高考数学(理)复习A高考分类汇编计数原理

第十二章 计数原理第1节 两个基本计数原理题型135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. (2013重庆理13）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、 脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （用数字作答）. 2．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得 到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）A.9B.10C.18D.203. (2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）A.14B.13C.12D. 104.（2014 福建理 10）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”用表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）.A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C.()()()554325111c b b b b b a +++++++D.()()()543255111c c c c c b a +++++++5.（2014 大纲理 5） 有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.（2014 浙江理 14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.7.（2015广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）. A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于57.解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则 正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为A ，B ，C ，D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点E ，则点E 和点A ，B ，C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点D 重合，要么点E 和点D 关于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ．8.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）. A.24 B.18 C.12 D.98. B 解析 从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．9．（2016上海理13）设,,a b ∈R ，[)0,2πc ∈，若对任意实数x 都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ．9．解析 ①当2a =时，若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =；②当2a =-时，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =．共4组．故填4．评注 或者如此考虑，当,a b 确定时，c 也唯一确定，因此有224⨯=种组合．10.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答） 10.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法．解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有 ()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．第2节 排列与组合题型136 与排列相关的常见问题1.（2013浙江理14）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）2.（2013山东理10）用0，1，，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）. A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 3.（2014 重庆理 9）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）.A. 72B. 120C.144 D. 1684.（2014 四川理 6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）.A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种5.（2014 辽宁理 6）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）. A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 6. （2014 北京理 13）把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.7.（2015四川理6）6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）.A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个 7.解析 由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有342A 个； 若万位上排5，则有343A 个.所以共有33442A 3A 524120+=⨯=（个）.故选B.8.（2016四川理4）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）.A.24B.48C.60D.728.D 解析 由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为443A 72=.故选D.题型137 与组合相关的常见问题1．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）A.9B.10C.18D.202. (2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）A.14B.13C.12D. 103.（2015广东理12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）3.解析 两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数， 所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言．故应填1560．4.（2016全国丙理12）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2km ，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）.A.18个B.16个C.14个D.12个4.C 解析 依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第2m 项为1，当4m =时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”. 分类讨论：①若0后接00，如图所示.1000后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有34C 种排法； ②若0后接01如图所示.1001后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有24C 15-=种排法； ③若0后接10，如图所示.0011在10后若接0，则后面有13C 种排法，在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，有22A 中排法，则满足题意的排法有312432C 5C A 14+++=种.故选C.题型138 排列与与组合综合的常见问题——暂无1.（2016江苏23）（1）求34677C 4C -的值； （2）设*,m n ∈N ，n m，求证：()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++()()212C 1C 1C m m m n n n n n m +-+++=+．1.解析 （1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；（2）证法一（组合数性质）：因为()()()!1C 1!!mk k k k m k m +=+-()()()()()1!11!11!k m m k m +=++---⎡⎤⎣⎦()111C m k m ++=+， 所以左边()()()1111211C 1C 1C =m m m m m n m m m ++++++=++++⋅⋅⋅++ ()()111112311C C C C m m m m m m m n m +++++++++++++，又因为111C C C k k kn n n ---+=，所以左边()()211122311C C C C m m m m m m m n m ++++++++=+++++()()2113311C C C =m m m m m n m ++++++=++++()()21411C C m m m n m +++++++=⋅⋅⋅()()21+111C C m m n n m +++=++()2+21C m n m +=+=右边．证法二（数学归纳法）：对任意的*m ∈N ，①当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立. ②假设()n k k m =时命题成立，即()()()121C 2C 3C mm m m m m m m m +++++++++()()212C 1C 1C m m m k k k k k m +-+++=+， 当1n k =+时，左边()()()121C 2C 3C m m mm m m m m m ++=+++++++()()11C 1C 2C m m mk k k k k k -+++++ ()()2211C 2C m mk k m k +++=+++. 又由于右边()231C m k m ++=+，而()()22321C1C=m m k k m m +++++-+()()()()()()()3!2!1=2!1!2!!k k m m k m m k m ⎡⎤+++-⎢⎥+-++-⎣⎦()()()()()2!1312!1!k m k k m m k m ++⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-+()()()1!2!1!k k m k m +=+-+()12C m k k +=+． 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立．综合①②可得命题对任意n m 均成立．评注 本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有111C C C m m m k k k ++++=，C C m k m k k-=，11C C k k n n k n --⋅=⋅，而且还有此题中出现的()()111C 1C m m k k k m +++=+(),1,,k m m n =+，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.2.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 3．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.第3节 二项式定理题型139 二项式定理展开式的通项及系数1. (2013全国新课标卷理5） 已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）.A.4- B. 3- C. 2- D. 1-2.（2013辽宁理7）使得()3nx n +⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 73. (2013陕西理8）设函数()61<0x x f x x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩≥，，则当>0x 时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为（ ）.A. 20-B. 20C. 15-D. 154．（2013江西理5）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）.A ．80B ．-80C ．40D ．-40 5．（2013四川理11）二项式5()x y +的展开式中，含23xy的项的系数是____________．（用数字作答） 9.(2013天津理10）6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 ．6. (2013安徽理11）若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a = . 7.（2013浙江理11）设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.8.（2014 浙江理 5）在()()6411x y ++的展开式中，记mn xy 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++= （ ）.A.45B.60C.120D. 210 9.（2014 四川理 2）在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）. A ．30 B ．20 C ．15 D ．1010.（2014 湖南理 4）5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ）.A.20-B.5-C.5D.2011.（2014 湖北理 2）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）.A.2B.C. 1D.412.（2014 安徽理 13）设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置如图所示，则a= .13.（2014 大纲理 13）8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .14.（2014 山东理 14）若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为.15.（2014 新课标1理13）()()8x y x y -+的展开式中27xy的系数为 .（用数字填写答案）16.（2014 新课标2理13）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a= .（用数字填写答案）17.（2015湖南理6）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）.B. C. 6 D.6-17.解析 5215C (1)rrrrr T a x-+=-，令5322r -=，解得1=r ，可得530a -=，6a =-. 故选D.18.（2015全国1理10）()52x x y++的展开式中，52xy 的系数为（ ）.A ．10B ．20C ．30D ．60 18.解析()()5522xx y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦．展开式中含2y 的项为： ()522225C x x y -+=()32225C x x y +，而()32x x +中含5x 的项为()2121533C C x x x =，所以52xy的系数为2153C C 30⨯=.故选C ．19.（2015陕西理4）二项式*(1)()nn x +∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 19.解析 根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=， 所以6n =.故选C.20.（2015湖北理3）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项 的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．9220.解析 由条件知37C C nn =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=.故选D. 21.(2015安徽理11)731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是________（用数字填写答案）. 21.解析 因为()732141771C C rrrr rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，所以47C 35=，即5x 的系数是35．22.（2015重庆理12）53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).22.解析 由二项式的定()7155315322155511CC C 22r r rr r rrr r r r T x xx x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当71582r -=时，易得2r =，故8x 系数为22515C 22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．23.（2015天津理12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为________ .23.解析 614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66216611C C 44rrr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由622r -=得2r =，所以222236115C 416T x x⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2x 的系数为1516.24.（2015四川理11）在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是_____________ （用数字填写答案）.24.解析 由二项式的展开式的通项公式为()()515C 21rrrr T x -+=-，可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3325C 2140-=-. 25.（2015全国2理15）4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．25.解析 由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项， 其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．26.（2015北京理9）在()52x +的展开式中，3x 的系数为____________ .（用数字作答） 26.解析 ()52x +展开式的通项公式()515C 2,0,1,2,,5r rr r T x r -+==，3x 的系数为325C 240=.27.（2015福建理11）()52x + 的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）27.解析 ()52x +的展开式中2x 项为33225C 280x x =，所以2x 的系数等于80．28.（2015广东理9）在)41的展开式中，x 的系数为___________．28.解析 由题可知()()442144C 1C 1r rrrr rr T x--+=-=-，令412r-=，解得2r =， 所以展开式中x 的系数为()224C 16-=．故应填6．29.（2016北京理10）在()612x -的展开式中，2x 的系数为________________（用数字作答）. 29.60 解析 在()612x -的展开式中，含2x 的项为()22426C 1260x x -=，所以2x 的系数为60.30.（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）. A.415x - B.415x C.420i x - D.420i x 30. A 解析 二项式()6i x +展开的通项616C r r rr T x i -+=，则其展开式中含4x 是当64r -=，即2r =，则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.31.（2016天津理10）821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为__________ (用数字作答) .31. 56- 解析 展开式通项为()()821631881C1C rrr rr rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令1637r -=，得3r =，所以7x 的系数为()3381C 56-=-．32.（2016全国乙理14）(52x +的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）.32. 10 解析 (52x 的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5k k k kkk kk kk T x xxk -+----+====.令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 33.（2016山东理12）若52ax⎛ ⎝的展开式中，5x 的系数是80-，则实数a =_______. 33. 2- 解析 由题意，5102552155=CC r r rr r rr T ax a x ---+=（.34.（2016上海理8）在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 34. 解析 由题意2256n=，8n =， 第1r +项83182r r rr T C xx -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()84382r r r C x -=-⋅． 令8403r -=，则2r =，故常数项为()2282112C -=．故填112． 35．（2017浙江13）已知多项式()()32543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =___________，5a =________.35.解析 32322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ，所以412416a ，54a ．36.（2107山东理11）已知()13n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .36. 解析 ()1C 3C 3r r r r r r n n T x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．37.（2017全国3卷理科4）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）.A ．80-B ．40-C ．40D ．80 37．解析 由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()23322355C 2C 2x x y y x y ⋅-+⋅-=3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C.38.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）. A.15 B.20 C.30 D.3538. 解析 ()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为2665C 152⨯==，对()6211x x ⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为 151530+=.故选C.。