运筹学课件 第三节 分支定界法.ppt汇编
合集下载
【精编】算法课件六分支定界PPT课件
结点e出队；
若e是回答结点，则
输出解或求解路径；
否则
检查e的所有子结点x：
若x满足约束条件，则
将x入队；
记录搜索路径；
LOGO
17
LOGO
❖ 优先队列式分支限界法程序框架
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数 ；初始化优先队列Q；
计算~C(T)，并将T入队；
循环，直到队列Q空（无解）：
❖ 响度表示人所感受到的声音的强弱程度，它是一种与人耳 的 听感特性有关的人对声音强弱的主观表示法。与客观表示 法相比，主观表示法不仅与声音的强度（如声压）有关、而 且还与声音的频率有关。
❖ 响度的单位为宋（sone），1宋是声压级为40dB，频率为 1000Hz纯音所产生的响度。任何一个声音的响度，如果被 听者判断为1宋响度的几倍，则这个声音的响度就是几宋。
正常人的耳朵在声波频率为1000Hz时(纯音时)刚好等感觉 到的最弱声压为2×10-5Pa，此声压称为基准声压p0，或 称听阈声压。当声压达到20Pa时，使人的耳朵刚好产生疼 痛，故称痛阈声压。
声压P是声学中表示声音强弱的指标。声压大，则声音越 强(越响)；声压小，则声音听起来弱(低)。
5.6 汽车噪声的检测
当且仅当满足下述关系时，称之为堆
k k
i i
k2i k 2i1
或
k k
i i
k2i k 2i1
i
1,2,,
n 2
11
示例2：旅行商问题
LOGO
❖FIFO分支定界
E-节点 活节点表
B CDE
C DEFG
E FGH I J K
F 路径12341，59
G 路径12431，66
北京科技大学运筹学课件第3章
x2
D
x1
(39) 的最优表为
5 2 x2 74 x1 3 4
x1 x2 u1
0 0 0 12 1 34
u2
1 2 1 4 1 4
A( 3 , 7 ) 最优解： 4 4
不是整数解
x1
3 7 10 A( , ) Z 4 4 4
C ( 1 ,1 )
S
0 1
最优整数解
x1
3 1 1 u1 u 2 4 4 4 7 3 1 1 0 14 x 2 u1 u 2 4 4 4 (3 在( 2 9) 9)的约束方程中 , x1 , x 2的系数是整数 , 右侧常数项也 是整数， 若 x1 , x 2 取整数 , 则 u1 , u2也一定是整数 .
max z x1 x 2
s .t .
x 2 2或x 2 3
1
2
3
x1
61 14
x1 2 x2 3
9 51 x2 14 14 (3 2) 1 2 x1 x 2 3 x1
max z x1 x 2
s .t .
3 10 29 A( , ) Z 2 3 6 7 23 10 41 C ( 1 , ) B ( 2 , ) Z Z 3 9 3 9 33 D( ,2) 14 61
则((3-2) 2 2)的最优解中, x2应满足 : x2 2或x2 3
( 2 x 2 3不符合整数条件 )
9 51 x1 x2 14 14 (3 4) 1 2 x1 x 2 3
max z x1 x 2
x1 2 0 x2 2
9 51 x2 S5 空集 14 14 (35) 1 2 x1 x 2 3 x1
运筹学PPT完整版
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
4.3.1 分枝定界法
四、分枝定界法求解实例
LP0 ： 1 7 5 x1 3 , x 2 2 , Z 3 2 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
L P1 ： 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
LP 2 ： x 1 4 , x 2 1, Z 2 9
上界： 32 下界： 29 2 7
z 0, z 35 .5
x2≥7 无可行解
z 0, z 35 .3
x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35 分枝过程图示
z 35, z 35
OR:SM
x* (5,5), z* 35
例2：
MaxZ 6 x1 5 x 2 2 x1 x 2 9 5 x 7 x 35 1 2 s .t . x1 , x 2 0 x1 , x 2 取整数
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第三节 （I）分枝定界法
1.分枝定界法的创立者 2.分枝定界法求解依据 3. 分枝定界法求解步骤 4.分枝定界法求解实例 5.分枝定界法求解小结 6. 算法应用注意事项
2
OR:SM
一、分枝定界法的创立者
理查德·卡普（Richard Karp）教授1935年1月3日生 于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈 佛大学时他文理兼修， 1955 年先获得文学学士学位 ，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大 学的计算实验室攻读博士，于 1959 年取得应用数学 博士学位。现任美国加州大学伯克利分校计算机科 学讲座教授，美国科学院、美国工程院、美国艺术 与科学院、欧洲科学院院士。因其在计算机科学领 域的杰出贡献曾获图灵奖、冯诺依曼奖、美国国家 科学勋章、哈佛大学百年奖章等奖项. 卡普和他的同事海尔特（M．Held）20世纪60年代，经过反复研究，提出 了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法。该方 法的要点是：对解集合反复进行分枝，每次分枝时，都对所得的子集计算最 优解的界。如果对某个子集求得的界不优于已知的允许解，则抛弃此子集不 再进行分枝；否则继续分枝以探索更好的解，直到所得的子集仅含有一个解 时为止。分枝限界法就其实质而言是一种求解策略而非算法，具体算法要根 据实际问题的特点去实现。但由于这种方法在求解许多问题中都非常实用， 因此常常被直呼为“分枝限界算法”。
第三节分支定界
（P3） ）
1
3
x1
在（P3）的基础上继续分枝。加入条件x1 ≤ 2 ，x1 ≥3 的基础上继续分枝。加入条件 有下式： 有下式：
m in Z = − x1 − 5 x 2 x1 − x 2 ≥ − 2 5 x1 + 6 x 2 ≤ 30 x1 ≤4 ( P5 ) x1 ≥2 x ≤3 2 x1 ≤2 x1 , x 2 ≥ 0 且为整数
例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） ：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z = − x 1 − 5 x 2
x1 − x 2 ≥ −2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 ≤4 x1 x 1 , x 2 ≥ 0 且全为整数
记为（ 记为（P）
是整数 解，且 z*<z6,
增大下界z0 ≤ z2 ≤ z3 ≤ z*, 减少上界+ ∞ ≥ z的目标函数值 分支后计算松弛的线性规划的最优解: 2. 分支后计算松弛的线性规划的最优解:
整数解且目标值小于原有最好整数解的值则替代 原有最好整数解 整数解且目标值大于原有最好整数解的值， 整数解且目标值大于原有最好整数解的值，则删 除该分支 非整数解且目标值小于原有最好整数 整数解的值则继 非整数解且目标值小于原有最好整数解的值则继 续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好整数 整数解的值 非整数解且目标值大于等于原有最好整数解的值 则删除该分支其中无最优整数 整数解 则删除该分支其中无最优整数解
⑵
B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
（P1）
1 1
（P2）
3
x1
不是整数，故继续分支。 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故继续分支。 ）更小的最优解，
运筹学课件第三节分支定界法
约束条件组
n aij xj b i My i j1 st. p (i 1 ,2,...,p) yi pq i1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品 机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。 分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件
要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中，存储论可用 于优化资金配置和投资组合，降低风险 和提高收益。例如，通过定期订货模型 的运用，可以制定合理的投资策略和资 产配置方案，实现资产的保值增值和风 险控制。
2024/1/28
31
07
排队论
2024/1/28
32
排队论的基本概念
2024/1/28
清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课
件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
2
01
绪论
2024/1/28
3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数，需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
2024/1/28
决策变量
表示问题的未知数，需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
8
线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
2024/1/28
02
目标函数等值线
2024/1/28
34
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布，服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10
运筹学PPT完整版
运筹学的主要内容
5、图与网络(Graph Theory and Network)：中国邮递员问 题、哥尼斯堡城问题、最短路、最大流问题。 6、存储论（Inventory Theory)：主要解决生产中的库存问 题，订货周期和订货量等问题。 7、排队论(Queue Theory)：主要研究排队系统中的系统排 队和系统拥挤现象，从而评估系统的服务质量。 8、对策论(Game Theory)：主要研究具有斗争性质的优化问 题。 9、决策分析(Decision Analysis) ：主要研究定量化决策。
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
解：
1.决策变量：设产品I、设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2
3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
x1， x2≥0
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
运筹学的发展趋势
绪论
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
3.约束条件：
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
运筹学 第三节 分支定界法
的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
精品课件
运筹学教程
每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
精品课件
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
运筹学教程
说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
4-3 分枝定界法
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解 】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 先求对应的松弛问题（记为 ）：
第四章 整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理： 原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 首先，不考虑变量的整数约束， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 过程得到的整数解中， 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解， 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。