电磁学第五章

第五章 稳恒电流的磁场重点本章讨论真空中的静磁场§1磁场.磁感应强度1. 磁现象起源于电荷运动运动电荷产生磁场; 磁场对运动电荷有作用力. 磁现象本质上是运动电荷的效应.2. 匀速运动点电荷的磁场1. 磁场运动电荷是产生磁场和与磁场作用的基本微元.运动电荷作为检验电荷定量定义磁场. 检验电荷受到与其运动有关的力为磁场力. 2 匀速运动点电荷q 对检验电荷q 0的磁场力 S 中, q 以v 匀速运动. q 静止于S’系 S ’系, q 对q 0电场力 F ’=qq 0r ’/(4πε0r ’3)相对论变换F x ’=2020/1/c vv c v F x x -⋅-v F F y ’=)/1(20c vv F x y-γF z ’=)/1(20c vv F x z-γS 系:F x = F x ’+γv (F y ’v 0y +F z ’v 0z )/c 2 F y =γ(1-vv 0x /c 2) F y ’ F z =γ(1-vv 0x /c 2) F z ’F m =2c γ[v 0⨯(v ⨯F ’)] ∝ qq 0F m <<F e 是运动电荷的相对论效应. 3 磁感应强度B 的方向磁针北极受力方向为B 方向. 由奥斯忒效应, 匀速运动电荷B 的方向为v 的环向φˆ 4. 匀速运动点电荷的磁场与磁场无关的是v 0、q 0. v ⨯F ’恰为环向 定义B =01q 2c γ (v ⨯F ’)=γμπ043’r r v q⨯ μ0=1/(c 2ε0)=4π⨯10-7 W b / A ⋅m 2真空磁导率S 系观点’低速下近似B ≈μπ04qv r r ⨯35. 磁场迭加原理若干匀速运动点电荷在某点产生的总磁场, 等于各运动点电荷单独产生的磁场之和3 磁感应强度B1. 洛仑兹力F m =q 0v 0⨯B——磁场的基本性质2. 任意磁场B检验电荷q 0以v 0运动, q 0所受磁场力⨯B于是定义了该点磁感应强度B(1)使F m =0的v 0方向//B (2)F m ≠0, 确定B 的方向B=F m /(q 0v 0sin θ) 3. 磁场迭加原理若干运动点电荷在某点产生的总磁场, 等于各运动点电荷单独产生的磁场之和 4 磁感线 (B 线)有向曲线B 线, ; ∆S ⊥上B 线条数 ∆N=B ∆S ⊥4 电流元的磁场—毕-电流元矢量Id l 1 毕-沙-拉定律 Id l = (dN)q vd B =(dN)μ0q v ⨯r /(4πr 3)=μπ04Idl r r⨯3 —毕-沙-拉定律.毕-沙-拉定律中忽略了更高阶相对论效应. 2 比较点电荷的电场和电流元的磁场3 稳恒电流的磁场 B = ⎰ lμπ04Idl r r⨯3一支电流的磁场等于元电流磁场之和; 多支电流的磁场等于各支电流之和5. 磁感应强度的计算例1. 求：长直电流(AB 段)的磁场.解：场点P(R,θ1,θ2), d l =dz zˆ d B ⊥纸面向里 B φ=R Iπμ40(cos θ1-cos θ2)∞直电流 B=μ0I/(2πR) 半∞直电流 B=μ0I/(4πR)例2. 圆电流在其轴线上的磁场d l ⨯r=d l ⨯(z zˆ-R )=zd l n ⊥由对称性，只有B zB z = μ0IR 2/[2(R 2+z 2)3/2 ] 讨论: (1)z=0时 B=μ0I/2R (2)z>>R 时 B ≈μ0IR 2/2z 3远处看圆电流为磁偶极子, 磁矩pi = I S B ≈μ0p i /(2πz 3)推广(1)平面闭合电流磁矩 p i = I S稳恒电流系统可以定义磁矩p i(2)r>>l (闭合电流尺度)时, 闭合电流可看作磁偶极子 磁偶极子磁场为 B = -μπ0034r p i +340005μπ()p r r i ⋅r 0例3. 求密绕螺线管轴线上的磁场. 管半径R, 单位长度上n 匝, 电流I解: 近似为无限靠近的圆电流. dB z =μ0R 2dI /2r 3dI=IndzB =12μ0nI (cos θ2 -cos θ1) z讨论：∞长 θ1=π θ2=0 ⇒ B = μ0 n I 管长L>>半径R中部 B ≈ μ0 n I两端 B ≈μ0 nI/2d§2磁场的高斯定理和安培环路定理静磁场高斯、安培环路定理对变化磁场也对1. 磁场的高斯定理1. 磁通量 φBd φB = B ⋅d SφB =⎰ S B ⋅d S2. 电流元磁场的磁场通量电流元磁场在任意闭合曲面上的磁通为零∮d B ⋅d S =0 3. 任意电流的磁场的通量定理 由迭加原理:∮B ⋅d S =0——磁场高斯定理B 场无源, B 线闭合 4. 比较：有源场 场源E 场 q D 场 q 0j 场 电荷增减(-dq/dt)无源场: 稳恒电流场j 场, 磁场B 5. 定义穿过闭合曲线的磁通定义：穿过闭合有向曲线L 的磁通，为以L 为边界且法向 n与L 符合右手关系的曲面S 上的磁通 ⎰ s B ⋅d S2. 安培环路定理1. 安培环路定理稳恒电流等效为无数小环电流 I=I 小环1+I 小环2+… 环路定理∮B ⋅d l =μ0 I 内符号规定: I i 与L 成右手关系, I i 取正 例. 无限长直电流磁场的环路积分解: 柱坐标(R,φ,z)∮L B ⋅d l =μπ02I∮L d φ (1)I 在L 内∮L B ⋅d l =μ0I (2)I 在L 外, ∮L B ⋅d l =0 3. 讨论俯视图12(1) 安培环路定理只适用于稳恒电流.(2) B 由所有电流产生，而B 的环路只取决于I 内 (3)毕-沙-拉定律: j 分布 ⇒ B 分布 安培环路定理: B 分布 ⇒ j 分布j =1μ∇⨯B(4)横向场 + 平方反比率 ⇒ 安培环路定理 (5) 环量≠0, B 为涡旋场,无位(势)函数3. 由安培环路定理求B安培环路定理+磁场对称性 ⇒ B 1. 磁场对称性与电场对称性的相同与不同 (1) 磁场场源(电流)特点: 有方向场源分布对称的: C ∞ σ (π2)场源分布反对称的: C 2 σ(π1) (2) 磁场矢量B 的特点: 轴矢量σ(π)对称 ⇒ B 在π面σ(过z 面)反对称⇒ B ⊥对称面线矢量: 几何矢量等轴矢量: 平面对称时,轴矢量表现与线矢量的表现相反(3) 具有对称性的磁场的特点、对称元上的磁场 对称操作 磁场特点T(沿z 轴) B 与z 无关 C ∞(z)(只有对称) B ξ, φ, Z 与φ无关σ(xy 面)对称 B xy (-z)= -B xy (z) B z (-z)=B z (z) σ(xy 面)反对称 B xy (-z)=B xy (z) B z (-z)= -B z (z)对称操作 对称元上磁场 C ∞(z)(只有对称) B=B zσ(xy 面)对称 B=B z (⊥对称面xy 面) σ(xy 面)反对称 B=B xy (在对称面xy 面内)轴矢量平面对称 6’ 5’ 轴矢量平面反对称 4 5 6 6’ 5’4’ o线矢量平面对称 2 3 3’2’ ∞3. 例例1. 无限长圆柱均匀载流直导体解：σ(过z 面)对称⇒ B =B φ φ沿z 轴平移对称⇒B 与z 无关C ∞ (z)对称⇒Bφ与φ无关; B (r=0)φ选半径为r 的环路2πrB=μ0I 内B = μ0I 内/(2πr) r < R I 内=r 2I / R 2 B= μ0Ir/(2πR 2) r > R I 内=IB= μ0I/(2πr)例2. 无限长密绕螺线管(电流I,单位长度上n 匝线圈).求: B 解：垂直于z 轴平面反射对称性——B =B z z沿z 轴无限小平移对称性——B 与z 无关 C ∞ (z)对称——B 与φ无关B =B z (r ) z环路在管内: (B 轴-B 内)l =0 B 内=B 轴=μ0nI 环路在管内外: (B 轴-B 外)l =μ0nI l B 外=0 例3. 厚度为2a ，均匀电流j .求B解：σ(//xz 的面)对称 沿y , z 平移对称⇒ B 对yz 平面的对称性⇒B (-x)= -B (x) ; B 2bB(x)=μ0 I 内⎪x ⎪< a B y (x)= μ0 jx⎪x ⎪> a B(x)=±μ0 ja=常数 ⎪x ⎪> a 时, B=±μ0 i/2⊗ ⊗ ⊗ B B 关于平面对称B 关于平面反对称§3 磁场对运动电荷和载流导线的作用1. 洛仑兹力Fm1. 洛仑兹力和洛仑兹关系F m =q v×B (功率P m= F m⋅v =0)洛仑兹关系F=q (E + v⨯B )2. 均匀磁场中带电粒子运动规律v // B F m=0 粒子匀直运动v⊥B 匀速圆周运动R=mv /qB 周期T=2πR/v==2πm/qB斜入射轨道为螺旋线v=v// +v⊥R=mv⊥/qB 螺距=Tv// 3. 等离子体磁约束简介(1) 等离子体聚变反应温度达到107—109 K.. 反应物(等离子体)由磁场约束(2) 横向磁约束(3) 纵向磁约束——磁镜2. 霍耳效应金属薄片电流I, 垂直均匀磁场B1 现象电势差∆U=U上-U下⎢∆U⎜∝ IB / a 霍耳电场E H = ∆U / h不同载流子∆U符号相反2 经典解释设: q >0 定向速度v,平衡时F H =q∆U/h=F m=qvB∆U=vBh=K IB a霍尔系数K=1/nq正、负载流子的霍耳效应不同用途: 测磁场; 判断半导体的类型(P , n) 3. 安培力安培力作用在导线导线不动1. 安培力本质—洛仑兹力自由电子横向合力=0f m = -f HB f e产生E H的框架电荷受力=f m2. 电流元所受安培力电流元Id l受力d F=(dN)q v⨯B=I d l ⨯B——安培定律3. 安培力F= ⎰L Id l ⨯B均匀磁场F= ⎰L Id l ⨯B=I ∆r⨯B ∆r =r B- r A(1)长L的直电流F=I L⨯B(2)闭合载流导线受力矢量和为零例: 平行∞长相距为a的载流直导线长度L上的相互作用力F12=F21 =μ0I1I2L / (2πa)同向为引力, 反向为斥力安培(MKSA第四个基本单位)定义:两无限长直导线，电流相等,相距1m, 单位长度上受力为2⨯10-7N时, 电流强度为1A.4. 平面闭合电流在均匀磁场中受到的力偶矩所受力的矢量和为零.只受力偶矩1. 矩形线圈所受力矩B=B⊥+B// .(1)B⊥场安培力矢量和=0, 力偶矩=0(2) B//场F1= -F3=I L1⨯B//F2= -F4=I L2⨯B//力的矢量和=0力偶矩=I[L1(L4⋅ B//)+L2(L1⋅ B//)]T = B//场力偶矩=I(L1⨯L2)⨯B// =P i⨯B//=P i⨯BP i=I S2. 任意平面载流线圈将线圈分成小矩形线圈p ij, P i= ∑p ij总力矩T= ∑T i =P i⨯BL3L3。