高考数学(理)复习A高考分类汇编计数原理
第十二章 计数原理
第1节 两个基本计数原理
题型135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1. (2013重庆理13）
从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、 脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （用数字作答）. 2．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得 到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）
A.9
B.10
C.18
D.20
3. (2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）
A.14
B.13
C.12
D. 10
4.（2014 福建理 10）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从
1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表
示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”用表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）.
A.
()()()5
5
5
4
3
2
111c b a a a a a +++++++ B.()()()5
5
4
3
2
5
111c b b b b b a +++++++ C.()()()5
5
4
3
2
5
111c b b b b b a +++++++
D.()()()5
4
3
2
5
5
111c c c c c b a +++++++
5.（2014 大纲理 5） 有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）.
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
6.（2014 浙江理 14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
7.（2015广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）. A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5
7.解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则 正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为
A ，
B ，
C ，
D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点
E ，则点E 和
点
A ，
B ，
C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点
D 重合，要么点
E 和点D 关
于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ．
8.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）. A.24 B.18 C.12 D.9
8. B 解析 从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →
G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318?=种走法.故选B ．
9．（2016上海理13）设,,a b ∈R ，[)0,2πc ∈，若对任意实数x 都有
()π2sin 3sin 3x a bx c ?
?-=+ ??
?，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ．
9．解析 ①当2a =时，若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π
3c =；
②当2a =-时，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π
3
c =．共4组．故填4．
评注 或者如此考虑，当,a b 确定时，c 也唯一确定，因此有224?=种组合．
10.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答） 10.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），
即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有44
86C C -种选法；
第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．
所以共有()
()442
864C C A 701512660-?=-?=种选法．
解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女
3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；
第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．
所以共有 ()
()13222
26264C C C C A 22011512660+?=?+??=种选法．
第2节 排列与组合
题型136 与排列相关的常见问题
1.（2013浙江理14）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）
2.（2013山东理10）用0，1，
，9十个数字，
可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）. A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 3.（2014 重庆理 9）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）.
A. 72
B. 120
C.
144 D. 168
4.（2014 四川理 6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）.
A ．192种
B ．216种
C ．240种
D ．288种
5.（2014 辽宁理 6）6把椅子摆成一排，3人随机就座，
任何两人不相邻的做法种数为（ ）. A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 6. （2014 北京理 13）把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产
品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.
7.（2015四川理6）6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）.
A. 144个
B. 120个
C. 96个
D. 72个 7.解析 由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有3
42A 个； 若万位上排5，则有3
43A 个.所以共有3
34
42A 3A 524120+=?=（个）.故选B.
8.（2016四川理4）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）.
A.24
B.48
C.60
D.72
8.D 解析 由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共
有44A ，所以其中奇数的个数为4
43A 72=.故选D.
题型137 与组合相关的常见问题
1．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）
A.9
B.10
C.18
D.20
2. (2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）
A.14
B.13
C.12
D. 10
3.（2015广东理12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
3.解析 两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数， 所以全班共写了2
40
A 40391560=?=条毕业留言．故应填1560．
4.（2016全国丙理12）定义“规范01数列”
{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为
1，且对任意2k
m ，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数
列”共有（ ）.
A.18个
B.16个
C.14个
D.12个
4.C 解析 依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第2m 项为1，当4m =时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”. 分类讨论：①若0后接00，如图所示.
1
000
后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有3
4C 种排法； ②若0后接01如图所示.
1001
后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有24C 15-=种排法； ③若0后接10，如图所示.
0011
在10后若接0，则后面有13C 种排法，在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，
有2
2A 中排法，则满足题意的排法有312432C 5C A 14+++=种.故选C.
题型138 排列与与组合综合的常见问题——暂无
1.（2016江苏23）（1）求34
677C 4C -的值； （
2
）
设
*
,m n ∈N ，
n m
，求证：
()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++()()2
12C 1C 1C m m m n n n n n m +-+++=+．
1.解析 （1）34
677C 4C 7204350-=?-?=；
（2）证法一（组合数性质）：
因为()()
()!1C 1!!m
k k k k m k m +=+-()()()()()1!11!11!
k m m k m +=++---????()1
11C m k m ++=+， 所以左边()()()111
1211C 1C 1C =
m m m m m n m m m ++++++=++++???++ ()()111112311C C C C m m m m m m m n m ++++++++++++
+，又因为111C C C k k k
n n n ---+=，
所以左边
()()211122311C C C C m m m m m m m n m ++++++++=+++++()()211
3311C C C =
m m m m m n m ++++++=++++()()21411C C m m m n m ++++++
+=???()()21+111C C m m n n m +++=++()2
+21C m n m +=+=右边．
证法二（数学归纳法）：对任意的*
m ∈N ，
①当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()2
21C 1
m m m m ++=+=+，等式成立. ②假设()n k k m =时命题成立，即()()()121C 2C 3C m
m m m m m m m m +++++++++
()()2
12
C 1C 1C m m m k k k k k m +-+++=+， 当1n k =+时，左边
()()()121C 2C 3C m m m
m m m m m m ++=++++++
+()()11
C 1C 2C m m m
k k k k k k -+++++ ()()2211C 2C m m
k k m k +++=+++. 又由于右边()2
3
1C m k m ++=+，而()()2
23
2
1C
1C
=m m k k m m +++++-+()()()()()()()3!2!1=2!1!2!!k k m m k m m k m ??+++-??+-++-??
()()()()()2!1312!1!k m k k m m k m ++?
+--+???
?+-+(
)()()1!
2!1!k k m k m +=+-+()1
2C m k k +=+． 因此()()()22
213
1C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立．
综合①②可得命题对任意n m 均成立．
评注 本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有
111C C C m m m k k k ++++=，C C m k m k k
-=，1
1C C k k n n k n --?=?，而且还有此题中出现的()()111C 1C m m k k k m +++=+(),1,
,k m m n =+，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才
是突破此类问题的核心．
2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.
2.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有4
5
A 120=个(或44
54C A 120
=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134
454C C A 960=.故由分类计
数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.
3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 3．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3
份再全排得23
43C A 36?=.故选D.
第3节 二项式定理
题型139 二项式定理展开式的通项及系数
1. (2013全国新课标卷理5） 已知()()5
11ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）.
A.
4- B. 3- C. 2- D. 1-
2.（2013辽宁理7）
使得()3n
x n +?∈ ?
N 的展开式中含有常数项的最小的n 为
（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. (2013陕西理8）设函数(
)6
1<0
x x f x x x ???
-? ?=????
?≥，，则当>0x 时，()f f x ????表达式的展
开式中常数项为（ ）.
A. 20-
B. 20
C. 15-
D. 15
4．（2013江西理5）5
232x x ?
?- ??
?展开式中的常数项为（ ）.
A ．80
B ．-80
C ．40
D ．-40 5．（2013四川理11）二项式5()x y +的展开式中，含23
x
y
的项的系数是____________．（用
数字作答） 9.(2013天津理10
）6
x ?
- ?
的二项展开式中的常数项为 ．
6. (2013安徽理11
）若8
x ?
?的展开式中4x 的系数为7，则实数a = . 7.（2013浙江理11
）设二项式5
的展开式中常数项为A ，则=A ________.
8.（2014 浙江理 5）在()()
6
4
11x y ++的展开式中，记m
n x
y 项的系数为(),f m n ，则
()()()()3,02,11,20,3f f f f +++= （ ）.
A.45
B.60
C.120
D. 210 9.（2014 四川理 2）在()6
1x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）. A ．30 B ．20 C ．15 D ．10
10.（2014 湖南理 4）5
122x y ??
- ???
的展开式中23x y 的系数是（ ）.
A.20-
B.5-
C.5
D.20
11.（2014 湖北理 2）若二项式7
2a x x ?
?+ ??
?的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）.
A.2
B.
C. 1
D.
4
12.（2014 安徽理 13）设0a ≠，n 是大于1的自然数，1n
x a ??+ ???
的展开式为20
12n n a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置
如图所示，则a
= .
13.（2014 大纲理 13）
8
??
的展开式中22x y 的系数为 .
14.（2014 山东理 14）若4
6b ax x ?
?+ ??
?的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为
.
15.（2014 新课标1理13）()()8
x y x y -+的展开式中27
x
y
的系数为 .（用数字
填写答案）
16.（2014 新课标2理13）()10
x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a
= .（用
数字填写答案）
17.（2015湖南理6）已知5
的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）.
B. C. 6 D.6-
17.解析 5215
C (1)r
r
r
r
r T a x
-+=-，令
53
22
r -=，解得1=r ，可得530a -=，6a =-. 故选D.
18.（2015全国1理10）()
5
2x x y
++的展开式中，5
2x
y 的系数为（ ）.
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60 18.解析
()()5
5
2
2
x
x y x x y ??++=++??
．展开式中含2y 的项为： ()
522
225C x x y -+=()3
2
225C x x y +，而()3
2x x +中含5x 的项为()2
121533C C x x x =，
所以52
x
y
的系数为21
53
C C 30?=.故选C ．
19.（2015陕西理4）二项式*(1)
()n
n x +∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）
． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 19.解析 根据二项式定理，2x 的系数应该为2
2C C 15n n n -==，得
()
1152
n n -=， 所以6n =.故选C.
20.（2015湖北理3）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项 的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92
20.解析 由条件知3
7C C n
n =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101
92
2-=.故选D. 21.(2015安徽理11)7
31x x ??+ ??
?的展开式中5x 的系数是________（用数字填写答案）. 21.解析 因为()
732141771C C r
r
r
r r
r T x
x
x --+??== ???
，令2145r -=，得4r =，
所以4
7
C 35=，即5x 的系数是35．
22.（2015重庆理12
）5
3x ?+ ?
的展开式中8
x 的系数是________(用数字作答).
22.解析 由二项式的定(
)
715531532215
5511C
C C 22r r r
r r r
r
r r r r T x x
x x ----+????=== ? ?????．
当71582r -=时，易得2r =，故8x 系数为2
2
515C 22???= ???
．
23.（2015天津理12）在6
14x x ??- ??? 的展开式中，2
x 的系数为________ .
23.解析 6
14x x ??- ?
??展开式的通项为66216611C C 44r
r
r r r r r T x x x --+????=-=- ? ?????， 由622r -=得2r =，所以2
22236115C 416T x x
??=-= ???
，所以2x 的系数为1516.
24.（2015四川理11）在()5
21x -的展开式中，含2x 的项的系数是_____________ （用数字填写答案）.
24.解析 由二项式的展开式的通项公式为()
()
515C 21r
r
r
r T x -+=-，
可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3
32
5C 2140
-=-. 25.（2015全国2理15）4
()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，
则a =__________．
25.解析 由题意知，4
234(1)
1464x x x x x +=++++，
故4
()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项， 其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．
26.（2015北京理9）在()5
2x +的展开式中，3x 的系数为____________ .（用数字作答） 26.解析 ()5
2x +展开式的通项公式()515C 2
,0,1,2,,5r r
r r T x r -+==，
3x 的系数为32
5C 2
40=.
27.（2015福建理11）()5
2x + 的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）
27.解析 ()52x +的展开式中2x 项为33
225C 280x x =，所以2x 的系数等于80．
28.（2015广东理9）在
)
4
1的展开式中，x 的系数为___________．
28.解析 由题可知()
()442
1
4
4
C 1C 1r r
r
r
r r
r T x
--+=-=-，令
412
r
-=，解得2r =， 所以展开式中x 的系数为()2
24C 16-=．故应填6．
29.（2016北京理10）在()6
12x -的展开式中，2x 的系数为________________（用数字作答）. 29.
60 解析 在()
6
12x -的展开式中，含2
x 的项为()2
242
6C 1260x x -=，所以2
x 的系数
为60.
30.（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6
(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）. A.415x - B.415x C.420i x - D.420i x 30. A 解析 二项式()6
i x +展开的通项616C r r r
r T x i -+=，则其展开式中含4
x 是当64r -=，
即
2r =，则展开式中含4x 的项为242
46C i 15x x =-，故选A.
31.（2016天津理10）8
21x x ?
?- ??
?的展开式中7x 的系数为__________ (用数字作答) .
31. 56- 解析 展开式通项为()
()8216318
81C
1C r
r
r r
r r
r T x x
x --+??=-=- ???
. 令1637r -=，得3r =，所以7
x 的系数为()
3
3
81C 56-=-．
32.（2016全国乙理14）(
5
2x +的展开式中，3
x 的系数是 （用数字填写答案）.
32. 10 解析 (
5
2x 的展开式的通项公式为
()
()555
552
2
15
5
5
C 2C 2C 20,1,,5k k k k
k
k k
k k
k T x x
x
k -+
-
---+====.
令532
k -
=，得4k =.故3x 的系数是454
5
C 210-=. 33.（2016山东理12）若5
2ax
? ?
的展开式中，5
x 的系数是80-，则实数a =_______. 33. 2- 解析 由题意，5
102552
15
5=C
C r r r
r r r
r T ax a x ---+=（.
34.（2016上海理8）在2n
x ???的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
34. 解析 由题意2256n
=，8n =，
第1r +项83
18
2r
r
r
r T C x x -+??=??- ???
()84382r
r r C x -=-?．
令
8403
r -=，则2r =，故常数项为()22
82112C -=．故填112． 35．（2017浙江13）已知多项式()()
3
2
543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则
4a =___________，5a =________.
35.解析
32
322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ，所以412416a ，
5
4a ．
36.（2107山东理11）已知()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .
36. 解析 ()1C 3C 3r
r r
r r r n n
T x x +==??，令2r =，得22
C 354n ?=，解得4n =．
37.（2017全国3卷理科4）()()5
2x y x y +-的展开式中33
x
y
的系数为（ ）. A ．80-
B ．40-
C ．40
D ．80
37．解析 由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为
()()()()2
3
3
2
2
355C 2C 2x x y y x y ?-+?-=
3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C.
38.（2017全国1卷理科6）()6
2111x x ?
?+
+ ???
展开式中2x 的系数为（ ）. A.15 B.20 C.30 D.35
38. 解析 ()()()66622111+1111x x x x x ??+=?++?+ ???，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为
2
665C 152?=
=，对()6
211x x ?+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为
151530+=.故选C.
2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 高二数学分类计数原理与分步计数原理教案 教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题． 教具准备：投影胶片（两个原理）． 教学过程： ［设置情境］ 先看下面的问题： 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？ 要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法． 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理． ［探索研究］ 引导学生看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 3＋2＝5 种不同的走法，如图所示． 一般地，有如下原理：（出示投影） 分类计数原理完成一件事，有类办法，在第1 类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 再看下面的问题．（出示投影） 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图）？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6 种不同的走法．（让学生具体列出6种不同的走法） 于是得到如下原理：（出示投影） 分步计数原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第 种不同的方法． 教师提出问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 学生回答后，教师出示投影：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （出示投影） 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ （解答略） 教师点评：注意区别“分类”与“分步”． 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时） 一．教学内容解析 （一）教材的地位和作用 “分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时． 两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识．由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。 从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证． 从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身． 从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂． （二）教学目标 1.知识与技能： （1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理； （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；。 2.过程与方法： 经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于 生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程． 3.情感、态度与价值观： 培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的兴趣．（三）教学重点与难点 重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题. 难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”. 二．学生学情分析 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？ （2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？ （2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D 分类计数原理与分步计数原理 课题： 分类计数原理与分步计数原理 教材分析： 《分类计数原理与分步计数原理》，是高中数学第十章排列、组合的第一节课，是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解、掌握和运用，是学好本章的一个关键。 教学目标： 知识与技能目标： 准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力 过程与方法目标： 通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去。 情感、态度与价值观目标： 培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。 教学重点： 分类计数原理和分步计数原理内容及两者的区别 教学难点： 对较为复杂事件的分类和分步 教学方法： 启发引导式教学 教具准备： 作图工具 课型： 新授课 教学过程： 问题引入一 问题1从芜湖到合肥，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假若一天中，火车有4班, 汽车有20班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有20种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以从甲地到乙地共有4+20+3=27种方法。 问题 2 在全班同学中选出一名同学做班长，有多少种选择？ 新知探究一 分类计数原理：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。 说明： （1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理。 （2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数。 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 大学有5个自己感兴趣的强项专业，B 大学有4个自己感兴趣的强项专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 问题引入二 问题3 如图,假设由芜湖去巢湖的道路有3条，由巢湖去合肥的道路有2条。从芜湖经巢湖去合肥，共有多少种不同的走法? 分析: 芜湖经巢湖去合肥有2步, 第一步, 由芜湖去巢湖有3种方法, 第二步, 由巢湖去合肥有2种方法, 所以芜湖经巢湖去合肥共有3×2=6种不同的方法。 问题 4 在全班每个组中都选出一名同学做组长，有多少种选择？ 新知探究二 分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成， 并且对于前面几芜湖北 南 北 1、集合与简易逻辑 （2014）1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ (2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} （2012）1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （2010）（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{| 4,}B x x Z =≤∈,则A B ?= (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} 2、平面向量 （2014）3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 (2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?＝__________. （2012）13、已知向量a ，b 夹角为45°，且1=a ，102=-b a ，则b =____________. （2011）（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ?? +>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ?? ->?∈ ??? 其中的真命题是 （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P 3、复数 （2014）2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（ ） A. – 5 B. 5 C. - 4+ I D. - 4 – i (2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i （2012）3、下面是关于复数z= 2 1i -+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i(完整word)高中数学《计数原理》练习题
全国高考理科数学试题分类汇编—统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2019-2020高考数学试题分类汇编
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