灰色预测应用实例

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理.
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）:
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）:
所属学校（请填写完整的全名）: 河南师范大学
参赛队员(打印并签名) :1. 孔燕姿
2. 刘姣
3. 王丽娟
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 裴永刚
日期: 2011 年 07 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
摘要
本文是一个灾变预测问题,针对该问题,根据旱灾界限找出原始数列中的异常值,生成对应的灾变日期序列。

在级比检验不满足可容覆盖的情况下，取常数c=25,经过平移变换，新数列可以建立GM （1,1）模型.
通过最小二乘法求取参数向量ˆα=a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-0.075 31.996⎡⎤⎢⎥⎣
⎦,得到GM(1,1)模型的时间相应函数模型：(1)0.075ˆ(1)452.613426.613k T
k e +=-.通过相对残差检验和级比偏差检验,确信所建模型达到较高的要求,可以用来做预测.再通过累减生成序列,
去掉常数c,即可得到下一次旱灾发生的预测时间为：从最近一次旱灾发生的时间算起，4年之后很可能发生旱灾。

关键词: 灰色模型 最小二乘法
一 问题的提出
某地区平均降水量（单位：毫米）的原始数据为：
()()(){}
1,2,...,24X x x x =
={386.6, 514.6, 434.1, 484.1, 647.0, 399.7, 498.7, 701.6, 254.5, 463.0, 745.0, 398.3, 554.5, 471.1, 384.5, 242.5, 671.7, 374.7, 458.9, 511.3, 530.8, 586.0, 387.1, 454.4},
规定年降水量≤ξ390(毫米)为旱灾年，试作旱灾预测。

二 模型的分析与假设
2.1数据的分析与检验
首先，按照()x t ≤390(毫米)为异常值，则生成灾变数列
{}(1),(9),(15),(16),(18),(23)X x x x x x x ξ=由此转化为灾变日期序列 (0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =进行预测。

其次，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理，已知参考数列(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比
(0)(0)
(1)()(2,3,...,)()
x k k k n x k λ-==
得到可容覆盖221
1
(,)n n X e
e
-++=为（0.751477 1.330712）
，，判断数据的级比()k λ是否均落在了可容覆盖内.若是，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)和进行灰色预测。

若不是，则需要找到适当的常数c,使得数列(0)x +c 均落在了可容覆盖内。

2.2 模型的假设
1、假设统计数据都是可靠准确的；
2、假设降水情况保持持续稳定； 2.3 符号的说明
X ξ——原始数列中的异常值所构成的数列； (0)()x k ——灾变时间数列的第k 个值;
(0)()T k ——灾变时间数列经过平移变化后的数列的第k 个值； (1)()T k ——一次累加数列的第k 个值;
(1)()z k ——均值生成数列的第k 个值; (0)
()T
k ∧——模型预测数列的第k 个值;
a ——发展系数;
b ——灰作用量;
()k λ——级比数列的第k 个值; (0)()k ∆——相对残差的第k 个值;
()k ρ——级比偏差数列的第k 个值;
三 模型的建立
对已知参考数列
(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())T x c x c x n c =+++(0)(0)(0)((1),(2),...,())T T T n =，做1次累加（AGO ）生成数列
(1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)
((1),(2),...,())
((1),(1)(2),...,(1)())T T T T n T T T T n T n ==+-+
其中(1)
(0)1()()k
i T k T k ==∑
(1,2,3,...,)k n =，求均值数列即：
(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k T k T k =+-(2,3,...,)k n =
即(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n =。

于是建立灰微分方程为：
(0)(1)()()(2,3,...,)T k az k b k n +==
相应的白化微分方程为(1)
(1)()dT aT t b dt
+=， 记(0)(0)(0)1(,),((2),(3),...,())T T a b Y T T T n μ==，(1)(1)(2)1()1z B z n ⎛⎫-
⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，则由最小二乘法，求得11()()()T
J Y B Y B μμμ∧
∧∧
=-⋅-⋅达到最小值的
1
1(,)
(
)T
T T
a b B B B Y μ∧∧
∧
-==.于是求解方程得到预测值
(1)
(0)(1)((1))(1,2,3,...,1)ak b b T k T e k n a a
∧-+=-+
=-
而且(0)(1)(1)
(1)(1)()T k T k T k ∧∧∧+=+-(1,2,3,...,1)k n =-
四 模型的求解
第1步：按照()x t ≤390(毫米)为异常值,有
{}(1),(9),(15),(16),(18),(23)X x x x x x x ξ= {}386.6,254.5,384.5,242.5,374.7,387.1=
由此转化为灾变日期序列，
(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n ={
}23,18,16,15,9,1=
第2步：检验级比是否均落在了可容覆盖内
经检验，原始数据的级比大部分不在可容覆盖内，取常数c=25，形成新的数列()
0T =()0x +c ={26 34 40 41 43 48}
经验证可知新数列的级比均落在可容覆盖内，故可用新数列构造GM(1,1)模型。

第3步：构造累加生成序列
(1)
()T k ∧={ 26 60 100 141 184 232}
第4步 构造数据矩阵B 和数据向量n Y
(1)(1)
(1)(1)(1)(1)
(1)
(1)
(1)(1)
1(1)(2)121-43 1(2)(3)12-80 11
-120.5 1(3)(4)12
-162.5 11(4)(5)1-208 121(5)(6)12T T T T B T T T T T T ⎡⎤
⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎡⎡⎤
-+⎣
⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥==⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎣
⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3440414348n Y ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎦⎣⎦
第5步 计算ˆα
=a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=n T T Y B B B 1)(- 1-0.075ˆ() 31.996T T n B B B Y α-⎡⎤
==⎢⎥
⎣⎦
第6步 得出新数列的预测响应式为(0)(1)(1)
(1)(1)()T k T k T k ∧∧∧+=+-.其中
(1)0.075ˆ(1)452.613426.613k T
k e +=-
第7步 残差的检验
根据预测公式，计算(1)
()T k ∧，再累减生成(0)
()T
k ∧序列为：
(0)
()T
k ∧={ 26.00 35.25 37.99 40.95 44.14 47.57 51.27}
(k=1,2 …7)
原始序列：(0)()T k ＝{26 34 40 41 43 48} (k=1,2 …6) (1)计算绝对残差.
令残差为()k ∆，计算(0)(0)(0)ˆ()[()()]/()k T k T k T k ∆=- (k=1,2, (6)
相对残差序列：()k ∆＝｛0 0.0367 -0.0502 -0.0012 0.0264 -0.0089｝
()0.1k ∆<,说明预测模型达到较高的要求。

(2) 利用发展系数a 求出相应的级比偏差。

()k ρ=[0.1757 0.0838 -0.0516 0.0277 0.0344]可见，()0.1k ρ<,再次说明模型达到较高要求。

第8步 下次旱灾发生的预测式为：(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()25Q k T k T k +=+-- 可算出下次旱灾发生的时间是第26.275（年份），即，从最近一次旱
灾发生的时间算起，4年之后很可能发生旱灾。