆的顶点
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
y
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ B2 (0,b)
A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
x2 100
y2 64
1
或
y2 100
x2 64
1
例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐 标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经 过点P（3，0），求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1 9 81
分类讨论的数学思想
人教A版选修1-1第二章2.1椭圆的基本性质(第一课时)共17张PPT
方 程
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
x2பைடு நூலகம்b2
y2 a2
1(ab0)
性
Y
Y
图象
F1
o F1
F2
X
质 范围
顶点坐标
对称性
离心率
-a≤x≤a,-b≤y≤b (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
X
F2
-a≤y≤a,-b≤x≤b (-b,0), (b,0), (0,-a), (0,a)
1－ba22求解.
(2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成c 的形式，并将其视为整体，就
a 变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
变式：若椭圆k＋x24＋y42＝1 的离心率为12，则 k＝________．
[解析] 当焦点在 x 轴上时，a2＝k＋4，b2＝4， ∴c2＝k，∵e＝12，∴ca22＝14，即k＋k 4＝14，∴k＝43. 当焦点在 y 轴上时，a2＝4，b2＝k＋4， ∴c2＝－k.由 e＝12，∴ac22＝14，∴－4k＝14. ∴k＝－1. 综上可知，k＝43或 k＝－1.
x轴、y轴、原点对称
0<e<1
1．椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1 或 B2到 中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. 2.椭圆上一点与焦点距离的最值：点A1(-a，0)， A2(a，0)与 焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离（ a+c ） 和最小距离（ a-c ）．
例 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 且经过点 A(2，0)，求椭圆的标准方程．
人教A版高中数学选修1-1课件高二2.1.2.1椭圆的简单几何性质.pptx
还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 e 又c , c a2 b2 ,
a
故ec
a
a2 b2 a
1
b2 a2
.
3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
F（1__0_,__-_c__）_,F（2 _0__,_c__）_ |F1F2|=__2_c_
顶点
焦点在x轴上
A1(_-_a_,_0_)_,A2（——a,—0—）—; B（1—0—,—-—b）—,B2—(—0—,b—)—
焦点在y轴上
A（1_0_,_-_a_）_,A2—(—0,—a—)—; B1(—-—b—,0—)—,B2—(b—,—0—)—
【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问 题的思想方法？ 提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂， 因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关 系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.
【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） 1
2
（B）2
3
（C）3
4
（D）4
5
2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦 点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______. 3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角 形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
人教A版高中数学选修1-1课件2.1.1《椭圆及其标准方程(三)》
y
B M
O
Ax
课堂练习
2. 椭圆 x 2 y 2 1的两个焦点为F ，F ，过
1
2
4
F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P，则 P F2 (
)
3 A.
2
B. 3
7 C.
2
D. 4
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程：
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时，
课堂小结
高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.1.1椭圆及其 标准方程(三)
复习引入
1.椭圆的定义：
y MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆.
y
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
当焦点在y轴上时，y2 x2 1
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
y
叫做椭圆的焦点，
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
B M
O
Ax
课堂练习
2. 椭圆 x 2 y 2 1的两个焦点为F ，F ，过
1
2
4
F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P，则 P F2 (
)
3 A.
2
B. 3
7 C.
2
D. 4
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程：
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时，
课堂小结
高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.1.1椭圆及其 标准方程(三)
复习引入
1.椭圆的定义：
y MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆.
y
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
a2 b2
当焦点在y轴上时，y2 x2 1
a2 b2
课堂小结
1.两种椭圆的标准方程： 当焦点在x轴上时， x2 y2 1 (a＞b＞0)．
和等于常数2a(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫
作椭圆. 这两个定点
y
叫做椭圆的焦点，
MA
cc F1 O F2 x
复习引入
1.椭圆的定义：
把平面内与两个定点F1、F2的距离的
人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文
y2 a2
x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的 距离等于
识 应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是 。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是 。
y2 a2
x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的 标准方程。
观
察 定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，
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探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实 现第 二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度 约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球 的球心为一个焦点的 椭圆形轨道。已知月 球半径约3475公里，
试求“嫦娥”二号卫 星运行的轨迹方程。
三）如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
M
F1
F2
(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离 和是个定值
（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点 之间的距离
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之和
的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
1. 改变两图钉之间的距离， 使其与绳长相等，画出的图 形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距 离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
厦门海沧实验中学 韩耀辉
一、复习回顾
1.圆的定义是什么？圆的标准方程是 什么形式？
2.请同学们回答生活中各种椭圆的实 际图片
二、开始新课
一）列举生活中常见的椭圆形状
1.家具等等上面椭圆
2.车标上的椭圆 如福特、丰田
3.行星等天体的运行轨道
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
2c
c
2a a
利用上面的结论，说明离心率对椭圆圆扁 程度的影响。
例2：请比较适合下列条件的椭 圆的圆扁程度：
1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
2）a=4，c=1，焦点在y轴上；
三、课堂小结
1）椭圆是怎样的点的轨迹？ 2）椭圆的两个标准方程是怎 样的？有什么区别？ 3）椭圆离心率的概念及其几 何意义。 4）你学会了哪些数学思想与 方法?
3）交换各自所做的椭圆，比较 圆扁的程度，思考如何做出一个 更圆（或者更扁）的椭圆？
当细线长度2a不变时，图钉尖的距 离2c越接近零，椭圆越圆；反之，越接 近2a，椭圆越扁。
当 图 钉 尖 的 距 离 2c 不 变 时 ， 细 线 长 度2a越大，椭圆越圆；反之，越接近2c ，椭圆越扁。
总结：
给出离心率定义： e
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
Hale Waihona Puke a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
口答：
1.
x2 52
y2 32
1，则a＝
，b＝
；
2.
x2 42
y2 62
1，则a＝
，b＝
；
x2 y2 3. 1
1. 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？
以圆心O为原点，建立直角坐标系
y
设圆上任意一点P(x，y)
P(x, y)
r
O
x
OP r x2 y2 r
两边平方，得
x2 y2 r 2 变形为
x2 y2 r2 r2 1
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
4.建筑中的椭圆
请猜猜这是什么地方？看看地毯的形状。
5.其他椭圆的形状
思考：鸡蛋为什么是椭圆 形的呢？
二）椭圆的作法
自然界、生活中处处存在着 椭圆,我们如何用自己的双手画出 椭圆呢?
二）椭圆的作法
F1
F2
通过观察动画，更加直观了解 椭圆的形成过程
二）椭圆的作法
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板上
则a＝
，b＝
；
96
4. x2 y2 1 74
则a＝
，b＝
．
例1：写出适合下列条件的椭圆 方程:
1）a=4，b=1，焦点在x轴上;
2）a=4，c=1，焦点在y轴上.
五）椭圆的离心率
五）椭圆的离心率
1）观察老师用计算机演示不同 圆扁的椭圆；
2）观察老师用装了水的饮料瓶演示 水面形成的不同椭圆；
为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
椭圆定义的文字表述：
M
F2
F1
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
MF1 MF2 2a (2a>2c)
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.) (“对称”、“简洁”)
四）椭圆的标准方程
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
y
F1 o
M
F2 x
焦点在y轴：