运筹学最优化
应用数学中的最优化理论和运筹学
应用数学中的最优化理论和运筹学随着计算机技术和数学理论的不断发展，最优化理论和运筹学在应用数学中起着日益重要的作用。
这两个领域不仅在生产、管理和决策等方面发挥着不可替代的作用，也在社会发展中起到了巨大的作用。
本文将探讨最优化理论和运筹学在应用数学中的应用和价值。
一、最优化理论在应用数学中的应用最优化理论指的是在特定条件下寻找最优解的一种数学方法。
它通过建立数学模型来描述具体问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
最优化理论广泛应用于经济学、物理学、工程学、金融学、环境科学和人工智能等领域。
1.经济学在经济学领域，最优化理论被广泛应用于计算机辅助决策和计算机辅助规划。
比如在生产计划中通过最优化方法计算出最少的成本和最大的利润，可以帮助经理人员做出更加精确的决策。
此外，最优化理论在资源分配、投资决策和货币政策方面也有着广泛的运用。
2.物理学在物理学领域，最优化理论通常被用于分析非线性问题和优化控制。
比如，在飞行器设计中，需要利用最优化理论来计算飞行速度和高度，以及航空公司的利润最大化。
此外，最优化理论还在能源领域、物理实验和机器人控制中有广泛的应用。
3.工程学在工程学领域，最优化理论被广泛应用于设计和优化流程。
比如在生产线上通过最优化方法分析时间和成本，可以帮助减少生产成本和提高生产效率。
此外，在建筑设计中也有着广泛的应用。
二、运筹学在应用数学中的应用运筹学是指应用数学、统计学和计算机来解决最大化或最小化问题的方法。
它主要研究决策过程和资源分配问题，通过建立数学模型来描述实际问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
运筹学在经济学、管理学、计算机科学、制造业和物流管理等领域中起着非常重要的作用。
1.经济学在经济学中，运筹学主要应用于小型企业和中型企业的管理问题。
比如在企业的生产和运输中通过运筹学的方法来优化生产成本和配送成本，可以帮助企业节约时间和成本，提高效率。
2.管理学在管理学领域，运筹学主要应用于制定决策模型来解决管理问题。
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来实现最优决策的学科。
在运筹学中，优化算法是一种关键工具，它可以帮助我们找到最佳的解决方案。
本文将重点介绍运筹学中的优化算法与算法设计。
优化算法是一种数学方法，通过计算机模拟和运算，解决最优化问题。
最优化问题通常包括了一个待优化的目标函数和一组约束条件。
优化算法的目标就是找到目标函数的最小值或最大值，同时满足约束条件。
在运筹学中，优化算法的应用非常广泛，例如在生产调度、资源分配、路径规划等领域都有重要的作用。
优化算法主要分为数学规划和启发式算法两大类。
数学规划是一种基于数学模型的优化方法，其核心思想是将问题转化为数学形式，通过数学方法求解最优解。
常见的数学规划方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
这些方法在理论上非常严谨，能够保证找到全局最优解，但在实际问题中往往由于问题的规模较大而难以求解。
相比之下，启发式算法是一种更加灵活和高效的优化方法，它通过模拟生物进化、物理过程或者人工智能等方法，尝试寻找最优解。
启发式算法通常不保证找到全局最优解，但在解决大规模问题时具有很好的效果。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、粒子群算法等。
算法设计是优化算法中至关重要的一环，良好的算法设计可以显著提高算法的效率和性能。
在算法设计中，需要考虑如何选择合适的搜索策略、参数设置、停止准则等关键因素。
合理设计算法的复杂度可以有效减少计算时间，提高算法的适用性和可靠性。
总的来说，优化算法在运筹学中扮演着重要角色，它们为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
无论是数学规划还是启发式算法，都有着各自的优势和不足，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法来解决。
在未来，随着信息技术的不断发展和算法设计的进步，优化算法将在运筹学中发挥更加重要的作用。
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何寻找最优解的学科，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
在运筹学中，优化算法是重要的工具之一，用于解决各种复杂的最优化问题。
本文将介绍一些常见的优化算法以及它们的算法设计原理。
一、贪婪算法贪婪算法是一种简单而直观的优化算法。
它每一步都选择局部最优的解，然后将问题缩小，直至得到全局最优解。
贪婪算法的优点是实现简单、计算效率高，但它不能保证一定能得到全局最优解。
二、动态规划算法动态规划算法通过将原问题分解为一系列子问题来求解最优解。
它通常采用自底向上的方式，先求解子问题，再通过递推求解原问题。
动态规划算法的特点是具有无后效性和最优子结构性质。
它可以用于解决一些具有重叠子问题的优化问题，例如背包问题和旅行商问题。
三、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过递归的方式遍历所有可能的解空间。
它的基本思想是逐步构建解，如果当前构建的解不满足条件，则回退到上一步，继续搜索其他解。
回溯算法通常适用于解空间较小且复杂度较高的问题，例如八皇后问题和组合优化问题。
四、遗传算法遗传算法是一种借鉴生物进化过程中的遗传和适应度思想的优化算法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，生成新的解，并通过适应度函数评估解的质量。
遗传算法具有全局搜索能力和并行搜索能力，适用于解决复杂的多参数优化问题。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法。
它通过接受劣解的概率来避免陷入局部最优解，从而有一定概率跳出局部最优解寻找全局最优解。
模拟退火算法的核心是温度控制策略，逐渐降低温度以减小接受劣解的概率。
它适用于求解连续变量的全局优化问题。
六、禁忌搜索算法禁忌搜索算法是一种基于局部搜索的优化算法。
它通过维护一个禁忌表来避免回到之前搜索过的解，以克服局部最优解的限制。
禁忌搜索算法引入了记忆机制，能够在搜索过程中有一定的随机性，避免陷入局部最优解。
它适用于求解离散变量的组合优化问题。
综上所述，运筹学中的优化算法涵盖了贪婪算法、动态规划算法、回溯算法、遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等多种方法。
运筹学-最优化准备知识
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
4
最优化问题
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
22
凸函数的几何性质
对一元函数f (x),在几何上a f (x1)+(1-a)f (x2) (0≤a≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f (x2))的线段, f(ax1+(1-a)x2)表示在点ax1+(1-a)x2处的函 数值,所以一元凸函数表示连接函数图形 上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
21
凸函数的例
例. 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上是 严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a ∈ (0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 例. 线性函数f (x)=cTx=c1x1+c2x2+· · · +cnxn 既是Rn上凸函数也是Rn上凹函数.
(ii) 若在D内G(x)正定,则f(x)在D内是严格凸函数.
32
凸规划
定义1.1.11 设D Rn为凸集,则f(x) 为D上的凸函数, 则称规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 为凸规划问题.
第4章最优化方法运筹学
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
运筹学与最优化技术_吴沧浦
运筹学与最优化技术_吴沧浦专家文选运筹学与最优化技术吴沦浦一、运筹学与最优化技术的发展之间的联系作为具有相对独立性质的学科与技术，运筹学与最优化技术，其发展过程具有密切联系，并且彼此之间在其发展中起着相辅相成的作用。
在运筹学发展的初期，经典运筹学强调定量研究。
这里的定量研究主要包括两个方面:其一是对于作为研究对象的运筹系统作出定量的描述，该描述可以用数学模型或仿真模型表达;其二是给出能够定量地衡量运筹系统的运作的优劣程度的效力度量，该度量必须能够明确地显示出它自身与系统的决策(控制)变量之间的依赖关系。
经典运筹学之所以强调定量研究，其目的在于使决策与对于其所能选择或控制下的决策变量作出最优的选择。
这里的最优是在下述的意义下理解的，即该选择能够使上述的效力度量达到最大值或最小值。
由于在经典运筹学中，效力度量是以实数表示的，而且它能定量地反映运筹系统的运作的优劣程度，因而上述意义下的最优性是有意义的。
由此不难理解，最优化技术成为经典运筹学中的主要工具，后者成为前者发展的主要推动力;反过来，最优化技术的发展又在运筹学经历了从经典运筹学到现代运筹学的进化中起了重大的作用。
在运筹学的奠基性专著—莫尔斯与金博尔合著的《运筹学方法》中，专门辟出一章论述效力度量的使用。
人们由此可以看到最优化技术在经典运筹学中所占有的重要位置。
另一方面，从国际运筹学会联合会所举办的最近两届(1996年于加拿大温哥华、1999年于中国北京)运筹学国际会议上发表的论文，以及新近出版的有关专著，例如，由美国普渡大学教授拉丁的《运筹学的最优化》及印地安那大学教授温斯顿的((运筹学:应用与算法》中，人们可以明显地看到，尽管时过半个世纪，最优化技术在现代运筹学中仍然起着举足轻重的重要作用。
二、最优化技术的发展在文学界和艺术界，存在一种流传颇广的看法，即在文学和艺术中，存在一些“永恒”的主题，例如，善与恶之间的斗争、真理与谬误之间的斗争、人与人之间的博爱(友情、爱情等)。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
⎛1 ⎞ (2) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
m ⎧ ⎪ ∇ f ( x ) − ∑ u i∇ g i ( x ) = 0 i ⎪ u i ≥ 0 , i = 1,2 ,L , m → ⎨ ⎪ u ig i( x ) = 0 ⎪ ⎩
< 寻找下降可行方向： 定理 1：设 其中 x 是可行解，在
1 2
6.2 可行方向法
一、解线性约束问题的可行方向法 （续）
d x 处有 A 1 x = b 1,A
2
x > b2,
⎛ A A = ⎜ ⎜A ⎝
⎞ ⎛ b1 ⎟ ⎜ ， b = ⎟ ⎜b ⎠ ⎝ 2
⎞ ⎟ ⎟ 。则非零向量 ⎠
d 为 x 处的下降可行
g3=0 x2 2 1 1
▽g2(x*)
第六章
例
-▽f(x*) (3,2)T
x* 2 3 g1=0
▽g1(x*)
4
g4=0 x1 g2=0
6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
在 x *点 ⎧ g 1 ( x1 , x 2 ) = 0 ⎨ ⎩ g 2 ( x1 , x 2 ) = 0
∗ ∗ ∗பைடு நூலகம்
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件 (续)
如果 x ∗ − l .opt .那么 ∃ u i∗ ≥ 0 , i ∈ I , v ∗j ∈ R , j = 1, 2 , L , l ∇f (x ) −
∗
∑u
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Matlab在最优化问题中的应用
**
(**大学*学院**班)
摘要：通过对最优化问题的研究可知，在解最优化问题时的运算量非常大，
并且很复杂，运用MATLAB工具编程并解决一些实际问题（生产计划安排、指派问题）
关键词：最优化 MATLAB 生产计划安排指派问题
引言：
在实际生活中有很多问题，需要运用到最优化，以达到我们的要求。
例如求最大利润、最佳安排等。
1.提出问题：
⑴某制造厂利用金属薄板生产4种产品，其生产系统有5个车间：冲压、
钻孔、装配、喷漆和包装。
它们的生产数据和产品利润及市场销售量如表1和表2所示。
现已知下月制造乙和丁产品的金属板的最大供应量为2000㎡，产品乙每个需2㎡.产品丁每个需1.2㎡.现要求拟定下月实现最大利润的产品搭配计划。
⑵ 4个工人分派做4项工作，规定每人只能做1项工作，每项工作只能1个人做。
现设每个工人做每项工作所消耗的时间如表3所示，求总耗时最少的分派方案。
2. 建立模型：
⑴设1x 、2x 、3x 、4x 分别为产品甲、乙、丙、丁的月生产数，则从表1、表2可得问题的数学模型：
Max z=4*1x +10*2x +5*3x +6*4x
s.t.⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤+++≤+++≤+++≤++≤+++1000
1003000
50050006000100020002.1240005.002.006.002.045012.003.02.004.050012.005.01.005.0400
1.01
2.006.04001.005.015.00
3.043
21424321432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
⑵ 本题是一个平衡的分配问题。
设指派问题的效益矩阵为4*4)(ij c ，其元素ij c 表示指派第i 个人去做第j 项工作是的效率（耗时）。
设问题的决策变量为
ij x ，是0-1变量，即
⎩⎨
⎧=项工作
人去做第当不指派第，
项工作人去做第当指派第j i 0j i ,1ij x
则其数学模型为：
Min ∑∑===41i 4
1
z
j ij
ij x c
s.t.⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==）（或4,3,2,1,10)4,3,2,1(1)4,3,2,1(14
1
4
1j i x j x i x ij i ij j ij
3. 求解模型：
求解上述模型时，运用matlab 工具中的linprog （）函数。
⑴ 将模型进行改为标准型： Min z ’=-4*1x -10*2x -5*3x -6*4x
s.t.⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤+++≤+++≤+++≤++≤+++1000
1003000
50050006000100020002.1240005.002.006.002.045012.003.02.004.050012.005.01.005.0400
1.01
2.006.04001.005.015.00
3.043
21424321432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 前5个式子为不等式约束
则该线性规划的matlab 程序： >> f=[4 10 5 6]';f=-f;
>> a=[0.03 0.15 0.05 0.1;0.06 0.12 0 0.1;0.05 0.1 0.05 0.12;0.04 0.2 0.03 0.12];
>> a=[a;0.02 0.06 0.02 0.05;0 2 0 1.2]; %构成a >> b=[400 400 500 450 400 2000]';
>> lb=[1000 0 500 100]'; %决策变量下界 >> ub=[6000 500 3000 1000]'; %决策变量上界 >>
[x,fval,exitflag,output,lambda]=lin prog(f,a,b,[],[],lb,ub); %[]表示缺少等式约束中的aeq 和beq
Optimization terminated successfully. %最优化成功的结束 >> exitflag exitflag =
1 %表示线性规划有最优解
>>x
x =
1.0e+003 *
5.5000
x的值为5500
1
0.5000
x的值500
2
3.0000
x的值3000
3
0.1000
x的值100
4
>> fval
fval =
-4.2600e+004 最小值
由以上结果可得下月计划的最优方案为：生产甲产品5500件，乙产品500件，丙产品3000件，丁产品100件，此时利润最大为42600元。
⑵下面给出该题的matlab语言程序：
>> e=[15 18 21 24;19 23 22 18;26 17 16 19;19 21 23 17]; %效率矩阵>> a=e';f=a(:); %f是目标函数
>> o=ones(1,4);z=zeros(1,4);y=eye(4); %o中元素均为1，eye()为单位阵
>> aeq=[o,z,z,z;z,o,z,z;z,z,o,z;z,z,z,o];
>> aeq=[aeq;y,y,y,y]; %形成矩阵aeq
>> beq=ones(8,1);lb=zeros(16,1);
>> [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,[],[],aeq,beq,lb);
%无不等式约束，a，b用[]表示
Optimization terminated successfully. %最优化成功结束
>> xv=reshape(x,4,4);xx=xv'; %xx为指派方阵
>> xx0=round(xx); %xx0为xx取整后的方阵>> xe=xx0.*e;
>> fv=sum(sum(xe)); %取整后的最优值
>> fval %最优值
fval =
70.0000
>> fv %总耗时
fv =
70
>> xx %未取整时的指派方阵
xx =
0.4834 0.5166 0.0000 0.0000
0.5166 0.0000 0.0000 0.4834
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000
0.0000 0.4834 0.0000 0.5166
>> xx0 %取整，对指派方阵xx，将元素最大者取作1 xx0 =
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
由以上结果可知，最优指派方案为：工作1分给工人2，工作2分给工人1，工作3分给工人3，工作4分给工人4.此时总耗时最小为70小时。
4.总结：
通过以上实验可知，运用matlab工具可以大大减少运算量，简单有效，在实际生产生活中有很大的帮助，解决这些问题时常用到linprog（）函数，运用这一函数我们还可以解决其他的问题，例如：运输问题、整数规划、网络最大流及最短路等。
参考文献
【1】胡运权、郭耀煌.运筹学教程第四版[M].北京：清华大学出版社，2012. 【2】吴祈宗、郑志勇、邓伟.运筹学与最优化MATLAB编程[M].北京：机械工业出版社，2009.
【3】黄雍检、赖明勇.MATLAB语言在运筹学中的应用[M].湖南：湖南大学出版社，2005.
【4】王翼.MATLAB基础及在运筹学中的应用[M].北京：机械工业出版社，2012. 【5】刘焕彬、库在强、廖小勇、陈文略、张忠诚.数学模型与实验[M].北京：科学出版社，2008.。