机械原理考研讲义九

第十章齿轮机构及其设计
10.1本章知识点串讲
本章的重点有：齿轮的齿廓曲线；渐开线齿廓啮合传动的特点；渐开线各部分的名称、符号及标准齿轮几何尺寸的计算；渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动的条件；变位齿轮传动的基本理论及设计计算；斜齿轮﹑蜗轮蜗杆及圆锥齿轮传动的重点是它的啮合传动及设计计算的特殊点等。

【知识点1】齿轮的齿廓曲线
一、渐开线的形成
二、渐开线的性质当一直线沿半径为rb的圆作纯滚动时，该直线上任一点K
的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线
x-x称为渐开线的发生线，角θK 称为渐开线AK段的展角。

a．发生线在基圆上滚过的线段长度KN 等于基圆上被滚过的圆弧长度AN，即KN = AN。

b．渐开线上任一点的法线切于基圆。

c．切点N为渐开线上在点K处的曲率中心，NK为K点处的曲率半径。

d．基圆以内没有渐开线。

e．渐开线的形状仅取决于其基圆的大小。

f.同一基圆上任意两条渐开线间的法向距离相等。

【知识点2】渐开线齿廓啮合传动的特点
P
r
r b
ω
ω
O
O
K
r 2 ′
′
r 1 N
N
K ′
渐开线齿廓能保证定传动比
i O P O P
r r 1212212
1===ωω
渐开线齿廓传动的特点：
1．啮合线为定直线，啮合点的轨迹线——内公切线、啮合线、公法线三线合一
2．啮合角为常数，啮合角：啮合线与过节点P 处两节圆的内公切线之所夹锐角。

——它等于两齿轮在节圆上的压力角。

3．可分性
【知识点3】渐开线各部分的名称、符号及标准齿轮几何尺寸的计算 一、齿轮各部分的名称及符号
二、渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
1．渐开线齿轮的五个基本参数：齿数(z)，模数(m)，分度圆压力角(齿形角)，齿顶高系数ha *
，径向间隙系数c *
——亦称顶隙系数。

（1）齿数(z)
齿数根据设计需要确定，如：传动比、中心距要求、接触强度等。

（2）模数(m)
a. 定义：模数的定义为齿距P 与π的比值，即m= P/π
b. 模数的意义
确定模数m 实际上就是确定周节p ，也就是确定齿厚和齿槽宽e 。

模数m 越大，周节p 越大，齿厚s 和齿槽宽e 也越大；模数越大，轮齿的抗弯强度越大。

（3）分度圆压力角(齿形角)α
α：在分度圆上的受力方向线与被作用点速度方向线所夹锐角。

国家标准中规定分度圆压力角为标准值为20︒。

（4）齿顶高系数(h a *) 齿顶高：h a = h a * m
轮齿与齿槽
四圆：齿顶圆(ra ，da) 齿根圆(rf ，df)
基 圆(rb ，db) 分度圆(r ，d)
——设计基准圆 周向度量：齿厚(s) 齿槽(e)
周节(p=s+e) 径向度量：齿顶高(ha)
齿根高(hf) 全齿高(h)
（5）径向间隙系数(c*)
轮齿间的径向间隙：c = c*m
齿顶高系数h a *和径向间隙系数c*均为标准值。

正常齿标准：h a * = 1，c*= 0.25 2．渐开线标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
名
称代
号
公式
分度圆直径 d d1=mz1 ，d2=mz2
基圆直径db db1=mz1 cosα，db2=mz2 cosα齿顶高ha ha = ha*m
齿根高hf hf = ( ha* + c* ) m
齿顶圆直径da da1= d1+2 ha = m (z1 +2 ha* )，da1= d1+2 ha = m (z1 ±2 ha* )
齿根圆直径df df1= d1 -2 hf = m (z1 -2 ha* -2c* )，df1= d1 + 2 hf = m (z1 +2 ha* +2c* )
周节p P=πm
齿厚s s=πm/2
基圆周节pb Pb=πm cosα
中心距 a a=m(z1 ±z2)/2
【知识点4】渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动的条件
一、一对渐开线齿轮正确啮合的条件
渐开线齿轮正确啮合的条件：
两齿轮的模数和压力角对应相等。

二、齿轮正确安装条件
1. 无齿侧间隙啮合条件：s1’=e2’;e1’=s2’
2. 保证两轮的顶隙为标准值：顶隙为标准值，即：c = c*m
按标准中心距安装时，两齿轮的分度圆相切，即此时两轮的分度圆与节圆重合。

3. 啮合角与中心距
啮合角α′：节点P处圆周速度方向与啮合线N1N2之间所夹锐角
a cosα=a’cosα′
三、啮合传动过程及连续条件
如图所示，两齿轮在B2点开始进入啮合，B1点脱离啮
合。

B1B2实际上是理论啮合线N1N2的一段，称为实际啮合
线。

N1，N2称为啮合极限点。

为了两齿轮能够连续地传动，必须保证在前一对轮齿
尚未脱离啮合时，后一对轮齿能及时进入啮合。

为此，B1B2
应大于齿轮的法向齿距Pb。

故连续传动的条件为：重合度ε=B1B2/p b＞1 (其中为
实际啮合线的长度，p b为基圆周节)
ε值越大，承载能力越高，连续性和平稳性越好。

重合度的计算公式：
式中α′为啮合角，z1，z2及αa1，αa2分别为齿轮1，2的齿数及齿顶圆压力角。

重合度与模数无关，而随着齿数的增多面加大。

【知识点5】根切现象及变位齿轮的基本概念 一．根切现象及其避免方法 1. 根切现象及产生原因
根切现象：因某种原因，轮齿根部的渐开线被切削掉的现象。

用范成法加工渐开线齿轮过程中，有时刀具齿顶会把被加工齿轮根部的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为根切。

根切的危害：根切将削弱齿根强度，甚至可能降低传动的重合度，影响传动质量。

2. 最小不根切齿数
V=
ω
r
O
r
N 1 r a
ω
B
P
r b B
h a m
* 轮坯分度圆
刀具齿顶线
不产生根切条件：
PN 1≥ PB 2 PN 1= r sin α
PB 2= ha*m / sin α
所以有：r sin α≥ ha* m / sin α mz sin α/2≥ha*m/sin α 即：z ≥ 2ha* / sin 2α
当ha*=1，a = 20º时，z min =17
补充：证明重合度的计算公式
3. 避免根切的方法——变位齿轮的提出 1) 提高啮合极限点N 1 2) 降低刀具齿顶线——正变位 与此相反，还有所谓负变位。

4．变位齿轮的几何尺寸
5.切制变位齿轮时的最小变位系数
若用齿条形刀具切制齿数Z ≤Zmin 的变位齿轮时，当刀具的齿顶线恰好与被切齿轮的啮合极限点N1重合时，即刚好不发生根切，其刀具的最小变位系数为
x min =ha *(z min -z)/z min
N 1 P
O
α
B 2
分度圆
基圆
I K J m π/2
h a m
* xm
对于正变位齿轮有：
s = pm/2 + 2KJ = (p/2 + 2xtg α) m
e = pm/2 - 2KJ = (p/2 - 2xtg α) m
hf = ha*m+ c*m – xm = (ha*+ c*–x ) m
ha= ha*m+ xm = (ha*+ x ) m
xm
xmtg α α I
K J 补充：证明最小变位系数公式
由以上可得：
*
【知识点6】变位齿轮传动
一、变位齿轮传动问题的提出
1. 避免根切产生，以减小机构尺寸
2. 提高小齿轮承载能力，降低小齿轮根部磨损，实现“同时失效”。

变位齿轮的承载能力可比标准齿轮提高20％以上。

3. 凑配中心距
二、变位齿轮传动
1.变位齿轮传动的正确啮合条件及连续传动条件与标准齿轮传动相同
2.变位齿轮传动的中心距
变位齿轮传动中心距的确定也应满足无侧隙啮合和顶隙为标准值这两方面的要求。

要满足无侧隙啮合，要求其一轮在节圆上的齿厚应等于另一轮在节圆上的齿槽宽，由此可推得无齿侧隙啮合方程：
inv a′= 2tan a(x1+x2) / (z1+z2) + inv a
两轮作无侧隙啮合时的中心距为a′，它与标准中心距之差为ym，y称为中心距变动系数，即
a′＝a + ym（满足无齿侧间隙的中心距）
而
所以
为保证两轮之间具有标准的顶隙c=c*m，则两轮的中心距应等于
a″= r a1 + c + r f2 = r1 +(h*a + x1 ) m+ c*m+ r2 –(h*a + c* - x2 ) m= a + (x1 + x2 ) m（满足标准径向间隙的中心距）
由此可得，如果y= x1 + x2，就可以同时满足上述两个条件。

但是经验表明：只要x1 + x2 ≠ 0 ，总是x1 +x2 > y。

工程上的解决办法是：两轮按无侧隙中心距a′＝a + ym安装，而将两轮的齿顶高个减短△ym，以满足标准顶隙要求。

△y称为齿顶高降低系数，其值为△y ＝x1 + x2 －y。

这时有齿顶高为
h a= h a*m+ xm －△ym= (h a*+ x －△ym ) m。