上机实验 5 连续信号的采样与重构
第3章 信号的采样与重构(1-2)
虽然自然界中存在离散时间信号，但是最 常见的还是连续时间信号。
采样
连续时间信号的处理分析往往经由对之采 样后的离散时间序列处理完成的。
计算机
利用离散处理后的结果往往需要在连续域 表达出来，便于接收和理解
重构
本章要解决的问题
采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？ 如何无失真恢复原始信号？ 时域采样导致了信号频域发生了何种变化？ 采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行 速率的变化？ 离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？ 如何提高信号处理的性能？
xc (nT ) (t nT )e
j ( T ) n
j t
dt
X ( j) | T X s ( j) X ( j) X s ( j) | / T
1 2k X ( j ) X c ( j j ) | / T T n T 1 ( 2k ) Xc( j ) T n T
跟踪滤波器
xn (t )
采样
xn (n)
f 0n
2n 1 B 2
f S 2B
当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就 先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所 感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混 叠，亦称之为抗混叠滤波器。 如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对 全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分 析，这正是软件无线电的根本出发点。
( n
0
)
1 Xs() Xc() * S () 2 1 Xc() * ( n 0 ) T 1 T
《信号与分析》连续信号的采样与重构实验报告
axis([-2.5,1.5,-0.1,1.1]);
t=0:0.01:2*pi;
Y=2*t.*sin(t.^2);
subplot(2,1,1);
plot(t,Y);
title('原信号');
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');
axis([0,2*pi,-12,12]);
grid;
ylabel(‘Cn’);
xlabel(‘角频率/rad*s^(-1)’);
title(‘幅度频谱序列‘);
实验心得：
通过本次实验我学会了利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的认识，学会该软件的操作和使用方法。并且我还熟练掌握了利用MATLAB实现连续信号采样与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
%幅度频谱Cn=2[sin(pi*n*t/T)/(pi*n)
N=10;
n=1:N;
C0=0.1; %计算n=0傅里叶级数C0及直流幅度
%计算n=1到10的傅里叶级数系数
Cn=sin(pi*n/5)/pi./n.*2; %T/t=5
CN=[C0 Cn];
nN=0:N;
subplot(1,2,2);
stem(nN,CN);
《信号与分析》连续信号的采样与重构实验报告
实验目的：1）掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
（2）掌握利用MATLAB实现连续信号采样与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
（3）学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
重构实验报告
一、实验目的1. 学习和掌握信号重构的基本原理和方法。
2. 熟悉信号处理中常用的滤波技术。
3. 通过实验验证信号重构理论。
二、实验原理信号重构是信号处理中的一个重要问题，主要应用于信号去噪、信号分离等领域。
本实验主要研究连续信号经过采样后的信号重构方法。
根据采样定理，如果一个信号f(t)在区间[-T/2, T/2]内是带限的，那么只要采样频率f_s大于2倍信号的最高频率f_m，即f_s > 2f_m，那么通过采样后的信号可以完全重构原信号。
本实验采用理想低通滤波器对采样信号进行重构。
理想低通滤波器的特性是：通带内的信号通过，阻带内的信号被抑制。
三、实验内容1. 产生一个连续信号：f(t) = cos(2π×50t) + cos(2π×100t)。
2. 对连续信号进行采样，采样频率f_s = 400Hz。
3. 采样后的信号经过理想低通滤波器进行重构。
4. 对重构后的信号进行分析。
四、实验步骤1. 编写程序生成连续信号f(t) = cos(2π×50t) + cos(2π×100t)。
2. 对生成的连续信号进行采样，采样频率f_s = 400Hz。
3. 采样后的信号经过理想低通滤波器进行重构。
4. 将重构后的信号与原始连续信号进行对比，分析重构效果。
五、实验结果与分析1. 生成连续信号f(t) = cos(2π×50t) + cos(2π×100t)。
2. 采样后的信号如图1所示。
图1 采样信号3. 重构后的信号如图2所示。
图2 重构信号4. 对比重构信号与原始连续信号，可以看出重构信号与原始信号非常接近，说明信号重构效果较好。
六、实验结论通过本次实验，我们掌握了信号重构的基本原理和方法，验证了采样定理，熟悉了理想低通滤波器在信号重构中的应用。
实验结果表明，采样后的信号经过理想低通滤波器重构效果较好，为信号处理领域提供了理论依据。
七、实验拓展1. 尝试使用其他滤波器对采样信号进行重构，比较重构效果。
实验报告五_信号的采样与恢复
（7）观察抽样信号经低通滤波器还原后的波形 T03。
（8）改变抽样频率为 fs<2B 和 fs≥2B，观察抽样信号（T02)和复原后的 信号（T03)，比较其失真程度。
2、 语音信号的抽样与恢复
把话筒插进 V1 耳机插进 V2(看清标识不要接错)，用导线将“PCM 信号输 出”连接到“PCM 信号输入”,检查无误后就可以对着话筒讲话了，会在耳机 里听到清楚的声音。（W01 用来调节语音信号的放大倍数，W02 用来调节声音 的大小）
深圳大学学生实验报告用纸
心得体会：
通过这个实验，我们了解了模拟信号的采样方法与过程及信号的 恢复，并验证了采样定理，通过对输入信号与采样信号的对比， 输入信号与恢复信号的对比我们知道只要遵循采样定理并保证采 样频率大于乃奎斯特率，那么恢复信号就能够达到与原信号相近 的水平，很好的将模拟信号数字化。
0 Ts
1
Fs
TS
0
t
s m
m
s
（c） 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
图 5-2 抽样过程中出现的两种情况
4、点频抽样还原实验采用分立方式，对2kHz正弦波进行抽样和还原，首先2kHz的
方波经过截止频率为2.56kHz低通滤波器得到2kHz的正弦波，然后用可调窄脉冲对正弦
波进行抽样得到抽样信号，抽样信号经低通滤波器后还原出正弦波。
取值离散的数字信号后在信道中进行传输。而脉冲编码调制就是对模拟信号先进行抽样 后，再对样值的幅度进行量化、编码的过程。话音信号先经过防混叠低通滤波器，得到 限带信号（300Hz～3400Hz），进行脉冲抽样，变成 8kHz 重复频率的抽样信号（即离散 的脉冲调幅 PAM 信号），然后将幅度连续的 PAM 信号用“四舍五入”办法量化为有限个 幅度取值的信号，再经编码，转换成二进制码。对于电话，CCITT（国际电话与电报顾 问委员会 International Telephone and Telegraph Consultative Committee）规定 抽样率为 8kHz，每抽样值编 8 位码，即共有 28=256 个量化值，因而每话路 PCM 编码后 的标准数码率是 64kb/s。
五 信号抽样与重构
实验五 信号的抽样和重构实验目的（1）熟悉抽样信号及其频谱。
（2）掌握抽样定理。
（3）了解理想低通滤波器。
一、实验原理 1．抽样信号抽样信号相当于连续信号与周期性的冲击序列相乘。
)()()(t t f t f T s δ⋅=在Matlab 中可以很方便的用不同的时间间隔实现对连续信号不同频率的抽样。
抽样信号的频谱等于原始信号的频谱与冲击序列的频谱的卷积。
∑∑∞-∞=∞-∞=-=-*=n s n s s n F T n T F F )(1)(1)()(ωωωωδωω抽样信号的频谱是对原始信号的频谱的周期性延拓，周期大小为抽样品率，其中每一个周期都复制了原始信号的频谱。
2．抽样定理一个带宽为wm 的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm 。
3．低通滤波器为了从抽样信号中恢复原始信号，可以让抽样信号通过一个低通滤波器，把一个周期的频谱取出来。
理想低通滤波器的频率响应H(jw)，是一个自变量为w 的门函数。
让抽样信号的频谱Fs(jw)与滤波器的H(jw)相乘，可以得到抽样信号一个周期的频谱Fa(jw)。
对Fa(jw)求傅立叶逆变换，可以重构原始信号。
二、验证性实验1．绘制宽度为2的门信号G 2(t)=u(t+1)-u(t-1)的图形和频谱。
门信号并非严格意义上的有限带宽信号，但是，由于其频率f>1/τ的分量所具有的能量占有很少的比重，所以一般定义f m =1/τ为门信号的截止频率。
其中的τ为门信号在时域的宽度。
在本例中选取f m =0.5，临界采样频率为f s =2f m=1，过采样频率为f s >1（为了保证精度，可以将其值提高到该值的50倍），欠采样频率为f s <1。
MATLAB 程序：Ts=0.01;%采样周期=0.01,fs=100>>2fm=1 t=-4:Ts:4;f=rectpuls(t,2);% 宽度为2的门信号w1=2*pi*10; % 频谱范围[-20*pi 20*pi] N=1000; % 计算出2*1000+1个频率点 k=0:N;wk=k*w1/N;F=f*exp(-j*t'*wk)*Ts; % 计算Fourier 变换 F=abs(F); % 计算频谱的幅度 wk=[-fliplr(wk),wk(2:1001)];F=[fliplr(F),F(2:1001)]; % 补充对应负频率的频谱 subplot(2,1,1); plot(t,f); xlabel('t'); ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2); plot(wk,F); xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); title('f(t)的幅度谱');-4-3-2-10123400.51tf (t )f(t)=u(t+1)-u(t-1)-80-60-40-2002040608000.511.52wF (j w )f(t)的幅度谱由于抽样周期很小，抽样频率（100Hz ）远远大于信号带宽，结果相当于连续信号。
实验报告五_信号的采样与恢复
称抽样频率。
s t
t
τ
TS
图 5-1 矩形抽样脉冲 对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经
过平移的原信号频率。平移的频率等于抽样频率 f s 及其谐波频率 2 f s 、 3 f s „„。当抽 样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按
sin x
课程名称：
信号与系统
实验项目名称：
信号的采样与恢复
学院：
信息工程
专业：
电Hale Waihona Puke 信息指导教师：报告人： 学号： 班级：
实验时间：
实验报告提交时间：
教务部制
实验目的与要求：
1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。 2、验证抽样定理。
实验内容：
1、观察抽样脉冲、抽样信号、抽样恢复信号。 2、观察抽样过程中，发生混叠和非混叠时的波形。
采样信号 1
恢复信号 1
采样信号 2
恢复信号 2
采样信号 3
恢复信号 3
实验结果与分析
1.由实验原理理论得当选用
fs＞2 fmax 采样频率对连续信号进行
采样，信号采样后能不失真地还原，但实验中往往不能达到理想的 效果。 如实验中对频率为 500hz 的正弦波信号采样并通过低通滤波 器恢复时，当 fs=4 fmax=1968hz 时，信号采样后能不失真地还原。 2.若原信号为方波或三角波，可用示波器观察到离散的采样信 号，但由于本装置难以实现一个理想的低通滤波器，以及高频窄脉 （即冲激函数） ，所以方波或三角波的离散信号经低通滤波器后只 能观测到它的基波分量，无法恢复原信号。实验结果 2 和 3 验证了 这一结果。实验结果显示方波采样后的信号是一系列谐波的合成， 从细节图中可以明显的看出方波没有完全恢复,而是转变成一系列 谐波的合成波。 因为方波或者三角波分解成傅里叶级数后存在频率 很高的谐波分量，在本实验条件下无法还原成原信号,只能是低频 波的合成，还原后图像是原信号的大致波形。 3. 实验中由于采样信号不是标准的冲击信号，低通滤波器也 不能达到标准理论值，所以非标准的正余弦信号恢复不到原信号。
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
在图像处理中的应用
图像压缩
在图像压缩中，连续时间信号的抽样可以用于减少图像的数 据量，从而实现高效的图像存储和传输。通过抽样和重建技 术，可以保持图像的质量和细节，同时减小文件大小。
图像分析
在图像处理中，连续时间信号的抽样可以用于图像特征提取 ，例如人脸识别或物体检测。通过抽样和重建技术，可以实 现对图像的深入分析和处理，推动计算机视觉技术的发展。
在实际应用中，信号的特性可能随时间或环境变化而变化，因此需要适
应性强的算法和系统来应对不同类型和特性的信号。
05
未来展望
抽样与重建技术的发展趋势
1 2
高效算法
随着计算能力的提升，未来将有更高效的算法用 于信号的抽样和重建，减少计算复杂度和时间。
深度学习在信号处理中的应用
深度学习在信号处理领域的应用将进一步拓展， 通过神经网络实现更高效的信号重建。
重建的数学描述
离散信号的数学表示
离散信号通常由一组样本点表示，每个样本点对应于连续时间中 的一个特定时刻。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的工具，它可以将离 散信号的频谱与连续信号的频谱进行关联。
逆傅里叶变换
逆傅里叶变换是将频域信号转换回时域信号的过程，用于从离散信 号的频谱重建原始的连续信号。
信息提取
通过抽样可以从连续时间 信号中提取出关键的时间 点信息，用于进一步处理 和分析。
02
信号的重建
重建的基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
插值法
通过已知的离散样本点，利用插值函数或多项式逼近 未知的连续信号值。
滤波器法
利用滤波器对离散样本进行处理，以恢复原始的连续 信号。
傅里叶变换法
利用傅里叶变换的性质，将离散信号的频谱与连续信 号的频谱进行关联，从而重建原始信号。
连续时间信号的采样与重构及其实现
连续时间信号的采样与重构及其实现
信号处理是现代通信系统中至关重要的一环，其中采样与重构是
一种基本的信号处理技术。
在连续时间信号处理中，采样的作用是将
信号从连续时间域转换为离散时间域。
而重构的作用则是将离散时间
域信号重新转换为连续时间信号，以便于信号的处理和传输。
在采样的过程中，需要将连续时间信号按照一定的时间间隔进行
取样，得到一个离散时间序列。
采样过程中最关键的参数是采样频率，也就是每秒采用的样本数，通常用赫兹（Hz）表示。
采样频率越高，
离散时间序列的准确性就越高，但同时也会增加采样处理的复杂度。
重构的过程则是将离散时间信号恢复成连续时间信号。
由于采样
本身会将连续时间信号进行离散化处理，因此需要进行一定的插值和
滤波处理才能够准确地重构信号。
常见的重构算法包括插值算法、直
接复制算法和最小均方误差算法等。
在实现上，采样和重构的算法都需要借助于一定的数学模型和计
算机技术。
在现代通信系统中，基于数字信号处理技术的采样和重构
算法广泛应用于音频信号、视频信号、图像信号等多种信号处理领域。
数学模型包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等等。
总之，采样和重构是现代通信系统中非常重要的信号处理技术，
对于准确传输和处理信号具有至关重要的作用。
采用数字信号处理技
术可以实现高效的采样和重构，为现代通信系统的发展提供重要的支撑。
连续信号的采样与重建
连续信号的采样与重建一、设计目的和意义随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。
数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最后再重建为模拟信号。
采样在连续时间信号与离散时间信号之间起着桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号(采样序列)中无失真地恢复原模拟信号，同时又尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。
在本次设计中，通过使用用MATLAB对信号f(t)=A1sin(2πf t)+A2sin(4πf t)+A3sin(5πf t)在不同频率点的采样，并进行设计仿真，让我们进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、设计原理1 、时域抽样定理令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(jΩ),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为Ωs=2πfs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为：故可以推得p(t)的傅里叶变换为:其中:根据卷积定理可知:得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(jΩ)是连续信号频谱X(jΩ)的形状以抽样频率Ω为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(jΩ)在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x(t)的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(jΩ)是以Ωs为周期重复。
连续信号的采样与重构
4) 频域过采样
MATLAB 程序： freq=[0 0.45 0.5 1]; mag=[0 1 0 0]; x=fir2(99,freq,mag); [Xz,w]=freqz(x,1,512); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(Xz));axis([0 1 0 1]);grid title('输入谱'); subplot(2,1,2); L=input('过采样因子='); y=zeros(1,L*length(x));
答：混迭频率是 120Hz-5000Hz。因为方波信号除了频率为 200Hz 的基波外，还含
有频率为 200Hz 的奇数倍的各次谐波，这些谐波频率的 2 倍都大于 500Hz，所以取 样后其频谱都会产生混迭现象。
2) 在时域抽样定理中，为什么要求被抽样信号必须是带限信号？如果频带是无限的， 应如何处理？
f=input('f=plot(x1,3*sin(2*pi*f*x1));
%原时域连续信号 y=3sin(2πft)
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('原时域连续信号 y=3*sin(2*pi*f*t)');
grid
sin1=3*sin(2*pi*f*w);
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(20*w,([Y(1:256)]));
%绘制频谱图
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
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上机实验5 连续信号的采样与重构
1.验证性试验
1）正弦信号的采样
MATLAB程序：
>> clf;
>> t=0:0.0005:1;
>> f=13;
采样结果：>> xa=cos(2*pi*f*t);
>> subplot(2,1,1);
>> plot(t,xa);grid
>> xlabel('时间，msec');ylabel('幅值');
>> title('连续时间信号x_{a}(t)');
>> axis([0 1 -1.2 1.2]);
>> subplot(2,1,2);
>> T=0.1;
>> n=0:T:1;
>> xs=cos(2*pi*f*n);
>> k=0:length(n)-1;
>> stem(k,xs);grid;
>> xlabel('时间，msec');ylabel('幅值');
>> title('连续时间信号x[n]');
>> axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2]);
2）模拟低通滤波器设计
MATLAB程序：
>> clf;
>> Fp=3500;Fs=4500;
>> Wp=2*pi*Fp;Ws=2*pi*Fs;
>> [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,0.5,30,'s');
>> [b,a]=butter(N,Wn,'s');
>> wa=0:(3*Ws)/511:3*Ws;
>> h=freqs(b,a,wa);
>> plot(wa/(2*pi),20*log10(abs(h)));grid
>> xlabel('Frequency,Hz');ylabel('Gain,dB');
>> title('Gain response');
>> axis([0 3*Fs -60 5]);
结果：
3） 时域过采样
MATLAB 程序： >> n=0:50;
>> x=sin(2*pi*0.12*n);
>> y=zeros(1,3*length(x));
>> y([1:3:length(y)])=x;
>> subplot(2,1,1);
>> stem(n,x);
>> title('输入序列');
>> subplot(2,1,2);
>> stem(n,y(1:length(x)));
>> title('输出序列');
4） 时域欠采样
MATLAB 程序：
>> clf;
>> n=0:49;
>> m=0:50*3-1;
>> x=sin(2*pi*0.042*m);
>> y=x([1:3:length(x)]);
>> subplot(2,1,1);
>> stem(n,x(1:50));axis([0 50 -1.2 1.2]);
>> title('输入序列');
>> subplot(2,1,2);
>> stem(n,y);axis([0 50 -1.2 1.2]);
>> title('输出序列');
采样结果:
采样结果：
2. 程序设计实验
设计一模拟信号：x(t)=3sin(2πft )采样频率f s 为5120Hz ，取信号频率f=150Hz （正常采样）和f=3000Hz 欠采样两种情况进行采样分析。
1） f=150Hz
MATLAB 程序：
clf;
t=0:0.000005:0.1;
f=150;
x=3*sin(2*pi*f*t);
subplot(2,1,1);
plot(t,x);grid
xlabel('时间，msec');ylabel('幅值
subplot(2,1,2);
T=1/5120;
n=0:T:1;
xs=3*sin(2*pi*f*n);
k=0:length(n)-1;
stem(k,xs);grid;
xlabel('时间，msec');ylabel('幅值');
title('连续时间信号 x[n]');
axis([0 100 -4 4]);
2） f=3000Hz
MATLAB 程序：
clf;
t=0:0.0000005:0.005;
f=3000;
x=3*sin(2*pi*f*t);
subplot(2,1,1);
plot(t,x);grid
xlabel('时间，msec');ylabel('幅值');
subplot(2,1,2);
T=1/5120;
n=0:T:1;
xs=3*sin(2*pi*f*n);
k=0:length(n)-1;
stem(k,xs);grid;
xlabel('时间，msec');ylabel('幅值');
title('连续时间信号x[n]');
axis([0 100 -4 4]);。